Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (107)

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y y ___ _̂__
¿ ( k - D r ^ - i í k - D !
1 + - 2 + 1 
1! 2! 3!* y J i ^ = o + l + - 2 + l + i - + .. é ( k - 1 ) ! + - + +4!
= I
1
S = 2{e + e} = e
16. Determinar la suma de la serie: Z ’̂ (2 
Resolución:
2 2'
X N N N
23 = 1 + 1 + 4 + 4 + 4 2 2̂ 2̂ 2
2 2̂ 2 2
S = S = 2
17. Dada la siguiente progresión aritmética:
a,; asi a ^ ..... a,o se puede determinar — , sabiendo
5̂
que la suma de los 10 primeros términos es el cuá­
druple de la suma de los 5 primeros términos.
Resolución;
a,: aji a j i ...; a,o
S,, = 4S,. s „ - ( i i ^ ) n
(5)
a, + a, = a, + as 
Si r es la razón de PA
a,a = a, + 2as
=> a, + 9r = a, + 2a, + 2(4r) => 2a, = r => a, = ^ 
=» a„ = a, + (n - 1)r = -̂ + (n - 1)r
-a „ = - ^ ( 2 n - 1 )
as ^(9) ^
100 -|
18. Determinar el valor de: T =
Resolución:
100
T = Z
1
= Z
n = i4 n "- 1 
1
. ^ i 4 n ^ - 1 . ^ , ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )
1 'O 1 100 1
2 ,^ ,(2 n -1 ) (2 n + 1 ) 2 , f , l 2 n - 1 2n+1/
T = I 1 1
2 \2 x 1 -1 2x100+1,
■ t ^ 1 ( 1 - - L U 1 ^
• 2\ 200/ 201
(Por la propiedad 
telescópica)
19. Determinar el valor de convergencia de la sucesión: 
(n -1 )(n -2 )
,(n + 1)(n + 2) 
Resolución:
De la sucesión:
(n -1 )(n -2 )a„ - n - 1 \ /n - 2
{n + 1)(n + 2)
Desdoblando en cada paréntesis:
n + 1An + 2
a„ = (1 + 
a„ = íl+
n + 1 ,
- 2 \"-
(1 n + 2,
n + 1, [1 + [1+ n+2. '1+
Aquí; lim a„ = limi 1 - 2 '
n + 1, lím ( 1 +
n+2,
-2
n +
límíl n + 2 lim (1 + n + 2,
Si: n -• oo: • n + 1 
•n + 2
Recuerde: lim^l + ^ j = e''
Aplicando: lim a„ = e’ ̂ x 1 xe ’ “* x1 = e’®
La sucesión converge a: e ®
20. Calcular el valor de convergencia de la sucesión:
1̂ + 2 V . „ + n̂
Resolución:
1̂ + 2Sea; a„ =
(2n + 1 )'(3n-1)' 
3^+... + n'
(2n + 1)"(3n-1)'
n(n + 1) 2
2 n^{n+ 1)‘
(2n + 1)^(3n-1)2 4(2n + 1)^(3n - 1)‘
n (̂n + 1)̂Luego; lim a, = lim 
Recordar, si; 
f(x)^ +
4(2n + 1)"(3n- 1)‘
box'" + bix"' + ... f b„
donde: m = n (grados: 5)
=. lim f(x) = 5^ > coeficientes
*--« bo pnncipales
A ,• ̂ ,• (1)(1)Aplicando; nm a„ = ' ' ' ' _ 1
4(2)"(3)^ 144
.-. La sucesión converge a 1/144
21. Si {ajn, j, es una sucesión definida por 
11 . 111 . 1111{a.} = ,30’ 300’ 3000'
convergencia de la sucesión {a„} 
Resolución:
/ a > = j l l l l l i l l l -
^30’ 300’ 3000"
; determinar el valor de
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4 7 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c i a S a p i e n s 
De aqui:
a - - 1 0 ^ - 1 - 1/10 1 \
' 30 9 2 7 (1 0 ') 2 7 ( ^ io ^ )
a - 111;. 9 ^ 10^-1 _ 1 /iQ 1
300^9 27(10^) 271, 10‘
Desdoblamos en cada sumando:
 ̂ _ 1111 ^ 9 10 - 1 ^10- ^
3000 9 27(10^) 27\ 10'
Termino generai: ~
Luego: lim a = limflO — ^
^ 27r>-4 10"
= ¿ (1 0 -0 ) = ^ 
.-. {a„} converge a ^
22. Determinar el valor donde la sucesión es convergente.
I l i - M - M ' I i
1 4 ’ 7 ' 12’ 19
Resolución:
Se tiene:
12
19
4(3) 4(1^ + 2)
4 1̂ + 3
4(6) 4 (2^+ 2)
7 2^+3
4(11) 4(3^ + 2)
12 3̂ + 3
4(18) 4 (4^+ 2)
19 4"+ 3
Termino generai: a„ = ^
+ 3 n̂ + 3
L u e g o : l im = l im i ® ^
n" + 3
lim = 4
La sucesión converge a 4.
50 ..
23. Determinare! valor de E = Y — ~—
4n^ - 1
Resolución:
50
Sea; S = ^ • 1
„'^,(2n-1)(2n + D 
Extendiendo:
S = 1 + 1 1
1x3 ' 3x5 5x7 99x101
Multiplico por 2:
2 S = 2 P . 2
1x3 ' 3x5 ' 5x7 ■■■ ' 99x101
+
Cancelando: 2S = 1 -
S = 50
101
101 2S =
99
100
101
101 ,
24. En la expresión siguiente encontrar el valor de la 
constante A.
S : | = A
k= 1 -i 
Resolución:
Hallemos: S = "t 
k = i 3
Extendiendo;
3 - 2n + 3
3''
3" 3' 3̂ n"
Multiplicamos por:
3 32 33 3 ̂ 3" 3-’ ^'
( l ) - n i y 2 S ^ l JL + J_+ +J___Q_3 3 + 32+ 33+ - + 3.
A d ic ió n de los té rm in o s d e una P G . 
de n té rm in o s d e razón = 1/3
...(1)
..(II)
2S
3
5 ) " - '
3 (̂3)
2S ^ .1 .3 (1 -3 - 
3 3 \-2 ) (3 '’) 3"(3)
00 - 3 (3 " -1) n
Multiplicando por 2; 4S = -̂ x 3 - 3 - 2n
3”
Desdoblando adecuadamente;
4S = 3 - 2n + 3 
3"
3 - 2n + 3
Identificando con el dato; A = 4 4
25. Sea {x j una sucesión, tal que: x, = 3 y 
_ 3(1 +X,)
3 + x„Xn.,= Detemiinar el valor de convergencia.
Resolución:
3 + 3 x ,
3 + X„
X, = 3
Si X, = 3 podemos afirmar usando la regla, que los 
términos de la sucesión son positivos.
Ahora, si asumimos que el valor de la convergen­
cia es L.
=> lím = L = lim x„
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3 + 3 lim x„ 
Luego; Nm̂ 3 + Í Í f i r
Reemplazando;
L = 3 + 3L 
3 + L 3L + L̂ - 3 + 3L L = /3
26. Si; X 3(k + 1 )(k + 2) = 83n, hallar n,
k =1
Resolución:
Tenga en cuenta que;
n (n + 1)(2n + 1)
2-K -■ e
k = 1 ^
Además; ¿ (a, + b j = ¿ a, = ¿ b,
k - l k=-1 k =1
Entonces, en la condición inicial: 
3 ¿ (k ' + 3k + 2) = 83n
H- 1
^ 3 ¿ k ^ + 9 ¿ k + ¿ 6 = 83n
k = i k - ' k _ l
3n{n + 1){2n t 1) 9n(n + 1) + 6n = 83n6 ' 2 
^ (n + 1)(n + 5) = 77 = 7 X 11 n = 6
27. Si f es una función, entonces indicar verdadero (V) 
o falso (F) en cada una de las siguientes proposi­
ciones:
I. X [f(k + 2) - í(k)] = f(n + 2) - f(n)
k . - í
II
X - 1 
X - 1III, I x " - ^ =
k_1
Resolución:
I, Falsa
z m + 2) - f(k)]
k = i
= "¿[f{k + 2) - f ( k + 1) + f ( k + 1)- f{k ) ]
V=1
= X [f(k + 2) - f(k + 1 ) + X If(k + 1 ) - f(k}]
K-1 k=1
= f(n + 3) - f(2) + f(n + 2) - f(1)
II, Falsa
 ̂ . k - 1X X" ’ ' = x‘ + X
k f i 1
x'" ’ = (1 + X + X
'n' /x " -1 \ X " '"-X
X x - ' = x̂ ( — ----------
k . 1
Verdadera
. . . + X
+ x "- ’)
x -1
^ j^ . .k ^ x " * ' + x "^ '+ x '” N ... +x '"
k a l
X x" ■ ' = x" ■ ' (1 + x + x̂ + x̂ + ... + x" 
n - 1 / X ' ' - 1\k„i
X x "-^= x ' 
.-. FFV
28. Si: X 2k{3k - 4) = 15 540, halar n.
k = l
Resolución:
X 2 k (3 k - 4 ) - 15 540
k = i
^ X ( 6><' - 8k) = 15 540
k = i
^ 6X k ' - 8¿ k = 15 540
k̂ .l k̂ l
n(n + 1){2n + 1) -4 n {n + 1) = 15 540 
^ n{n + 1)(2n - 3) = 15 540 = 20 x 21 x 37 
n = 20
29. Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada una de las 
siguientes proposiciones:
I, V ík + 1){2k + 5) = ^(4m^ + 27m + 53)
II. X(3k-2 - a J = - 2a,
k - 1
m + 1
k - i
Resolución:
I. Verdadera
X(k + 1)(2k + 5) = X(2k' + 7k + 5)
k = 1 k = 1
- 2 X k ' + 7 X k + X 5
k - 1 k - 1 k i i l
- 2m(m + 1)(2m + 1) 7m(m + 1)
6 2
= ^(4m ' + 6m + 2 + 21m + 21 + 30) b
= ^(4m^ + 27m + 53) b
II. Falsa
X(3k . 2 - 3k) = X(3k - 2 ) - 3k - 1 + 3k - 1 - 3k
k = 1 k =1
= X (3k-2- 3k-i) + X (3 k - i- aJ
k= 1 k s 1
= 3^ - 2 ~ ^2 r̂n -r 1 — 1̂
= 3m . 2 - 82 - a,
III. Verdadera
Como: X(2k - 1)̂ =X(4k^ - 4k + 1)
k - 1 k - 1
_ 4m(m + 1)(2m + 1) 4m{m + 1)
6 + m
= ^(8 m ^ + 12m + 4 - 12m - 1 2 + 6) b
= ^(8m ' - 2) = ^^(2m + 1)(2m - 1)
b o
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Entonces:
|(2 k -1 ) ^ m(2m + 1K2m-1) 2(2m-1)
Ik ^
VFV
m +1
30. Se dan los cuatro primeros términos de la sucesión:
3. 5. 1_. _9..
4’ 8’ 12’ 16’ ■■■
determine a partir de qué tugar los términos de la 
sucesión son menores que 0,51,
Resolución:
Sea: a„ = —Cn
Donde: { b J = Í3; 5; 7; 9; ...} = 2n + 1
También: {c„l = (4; 8; 12; 16; ...) =* = 4n
Luego: a„ = v n g IN
a„<0,51
4n
2 n + 1 < 51 50n 4- 25 < 51n4n 100 
^ n > 25 
n = 26; 27; 28; ...
.-. A partir del término ajg se tiene; a„ < 0,51
31. Si se cumple:
3 + 8 + 15 + 24 + ... + 8n = an̂ + bn" + en + d 
hallar; a + b + c + d
Resolución:
Tenemos; ían) = {3; 8; 15: 24; ...}
V \ / ^
5 7 9 
\ / \ /
2 2
« ¿ a k = 3CÍ + 502 + 2O3
, 5n(n-1) , 2 n (n -1 )(n -2 - jn + ^ + -
Luego, para todo n e IN; 
an̂ + bn̂ + en + d = 3n -(■
2 n (n -1 )(n -2 )
Para n = 1; a + b + c + d = 3
32. Hallar el valor de convergencia de la siguiente su­
cesión; { a j = {Vn" + 1 - n}
Resolución:
lima = l , - m ( ^ ^ - n ) í f e í L l ^ '
1l im a - —
n-,\yn2+1 + n
.-. la j converge a 0.
í,
33. Determine el valor de; ^
VrF+1 + n 
= O
1
^ (2 k -1 )(2 k + 1 )
1
Resolución:
Tenemos
Donde; S = 1 1
2, t^ l2k -1 2k +1
1
1 2 n + 1 S = n
2n + 1
n + 2 
lírnSp = límfl
34. Calcule el valor de convergencia de la sucesión; 
Resolución:
El término â está dado como sigue:
(ti* 3
a = 1 ; V n e IN
1
n + 2
= lím 1 + n + 2
(r*3)
lím= 6"-'' ' -lim'2' = e"-'
n + 3
n + 2 = 0-35. Calcule la siguiente suma:
c = 1 + 1 I 3 , 7 , 15 , 31
5 ^2 6 125 625 3125
Resolución:
Tenemos:
S = 1 + 1 +A +
5 25 125 ' 625 ' 3125
+ .. .
+ J 4 . + -
S = l + ^ + l l ^ + 2 !
S = 1 + |
5 5 5̂ 5̂ 5̂ 5= 5‘ 5“
+ ( i i+ . . .
Además, si: 
jrj < 1 Aa^^O
Luego: S = — -
+ ar + ar̂ + â + ... = 1 - r
1 - 1 1 - 1 5 5
5 _ 1 
3 4
.'. S = 17/12
36. Dos poblaciones A y B tienen en la actualidad 
9 167 360 y 143 240 habitantes, respectivamente, 
suponiendo una disminución anual A en 1/8 de sus 
habitantes y un aumento anual de B en 3/4 de sus 
habitantes, ¿dentro de cuántos años las dos pobla­
ciones tendrán el mismo número de habitantes?
Resolución:
Si la su c e s ió n e s : a; aq ; aq^; aq^; ...; a„
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