Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (105)

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Sucesiones
y
Seríes ü
J o h a n n P e te r G u s ta v L e je u n e 
D irich le i n a c ió e n D ü ren . a c tu a l 
A le m a n ia , e l 15 d e fe b re ro d e 
1805 y m u r ió e n Q o tin g a , a c tu a l 
A le m a n ia , e l 5 d e m a y o d e 1859.
F u e e d u c a d o e n A le m a n ia y d e s ­
p u é s e n F ra n c ia , d o n d e a p re n d ió 
d e lo s m á s r e n o m b ra d o s m a te ­
m á t ic o s d e l t ie m p o , r e la c io n á n ­
d o se c o n a lg u n o s c o m o F o u r ie r 
S u s m é to d o s p ro p o r c io n a ro n 
u n a p e r s p e c tiv a c o m p le ta m e n te 
n u e v a y su s re s u lta d o s se e n c u e n ­
tr a n e n tr e los m á s im p o r ta n te s 
d e ías m a te m á t ic a s . A d e m á s , se 
le a tr ib u y e la d e f in ic ió n «form al» 
m o d e r n a d e u n a fu n c ió n .
D iric h le t c r e ó u n a p a r te n u e v a 
e n la s m a te m á t ic a s , la a p lic a c ió n 
d e ía s se r ie s in f in ita s q u e F o u r ie r \ 
h a b ía in t ro d u c id o e n la te o r ía 
d e l c a lo r e n la e x p lo ra c ió n d e las 
p ro p ie d a d e s d e lo s n ú m e r o s p rim o s . S u p r im e ra p u b lic a c ió n c o m p r e n d ió u n a d e m o s tr a c ió n 
p a r t ic u la r d e l te o r e m a d e F e rm a t, p a r a e l c a s o n = 5. q u e ta m b ié n fu e c o m p le ta d o p o r A d rien - 
M arie L e g e n d re , u n o d e s u s rev iso re s . D ir ic h le t g o z ó d e u n a b u e n a re p u ta c ió n e n tr e su s e s tu ­
d ia n te s , d e b id o a la c la r id a d d e su s e x p lic a c io n e s y d is f ru tó d e la e n s e ñ a n z a . A d e m á s , c o n s ig u ió 
in t ro d u c ir e l c á lc u lo in te g ra l y d ife re n c ia l e n e l p ia n d e e s tu d io s d e la A c a d e m ia M ilita r e le v a n ­
d o s ig n if ic a tiv a m e n te e l n iv e l d e la e d u c a c ió n c ie n tíf ic a .
F u en te ; W ib ip ed ia
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-<1 SUCESIONES
Una sucesión es una función cuyo dominio es el con­
junto de los números enteros positivos y su rango cual­
quier subconjunto de ios números reales.
Notación
Sea a la sucesión, luego a: TL’ E; donde n e Z' A 
a(n) e IR, a(n) es un elemento de la sucesión cuya re­
presentación es {a„}. Si la sucesión a admite infinitos 
términos se le representa así { a j „ - ,
Sucesión constante
(a^ en una sucesión constante si y solo si; a„ = k; v n e 
Sucesiones monótonas
La sucesión {a j es monótona si verifica uno de los si­
guientes casos:
1. Es creciente: a„.i>a„; v nsZ' '
2. Es decreciente:
3. Es No creciente,
4. Es No decreciente
a^^i<a„; v neZ'
a , „ < a „ ; v n e r
a„^,>a„; v neZ "
Sucesiones acotadas
Acotada inferiormente; la sucesión {a j es acotada 
inferiormente, si existe L,e K, tal que: L, < a„: v n e .
Acotada superiormente: La sucesión {a„} es acotada 
superiormente sí existe LjS E: tal que: â ¿ Lj; v n e TL*.
Sucesión acotada: si la sucesión (a j es acotada supe- 
riormente e inferiormente, diremos que es una sucesión 
acotada.
U m íte de una sucesión
Una sucesión {â } tiene por límite al número real L, si 
cuando n tiende al infinito (n OC ) simultáneamente â 
tiende a L (a„ — L) .
Si la sucesión {a„} tiene limite, se dice que es conver­
gente y converge a dicho límite.
i S i m — ^
Si; l ima.s+co o tamt}ién cuando 
jim a„ = - oc 
diremos que la sucesión es divergente.
Prueba de ia razón para conve i^encia de su­
cesiones
Sea {a„} una sucesión de números reales.
Si: lim 1, entonces: lim a„ = O 
Por lo tanto, la sucesión {a„} es convergente.
P B B i l
1. Toda sucesión monótona y acotada es 
gente.
2. Toda sucesión moriótona convergente es acó-' 
tada. -
1. De ta dada la sucesi^ c(»wer« ’
gente {a J.
Si: lim a. = L
entonces: Hm a,+ a2+a3 + ...â
n
2. De la media geométrica; dada la s u c e ^^ coi^ 
vetéente {a j
Si; lim a„ = L
ent«K»8'. Hm("íai.a2.aj....a„)=.L
3. Etel encaje; dada las ^ces io r^ (aj. 
tal que: a„ < b„ < c„
enlOTices; lim b„ = L
siempre que; lim a„ = lim c„ = L
<4 SERIES
Una serie es la suma de los elementos de una sucesión. 
Sea la sucesión:
{a„} n > 1, luego: a, + 83 -h a, -h ... + a„ + ...
es la serie infinita que consensualmente se le repre­
senta asi:
a, ^ a, + a¿ + 83 + .
r»-1
, + a, + . . .
donde: a„ es el enésimo término de la serie.
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Convergencia y divergencia de seríes
1, La serie infinita ^ 3p es convergente cuando la
r̂ 1
suma de sus n primeros términos no excede a al­
guna cantidad finita por grande que sea n (n ^ tc),
2. La serie infinita ^ â , es divergente cuando la
suma de sus n primeros términos es mayor que 
cualquier cantidad finita considerando n suficiente­
mente grande (n cc).
Dadas las series convergente ^ a„ y b„ con su-
n=l r»l
mas a y b, respectivamente, y c e IR.
1. ¿ (a„ ± b„) es convergente y convelle a; a ± b,
fí-\
2. ^ (ca„) es convergente y converge a: ca.
Si ia serie; ¿ a„ = a, + 82 + 83 + ... + a„ -t-...
n - 1
es convergente, entonces: !im (an) = O 
lim (a„) + O, entonces la serie; ^ a„ es divergente.
" n = 1
C rite rios de convergencia
De comparación directa: dada ia serie infinita ^ a„ 
de términos positivos.
• Si la serie infinita ¿ b„ de términos positivos es 
convergente, siendo a„ < b„; v n e 2', entonces
Y, a„ es convergente.
n _ 1
• Si la serie infinita ^ b„ de términos positivos es
n _ 1
divergente, siendo a„ > b„; v n e entonces 
^ a„ es divergente.
n 1.1
De la razón: dada la serie ^ a„ de términos positivos,
n = 1
luego consideremos que: lim( j entonces:
• Si: k 1, entonces, ^ a„ es convergente.
• Si; k ■> 1, entonces, ^ a„ es divergente o también
n - 1
cuando: k = + x o k = -cc
Se k = 1 el criterio no decide.
De la raíz: dada la serie ^ a„ de términos positivos,
n = 1
luego consideremos que: lim = k
n-ct
Entonces;
a) Si: k < 1, ia serie es convergente
b) Si: k > 1, la serie es divergente.
c) Si; k = 1, el criterio no decide.
Series notables 
Serie armónica
n _ 1
es divergente.
Serie geométrica:
^ (ar^"'') = a + ar + ar̂ + ... + ar""'' + ....
n = 1
Si: | r | 1, la serie es convergente.
|r| > 1, la serie es divergente.
S = 1 + 2 + 3 + ... + n 
r. n{n + 1)
^ 2
S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) 
S = n'
S = 2 + 4 + 6 + ... + 2n 
S = n(n + 1)
S - f + 2' + 3' + ... + n̂
n(n + 1)(2n+l)S ----------------------
S = 1̂ + 2’ + 3̂ + ... + 
n(n + l ) fS =
S = 1(2) + 2(3)+ 3(4) n(n + 1)
S = n(n + 1)(n 1- 2)
¿ ax = a, + 82 + 3j + ... + 
A n(n + 1)(2n + 1)
i =
6
n ( n + 1 ) ?
£ c = nc 
¿ (a« ± b.) = ¿ a, ± b.
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E jemplos:
1. Indique cuál(es) de los siguientes enunciados son 
correctos.
). Si {a.} / a„ = y — entonces {a }̂ es decre-
k=i + k
ciente y acotada.
II. Si {a.} es tal que a, = - ^ + ,-~l + ... + - i
Vn Vn + 1 V2n
entonces {a„} es decreciente.
III. Si {a j es una sucesión creciente y acotada, en­
tonces {a j es convergente.
Resolución;
- - _ 1
n + 1+ - 1 - + - L +n + 2 n + 3 2n
Como a, < a{, con esto, es suficiente para afir­
mar que (â } no es decreciente =» (1) es F.
1 + 1
=» Sn+l =
/ñ Vñ+1 
1
+ ... +
1
VrT+1 
1a„ - a.^, = -¿r
Vn + 2 
1
1
V2n + 2
1
■íñ \ V2rT+l V2n + 2
1 ^^F¡T2 + V 2 frn
Jñ 72rmV2?r+2 
Racionalizando;
1 1a„ - a.., = -==-
/ñ (V2ñ+í/2ñ+2)(72ñ+2-V2r^
Observar que el 2.“ miembro es (+), entonces; 
3n - a„_, > o => â >3n-l 
{a j es decreciente =» (ll)esV 
• Por teoría, (111) es V 
Son correctos: (II) y (III)
1 , »%n- t
2. Si; j, es una sucesión tal que a„ = --p ~*~~3 
entonces la sucesión converge a: 2 + 3
Resolución:
g ^ r(2 ) + 3"(3)-^
2" + 3"(3)^
Extraemos 3" del numerador y denominador; que­
dará asi:
Aquí; lim a„ =
lim a.
3"
3"
2 limn-S'( f í - i
lim f|V + 27
±
810 + 27 
{a„} converge a 1/81
3. A qué valor converge la siguiente sucesión: 
Resolución:
a, = ( l Í H
32 = ( l í - h i
33 = ( i r -
—K S
n+ 1/
Aquí; lim a„ = Nm(l +
lim 1 + 1
n +1 
1
n + 1
1 + n + 1lim 1 + .
n+1-:c \ n + 1
lim 1 + n + 1
conocido 
Recuerde: l i m ^ 1 + l j = e
Aplicando: lim a„ = e x i = e 
La sucesión converge a e
Se define la sucesión. S. por; S = 
cesión, converge al valor de: 
Resolución:
Seaa„ =
n - 1
n+1 ; la su-
n+ 1 
(n + 1 ) -2
n + 1
Luego: lim a,, =
lim a„ =
1 + - 2 l, n + 1
lim (1 +
n + 1
- 2 \" 
n + 1
1 + - 2 ̂
n + 1 )
lim/l +
= e’ S converge a e’ ^
k" + 1 +20 , , i
5. Determinarelvalordelasumaftnita; >
k + k
Resolución;
,2,1.2
=k^ +
+ k + k
1
Sea: S = X(k^ + 1
k(k+ 1)
20
k(k + 1) 
1
r, k(k + i)
Por partes:
• S, = y + 2̂ + 3" + ■- + 20f =
S, Ss
2 0 x 2 1 X 41
Conocido = 2870
1
1 x 2 2 x 3 ' 3 x 4
+ ... + 1
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