Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (111)

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Progresiones
O
D
Q .
O
O
Leonardo de Pisa, Leonardo Pi- 
sano o Leonardo Bigollo (1170- 
1250). también llamado Fibona- 
cci, fue un matem ático italiano 
famoso por haber difundido en 
Europa el sistema de num era­
ción indoarábigo actualmente 
utilizado, ei que emplea nota­
ción posicional (de base 10 o de­
cimal) y un dígito de valor nulo 
(el cero), y por idear ía sucesión 
de Fibonacci. De niño, Leonardo 
viajó ai norte de África (Arge­
lia). donde aprendió el sistema 
de num eración árabe, AI darse 
cuenta de la superioridad de los 
numerales árabes, Fibonacci via­
jó a través de los países deí Me­
diterráneo para estudiar con los 
matemáticos árabes más desta­
cados de ese tiempo.
En matemáticas. ía sucesión de 
Fibonacci (serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
1.1,2.3.5.8.13.21,34.55,89,144.233.377.610.987.1597
La sucesión comienza con los niímeros l y l. 2 y a partir de estos «cada término es la suma de 
ios dos anteriores», es ía relación de recurrencia que la define. A los elementos de esta sucesión 
se les llama números de Fibonacci y tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la com puta­
ción, matemáticas y teoría de juegos.
Fuente: Wibipedia
\talia,ll7D-Italia, (250
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<4 PROGRESIÓN
Es un conjunto de números que se encuentran ligados 
por una ley de formación, según este ordenamiento las 
progresiones pueden formar;
2; 5; 8; 11; 14 
3; 6; 12; 24; 48 ;...
Progresión aritmética: 
Progresión geométrica;
Progresión armónica: 
Progresión hipergeométrica:
1 1 1 ± - JL
2 ' 5’ 8’ 11’ 14 ’•
1 1 1
1 x 2 ’ 2 x 3 ’ 2 x 4 ’ "'
<4 PROGRESIONES ARITMÉTICAS (PA)
Son aquellas sucesiones en las que se cumple que 
cualquier término es igual al anterior aumentada en una 
cantidad constante llamada razón o diferencia. 
Ejemplo:
5; 8; 11; 14; ...; r = 3 
Notación: a :̂ a ;̂ a„
Donde: a,: primer término
a„: último o enésimo término 
n; número de términos 
r: razón
S; suma de términos 
C las ificac ión
Las progresiones aritméticas pueden ser:
Progresiones aritméticas crecientes (r > 0)
1:3: 5; 7 ; r = 2 
Progresiones aritméticas decrecientes (r < 0)
8; 5; 2;...; r = - 3
Propiedades
1. La diferencia entre dos términos consecutivos es 
constante e igual a la razón.
Ejemplo:
11; 14; 17 r= 3
2. Cálculo del enésimo o último término.
Sea la PA;
Se sabe que:
En general
â ; 32’
a, = a, + Or 
= a, + r 
aj = a, + 2r 
ag, = a, + 90r
a. = a. (n -1 )r
Si la progresión tiene un número impar de términos 
se cumplirá que el termino central es igual a la se­
misuma de los términos extremos.
Sea: a,; ...; â ; ...; a„ 
k térm. k térm.
a, + a.
Demostración:
• a, = a, + kr
• a„ = a, + kr
•••(I)
...{ID
(I) - (II): â - a„ = a, - â
La suma de los términos equidistantes de los extre­
mos es constante e igual a la suma de los términos 
extremos.
Sea: : a ,;...; a , ; a , : ...; a„
k términos k términos
a, = a, -t- a„
Demostración;
♦ a, = a, + kr ... (I)
• a„ = â + kr ... (11)
(I) - (II): a, - = a, - a, ® a. + = a„ + 3,
5- La suma de los términos de una PA limitada es la
semisuma de los términos extremos multiplicado 
por el número de ténriinos.
a,+ a.
Demostración;
Sea:
3̂ , 02̂
S„ = a , + 32 + 83 + ... + a„_, + a„ 
S„ = a„ + 3p_i + ... -h 82 + a .
(+)
2S„ = (a, + aJ + (a, + a„) + ... + (a, + a„) + (a, + aJ
...(I)
Como: 3n = a, + (n - 1)r
Sn =
2a, + (n - 1)r
n2
También: S .= J í2 a „- (n - 1)r]
-.(M)
.,.(111)
En (I), solo si n es impar; S„ = na.
M edios a ritm é tico s
Se llama así a los términos de una progresión aritméti­
ca comprendidos entre los extremos.
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Ejem plo :
3; 5; 9; 12; 15; 18; 21 
Medios aritméticos o diferenciales
Interpolación de medios aritm éticos. Interpolar "m" 
medios aritméticos entre "a" y "b" es formar una PAen 
donde el primer término es "a" y el último termino es "b", 
siendo "m + 2" el número de términos de la progresión. 
En general:
Interpolar "m" medios aritméticos entre "a" y "b":
{m + 2) términos
a; : b
m medios aritméticos
Razón de interpolación: b - a 
m + 1
E jem plos:
1. Hallar tres números en PA que aumentados 2: 3 y 
8 unidades sean proporcionales a 10; 25 y 50.
Resoiución;
Sean los términos: a; a + r; a + 2r
a + 2 a + r + 3 a + 2r + 8Por condición: 10
(I)
(II) = (III): a + r + 3 =
" 25
(II)
a + 2r + 8
50
(III)
a = 2
(l) = (ll): a+2 a + r+ 3 => 10 = 5 + r=> r= 52 5
Los términos serán: 2; 7 y 12
2. En una PA el primer término es 12, el número de 
términos es 9 y su suma es 252. En otra PA el pri­
mer término es 2 y su razón es 6. Dos términos del 
mismo lugar de ambas progresiones son iguales. 
Calcular su valor.
Resolución:
Sean los términos a,, y b,,; por condición â = b,,
En la primera progresión:
. 2a. + ( n - 1)r
252 = ( ' ^ Í ^ Í 9 r = 42 I \ 2
^ a, = 12 + ( k - 1)4
En la segunda progresión: b̂ = 2 + (k - 1)6 
Luego: 12 + (k - 1)4 = 2 + (k - 1)6 = k = 6
.-. a, = 32
3. La suma de los "n" primeros términos de una PA es 
4n" + 2n, V n e IN. Calcular el quinto término.
Resolución:
Por dato: S = 4n̂ + 2n; v n e IN
Para n = 1 se tendrá: S, = a, = 6
Para n = 2 se tendrá la suma de los dos términos:
$2 = a, + 32 = 20 => 02 = 4 A r = 8
En consecuencia: aj = a, + 4r = 6 + 4(8)
■■■ as = 38
En la siguiente progresión ...; 5; ...; 47; ...; 159 el 
número de términos que existe entre 47 y 159 es el 
triple del número de términos comprendidos entre 
5 y 47. Calcular la razón de la progresión.
Resolución
...;5;...;47;...;159
3x
Por interpolación de medios aritméticos se tendrá: 
4 7 -5 159 -47
X + 1 3x + 1 
^ 42{3x + 1) = 112(x + 1) X = 5
Luego: 4 7 -5
5+1
5. Dada la progresión 5; 10; 15; ... ¿Cuántos térmi­
nos de esta progresión hay que tomar a partir del 
décimo cuarto para que sumen tantos como los 9 
primeros-
Resolución:
: 5; 10; 15; ... = r= 5
a,4 = + 13r = 5 + (13)5 = 70 == a,4 = 70
Número de términos: n
Luego:
S„ = .^[2(70) + (n - 1)5] = .^[140 + (n - 1)5]
S« = |[2(5) + 8(5)] = |(50)
^ .^[140 + (n -1 )5 ] - | ( 5 0 )
Donde: n̂ + 27n - 90 = O 
.-. n = 3
(n + 30)(n - 3) = O
Un hombre tiene que pagar una deuda de 360 000 
en 40 pagos que forman una PA. Cuando ya había 
cancelado 30 pagos, fallece, dejando una tercera 
parte sin pagar, hallar el importe del primer pago.
Resolución:
Por dato:
S 40 - 360 000 A S 30 - |(360 000) = 240 000
Por fórmula:
40
S.a = (2a, + 39r) = 360 000
2a, + 39r = 18 000 
30.
-(I)
* S30 = ^ (2 a , 4 29r) = 240 000
= 2a, + 29r= 16 000 
( l)-( !l) : 10r = 2000 « r - 200 
.-. a, = 5100
.(II)
7. Dos cuerpos que se encuentran a la distancia de 
153 m uno del otro, se mueven al encuentro mutuo, 
el primero recorre 10 m/s, el segundo recorrió 3 m
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