Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (88)

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impar, el sentido de la desigualdad no se altera. Es 
decir:
Si:
a > b
n e r
a'"*' > b'
V
8. Si a los dos miembros de una desigualdad de tér­
minos negativos se eleva a un exponente par, el 
signo de la desigualdad se invierte, es decir:
V a; b e E*
• Si a > b ^ a "̂ < b̂ "
• Si a < b ^ a "̂ > b'"
9. Si a E IR, tal que: a O => â > O
10. Si a; b e E y son del mismo signo, entonces: 
a > b 1_ > 2
a b
1̂ <
a b
<4 INECUACIONES 
Inecuaciones de iKimer grado con una incógnita
Son todas aquellas inecuaciones que al reducirse 
adoptan las fonmas:
ax + b > 0 V ax + b < 0 
ax + b > 0 V ax + b <0
x: es la incógnita y a ; b G E A a ^ O 
Ejemplos:
1. Resolver el sistema 
2x - 3 3x - 1
4 2
5x - 3 8x - 1
> 1 
< - 1
...(a)
,..{p)3 4
Resolución:
Resolviendo cada inecuación.
De (a): MCM(4; 2; 1) = 4 
2 x - 3 - 2 ( 3 x - 1 ) > 4 
2 x - 3 - 6 x + 2 > 4 => -4 x > 5
• X < - —,. x _ ^
De (3): MCM(3;4; 1)= 12 
4 (5x - 3) - 3(8x - 1)< -12 
20x - 12 - 24x + 3 < -12 -4 x < -3
• X> 1 .. X - 4
En la recta real: 
< ...................
-O O ¿4 4
+ 00
Como no hay intersección de las soluciones de
(a)y(p) ^ [ x é 3
2. Resolver; ax + b > 0; a, b G E*
Resolución:
Resolver una inecuación de este tipo es similar a 
resolver una ecuación de primer grado, solo hay 
que tener en cuenta las propiedades generales de 
las desigualdades.
Transponiendo b al segundo miembro: ax > -b 
Dado que a e E^, es decir: a > 0 = » x > - - ^ 
Graficando en la recta real:
Vemos que x e
oa
3. Resolver: ^ < ^̂ 775-̂
Resolución:
Siendo MCM(2; 3; 12) = 12 un número positivo, el 
signo de la desigualdad no se altera al efectuar las 
operaciones indicadas.
6(3x - 2) - 4(5x - 3) < x - 1 
18x - 12 - 20x + 12 < X - 1
-2 x < X - 1 » -3 x < -1
Multiplicando por (-1 ), obtenemos: 3x > 1
Resolver:
(X + 1 f + (X - I f + (X - 2 )'< 3(x+ 1)(x - 1) 
Resolución:
Efectuando las operaciones indicadas obtene­
mos:
x̂ + 2x + 1 + x̂ - 2x + 1 + x̂ - 4x + 4 < 3x ̂- 3 
Simplificando:
3x' - 4x + 6 < 3x ̂- 3 ^ -4 x < -9
Q
Multiplicando por {*-1):4x>9 x > ^
Gráficamente;
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Inecuaciones simultáneas del prim er grado
En la resolución de inecuaciones simultáneas con dos 
incógnitas podemos aplicar cualquiera de las siguientes 
reglas.
1.° Se toman dos inecuaciones de sentido contrario 
despejando en cada una de ellas la misma incóg­
nita, luego esta incógnita se elimina aplicando el 
principio de transitividad.
2.* Se puede eliminar una incógnita restando dos
inecuaciones de sentido contrario, fiabiendo ho-
mogenizado previamente los coeficientes de la in­
cógnita que se quiere eliminar.
Por ejemplo: si x e y son cantidades enteras y positivas, 
calcular {x ̂+ y )̂, al resolver el sistema:
5 x - 3 y > 2 .,.(1)
2x + y < 11 ...(2)
y > 3 ...(3)
Resolución:
Multiplicando la inecuación (1) por2 y la inecuación (2)
por 5, obtenemos:
lOx - 6y > 4 ,..{a)
10x + 5 y < 5 5 ...(p)
Restando miembro a miembro {a) y (P): 
lOx - 6y - lOx - 5y > 4 - 55
-11y > -51 =» y §1
11
51Dado que. 3 < y < -^ y = 4
Reemplazando y = 4 en el sistema:
5x -3 y > 2 =í> X > 2,8 
2x+ y < 11 => X < 3,5 
Aquí observamos que: x = 3 
x' + ŷ = 3" + 4 ̂= 25
Inecuaciones de segundo grado
Son todas aquellas inecuaciones que al reducirse 
adopta ta forma canónica;
ax ̂+ bx + c > 0 V ax ̂+ bx + c < 0
ax ̂+ bx + c > 0 V ax ̂+ bx + c < 0
Donde x es la incógnita; a, b, c e IR / a O 
Solución por el método del discriminante: A = b̂ - 4ac
a > O
Caso 1 Caso II
ax ̂+ be + c < 0 ax ̂+ bx + c > 0
A = b - 4ac
a > 0 x e ( x , ; X 2)
A = 0 X e 4»
A < 0 X e (j)
X e ( - o o ; X , ) u ( x ¿ : + o o )
X G IR - {X, = Xa}
X 6 IR V X € (-coj +co)
.. _ - b - / A 
 2 T ~
- b + / a 
2a (X, < Xj)
a > O
Caso
ax ̂+ bx + c < O
Caso IV
ax ̂+ bx + c > O
A = b - 4ac
A > 0 XGfx,;x,l X G ( - 00; X,) u (x,; + 00)
A = 0 X = X. = X. X £ IR
A < 0 X X e IR
- b - ¡A . ^ ^ - b + ÍA 1 Y Y \ 
X, 2a ■ ̂ 2a
Inecuaciones de ^a d o superior
Son aquellas inecuaciones que al ser reducidas adop­
tan cualquiera de las siguientes formas;
aoX" + a^x"' + , • + > 0
aox" + aiX"’ + . , + a „ > 0
3oX" + aiX"’ + . • + ar, < 0
aox" + a^x"” + . • + a„ < 0
Donde x es la Incógnita y n e IN / n > 3
Además: {aj,; a,; a {,...; aJ g E / Bq O
Solución por el método de los puntos críticos.
Pasos que deben efectuarse:
1.° Verificar que 9o ^
2° Todos los términos de la inecuación deben estaren 
el primer miembro.
3.° Se factoríza la expresión del primer miembro.
4.° Cada factor se iguala a cero, obteniendo los pun­
tos de ente, que son los valores que asume la in­
cógnita.
5.° Se llevan los puntos de corte en forma ordenada a 
la recta numérica.
6.* Cada zona determinada por dos puntos de corte 
consecutivos, se señalan alternadamente de de­
recha a izquierda con signos (+) a (- ). Se inicia 
siempre con el signo más.
7.° Si la inecuación es de la forma:
P(x) > O V P(x) > 0. con el coeficiente principal po­
sitivo, el intervalo solución está representado por 
las zonas (+).
8.° Si la inecuación es de ta forma:
P(x) < O V P(x) < O, con el coeficiente principal po­
sitivo, el intervalo solución está representado por 
las zonas (-).
E s t e m é t o d o t a m b i é r \ e s a p l i c a b l e p a r a i n e c u a c i o n e s 
d e s e g u n d o g r a d o .
Por ejemplo, resolver; x ̂- 6x ̂ + 11x - 6 > O 
Resolución:
Factorizando por divisores binomios se obtiene;
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(X - 1)(x - 2)(x - 3) > O PC
x= 1 
x= 2 
x= 3
Llevando los puntos de corte (PC) a la recta real; ten­
dríamos que el conjunto solución es: x e [1: 2 ] u (3; +»)
Inecuación fracc iona ria
Es aquella inecuación que se caracteriza, porque la 
variable está presente en el denominador de cualquier 
expresión que forma parte de la inecuación:
Por ejemplo: resolver: 2L tJ < ^ ~ ] x - 1 x+ 1
Resolución:
Garantizar la definición de las expresiones con: x {1; -1 } 
x + 1 x - 1Operaciones:
4 x
(x+ 1)(x- 1)
x - 1 X + 1 " °
< o ^ (x + 1 )(x - 1 )x < O
h m
- 1 o 1
CS: (—^; - 1 ] u [0; 1]
Inecuaciones irrac iona les
Son aquellas inecuaciones cuyas incógnitas se en­
cuentran afectadas por radicales o exponentes frac­
cionarios. De otro lado como las inecuaciones solo se 
verifican en el campo de los números reales, se cumple 
el siguiente principio fundamental.
P rinc ip io fundam ental
En toda inecuación irracional de índice par, las cantida­
des subradicales deben ser mayores o iguales a cero 
y esto nos determina el universo dentro del cual se re­
suelve la inecuación dada.
Dada la inecuación: '^7W+ <0 ; n e r
La inecuación se resuelve para valores que estén com­
prendidas dentro de las soluciones de: f(x) > 0.
Existen diversos casos de inecuaciones irracionales 
presentaremos algunos de ellos y su forma de resol­
verlos.
Ejemplos
1. Resolver: J-jT- 3 + x~ > O 
Resoiución:
El conjunto solución a esta inecuación está de­
terminado por la intersección de los universos de 
cada radical, es decir:
U , : x - 3 > 0 =>x>3 
U 2 : 8 - x > 0 
^ CS: U, o U2
+ 30
X e [3; 8]
2. Resolver: + 3 + / x - 2 < 5
Resoluciór):
Determinación del universo:
x + 3 > 0 h x - 2 > 0 
X > - 3 A X > 2
-oc -3 O 2 H
Universo: x e [2; +co)
Pasando un radical al segundo miembro.
7 x i3 < 5 -
Elevando al cuadrado los dos miembros de la 
inecuación:
x + 3 <25 - 1 0 7 x ^ + X - 2 
<20 = » / x ^ < 2 
Elevando al cuadrado: x - 2 < 4 =» x< 6 
Interceptando con el universo:
+ 0 0
X G [ 2 ; 6 ]
Algunas inecuaciones irracionales de índice par se 
transforman en sistemas, como las que mostramos a 
continuación;
a) Si; 2"/f(x) < (x~), entonces: 
f(x) > O A f(x) < g(x)
b) Si: '̂’./f(x) < '̂'^g(x), entonces. 
í(x) > O A f(x) < g(x)
c) Si: '̂’Vf(x) > 2'"Vg(x), entonces: 
g(x) 2 O A f(x) > g{x)
d) Si: 2f>/f(x) > 2ijg(xy, entonces: 
f(x) > O A f(x) > g(x)
Por ejemplo: resolver, 16 - > V16- x
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Resolución:
Para este caso, se cumple: 
1 6 - x > 0...(1)
16 - ^ > 1 6 - x ..,(2)
De (1): 1 6 - x > 0 ^ x < 1 6 
x e ( - ^ ; 1 6 ] ...(a)
De (2): 16 - ^ > 16 - X 
x̂
x ' - 1> O
Factorizando el numerador:
(x-1)(x^ + x+1) ^
x̂
Graficando en la recta real:
PC
N: x = 1 
D: X = O
+ 3C
X C [1; ...((3)
Interceptando (a) y {|3) obtenemos la solución final.
- X O 1
X € [1; 16]
16 + C C
«G R A FIC A DE DESIGUALDADES CON DOS 
VARIABLES
Sabemos que la ecuación general de una recta es 
ax + by + c = O, la cual es una ecuación algebraica con 
2 variables. La solución de esta ecuación esta dada por 
el conjunto de pares ordenados (x; y) que satisfacen la 
ecuación dada.
Geométricamente la gráfica de estos pares ordenados 
es un conjunto de puntos a la cual se le conoce como 
línea recta.
Si c = O, se dice que la recta ax + by = O pasa por 
el origen de coordenadas.
Si c O , ia recta ax + by + c = O no pasa por el 
origen de coordenadas.
Los conjuntos solución de ambas ecuaciones son 
de la forma:
{(x; y ) e IR̂ / ax + by = 0} para el primer caso, y 
{(x; y) fc / ax + by + c= 0} para el segundo caso.
Algunas rectas cuyas gráficas debemos tener pre­
sente son:
Inecuaciones lineales en dos variables
También llamadas inecuaciones con línea recta, son 
expresiones de la forma:
ax + by + c <' O v ax + by + c < O 
ax + by + c > O v ax + by + c > O
E! conjunto solución de alguna de estas inecuaciones 
lineales esta dada por el conjunto de pares ordenados 
(x; y), tal que se satisface la condición de la inecuación 
elegida.
¿Cómo se determina este conjunto solución? 
Demostración;
a. Partimos de la ecuación:
ax + by + c = 0; b > O 
Geométricamente la gráfica de esta ecuación, que 
se llama recta, divide al plano en dos regiones 
R, y Rj, tal como aparece en el gráfico adjunto.
b. ¿Cuándo decimos que un punto P(x; y) pertenece 
a la región R, o a la región R2?
Sea Q un punto perteneciente a la recta, de modo 
que tenga ia misma abscisa x que P, luego Q es de 
la forma;
Como P y Q están sobre la misma recta vertical, 
tenemos:
• Si P esta por encima de Q, entonces la ordena­
da de P es mayor que la de Q. 
ax - cEs decir: y > by > - ax - c 
{ya que b > ü)ax + by + c > O 
En cuyo caso P(x; y) pertenece al región R, y 
satisface la inecuación: ax + by + c > O 
Sí P esta por debajo de Q, entonces (al ordena­
da de P es menor que la de Q, es decir;
-a x - c b y < — ax — c
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