Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (119)

Vista previa del material en texto

Sea f; A—► B
O sea: si f(a) = f{b) => a = b
Si aplicamos el principio lógico de transposición, la fun­
ción inyectiva se puede definir por: 
fes inyectiva, si; vxi iXj e Domf, => f(x,)5¿f(x2)
Función suryectiva
Si Ranf = B
Función biyectiva
Si f es inyectiva y suryectiva a la vez:
E jem p los:
1. Sean A = {2; 3: 5} a B = {7; 9; 4; 6}
La función f = {(2; 7); (3; 9); (5; 4)}
¿será inyectiva o suryectiva?
Resolución:
Es inyectiva, porque todos sus pares ordenados 
tienen segundas componentes diferentes.
No es suryectiva por que Ranf = {7; 9; 4} es dife­
rente del conjunto de llegada B.
.'. No es suryectiva.
2. Indicar si la función
f = { (x; y) e IR X IR / y = 2x + 3) es biyectiva. 
Resolución:
• Sea: f(a) = f(b) =>2a + 3 = 2b + 3 ^ a = b 
Luego: si f(a) = f(b) =» a = b
^ fesinyectiva.
• Domf = E
Pero; v x e E. 3 y g IR, tal que: y = 2x + 3 
y como f: IR -► IR, entonces el Ranf es igual al 
conjunto de llegada.
=> f es suryectiva.
3. Sea; f(x) = x'; f; 31 -♦ R
demostrar que no es inyectiva y suryectiva.
Resolución:
• Sea f(a) = f(b) = a '= b̂ = (a = b v a = -b) 
Como a b, entonces, f no es inyectiva.
• Ranf = IR*, esto es: IR' = {y e E / y > 0} 
o sea: Ranf# ®
f no es suryectiva
<Íi OPERACIONES CON FUNCIONES
Dadas f y g funciones con Domf y Ranf; Domg y Rang, 
respectivamente, denotamos y definimos to siguiente:
1. Suma y resta de f y g: (f + g)(x) = f(x) + g(x); 
Dom(f + g) = Domf n Domg
2. Producto de f y g: (fg)(x) = f(x)g(x);
Dom(f.g) = Domf n Domg
3. Cociente f por g: (I){x ) -
f
< i COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sean las funciones f: A —►BAg:B—*-0 que abrevia­
damente escribiremos:
Dom| - | - (Domf n Domg) - (g(x) = 0)
A B
A cada elemento x e A, la función f le asigna un ele­
mento f{x) e B y como B es el dominio de g, resulta 
que a este elemento f(x) g B la función g le asigna un 
elemento g(f(x)) e C.
Esto nos permite definir una nueva función, que llama­
remos g compuesta con f de la siguiente manera.
A cada x g A, le asignamos el elemento g(f(x)) g C 
A la función g compuesta con f la denotaremos por 
g o f y en forma simbólica quedara definidos por: 
f o g = (x; y) / y = g(f(x)); x e Domf
f
Es decir, si: A • B -
f(a)
Por ejemplo; sea f(x) = x + 1 a g(x) = —
X
Determinar: fog y gof 
Primero veamos: Domf = E
Domg = IB - {0}
Luego: (fog)(x) = f ( ^ ) ^ ^ + 1
Dom(fog) = {x g Domg / g(x) e Domf}
Dom(fog) = {x g IR - {0} 4 / e E}
X
Dom(fog) = E - {0}
También; (gof)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) =
(X -I- 1 )
Dom(gof) = {x e Domf I f(x) e Domg)
= { x s E / x + 1 g E - {0}}
Dom(gof) = E - {-1}
«FUNCIONES MONÓTONAS CRECIENTES Y 
DECRECIENTES
1. Una función f se llama no decreciente, si para x,; 
X, e Domf:
1
y
í(x,)
f(x,)
f (X ,) < f(X2
X , X
por ejemplo; función máximo entero.
Una función f se llama creciente (o estrictamente 
creciente), si para x,; x¿ e Domf:
f(X ,) > Í(X2
Por ejemplo: f(x) = 2x^-1
www.full-ebook.com
3. Una función f se llama no creciente, si para 
X,; X2 e Domf => x, < Xj =» f(x,) > f(x2)
Su gráfica baja o se mantiene constante pero no 
sube, conforme x va de izquierda a derecha.
4. Una función f se llama decreciente (o estrictamen­
te decreciente) si para x,; Xj e Domf
X , < X j « f ( X , ) > f ( X j )
5. Una función f se llama monótona si es que f co­
rresponde a algunos de los cuatro tipos antes men­
cionados.
IPBSBP
SI una fundón f es 
es trivalente (inyectiva)
<4 FUNCIÓN INVERSA
Se denota por f ' o f* (tomaremos el segundo por pres­
tarse a menos confusiones con otras notaciones mate­
máticas) definida por:
f* = {(f(x); X ) / X G Domf}
Esto es que el dominio de f* es el rango de f y el rango 
de f* es el dominio de f
Es condición necesaria la univalencia o inyectividad 
para hallar la inversa de la función; debido a que si 
existen dos pares ordenados de f que tienen un mismo 
segundo elemento, luego de intercambiar los primeros 
con los segundos elementos, habría pares ordenados 
con el mismo primer elemento, y por lo tanto los pares 
invertidos ya no construirán una función.
Ejemplos:
1. Sean las funciones:
f={ ( - 2 ; 5); (-1;3); (0; 1); (1;-1); (2; -3)}
9 = {(-2; 3); (-1; 0); (1; 3); (3; 5)}
hallar ta función inversa en cada caso, si existe.
Resolución:
En el primer caso, obsérvese que ninguna de las 
segundas componentes se repite, entonces; su in­
versa será:
r={ (5; -2); (3;-1); (1; 0); (-1;1); (-3; 2))
Para la función g, notar que existen dos pares or­
denados diferentes que tienen igual segunda com­
ponente, entonces no tendrá función inversa. 
Obsén/ese: g = {(3; -2); (0; 1); (3; 1); (5; 3)}
Regla: una función tendrá inversa si y solo si no se 
repite la segunda componente.
2. Analizar la monotonía de ia función:
f ( * ) t
3.
Resolución:
Analizando por tramos:
En el intervalo: [a; m) es estrictamente creciente 
[m; n) es estrictamente decreciente 
[n; b) es constante 
Luego, es continua en el intervalo [a; b]
Analizar la monotonía de la función:
f(x) =
2x - 1; 1/2 < x< 3 
8 - x ; 3 < x < 6
2; 6 < x < 10
Resolución:
Graficando se tiene:
En el intervalo: (1/2; 3] es creciente 
En el intervalo: (3; 6] es decreciente 
En el intervalo: (6; 10) es constante 
Es continua en el intervalo (1/2; 10)
4. Calcular a y b, si f es una función continua, donde:
f(x) =
ax + 3; si: X < 2 
4x + 5; si: 2 < X < 7 
2x + b; si: X > 7
Resolución:
Por ser continua, la función puede evaluarse en los 
siguientes puntos:
Evaluando a la función en x = 2, se tiene:
2(a) + 3=4(2) + 5 =* a = 5
Luego, en x = 7: 4(7) + 5 = 2(7) + b => b = 19
.•. a = 5 A b = 19
<4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Dado un número real "a", tal que: O < a 1; se llama 
función exponencial de base “a” a la función que asocia 
a cada x real el número a'y = f(x)= a'
Ejemplos:
■ f(x) - 2’
• El dominio de esta función es todos los reales, 
es decir: Domf = ( - 0 0 , + 0 0 ) = IR
• Por propiedad, si xGlRya>0
e n to n c e s : a * O; fx > r t a n to , e l r a n g o e s : R a n f = ( 0 ; + - » )
<4 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Caso I. Si: a > 1 
Ejemplos:
• f(x) = 2' • g(x) = 3'
Graficamos: y = f(x) = 2*
g(x) = (1
www.full-ebook.com
X y = r
- 3 1 /8
- 2 1 /4
- 1 1 /2
0 1
2
2 4
3 8
En genera!, si a > 1, la gràfica tiene la forma siguiente:
1. f(0) = a° = 1, 08 dedr. e! par ordenado (0; f) perte­
nece a ía funcífm.
2. Si r < s, entofíces a' < a“, o si s > r, witonces a’ > a'
3. Si r < O, entonces a' < 1
4. Si m < O, entwices a"* < 1
Caso !!. Si: O < a 1 
E jem plos:
Graficamos: y = f(x) = í ^ j =2
g(x) =
X y - i i í
- 3 8
- 2 4
- 1 2
0 1
1 1 /2
2 1 /4
3 1 /8
En general, sí: O < a < 1 
La gráfica tiene la forma siguiente:
1. f(0) = a® •= 1, es decir, e! par ordenado (0; 1 ) perte­
nece a la función.
2. SI r< s, entornes a' > a®, o a s
3. Si r < s. entonces a"̂ > 1
4. SI m > s, entonces a® < 1
• r, entonces a® < a'
<4 FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e
La función y = e’ , donde "e" es número irracional tras­
cendente juega un rol muy importante en las matemá­
ticas.
Las aproximaciones del número “e" se pueden de­
terminar con la expresión:
1 1 1 1 1 
® = + Í ! + 2! + 3! + 4! + - + ; ^ + -
El valor de "e" con siete decimales de aproxima­
ción es: e = 2,7182818...
La gráfica de y = e' es:
X y = e-
- 3 0 ,0 5
- 2 0 ,1 4
- 1 0 , 3 7
0 1
1 2 , 7 2
2 7 , 3 9
3 2 0 , 0 9
<4 INECUACIONES EXPONENCIALES
Son aqueüas inecuaciones cuya incógnita se encuentra 
en el exponente y sus criterios de solución son:
I. En toda desigualdad, si las bases son iguales y 
mayor que la unidad, al comparar los exponentes, 
el signo de fa desigualdad no se invierte, es decir:
Si la base es mayor que la unidad (a > 1), 
se cumple:
1,° a“ '"* ^ P(x) > Q(x)
2.“ gP(.)>a°<’'> P(x)>Q(x)
3,° aP(x,̂ a°“» p(x) < Q(x)
4.° gPw<gOw ^ p(x)<Q(x)
En toda desigualdad si las bases son iguales 
y su valor está comprendido entre cero y uno 
(O < base < 1) al comparar los exponentes, el sig­
no de la desigualdad se invierte, es decir:
Si ia base está comprendida entre cero y la 
unidad (0 < a <1), se cumple:
1,“ gPW. gQÍ» ^
2 / > a“ ''* ^ P(x) < Q(x)
3.° =» P(x) > Q(x)
4.“ aP(.) < qQU) ^
www.full-ebook.com
Por ejemplo, resolver:
Transformando los radicales a exponentes fraccio­
narios, se tiene:
xt6 x-6
(0,5)' -̂® < (0,5)”*®
Como la base está comprendido entre cero y la 
unidad, al comparar los exponentes, el signo de la 
desigualdad varia, es decir:
x + 6 > x - 6 
x - 6 “ X -I- 6 
Como el segundo miembro debe ser cero:
X + 6 _ x - 6 > Q
X -6 x -f- 6 “
Efectuando las operaciones indicadas, se obtiene:
N {x = O 
X = 6(x + 6)(x-6) ^ O 
Graficando en la recta real
D
x = - 6
-6
_ l
X 6 ( —6 ; 0 ] u <6; oc)
<4 FLNICIÓN LOGARÍTMICA
Dado un número real b (0<b#1), llamamos función 
logarítmica de base bala función de f de IR” en lE, que 
asocia a cada x ei número de loĝ x.
En símbolos: f: IR* —► IR
log.x
Ejemplos:
• f(x) = log2X g(x) = log 1X
y = loĝ x » X = b»
y logarftmicas son inversas una (fe ta otra.
• Para (a fundón: y = í(x) = toĝ x 
DoRMntD = Domf = <0; +oo) « x > O 
Rango = Ranf = m -» y = toĝ x e S
<4 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Caso I. Si: b > 1
Ejemplos:
f(x) = log^x • g(x) Iogx
b(x)=l0g4x • p(x)=log,2X
Graficamos: y = f(x) = log2X
X y = lo g jX
-1/4 -2
1/2 + 1
1 0
2 1
4 2
8 3
Notar que: 5 < 8 y loĝ .5 = logjB
En general: si b ''1, la gráfica tiene la forma siguiente:
1. f(1) = tog l̂ = O, es decir, el pa-<aiíewado {V, 0) 
pertenece a la función.
2. Si: r < s, entonces toĝ r < Joĝ S
3. SI: r> 1. entonces O
4. Si: O < m < 1, entonces loĝ m <0
Caso II. Si: O < b < 1 
Ejemplos:
• f(x) = log, X g(x) = log_2_x
Í2
Graficamos: y = f(x) = log^x
X y = loĝ x
8 -3
4 - 2
2 - 1
1 0
1 /2 1
1 /4 2
guíente:
www.full-ebook.com