Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (115)

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5 0 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c i a S a p i e n s 
Resolución;
Como para cada uno lleva la arena y regresa al 
montón (hace doble recorrido), se tiene 
= S = 20 + 36 + 52 + ...
r= 16 
n = 30 
a, = 20
S„ = [2a,+ (n - 1)r]^
,30S = [2(20) + (30 - 1 )16]^
S = (40 + 464)15 ^ S = 7560
La distancia total recorrida es: 7560 m
38. Hallar ei término 18 de la PG, sabiendo que el quin­
to término es 32 y el octavo es 4.
Resolución;
Como: t„ = t,q" '
Luego: tiq“* = 32 ...(1)
t , q ' = 4 . . . ( I I )
1Dividiendo (II) entre (I): q - -s-O
Reemplazando q en (I); t, = 512 
=> = t,q
tl8 "
q =
1
256
39. Calcular: S = 1 + l + | + ¿ + ^ + ... 
Resoiución;
q - / l + 2 , 4 , 8 ,16 
^ " ( ^ ^ 3 + 9 ^ 2 7 + 81
s u m a l ím i te
1
' 3 9 ■ 27 81
s u m a l ím i te
1 - 1 1 - 4
40. Se deja caer una pelota desde una altura h = 270 m. 
en cada rebote ia pelota se eleva 2/5 de la altura 
anterior. ¿Qué distancia total recorre la pelota has­
ta quedar en reposo?
Resolución;
h = 2 7 0 m
S = h + 2 (iVh + ? ( r fh l\5 / \ 5 l \5 /
S = h + 2h
S = h + 2h
PG
= h + 2h 7h
3
. . S = I i? H l= 630m
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISIÓN UNI
PROBLEMA 1 (UNI 2001 - 1)
Sean n > 2 un número natural y a,: 82. ...: a„, los térmi­
nos de una PG de razón 1/n. ¿Cuál es el mínimo valor 
de a, para que: (a, + 82 + ... + a„) sea un número 
natural?
A)1
D)(n - 1)"-'
Resolución;
Sea: S = a. + a.
B) n 
E)n"
C)(n - 1;
Como es una PG: S = a,
- +
(1/n)"- 1
1/n-1
Operando: S =
= S = —̂ (n +n ^+... + n + 1)
n '-------------- .---------------
eIN
Para q u e S g ttJ, —^ e IN, e n to n c e s : a, = n " ” '
Clave: E
PROBLEMA 2 (UNI 2002 - 1)
Sean (a,; â ; aj) y (b,; b̂ ; bj) los tres primeros términos 
de una sucesión aritmética y geométrica, respectiva­
mente, tales que: a, - bj = 183 - bj| = 0,4 
Si la razón aritmética es 2 y la razón geométrica es 1/2, 
entonces el valor de b, asociado al menor valor posible 
de a, es:
A )-4,8 B)~8 0 -1 1 ,2
D)-14,4 E)-17,6
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Resolución:
Del problema: a,: a, + 2; a, + 4;
Además:
a, + 2 - (1/2)bi =4/10
a, - (1/2)b, = -16/10 ...(a)
a, + 4-(1/4)b i =4/10
a, - (l/4)b, = -36/10 ...(p)
a, + 4 ~ (1/4)b, = -4/10
a, - (1/4)b, = -44/10 ...(y)
De (a) y (P), (a ) y (y): a, - -5,6; a, = -7,2 
Trabajando con el menor; a, = 7,2 =» b, = -11,2
Clave: C
PROBLEMA 3 (UNI 2 0 0 3 - 1)
Sea la sucesión: Sp; s ,; Sj; ...; s,; ...
Donde: So = 49; s, = 7; Sj = ...;Sk = 7“'''''” , parak>2.
Entonces la suma de las cifras del producto de todos 
los términos de la sucesión será igual a:
A) 3 B)4 0 5 D)6 E) 7
Resolución;
De la fórmula de recurrencia tenemos:
g _ y1''K(k - ')
s, - 71'“ -̂1’ - '^ k > 1 (k > 2)
Luego: S2 = 7’ ”
3
71,3- 1«
Después:
y l ; { i - 1) - 1,'1 _ J\ - 1.'2 » 1/2 - 1/3 - 1/3 - 1/4 ♦ - 1 /{K - D - 1/k
t=2
I^7 .- i. 
i3 2
Aplicando límite: lim 7̂ = 7 =» ^ s , = 7
1=2
Entonces: SqS,]^s, = 7^x7x7=> f \ = T = 2401
1 ^ 2 1 = 0
E de (cifras) = 7
Clave: E
PROBLEMA 4 (UNI 2 0 0 3 - II)
Se tiene cuatro números, tales que, los tres primeros 
están en progresión geométrica y los tres últimos en 
progresión aritmética de razón seis, siendo el primer nú­
mero igual al cuarto. La suma de los cuatro números es:
A) 22 8)18 0 1 4 D)16 E) 20
Resolución;
Sean, a,, â , â , â
Por dato: a, = a*
Del enunciado: a,; 82:33 .,,(1)
Como ia razón es 6, se cumple:
82 = X - 6; 83 = x; 84 = a, = X + 6 
De (I) por ser PG se cumple: a l = 3,33
Reemplazando: (x - 6)̂ = x(x + 6)
x̂ - 12x + 36 = x̂ + 6x
36 = 18x =» x = 2 
Luego; a, = 8; 82 = -4; 83 = 2; 84 = 8 
Sumando: a, + 82 + 83 + 84 = 14
Clave: C
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 0 5 - II)
El primer término de I3 sucesión: ?; 3g; 12s; 16; IO223 
en la base 2 es;
A) O B)1
Resolución:
Dada la sucesión: ?; 3g; 12s; 16; IO223 
Descomponiendo polinómicamente los términos:
3a = 3 X 80 = 3 
12j = 1 x 5 + 2 x5° = 7 
10223 = 1 X 3̂ + O X 3̂ + 2 X 3’ 2 X 3° = 35
Entonces, la sucesión es:
?; 3; 7; 16; 35
* 2+0 3 x 2 + 1 7 X 2 + 2 16X2+3 
=̂ el primer término de la sucesión es:
01,01 D)1,10 E)1,11
? x 2 + 0 = 3 ? = I = 1,5 = 1 + 0,5 = 1 x2° + 1 x2 '
Primer ténnino de la sucesión en base 2: ?=1,l2
Clave: D
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PROBLEMAS PROPUESTOS
1. La suma de los 6 términos centrales de una progre­
sión aritmética creciente de 16 términos es 141 y 
el producto de los extremos 46. ¿Qué lugc ocupa 
en la progresión 7?
A)2.° 6)3.'' C)5.°
D)9.° E)7."
2. Las poblaciones A y B, tienen en la actualidad 
585 640 y 262 440 habitantes, respectivamen­
te. Suponiendo una disminución anua! erv A y un 
aumento en B en PG, siendo las razones 10/11 y 
10/9, respectivamente. ¿Dentro de cuánto tiempo 
tendrán las poblaciones el mismo número de ha­
bitantes?
A) 4 8)3 0 5 D)6 E) 10
3. Calcular el producto de los 10 términos de una PG 
cuyo sexto y último término son en ese orden; 4 
y 0,25.
A) 2’“ B)2^° 0 2''
0)230 £)2'5
4. Las edades de 4 hermanos están en PG. Si cuan­
do nació el menor, el mayor tenía 32 anos y la di­
ferencia de edades de los otros es 8. Hallar dichas 
edades, señalando la edad del segundo.
A) 4 B)B 0)16 D)32 E)40
5. Hallar cuatro números en PA, sabiendo que suman 
16, además, la suma de los cuadrados es 144. In­
dicar el último de los cuatro números.
A) -2 
D) 10
B)2 
E) 14
0 6
6. Dadas las relaciones:
+ log^x; l0Qt,y; log.z a - x; y; z
Calcular el valor que debe tomar el logaritmo de z
en base x.
A) loĝ c 
log.bD)
g, logía/b) 
log(b/c)
1 - log^b
O loga(a/b)
lo9c(c/b)
1 - loĝ E) log^b - 1
7. En un círculo de radio R, se inscribe un triángulo 
equilátero. En éste, se inscribe un círculo y en este 
segundo círculo, se inscribe un triángulo equilátero 
y asi sucesivamente. Calcular la suma límite de las 
áreas de todas las figuras así formadas.
A) ^ (2 n + 3/3i
C )^(4Tt + 3-/3)
E) ^(471+ V3)
B) /3)
8. Hallar la razón de una progresión aritmética de 4 
términos, tales que si se les aumenta 0; 1; 4 y 11, 
respectivamente, los resultados están en progre­
sión geométrica.
A) 1 B) 2 C) 3
D)4 E)5
9. Encontrar una progresión aritmètica y una pro­
gresión geométrica, si se sabe que ¡os primeros 
términos son iguales a 2, tienen el mismo tercer 
término, y el onceavo término de la progresión arit­
mética es igual al quinto término de la progresión 
geométrica. Dar la suma de las razones de ambas 
progresiones:
A) 2 B)3 0 5
D)8 E)6
10. Si la expresión; a(b - c)x̂ -t- b(c - a)xy + c(a - b )/ 
es un cuadrado perfecto, entonces, a; b; c se en­
cuentran formando;
A) Progresión aritmética.
B) Progresión geométrica.
C) Progresión armónica.
D) Progresión hipergeométrica.
E) Progresión aritmética de orden superior.
11. Determinar el término central de una progresión 
aritmética de 7 términos, sabiendo que la suma de 
los términos de lugar impar es 77 y los de lugar 
par 56.
A) 21 8)15 0 25
D)19 E)18
12. En una progresión aritmética, los elementos de los 
lugares j, k y (j + k), son tales, que la suma de los 
primeros es igual al último menos 1. Si la suma de 
los primeros es x, hallar la razón de la progresión.
B)A)
O
E)
(j + k -1 )
(x+1)
(j + k -1 ) 
(x + 2)
(j + k -1 )
D)
(j + k) 
( x -2 )
(J + k -1 )
13. Dadas las progresiones aritméticas:
S - ¡^■-1- ■ A <̂ - í - i - SI-
® ' - ( 3 ’ 2 " T J ^ ^ "1 3 ’ " T ' t }
¿cuál es la suma de los elementos S, que también 
pertenece a Ŝ ?
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14. Sean; (a,; â ; 83) y (b,; b̂ ; bj) los tres primeros tér­
minos de una sucesión aritmética y geométrica, 
respectivamente, tales que:
82 - bj = - bjl = 0,4
Si la razón aritmética es 2 y la razón geométrica 
es 112, hallar el vator de a, asociado al menor valor 
posible de a^
A )-4,8 B )-8 0 -1 1 ,2
D)-14,4 E)-17,6
15. Si: S,; S2; S , ; s o n ías sumas de unas series
geométricas infinitas cuyos primeros términos son;
1 1 1 1 1; 2; p; y cuyas razones son: 2’~3’ 4’ p + 1 ’
respectivamente; hallar: S, + Sj+ S3+...+ S,
A) | ( p + 2} B ) |(p + 3)
D)
p(p + 3)
E) p|p+ l)(p + 2)
16. La suma de los 4 términos de unaprogresión 
geométrica es 160 y la suma de sus inversos 
10/27. Hallar el valor del producto de sus términos.
A) 46 656
D)233 280
B) 93 312 
E) 139 968
O 186 624
17. Se tienen 2 progresiones, una aritmética y otra 
geométrica, cuyos primeros términos son iguales 
e igual a la razón común, sabiendo que la suma de 
los 8 primeros términos de la progresión aritmética 
es igual a la suma de los infinitos términos de la 
progresión geomètrica. Hallar el noveno término de 
la progresión aritmética.
A) 35/41 B) 35/26 C) 36/35
0)35/4 E) 35/36
18. Si: a'; b^ c^ están en progresión armónica, enton­
ces, fas cantidades mostradas (en ese orden):
2 a "-b ^ 2 ¿ j ^
2 ’ 2 ’ 2
A) están en PA,
B) están en PG.
C) están en progresión armónica.
D) son iguales.
E) no se puede afirmar nada.
19. De los tres primeros términos de una progresión 
aritmética, ei término intermedio es 15 y el produc­
to de los mismos es 2415. Hallar el término del dé­
cimo primer lugar.
B)77
E)98
20.
21.
22.
En una progresión geométrica de 3 términos, la 
suma de ellos es 117 y su producto 19 683. Hallar 
el segundo término, si la razón es mayor que 1,
A) 24 B)25 0 27
D)26 E)28
A los largo de un camino había un número impar de 
piedras a 10 m una de otra. Se quiso juntar éstas 
en un lugar donde se encontraba la piedra central. 
El hombre encargado podría llevar una sola piedra. 
Empezó por uno de ios extremos y ios traslada­
ba sucesivamente. Ai recoger todas las piedras, el 
hombre caminó 3 km. ¿Cuántas piedras había en 
el camino?
A) 17 
D) 13
B)41
E)25
0 29
26.
La suma de los términos de una progresión geomé­
trica decreciente de infinitos términos es m veces 
la suma de sus n primeros términos. Hallar la razón 
de la progresión geométrica.
A)
D)
m - B) m --1
m m + 1
J_ E) m -1- 1
mn n -1
O m - 1
23. Una progresión aritmética está formada del 4 al 55. 
La suma de los 6 primeros números es 69, de los 
6 siguientes es 177 y la suma de los 6 últimos es 
285. Hallar el segundo y el décimo término de ia 
progresión.
A) 7 y 31
D )13 y 37
B )10 y 34 
E)8y32
O 10 y 28
24. La suma de los medios geométricos de una serie 
de 4 términos es 42 y su diferencia es 14. Si la 
razón es mayor que uno, calcular el primer y cuarto 
término.
A) a, = 6; 84 = 48 B) a, = 8: 84= 64
C) a, =7: 84= 56 D) a, = 10; â = 270
E)a,= 8; â = 216
25. Hallar el quinto término de una progresión geomé­
trica de 7 términos, si la suma de los tres primeros 
es 26 y la suma de los tres últimos es 2106.
A) 42 B)216 0152
D)162 E)144
Se interpolan cuatro medios geométricos entre 160 
y 5. Hallar la suma de los dos últimos términos de 
la progresión geométrica formada,
A) 240 B) 200 o 60
D)35 E)15
Calcular 0 I límite de la suma. 
q - 1 +
 ̂ ^ 4 + 16 + 64'
31
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