Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (121)

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a = f(1) = 2 A b=f (4) = 11 
a + b = 13
17. Sea la función f: ( - 2 ;+cc) - {3 }^ B, definida por: 
f(x) =
^ 1 ^ - 1 : - 2 < x < 3
D D
x - 3 ’
Hallar B para que f sea suryectiva.
Resolución:
f: (-2 ; +x) - {3} = B 
- 6x - 7 .
f(x) =
x - 3
■; - 2 < x < 3
; X :> 3
- 6x > - 1 8Si: - 2 < X < 3 ^ 12 
5 > - 6x - 7 ̂ -25
1- - 6 x - 7 ^ 25 
5 ■ 5 5
1 > f ( x } > - 5 =. Ranf, = (-5 :1 )
Si: X > 3 =» X — 3 > O 1
x - 3
^ > O => 1 + —2— > 1x - 3
x - 3
x - 3
> 1 f(x) > 1 =■ Rar\f2 = <1; +«)
Luego: Ranf = Ranf, u Ranfj 
=» Ranf = (-5 ; 1) u (1; +x)
Como fes suryectiva, entonces Ranf = B
B = (-5 ; 1) u (1; + x )
18. Sea la función f: IR —► E, definida por: 
f{x) = b" , b > 1 
Calcular b̂ , si la gráfica de f es:
Resolución:
f: E —► E / f(x) = b’ A b > 1
Del gráfico: f(4) = 16 =» b“ = 16 =» b = 2 b̂ = 4
19. Determinar la veracidad (V) o falsedad (F) de las
siguientes afirmaciones.
_ 6
I. ( 4 ) ' > 1 II. (0,21)- ‘̂< 1 Ni. (73r' -^<1
Resolución:
Tenga en cuenta que:
1 < a < b =? a‘ < b‘ ; vx > 0.
1, 1 < 2 =» 1® ' < 2® "
^ 1 <. 2®'' =. 1 < ( I p (V)
11.100 >21 =» 100'>2V
> 1
(V)
III. 3 > 1 ^ 3°® > r®
=> 73’ -̂ ■> 1 =* 3’ ’ '^< 1 
VFV
20. Sean las funciones:
f(x) ^ x^ X > Q A g(x) ^ (1 j" , X e E
Determinar el conjunto f = {x / f(x) > g(x)} 
Resolución:
f(x) = x^ x > O A g(x) - ^ x G E
Graficando:
f = {X / f(x) > g(x)}
Del gráfico: f(x) > g(x) x > 4 f = [4; +3;)
21. Se define la función:
f: S -► E'" /f(x) = e’ « -|3«-7| g gg g| (jominio.
Determinar la afirmación correcta:
Resolución]_______
f (x ) -e ’ - ' ’' ^ - i ' ’‘^ '̂
=» 5 x + 1 - | 3 x + 7| > O 
=9 | 3 x + 7| < 5 x + 1
=» 5 x + 1 > O A - 5 x - 1 < 3 x + 7 < 5 x + 1 
=» x > - 1 A ( - 5 x - 1 < 3 x + 7 A 3 x + 7 < 5 x + 1)
=> x > - l A ( - 1 < x a 3 < x )O
=» x > - 1 a (x > 3 ) = x > 3 .
Luego: S = Domf = [ 3 ; + *)
E ‘ / S = E " - [ 3 ; + * ) = ( 0 ; 3 )
22. Si a < b < O y f(x) = a/a\*-s
\ b l
Determinar el valor de verdad de cada una de las 
siguientes proposiciones:
1, f es creciente, 11. f es inyectiva.
III.fes una función constante.
Resolución;
a\»-2a < b < O a í ( x ) = 
a < b =. •§ > 1 : Domf - E.b
I, V X , ; X s S E / x,< X 2 =• x, + a < X j + a
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a ( | f - > a ( | ) - 
f es decreciente (F)
II. Como f es decreciente, entonces
f es inyectiva. (V)
III. f no es constante. (F)
.. FVF
23. Sea f una función definida por la regla de corres­
pondencia;
f(x) = -3|x-11^ - 2'‘" ''‘ + 3, con x e (-I; deter-
minar el máximo valor de f. 
Resolución:
f(x) = -3|x - - 2 " - " + 3
1. 3f(x) = 3 - ( 3 | x - 1 ¡ ^ + 2''- '̂); J
f será máximo, si: 3¡x-1 + 2'“” ''
/1 3toma su mínimo valor en
Lo cual ocurre cuando: x = 1.
U - 3 - [3(0) ̂+ 2' ̂= 3 - 1 = 2
24. Dada ta función f definida por:
c-1«- ’ I
f{x) = —7— I— , determinar el Ran(f). 51« ’1+ 1
Resolución:
5-h-il
= 1 -
Domf = E =» V >
O < <1 O < 5'
1 < 5’ + 1 < 2 1 > 5-l«-i[+ 1 ^ 2
Multiplicando por -1:
1 ^ 1-1 < - 5 -I-1 I+ 1 " 2
0 < 1 -
Ranf = (0;
: con f{x) = 3̂25. Si la función f: A •
sobreyectiva, hallar el mayor dominio A. 
Resolución:
f: A /f(x) = 3’ -'" 
f es sobreyectiva => Ranf =
^ I < f{x) < 2 7 ^ 3"' < 3'-‘*' < 3"
= -2 < 3 - }x| < 3 = -5 < -jxj < O 
^ 5> | x | >0 jxj <5 
=> - 5 < x < 5 A = Domf = (-5; 5]
26. Dada la función: f(x) = M - 2‘ ; Domf = (-« :; a] 
Hallar el valor de: - a + 3.
Resolución:
f(x) = U - 2*
4 - 2‘ > O ^ 2‘ < 4 = 2‘ < 2̂
= x < 2 = x g ( —3o;2]
Domf - ( - c c ; 2] - ( - 00; a] = a = 2 
a^-a + 3 = 2^ - 2 + 3 = 9
27. Dada la función f: IR -♦ E, definidas por f(x) = 71 'y 
los siguientes enunciados:
I. Su rango es ( -» ; 0).
II- fes función creciente.
III. La ecuación f(x) = x tiene solución.
Indicar cuáles son correctos.
Resolución:
F: E -» m/f(x) = Ti’ '
I. Recuerde que, siendo: a > 0 =» vxeIR;a' ‘ >0
f(x) = = (1)- > o
=> f(x) e <0; +cc) = Ranf 
II. Para: O < - <1; f{x) = ( -n \ 71
(F)
Es una función decreciente. (F)
I. La ecuación f(x) = x => rc”* = x 
Tiene una solución, como se puede apreciar en 
la figura siguiente:
1 y = 3 i \
A = \
- 1 - 1 1 + 1 \ /
- 1 | > 0
"l’ - 1 l < 1 A Xo
Es correcto: solo Iti
2-28. Sea f(x) = 
nio de f. 2x^2 + 4. determinar el domi-
Resolución:
f ( x ) = — ^ +
2̂ + 2
Como2' + 2 > 0. V xeE,
^ 2*^- 4 > O =» > 2̂ =* x̂ > 2
=> x ' - 2 > 0 « (x + /2)(x-/2)>0
-V2 Í2
=■ XG(-oc; - / 2 ] u [ / 2 ; +00)
Domf = ( -x ; - - / I ju íV I ; +00)
29. Un obrero típico de una fábrica puede producir f(t) 
unidades diarias después de t días de desarro­
llar el mismo trabajo, donde f(t) = 50(1 - 
¿Cuántas unidades diarias se puede llegar a espe­
rar que produzca el mismo obrero?
Resolución:
f(t) = 50(1 - e-°^')
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Para un tiempo prolongado (t —► x ) 
es prácticamente igual a 0 
Por lo que f(x) = 50(1 - 0) = 50
Se espera que el obrero produzca 50 unidades,
30. Determinar el dominio de la función:
f / f(x) =
V5' + 1 
Resolución:
f(x) = + ^3'"’ - 1
f está definida, si; 3‘ - 2' > O a 3“’’ ' - 1 > O 
^ 3‘ > 2' A 3'*' > 1
= í | y > 1 A 3""' < S'’
=> x > 0 A x+1 >0 =» x > 0 
Dom f = {0; +co)
31. Hallar el dominio de la función real:
f{x) =
Resolución;
Como f ( x ) es real, se tiene; x - 1 > 0 a 6 - x > 0 
x > 1 A 6 > x = x > 1 a x < 6 = » 1 < x < 6 
xe[1;6]
32. ¿Cuál es el dominio de la función?
f(x) - J(x-1) (x-9)
Resolución:
Sabemos: ( x - 1 ) { x - 9) > O
^ 1 9 +«
« X e {-o=; 1] u [9 :+co) x g IR - (1; 9)
33. Encontrar una función lineal F(x), tal que:
F(2) = 3 ...(I)
F(3) = 2F{4) „.(II)
Resolución:
Sea F{x) = ax + b, la función lineal 
Para: F(2) = 2a + b = 3 ,,,(111)
Para: F(3) = 3a + b
Para: F(4) = 4a + b
Entonces; 3a + b = 2(4a + b) ...(IV)
De la ecuación (MI) y (V): a = - 1 ; b = 5 
.-. F(x) = - X + 5
34. Hallar los valores de a y b para que el conjunto de 
pares ordenados sea una función.
A= {(2; 5), (-1 ; -3), (2;2a-b), (-1; b-a), (a+b^a)}
Resolución:
En una función, dos pares distintos nunca tienen el 
mismo primer elemento, luego:
(2; 5)y (2; 2a - b) g A ^ 8 = 2a - b ...(I)
(-1; - 3)y (-1; b - a) IA = b - a = 3 
De la ecuación (I) y (II): 
a = 2 ; b=1
35. Hallar el rango para la función definida por: 
h(x) = x' -4 x + 7 ; xe [2: 3]
Resolución:
y = x" - 4x + 7 ^ y = (x - 2)" + 3 
Como: 2 < x < 3 = > 0 < x - 2 < 1 
Al cuadrado: O < (x - 2)̂ < 1 
Más tres; 3< ( x - 2 ) ^ + 3 < 4 => 3 < y < 4 
Ran(h) = [3; 4]
y 2
36. Si el rango de la función: F(x) = —5—
x^+ 1
es [a; b), hallar; a + b 
Resolución:
Despejando x en términos de y en: y = F(x) = 
y(x ̂+ 1) = x'
=> yx̂ + y = x̂ x̂ y - x̂ = -y
„2 _ - y . „ _
-(II)
y -1 
Como X es real:
- y
y -1
- y
y -1 >0 y -1
Ran(F) = [a; b ) = [O; i; 
a + b = 1
1 +00
a = O; b = 1
37. Si (a; bl es el dominio de ta función f definida por
f - xj/xe(0;10] , hallar la relación entre
a y b
Resolución:
7 2 x + 1.f = 2x4-3 ; x)/x€(0;10]
f = j { t ; x ) / t ^ ^ ^ A x G { 0 ; 1 0 j
Dom(f) = t 6 E/t = A X e2x + 3 (0 ; 10]}
,= | 2 L ± 4 = i _
2x + 3 
O < x< 10
2x + 3 
O < 2x < 20
^ 3 < 2 x + 3<23 =» } > ^3 2x 4 - 3
J_
23
- 2 < 2 _
3 2x + 3
1 < 1 2 _
3 2x + 3
23
21
2 3
1 ' , ^ 2 1 /1 21
Luego:a= i b = | |
3a + 23b = 22
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38. Sea f una función real de variable real definida por 
f(x) = mx + b, tal que f ( - 1) = 2 y f{2) = -3, hallar: 
3(m + b).
Resolución:
Del problema; f(x) = mx + b
f(-1) = 2 =* m(-1) + b = 2 ...(I)
=» f(2) = -3 => m(2) + b = -3 ...(II)
De la ecuación (1) y (11): m = - b =
3(m + b) = -4
39. f y g son dos funciones definidas por: 
f={ (0; 2), (-2; 3), (4; 6), (7; 0)}
g = {(-3 ; 3), (0; 3), (4; 0), (1;8), (-2; 0)}
Indicar verdadero (V) o falso (F) en los siguientes 
enunciados:
I. La función 3f tiene como dominio al conjunto 
{0; - 6 ; 12; 21}
II. La suma de los elementos del rango de ( f + ĝ ) 
es 58
III. Se cumple: x g = {(0 ; 2)}
Resolución:
Calculando Dom(f) y Dom(g); 
f={ (0; 2), (-2; 3), (4; 6). (7; 0)}
Dom(f)= {0: -2; 4; 7} 
g = {(-3 : 3). (0: 3). (4; 0). (1; 8), (-2; 0)}
Dom(g) = {-3 ; 0;4; 1; -2 }
I. Falso
Dom(3f) = Dom(f)
II. Verdadero
Dom(f ̂+ ĝ ) = Dom(f) n Dom(g )̂
= Dom(f) n Dom{g) = {0; 4; -2}
X = 0; (f̂ + g )̂(0) = f̂ (0) + g"(0) = 2̂ + 3' = 13 
X = 4: (f̂ + g )̂(4) = f̂ (4) + g (̂4) = 6̂ + O' = 36 
X - - 2 : (f^ + g ^ K - 2 ) - f { - 2 ) + g ^ ( - 2 ) = 3 ' + = 9
^ Ran(f + ĝ ) = {13; 36; 9}
La suma: 13 + 36 + 9 = 58
III. Verdadero
DomíM = Dom(f) n Dom(g) - (x/g(x) = 0}
Dom = {0; 4; -2} - {4; -2} = {0}
Luego; Dom i | x g - Dom^^l + Dom(g)
D o m
x = 0:
¡ 5 ) - = {0; 4; -2} n {0} = {0}
(0) = f(0) = 2
^ lx g = {(0; 2))
FW
40. Si f y 9 son dos funciones definidas por: 
l 4 x - x ^ ; x c [ 0 ; 4 ]
g(x) = - 4; xe (-3 : 11
+^>
f
,2x - 6: xe<2;
Hallar: ( f - g)(0)
Resolución:
Sean:
f,(x) = 1 - x; fj(x) = 4x - x'
g,(x) - x' - 4; gj(x) - 2x - 6 
Calculando las operaciones con funciones;
• ( f -g)(0) = f ( 0 ) - g { 0 ) - 0 - ( - 4 ) = 4
Pues f ( 0 ) = f2 ( 0 ) = 4 ( 0 ) - 0 ^ = O 
A g ( 0 ) = g , ( 0 ) = 0 = - 4 = - 4
• ( f . g ) ( 3 ) = f ( 3 ) . g ( 3 ) = 3 x 0 - 0
Pues: f(3) = f̂ íS) = 4(3) - 3' = 3 
A g ( 3 ) = g ^ ( 3 ) = 2 ( 3 ) - 6 - 0
5
X = _10
7 7i g ) ‘ ' ’ g( - i , 5)
Luego;
f( f -g)(0) + ( f .g) (3) -7(^) ( -1.5)=14
41. Si f y g son dos funciones definidas por; 
f = {(x; |2x - l | ) / x = -2; 0; 1:2; 5}
g = {(x; |x| ) /xe [-1 ; 3)}
Hallar la suma de todos los elementos del dominio 
y del rango de ( f - ĝ ).
Resolución;
Para la función f - ĝ :
Dom(f ̂- ĝ ) = Dom(f )̂ n Dom(g )̂
= Dom(f) n Dom(g) = {-2 ; 0; 1; 2; 5} n f-1 : 3) =
{ 0 ; 1 : 2 }
Luego:
x = 0: (f̂ - g )̂(0) = f'(0) - g"(0) = 1̂ - O' = 1 
x-1: ( f ^-g^) (1) = f ' ( 1 ) - g ' ( 1 ) = 1 ^ - 1 ^ - 0 
X = 2: { f - g')(2) = f (̂2) - g"{2) = 3' - 2' = 5
=> Ran(f ̂- ĝ ) = {1; 0; 5}
Luego; 0 + 1+ 2 + 1+ 0 + 5 = 9
42. Si f: Dom(f) —► E y g: Dom(g) —*■ E son dos funcio­
nes, determine verdadero (V) falso (F) en cada una 
de las siguientes proposiciones;
I. f = (f + g) - g
III. Dom{f -I- g) c Dom(f)
Resolución:
R e c u e r d e q u e ;
f = g » D o m ( f) = D o m ( g ) a f {x ) = g (x ) ;
V X G D o m ( f ) = D o m ( g )
I. Falsa
Dom[(f + g) - g] = Dom(f + g) n Dom(g)
Dom[(f + g) - g] = (Dom(f) n Dom(g)) n Dom(g) 
Dom[(f -H g) - g] = Dom(f) n Dom{g)
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