Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (113)

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729 litros
Queda 
729 - A 
(729 - A / 
729 
(729- A f 
(729)^
5- Calcular la suma limite de;
S = I 4- X + J L + l Z i +
5 25 125 625
Resolución
Haciendo transformaciones en los numeradores: 
^ 4 ’ - 3 ’ , 4 ^ - 3 ^ , 4 ^ - 3 " , , 4 " - 3 VW — — — + •' - + “t" . . . -J- - -i- .
i í - ( r
Se tienen 2 sumas limites, entonces:
si: n — 00
S = - - 4 - 3 = 5 
3 2 2
9. Calcular “x” en la progresión geométrica: 
1
2x ; 1, 3x - 3
Resolución;
Por propiedad: V =
=»2x = 3 x - 3 = > x = 3
10. Calcular el término 9.", en la siguiente progresión 
geométrica; 4; 8; 16; 32;...
Resolución;
t, = t,q® =» t ,= 4(2}« = 1024
11. Se sabe que el quinto término de una progresión 
geométrica es 2 y el décimo primero es 128. Cal­
cular el valor de la razón.
Resolución;
ts = 2; t„ = 128
t,, =t,q® ^ 128 = 2q® = q® = 64 q = 2
12. Hallar tres números en progresión geométrica, 
cuya suma sea 19 y cuyo producto sea 216. Dar 
uno de ellos.
Resolución;
Sea la PG: t,; t,q; t,q^
Por dato: t, + t,q + t,q ̂= 19
- t,(1 + q + q̂ ) - 19 ..,(1)
También; l,̂ q̂ = 216 => t,q = 6 ...(II)
Luego, (II) en (I); q = | v q = |
2
Si: q = o-, uno de los términos seria:O
t,q' = (t,q)q = 6(1) = 4
13. Calcular la suma de los 4 primeros términos de la 
progresión geométrica siguiente: 2/3; 1; ...
Resolución:
q -1
81 - 16
16
12
14. Calcular: 1 + j + ^ + ^ + 
Resolución:
i
Por suma hmite: = — - = 2
15. Luego de interpolar 3 medios geométricos entre 5 
y 3125, hallar la razón.
Resolución:
Por dato: q = " ' - V - = =5' a ' D
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Q PROBLEMAS RESUELTOS
Q
1. En una progresión aritmética el primer término es
12. el número de términos es 9 y la suma es 252. 
En otra progresión aritmética el primer término es 
2 y la razón 6. Dos términos del mismo lugar de 
estas progresiones son iguales. ¿Cuál es el valor 
de este término?
Resolución;
PA,; a, = 12; n = 9; Sg= 252
S , . ( 2 5 1 ^ ) 9 .2 5 2
r, = 4
2.
PAj: b, = 2 A rj = 6 
Sea “k” el lugar: a^= b,,
+ (k - 1)r, = b, + (k - 1)r2
k = 1 + - 1 + ^ k - 1 + 5 - 6r.-r^ 4 - 6
Luego; a« = a, + 5r, = 12 + 5(4) ag = 32
En un cuadrado de lado a se inscribe una circun­
ferencia, en este se inscribe un cuadrado y en el 
segundo cuadrado se inscribe una circunferencia, 
así sucesivamente. Calcule la suma de las áreas 
de todas las figura así formadas.
Resolución;
Para los cuadrados:
1.° 2,° 3.”
Lado a i i )
Área 8̂ ^11)
S n - a '
S a - a ^ 1 ■’ \ = Sp = 2â
(^ 4 )
Para los circuios.
1.“ 2.° 3.°
Radio: a
2 t ( j f ) U í
Área: " ( | í ” { | Í 4
Sn = n í^ l
- i
a\2
So + So = 2â + 2 :t( ff= .-|-(4 + Tii
2 ' 2
3. Halle la razón de la progresión geométrica:
2 • n ' i, 2' ̂ ̂̂ ̂•
Resolución:
Por propiedad: h t,; tj; tj ^ tj = l,t3
^ (2'^^)^ = ( 2 '^ ) ( 2 '^ )
^ = - / ñ ^ + / 3 ¡ m = n =1
4.
0'2n - 1
Luego, la razón será: q = 22-n-1 2°
Durante eí mismo número de días se ha sacado de 
dos tanques A y B cantidades diferentes de agua. 
De A se sacó 1 litro el primer dia, 4 litros el segun­
do día, 16 litros el tercer dia, etc. De B se sacó 2 
litros el primer día, 4 iítros et segundo día, 8 litros 
el tercer día, etc. Si en total de A se sacaron 1239 
litros más que del tanque B, ¿cuántos litros se sacó 
el último dia de A?
Resolución:
1,° 2,° 3.° n.°
Tanque A 4 16 4„-i
Tanque B 2 4 8 2"
TotaU =1 +4 + 16 + 4- 1 = 4'' - 1
• • ' 3
Total,6, = 2 + 4 + 8 + -..+ 2" = 2""' - 2 
Por dato: To ta l,= 1239 + Totalie,
= 1239 + 2"'' - 2
Haciendo; 2" = a = > a ^ - 1 = 3 x 1237 + 6a
a^- 6a + 9 = 3 X 1237 + 10 
(a - 3)̂ = 61̂ ^ a = 64 =. 2" = 64 =» n = 6
Se pide: 4" ' = 4-̂ = 1024 litros
5. Determine la razón de una PG de 7 términos, sa­
biendo que ia suma de los 3 primeros es 26 y la 
suma de los 3 últimos 2106.
Resolución:
H t; tq; tq^ tq^ tq'*; tq'; tq°
t(1 + q + q') = 26; tq-(1 + q + q') = 2106
= q^26) = 2106 ^ q = 3www.full-ebook.com
6. Si los números positivos x,; X2; X3 están en PAy ios 
números positivos y,; y3 están en PG. además 
se sabe que: x, = y, = 3; Xj - yj = 6 a X3 = yj.
3
Determine el valor de: ^ (x ̂+ ŷ )
ks 1
Resolución:
Los términos positivos:
• 3; Xj; X3 están en PA
3 + X3« Xj= —^ -..{I)
* 3: y?; están en PG
-{II)
Dalos: Xj = y¿ = 6 (Xj > yz) a x¡ =
3 + Xo
De (i) y {II): x ^ - y 2 =
x^ - 3 0 x 3 + 81=0 =» (X3 - 27)(x3 - 3 ) = o 
=» X3 = 27 V X3 = 3
Si: X3= 27 =. Y3 = 27 
Con esto: X2 = 15 a yj = 9
Luego;
3
Z + ŷ ) = + yi) + (^2+ ŷ ) + (*3 - ya) +
(X3 - y,) = (X, + X2 + X3) + (y, + ŷ + yj)
46 39
••• I (X, + y j = 84
k = 1
Para X3, se obtiene x̂ = y2 = 3, pero por condi­
ción: Xj - y2 = 6
7. En una progresión geométrica se conoce que el 
primer térmirv3 es 7, el último es 567 y la suma de 
todos los términos es 847. Determine la suma del 
número de términos y la razón de dicha progresión 
geométrica.
Resolución:
Sea la PG de "n" términos y de razón "q".
Datos: t, = 7; t, = 567; S„ = 847 
Sabemos que: t„ = t,q"” ’
567= 7q"-
Además: S„ = t.
81 ^ . 8 1 q = q" . . . ( a )
\ q - V 
De aquí, se obtiene: q = 3
En (a): 3" = 81 x 3 
.’. n + q = 8
847 ^ , / 81q-1 
121 l q - 1
3" = 3* => n = 5
8. Determine el valor de cuatro números a; b; c; d, si 
los tres primeros términos están en progresión arit­
mética y los tres últimos en progresión geométrica, 
siendo la suma de los extremos 14 y la suma de los 
medios igual a 12. Indique el mayor de ellos.
Resolución:
Es PG
• a; b; c; d 
EsPA 
De aquí:
. K - a + c 2b = a + c2
= bd
Datos: a + d= 14 a b + c = 12
...(I)
...{II)
d = l 4 - a A c = 12- b
• Reemplazando en (II):
(12 - b)̂ = b(l4 - a) ,,.(111)
Pero: 2b = a + c a c = 1 2 - b
• Sumando: 2b + c = a + c + 1 2 - b 
= .a = 3 b -1 2 ,.,(IV)
• (IV )en{lll);(12-b)' = b(26-3b)
^ 2b̂ - 25b + 72 = O =» (b - 8)(2b - 9) = O
De aquí: b = 8 v b = 9/2
• Si b = 8; en (IV): a = 12 => d = 2 a c = 4 
,-, Mayor de ellos; 12
9. Si el término de lugar "2n" es “n" veces el término 
de lugar “n" en una progresión geométrica cuyo pri­
mer término es "n". Determine el término de lugar 
“n + 1" en dicha progresión.
Resolución:
Datos: • t;„ = nt„ ,.,(1)
• t, =n .„(2)
De(l):t„q" = nt„ =. q" = n 
Nos piden; t„ ., = t,q"
.-. t„ ,, = t,q'' = n(n) = n'
10. Se han interpolado 20 medios aritméticos entre 4 y 
67, Calcular el tercer medio aritmético.
Resolución:
+ 4 ............. .67
20 MA
a, = 4; 822 = 67; sea "r" la ra2ón
aj2 = a, + 21r => 67 = 4 + 21r ^ r = 3
El tercer MAserá: 84 = a, + 3r = 4 + 3(3) = 13
11. El mayor de tres números que forman una progre­
sión aritmética, es el doble del menor. ¿Cuál es
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e! mayor de estos tres números si su producto es 
8232?
Resolución;
+ a - r ; a ; a + r / r > 0 
Por dato; a + r = 2(a - 4) =» a = 3r 
{a - r)(a)(a + r) = 8232 
^ (2r)(3r)(4r) = 8232 ^ 24r" = 24(7) ̂ ^ r = 7
El mayor es; a + r = 4r = 4(7) = 28
12. Si la PA bb; bb + b; bb + 2b; 456; tiene bb
términos, entonces determine e l término de lugar 11 
contado a partir del úftimo término.
fS IB B ____
I b es un dígito: O < b < 9
Resolución:
^ bb; bb + b; bb + 2b;...; 456 
a, = bb = 11b; r = b; n = bb = 11b 
a„= a, + (n - 1)r= 456 = 11b + (11b - 1)b 
11b' + 10b - 456 = O 
11b 76
b -6 =» b = 6
El término de lugar 11, contado a partir del final es: 
^ = a, - lOr = 456 - 10(6) a^ = 396
13. En una progresión aritmética de “n” términos los 
2 primeros están en la relación de 3 a 7. ¿En qué 
relación están los dos últimos?
Resolución;
^ _3i 
a, 7 a, + - = l - a , = | rr 7 ’ 4
ai + (n - 1)r f r + (n -1)r
a. + {n -2 )r 3^^^^
4 ' 2)r
4n - 1 
4n - 5
4n - 5 
4n - 1
14. Si los términos de lugares p; q; r de una progresión 
aritmética son a; b; c, respectivamente. Determine;
(q - r)a + (r - p)b + (p - q)c
Resolución:
t , - a; t, - b; t , - c 
Recuerde que si r,, es la razón
=• tm = t„ + (m - n)ro
Entonces; tp = t, + (p - q)ro a a = b + (p - q)ro 
a - b = (p - q)ro ^ (p - q)c =
‘ o
Análogamente:
(b -c )a , (c -a )b(q _ r)a = — ----- ; (r - p)b = ̂ '
Tn In
Luego:
8 = (q - r)a +(r ~ p)b + (p - q)c 
S = (b -c )a ̂ (c -a )b ̂ (a -b )c
S = —(ab - ac + be - ab + ac - be)Tn
15. El primer término de una progresión aritmética es 
-3 y la suma de los 5 primeros términos es 105, 
¿Qué lugar ocupa el término de valor 33?
Resolución:
a,= -3 A Sj = 105
Usando; S =
2a, + (n - 1)r
Sea r la razón de la PA;
(5) » 105 = -6 + 4r )(5)
^ 21= -3 + 2r => r = 12 
Luego, si k es el lugar del término de valor 33, en­
tonces: a„ = a, + (k - 1)r 
^ 33 = -3 +(k - 1)(12) k = 4
16. En una progresión aritmética creciente de 25 tér­
minos se sabe que la suma de los diez últimos es 
cuatro veces la suma de los diez primeros. De las 
siguientes proposiciones:
I, Si 1,3 = 25, primer término es impar,
II. El primer término es el doble de la razón,
llí-1,4 = 3ts.
Son correctas.
Resolución:
La RA tiene 25 términos.
La suma de los 10 primeros:
A = t, + t; + tj +,,,+ t,o 
A = t, + (t, + r) -I- (t, + 2r) + .,, + (t, + 9r)
A = lOt, + = 5(2t, + 9r)
La suma de los 10 últimos
B = t,6 + t,7+ t,a + ,,, + tj5
B = (t, + 15r) + (t, + 16r) + ... + (t, + 24r) 
B = lOt, + (15 + ^)( iO r) = 5(21, -I- 39r)
r = 2t,
Dato; B = 4A
5(2t, + 39r) = 4[5(2t, + 9r)]
I t,3 = 25 ^ t, + 12r = 25
t, + 24t, = 25 =» t, = 1 =» t, es Impar
II. La razón es el doble de t,
III. t,4 = t, +13r = 27t, = 3(9t,)
= 3(t, + 8t,) = 3(t, + 4r) => ti,= 3ts 
Son correctas: I y III
(V)
(F)
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