Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (108)

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Donde: a # 0 A q ?!= 0, se tiene: = a q '- 1 
q -1
La población de A disminuye en 1/8 cada año, que­
dará al final de cada año, 7/8 del anterior, es decir: 
Inicio: 1.° 2-° 3.° ... n.°
(ha líala
La población de B aumenta en 3/4 cada año, al 
final de cada año habrá 7/4 del año anterior; es 
decir:
Inicio; 1.° 2.“ 3.°
Luego: ( I f a = ( | [ b =
n.
Donde; a = 9 167 360; b = 143 240 
Reemplazando: 2" = 43̂ 240̂ ^
.•. n = 6
37. Si S es una serie definida por;
S = I
l l = l
hallar el valor de convergencia. 
Resolución:
J / 2 ’'" ^ -6 k ^ -6 k '
2'k^ + 2''k
2*̂ "̂ 6(k^-t-k)
2‘'(k^ + k) 2''(k"+k)
- - f ~^k ^ + k ír l2 “
k+ 1
2
6 1 ( 4
- S = 2̂ (1 - 0) - - 2 ^ - 6
S = -2
1 7 3738. Si S es una serie definkia por S = b ( ¿ oo4
hallar el valor de la convergencia.
Resoiución:
^ 6 ^7 2 ^ 8 6 4 ^ -
+
S = 37
2°(6) 2(6") 2̂ (6̂
■-h . . .
Multiplicando todo por 1/2;
I s - - L + -Z- + ̂ + 
2 ^ 12^12^^12"
4 - 3 , 4 ^ - 3 ^ 4 ^ -3 ' , 
12̂
2 12 12^12' 122 ■̂ 2̂ t2-
4 S = í4 + ¿ + + -1 - ( | +-¿2 + 73 + -
i " - •) _ 2 1 __L
3 4
4 ..1 1 _ 1
1 2 3 6
S = 1/3
39. Sí S es una serie definida por:
S = 1 + l + 4 r + 16
3 ^ 18^ 162 1944^
hallar el valor de convergencia. 
Resolución:
Recordemos que;
1 + :^ + 4 .+
Luego: S - 1 + 3 + + ^g2 + 9̂44
3(1) 3'{2) ^ 3 (̂6) ^ 3^24)
Y esto se puede escribir asi;
2̂ a
r + . . .
i g f
1 !^ 21 + 3! 
=» 3 = ê '̂ 3 =
4! + . . .
■ 2 k - 1 
k=;i 2^k!)
40. Si S es una seria definida por S = X^r-r-r-ha lla r 
el valor de convergencia de S.
Resolución:
De (a serie S: S = lím ¿ ~
S = lím ¿
K=1
S = lím X
2k
S 2''(k!) 
1
2 (̂k!) 2^(k!),
1 1
2 v - i ( ( ^ _ 1 ) 2'^k!)
F{k) F(k + n
Aplicamos la propiedad telescópica 
S = lím [F (1)-F (n+ 1}]
1 1lím
2°(0!) 2''(n!)
^ 3 = 1 - 0 .-.3 = 1
41. Si T es una serie definida por;
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Resolución:
Factorizando en T:
T-7IÍ1 + ^ + ^ + J = +
J = K 1 = Tt ñ
/2 - 1
T =
42. Si S es una serie definida por;
C — O j . ' i - L 2 , 3 . 2 , 3 2^ j_ 3 , 2S - 2 + 3 + 3 + ^ + g + : j^ + ^ + ^ + ̂ + . -
hallar el valor de convergencia.
Resolución:
Agrupando términos en S;
^ S = 2 ( l+ | + ̂ + ̂ + .
3 + | + : ^ + ¿ + ... 4 16 64
S = 2 + 3 - i - \
S = 2 ÍJ l + 3 f i .••S = 7
43. Si M y N representan dos cantidades definidas por:
M es ei valor de convergencia de ia serie ¿ \
k=i ' 3
* 1)'' ■'N es el valor de convergencia de la serie ̂ —̂ j—
k=i 4
Establecer la correcta relación de orden entre los 
valores de M y N.
Resolución;
Recordando, si: |a) < 1, entonces: T a'' = -
k=i 1 - a
 (~ I ~ TK=1
3
M = |
N= I
k=l
1 ( 1 )
- 1
4
3
- 1)*'-'
4“ 4 f
M = 2
n = t £ ( 4 Í = 4
4̂ -1
M = ION
44. La masa de un péndulo recorre 36 cm durante la 
primera oscilación. En cada una de las oscilacio­
nes siguientes la masa recorre 2/3 de la distancia 
recorrida en la oscilación anterior. Determine, en 
cm, la distancia total recorrida por la masa hasta 
que se detiene por efecto de la resistencia del aire.
Resolución:
1 “ 2.° :
36 1(36) í|)(3 6 ) ;ff(3 6 )
Sea D la distancia totaí recorrida por ta masa hasta 
detenerse, luego:
D - 36 + |(3 6 ) + ( |) '(3 6 ) + ( | f (36) + ...
D = 108 cm
- I
45. Hallar el valor de la siguiente suma:
S = 1+ 2 x 3 + 3 x3 " + 4 x 3 ^ -h 5 x 3 ' + ...
+ 50 X 3̂
Resolución:
Multiplicando por 3 a S;
3S = 1 X 3 + 2 X 3̂ + 3 X 3̂ -H 4 X 3' -H ...
+ 49 X 3"" + 50 X 3“
Restando:
-23 =1 + 1 x 3 + 1 x 3 " + 1 x 3 ^ + 1 x 3 " +
... + x 3 " " -5 0 x 3 “ 
^ -2S = 1 + 3 + 3' + 3' + ... + 3"' - 50 x 3“
, -2S = ^ - 5 0 0 r = z M í ^
Ó — 1 ¿
99(3®°)+ 1 S ---------^------
46. Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada una de las 
siguientes proposiciones:
I. Si O < a < b < 1, entonces la serie: S = 
es convergente. °
1II. La serie: T = ^
k-1
I. La serie: S = 4- + - ^ +
k(k + 1) 
19
es convergente 
+ ... es divergente
7 4 9 3 4 3
Resolución;
I. Falsa
Para O < x < 1 (en general, para |x| < 1) se
sabe que £ x '' es convergente a: —
k= o 1 — X
S i:0 < a < b < 1 = * 0 < a < lA b > 0
=» 0° < â < 1“ =» O < a" < 1
=. a-" > 1. luego: S = £ (a"''“) = ¿(a'^)^
K= o k= O
S no es convergente.
II. Verdadera
T - té;k{k4-1) n -v f lk ( l^ + l)
T = lim ¿ ( 1 - , —L- = lím /l 1^ 'íi-x k-i-1 n <-1)
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T = 1 _ lím - 1-1= 1 -0 = 1 ' ' r , n + 1
=> T es convergente.
I. Falsa
1 5 ^ 19
^ 7 ' 49 ' 343
3 - 2 3 ^ -2 ^ 3^ -2 ^ ^=» s = —^-----^ ----- ;----- ----- h ...
7 7" 7"
3 /3\^ /3\^ 2 l2f ¡2? 1^ s = 7 ^ ( 7 )
S =
3
_ 7
1 - 1 1 _ 2 
7 7
S es convergente.
3 _ 2
4 5 20
FVF
47. Sí las series: P = conver-
r>=1 r>=1
gentes y además 3P = 2Q, hallar la relación entre 
a y b-
Resoluciórt:
Son convergentes P y Q luego:
P= £ a " '’ = a" + â + a® + a®+..,
r = 1
^ P= a' « I = ± - 1 
1 - a ' P â
Q = £b^" = b̂ + b' + b® + b'^ +
r-1
b-Q =
1 - b ' Q b̂
De:3P = 2Q = 3 (1 ) - 2 ( 1 )
^ 3 / 4 - 11 = 2 í 4 - 11 = 1
48. Sí S es una serie definida por 
7
® „5 (5n + 2)(5n - 3)
gencia.
Resolución:
S = lím I ¿
hallar el valor de conver-
5 írí (5k +2)(5k-3) 
1S = l i m | ¿ ^
^ k̂ i 5 k -3 5k + 2
F (k l F (k + 1)
Por la propiedad telescópica: 
i™ | ( 5(1733- 5 í ^ )
P R O B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI
PROBLEMA 1 ( tN I 2012 - II)
Señale la alternativa que presenta la secuencia correc­
ta, después de determinar si la proposición es verdade­
ra (V) o falsa (F):
2n^ + 2n - 1El limite de es 2.l(n -3 )(n + 1 )
Los valores de la sucesión S„ = (-1)'' -i-
I
pertenecen al intervalo (-1 .1 ),
La serie ^ ^ converge y su suma es 3.
C) VFV
( - i r
A) VFF 
D) FW
Resolución;
B) FVF 
E) FFF
i. La proposición es verdadera, pues dada la suce­
sión: a„ = 2n" + 2n-1
lím
(n-3)(n + 1) 
2n̂ + 2n - 1
n̂ - 2n - 3
lím
2 + 2 _ 4 
n n̂
1 - ^ - ^
= 2
n n'
- i r
Q _ O. 3, _ 4. 5.
S. 2, 2, 3 '4 ’ -
La proposición es falsa, pues existen términos de 
la sucesión que no pertenecen al intervalo (-1; 1) 
siendo S, = 2 un valor que no pertenece.
La proposición es verdadera, pues dada la serie:
" = ¿ 2 ( 1 - ^rSn(n + 2) n n + 2
= Í 2 ( I - 1
n n + 2/
VFV
C lav e : C
PROBLEMA 2 (UNI 2012 - II)
Sea la sucesión {a j donde:
a. = 3 2 1 1 1
1 + 1n 1 - 1 1 +1nn + 1
, para todo n g IN. Diga a
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C)1A )-1
D)2
B)0
E)3
3 2 ! ^
1 + 1n n + 1 1 + 1 i n
Resolución:
Piden; lím = lím
Sabemos: n > 1
O < 1/n < 1 1 < 1 + 1/n < 2 ^ < 1
2 1 +1 n
= O lím 8n = lím O = O
1 + 1
Clave: B
PROBLEMA 3 ( tN I 2 0 1 3 - i)
Sean {a j y {bJ dos sucesiones. Diga cuál de las si­
guientes afirmaciones son verdaderas.
k
I. Si para algún k e IN; ^ la, bJ = O, entonces;
(=1
a¡ = O, V i e { 1 ; . . . ; k } o
b, = O, V je {1; ...; k}
II. Si para algún k e Di; £ laJ = O
j»1
k
entonces; ^ la, bJ = O
III. Si £ |a ¡|< M y £ |bJ< M ,
i«1 is1
k
entonces: Y . *̂>1 - V k g Bí
A) Solo II B) Solo III O ly l t
D) II y III E) 1,11 y III
Resolución:
Sea; ix,| + Ixj] + Ixjl + ... + |x„t = O
En IB se verifica solo si x, = Xj = x, = ... = x̂ = O
I. |a,b,| + tsjb l̂ + ... + [a,bj = O
- ai = O
a,b, = ajba = ... a,b, = O / v 
^ b¡ = O
k
II. a, = 32 = ... = a„ = O => a,= O =» ^ |a¡bj = O
III. |8ii + |a,| + . - + |aj < M
|b,| + Ib̂ l + ... + |bj < M
Multiplicando y aplicando la propiedad transitiva:
¿ (a,b,l < M̂
1=1
Clave; E
PROBLEMA 4 (UNI 20 1 3 • II)
Sea la sucesión (aj. donde: a,, = kln|l +1
entonces podemos afirmar que:
A) (a,,) converge a 1
B) (a j converge a ln(l +
C) (3k) converge a In2
D) (a j converge a O
E) (â ) no converge
Resolución:
â = kln|l +
lím 3k = límk—c k ln ( l+ l
= limk
= In ¡L 'io 4 ) "
=ln[e]
lim = 1 => {a j converge a 1.
PROBLEMA 5 (UM 201 4 - 1)
Dada la sucesión (aJ definida por:
'nrc + (-1 )"8 '
Clave; A
a„ = sen 4n
entonces podemos afirmar que;
A) (aJ converge a Í2 I2
B) (a„) converge a 1
C) (aJ converge a O
D) {a„) converge a nl4
E) (a„) no converge
Resolución;
Redefiniendo la sucesión a„ en dos subsucesiones se 
tendrá;
' nnsen
sen
4n
nn - 8 
4n
i: SI n es par
; SI nes impar
Averiguamos la convergencia tomando límites en cada 
caso:
'nrt + 8'lim sen 
lím sen
4n
nn - 
4n
= sen(4) = ^ y2
V2= sen(^)= 2
Por tanto, como los límites de las subsucesiones son 
iguales, entonces la sucesión (a„) converge a /2/2.
Clave; A
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