Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (81)

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18. En relación a la ecuación bicuadrada:
(l3-k)x" + ( 4 - 3 V + í ^ - 5 V + í ^ - 2 l x - k = 0,..4 I \q I \ 5 
indicar el valor de verdad de las proposiciones si­
guientes:
I, El valor de q es 2
II. k + q = 14
III, x̂ + 2x ̂ - 12 = O
IV. Una raíz es - ÍS
Resolución:
Si la ecuación:
k -q -2 x -k = 0(13-k)x* + ( | -3 )x > + ( |-5 )x ^ + ̂ 5
es bicuadrada, debe carecer de término cúbico y 
término lineal.
^ - 3 = O A -2 = 04 5
= k = 1 2 A q = 2
Luego, la ecuación es: x'' + x̂ - 12 = O
Factorizando: (x ̂+ 4){x^ - 3) = O
• x̂ + 4 = O = -4 => x = ±2i
• x ^ - 3 = 0 =>x^ = 3 = x = ±-í3 
(I) es V; (II) es V; (III) es F; (IV) es V.
19. Si a, = m + 2; 32 = m - 1; 83 = 2 - m son los 
coeficientes de la ecuación a,x'* + ajX ̂ + aj = O, 
tal que 82 - a, = â - 82, determinar el valor de la 
mayor raiz.
Resolución:
De: 82 - a, = 83 - 82
(m - 1) - (m + 2) = (2 - m) - (m - 1)
—3 — —2m -1-3 => m = 3 
Luego, la ecuación es: 5x ̂+ 2x* - 1= O
Donde: x = ± - 2 ± 2/6
10
El mayor valor de la raíz es:
20. Resolver la ecuación:
(x + - (X - 1 ) ' = 7 x ^ + 3 5 x ' - 10
Indicar la diferencia entre la mayor y menor de las
raices obtenidas.
Resolución:
Desarrollando por binomio de Newton:
. (X + + Sx“ + lOx^ + lOx' + 5x + 1
• (x - 1)' = - 5x‘ + lOx^ - 10x' + 5x - 1
Restando y reemplazando en la igualdad dada se 
tiene: lOx" + 20x ̂+ 2 = 7x‘" + 35x ̂= 10 
^ x" - 5x' + 4 = O ^ (x ̂ - 4)(x' - 1) = O 
=5 (X + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 1) = O
=• X, = -2 ; Xj = 2; X3 = -1 ; X4 = 1
. - .Xj-X, = 2 - ( - 2 ) = 4
21. Construir una ecuación bicuadrada en la que la 
suma de los cuadrados de sus raíces es 3 5 y el 
producto 7 0 .
Resolución:
Sí a y p son raíces de una ecuación bicuadrada, las 
otras raíces son -a y -p .
Luego, la ecuación que dio origen a estas es:
X * - (a' + (i )̂x ̂ i- (a(i)' = 0 ..,(1)
Por datos;
• a ^ + p ^ + ( - a ) ' + (-p)^ = 35
• a X p (-a )(-p )= 70 = (ap)^ = 70
En (1): x" - + 70 = O v 2 / - 35x ̂+ 140 = O
22. En relación al conjunto:
S = {x e IR/(x + 6)̂ '® + x̂ = x(x + 6)’ '̂ + x(x + 6) '̂'. 
Indicar el valor de verdad de las proposiciones si­
guientes:
I. S = { }
II. n(S) = 3
III. SIS = {a;b) = a' + b̂ = 13 
IV S e (3 ; 8)
Resolución:
De (x + 6)*'® x̂ = x(x + 6)̂ ' ̂ -h x(x + 6)"' ̂...(I) 
Obsérvese: x > O
Sea: (x + 6 ) ' '^ = a a ( x -h 6 ) ’ '^ = b
En (I); ab + x̂ = xa +xb
x̂ - (a + b)x + ab = O 
( x - a)(x - b ) = 0 =»x = a v x = b
• S ix = a = x = (x+ 6)"'̂
=»x^ = x-i -6 ^ x ^ - x - 6 = 0
( X - 3)(x + 2) = 0 => x = 3 V x = -2
• Six = b ^ x = (x + 6)” ^
=»x^ = x + 6 = » x ^ - x - 6 = 0
Factorizando por divisores binomios, se tiene: 
( X - 2)(x̂ + 2x + 3) = O 
X í IR 
» X — 2 = 0 => x = 2 
Luego: S = {2; 3}
Para las proposiciones; FFVF
23. Si x̂ y X2 son dos soluciones de la ecuación: 
V0,5x-0,2 + V0,2x-0,5 = V2,8(x- 1)
determinar el valor de: R - X2 + 2 x,+ 2
Resolución:
Se puede escribir:
2 8 ( x - 1 ;
10 -V 10 "V 10
V5x - 2 + V2x - 5 = ^26(x - 1)
- 3j28(x - 1) - O ...(1)
Por productos notables;
Sia + b + c = 0 =»a^ + b̂ + ĉ = 3abc
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Aplicando en (i):
(5x - 2) + (2x - 5) - V 2 8 ( x - 1) =
3 '/5 x ^ . ^ /2 j r ^ . ( - V 2 8 ( x - 1)) 
Reduciendo, nos queda:
7{x - 1 ) = V ( 5 x - 2 ) ( 2 x - 5)28( x - 1 )
Elevamos al cubo:
7 (̂x - 1)" = {5x - 2)(2x - 5)28(x - 1)
Cancelamos 7{x - 1), pero para no perder solu­
ción: 7(x - 1) = O =í X = 1, es solución.
Luego, nos queda por resolver:
49(x - 1)" = (5x - 2)(2x - 5)4 
=»49x"- 98x+ 1 = 4 0 x ^ - 1 1 6 X + 40 
De aqui se obtiene: x" + 2x + 1 = O 
^ (X + 1)^ = O = X = - 1 
Asumimos : x, = 1 a Xs= - 1 
1 +2R = _______ -1 + 2 _ o , 1 _ 10
- 1 + 2 ^ 1 + 2 3 3
24. Resolver la ecuación:
J3x^-16x + 24 + V3x"- 1 6 x - 3 = 9 
Calcular la suma de sus raices.
Resolución;
(i)VSx"- 16X + 24 + VSx"- 1 6 x - 3 = 9 
Observar que:
{3x" - 16x + 24) - (3x" - 16X-3) = 27 
=> (V3x^- 16X + 24 + '/3x"- 16 x -3 )
(V3x"- 16x + 24- - /3x ^ - 16X-3) = 9x^
=» V 3 x " - 1 6 x + 2 4 - / 3 x " - 1 6 x - 3 = 3 ...(II)
(I) + (II): 2 V 3 x " - 1 6 x -h 2 4 = 12 
Al cuadrado : 3 x " - 1 6 x + 2 4 = 3 6 
^ 3x^ - 1 6 x - 1 2 = O ^ ( 3 x + 2 ) ( x - 6 ) = O 
Suma de raíces: 1 6 / 3
25. Encontrar la incógnita x de la siguiente ecuación:
Resolución :
De + /x + Va - -íx =
- /̂b - O
=» (a+ ^ ) + ( a - Vx’)-b= 3V a + 7x . Va-Zx .(-^/b)
^ 2a - b = -3 V (a" -x ) b 
Elevamos al cubo: (2a - b) ̂= -27(a^ - x)b 
_ (2a-b)^
^ ^ 2 7 b
(2a -b ) " + 27a"b 
" 27b
26. Determinar ia mayor de ias raices de: 
12x" + 91x ̂+ 194x" + 91x + 12 = O
Resolución;
12x" + 91x^ + 194x' + 91x + 12 = O
Como x^O , entre x̂ :
12x ̂+ 91x + 194 + ^ + ^ = O
^ 12Íx ̂+ 4 í + 9 l (x + ^ i 194 = O
Sea: x + - = a = > x " + - ^ = a ^ - 2
Reemplazando: 12(a" - 2) + 91 (a) + 194 = O 
12a ̂+ 91a + 170 = O « (4a + 17)(3a + 10) = O 
17(4a + 17) =» a = — 
(3a + 10) =» a=
r7
4 x + -X
I I
4
X, = -4 V X2 =
10 x + 1 = - l i = - 3 - I 
X 3 " ^ 3
X3 = -3 V X, = - -̂
La mayor raíz es:
27. Calcular la suma de las raíces no reales de la 
ecuación:
2x® - 7x" + 6x^ - 6x" + 7x - 2 = O 
Resolución:
2x* - Yx" + 6x' - 6x" + 7x - 2 = O 
Recordar que para toda ecuación recíproca de gra­
do impar, una raíz es 1 o - 1.
En nuestro caso, x = 1 es una raíz.
2 -7 6 -6 7 i -2
X = 1 2 -5 1 -5 i 2
2 -5 1 -5 2 1 0
Las otras raíces se obtienen de:
2x" - 5x ̂+ x" - 5x + 2 = O 
Factorizando: (2x ̂+ x + 2)(x^ - 3x + 1) = O 
Las raices no reales de la ecuación inicial, se ob­
tendrán de 2x" + x + 2 = O, pues A = -1 5 < O
La suma de raíces no reales será:
28. Resolver ia ecuación: = 1 + J -2 + -/X
í ^ - 2
indicar la suma de las cifras de la solución. 
Resolución:
Nótese que' ix —2 > 0 a x > O 
De donde: CVA : x > 4
aLuego;
/ x ^ 
fx = i lx - 2 ■¥ ix - 2 
^ 2 = i f x - 2 -, = 6
,-. Suma de cifras; 9.
X = 36 (X € CVA)
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29. S i X > - 1 , c a l c u l a r l a s u m a d e l a s s o l u c i o n e s r e a ­
l e s d e l a e c u a c i ó n :
v x T í - /F n
Resolución:
C o m o X > - 1 , p o r V x + 1 :
V x ' + 8 x + V ( x + 1 ) ( x + 7 ) = 7 
h ^ + Q x + V x ^ + B x + 7 = 7
S e a V x ^ + S x = a , e n t o n c e s t a e c u a c i ó n q u e d a r á 
a s i :
a + -¡â + 7 - 7 => ■iâ + T - 7 - a 
^ a " + 7 = 4 9 - 1 4 a + a ^ ^ a = 3
L u e g o : - / x ^ + 8x = 3
= . x ^ + 8x - 9 = O = > x , = 1 : X 2 = - 9
P e r o X > - 1 , p o r f o t a n t o : x = 1
30. D a d o e l s i s t e m a :
[ x ^ + y " - 1 5 2
x ^ y + x / = 120 
d e t e r m i n a r l a s u m a d e t o d a s l a s s o l u c i o n e s p a r a x e y
Resolución:
í x ^ + y ^ = 1 5 2 . . . ( 1 )
\ x y ( x + y ) = 120 . . . ( 2)
( 1 ) + 3 ( 2 ) : x ^ + y ' + 3 x y ( x + y ) = 1 5 2 + 3 6 0
- ( x + y ) ^ = 5 1 2
= ■ x - t - y = 8; x + y = 8w ; x - h y = 8( o ^
1 y r
D o n d e : co = - ^ + - ^ i
• x + y = 8 = » E n ( 2 ) : x y = 1 5
^ ( x ; y ) = ( 5 ; 3 ) v ( x ; y ) = ( 3 ; 5 )
• X -1- y = 80Ì = ■ E n ( 2 ) : x y = 1 5 w ^
= » ( x ; y ) = ( 5 ( . o ; 3 < a ) ; ( x ; y ) = ( 3 u ) ; 5 c i> )
• X - I - y = 8( 0̂ = * E n ( 2 ) : x y = 1 5 c ú
^ ( x ; y ) = ( 5 c o ' ; 3 r o ' ) ; ( x : y ) = ( 3 c o ' ; 5 c o ' )
L a s u m a d e t o d a s l a s s o l u c i o n e s p a r a x e y e s i g u a l
a O ,
E l p r o b l e m a d e b e r í a s e ñ a l a r s o l o a l a s s o l u c i o n e s 
r e a l e s d e l s i s t e m a e n e s e c a s o , s u m a ; 1 6
31. D e t e r m i n e e l p r o d u c t o d e l a s r a í c e s d e l a e c u a c i ó n : 
x ^ - a x ^ + 2 a x - b = 0 ; a > O , s a b i e n d o q u e s u CS
= { x , ; X 2; X 3} , x ^ + x \ + x 3̂ = 2 1 y X 2 = 2 x , # O
Resolución:
D e x ^ - a x ^ 4- 2 a x- b = 0 : a > O 
X , + x ^ + X 3 = a . . . ( 1 )
x , x 2 -H X 1X 3 + X 2X 3 = 2 a . . . ( 2 )
x , x j x , = b = ■?
E l e v o ( 1 ) a l c u a d r a d o :
X? X2 + X3 -1- 2(x,X2 -i- X1X3+ x ^ ) =
2 1 2a
D e a q u í : - 4 a - 2 1 = O
( a - 7 ) ( a + 3 ) = 0 = a = 7 v a = - 3
S i : a = 7 y X 2 = 2 x ,
E n ( 1 ) : 3x, + Xj = T :=> X3 = 7 - 3x, 
E n ( 2 ) : 2x + x^xj + 2x,x3 = 1 4 
= » 2 x , ^ + S x . x j = 1 4 V 2 x , ^ + 3 x i ( 7 3 x , ) = 1 4
De aquí: x, ̂ - 3x, + 2 = O
(X, ~ 2)(x, - 1) = O ^ X, = 2 V X, =1
Si; X, = 2 Xj = 4 A X3 = 1
Si; X, = 1 => Xj = 2 A X3 = 4
Observar que en cualquiera de los casos: XiXsX, = 8
32. Dado el polinomio; P(x) = + 3x ̂ - 9, si
P(m) = P(n) = P(r) = 0 . Determine el valor de:
P (JIL + _íL + _ ^ )
'm r mr mn'
Resolución:
P(x) = x ' + 3x̂ - 9 ...(I)
Si: P(m) = P(n) = P(r) = O 
m, n y r son raices de P(x)
Luego; m + n + r = - 3 ...(1)
mn + mr -1- nr = O ...(2)
mnr = 9 ...(3)
Piden; RíHl + JL + _ L , . p (m l± n l± l! )
'n r mr mn' ' mnr /
(1)̂ ; m̂ + n̂ + r̂ + 2(mn + mr -*• nr) = 9
=• m ̂-(- n̂ + r̂ = 9
=̂ Lo que nos piden es; P(x) = P(1)
En (I); P(1) = 1 + 3 - 9 = -5
33. Sea P una función polinomial mónica de grado 5; 
además; P(1) = 3, P(2) = 5, P(3) = 7, P(4) = 9, 
P(5) = 11, si G(x) = P(x) - 2x - 1, determine el 
número de raíces reales de G(x) = O
Resolución:
P(x) es de 5.° grado; donde:
P(1) = 3; P(2) = 5; P(3) = 7; P{4) = 9 y P(5) = 11 
Como G(x) = P(x) - 2x - 1 ..,(1)
^ G(x) también es de grado 5
En (I), vemos que;
G(1) = P(1) - 2 - 1 ^ G(1) = O
T "
En forma similar, se tiene;
G(2) = G(3) = G(4) = G(5) = O
1; 2; 3; 4 y 5 son raíces de G(x) = O
34. Halle ia suma de soluciones de;
Hx + 1 - = x=V2
Resolución:
^ V x + 1 + V - 1 - X = x W a l c u b o 
( x + 1 ) + (X - 1 ) + 3 V x ' - 1 x = / 2 = 2 x ' 
3 ^ ^ 2 ( X ^ - D x = 2 ( x ^ - 1 ) ^ X = O 
V 3 V 2 ( x ^ - 1 ) = 2 ( x ' - 1 )
S e a : 2 ( x " - 1 ) = t ^ ^ 3 t = 1^
= t = 0 V t = V 3 V t = - / 3
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x = 0 V x = ±1 V x = 
La suma es O
±J|V3 + 1
35. Si X,. X2 y X3 son raíces de la ecuación: 
x^+8x -24=0, hallar el valor de: x, + x® + x®
Resolución:
De: x̂ + 8x - 24 = O
Por Cardano y Viete: x, + X2 + Xj = O
Por productos notables se cumple:
X ® + X 2 + X 3 = - 5 ( x , + X j + x j ) ( x , x 2 + X , X 3 + X 2X 3) 
De la ecuación, por Cardano:
X1X2X3 = 24: x,xj + X,X3 + X2X3 = 8 
xf + x ̂+ x ̂ = -5{24)(8) = - 9 6 0
36. Siendo a, b y c las raices de la ecuación:
x̂ + x + 3 = O, determine el valor de: T = â + b̂ + ĉ
Resolución:
Como a, b, c son raíces de: x® + x + 3 = O 
Por Cardano y Viete: 
a + b + c = 0 y abe = -3
Por productos notables se sabe que: 
a + b + c = O 
=» â + b̂ + ĉ = 3abc
En lo pedido: T = 3abc T = 3{-3) = -9
37. Si: X,, X2 y X3 son las raices de la ecuación: 
2x ̂- 6x" + 8x - 5 = O, calcule el valor de;
E = 2(x, + X2 + X3)/5
Resolución:
2x' - 6x' + 8x - 5 = O 
X, es raíz de la ecuación
^ 2x? - 6xf + Bx, - 5 = O =í 2x,(x? - 3x, + 4) = 5
En forma similar para las raíces X2 y Xj, se tiene: 
Sumando las igualdades se tiene:
2(x, + X2 + Xj)
E =
Pero: x, + Xj + Xj = 3
38. Determine el valorde"a", si se sabeque las raíces de 
la ecuación 4x‘‘ - 28x^ + (2a + 5) x̂ - 14x - a = O 
satisfacen la relación:
Resolución:
Efectuando en lo pedido:
^ + - L , _ L ^ _ L ^ 1
X ,X , X ^ X . X iX , x ,x
 ^ _ L = _ 5 3 - s
1̂ 4 X2X3 X2X4 24
Pero de la ecuación:
4x^ - 28x ̂+ {2a + 5)x ̂- 14x - a = O
X,Xj + X,X̂ + ... + XjX, =
a 
4
2a + 5/4 53 2a + 5 53
-a/4 24 ^ a 24
X1X2X3X4 = - ̂
En .. a = 24
39. Si: a; b; c son las raíces de la ecuación:
2x ̂+ x" - 3x + 2 = 0; determine el valor de: 
p _ c + b + a 
abe
Resolución:
Si a, b, c son raíces de: 2x ̂+ x̂ - 3x + 2 = O 
Por Cardano y Viete: 
a + b + e = - 1 A abe = -1
Nos piden: E = c + b + a E = - 1/2 E = 1/2abe - 1
40. Sí se cumple que: (2 + Í 3 f + { 2 - ■ÍZf = 727\ 
x # 0. Calcular: P = - / 3 f [ l + (2 + Í 3 j ]
Resolución:
Sea (2 + i 3 f = â
A
Racionalizando: —r = ( 2 - ‘¡3 f 
a
Reemplazando en ta condición
a" + J - = 727 
a
a +11 - 729
a + —r = 27: pero piden:
a ‘‘
41. Calcule el valor de x que satisface la siguiente 
igualdad: V7 + 7x + V7 - Jx = 2
Resolución:
CVA: X > O
Elevando al cubo miembro a miembro:
7 + - f x + 7 - ' íx + 3V49-x(V7 + /x + V7 - 7x ) = 2®
=> 14 + 6V49 - X = 8 = V49 - X = -1 
.'. X = 50
42. Respecto a la ecuación fraccionaria:
1 = 4 - IOx -23
2x - 3 2x^ 3x 2x" - 3x
Indicar el valor de verdad de las afirmaciones 
I. Su conjunto solución es {0; 3/2}
II- Su conjunto solución es {1/4; 3/2}
III. Es indeterminada
IV. Es incompatible
Resolución:
Antes de resolver la ecuación se debe tener en 
cuenta que: x O a x 3/2 
Ahora resolvemos la ecuación:
x ̂ 5 + x ^ 8x^~ 12x- 10x 4- 23
2x" - 3x 2x" - 3x 2x" - 3x
De donde:
(2x - 3)̂ = O => X = 3/2, lo cual no puede ser.
La ecuación es incompatible 
FFFV
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