Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (122)

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Luego: Dom(f) no necesariamente es igual a 
Dom[(f + g) - gl, entonces f no necesariamente 
es igual a (f + g) - g
F a lsa
Dom|^.gJ = Dom{f) n Dom{G) - {x/g(x) 7 ̂0} y
este no necesariamente es igual a Dom(f). Lúe- 
fgo, f no siempre es igual a ~ | -9-
III. Verdadera
Dom(f + g) = Dom(f) n Dom(g) c Dom{f)
=» Dom{f + g) c Dom(f)
También; Dom(f + g) c Dom(g) .-. FFV
43. Si f y g son dos funciones defínidas por;
2 x -3 ;x e [ -5 ; 3]
3 - x^:x £{3; 71
g (x ) =
f(x) = X + 1 ; X e {0; 4) A g(x) =
Hallar el rango de {f + g)
Resolución:
f(x) = x + 1 ;xe {0 ;4>
g,(x) = 2 x - 3 ; x e [ - 5 ; 3]
92(x) = 3 - x^ X e (3; 7]
Dom(f + g) = Dom(f) n Dom(g)
Dom(f + g) = (0; 4) n ([-5 : 3] u (3; 7])
Dom(f + g) = (0; 3] u (3; 4) = (0; 4)
Definiendo la suma;
■f(x) + g,(x): x € {0 ;3 ] 
,f(x) + g2(x); x e (3 ;4 )
3x - 2: x E (0; 3]
4 + X - x ;̂ X e (3: 4)
(f + g )(x ) =
(f + g )(x ) =
Cálculo del rango de f + g; 
f(x) + g,(x) = 3x - 2 
0 < x < 3 = . - 2 < 3 x - 2 < 7 
^ - 2 < f{x) + g,(x) < 7 
=» Ran(f+g,) = (-2 ;7 ]
f(x) + g,(x ) = 4 + x - x^ = - ( x - I f + ^
3 < X < 4
f < ( - l
- 2 > - í x -
2 2 2
=> -8 < f(x) + gj(x) < -2 
^ Ran{f + g 2 ) - ( -8 ; -2 )
Luego; Ran(f + g) = Ran(f + g,) u Ran(f + gj) 
Ran(f + g) = <-2; 7] u (-8 ; -2 )
Ran(f + g) = (-8 : 7] - {-2 }
44. Sea f; [1; a) -*■ [b; 7), definida porf(x) = x̂ + 3 una 
función suryectiva y los enunciados siguientes;
I. fesinyectiva
II. fesbiyectiva 
Ili. f tiene inversa
Indicar verdadero (V) o falso (F)
Resolución:
f:(1 ;a ) — Ib; 7 )/f(x ) = x' + 3 
Dato: fes suryectiva => Ran{f) = [b; 7) 
Luego, graficando f{x) = x̂ + 3;
-2
Ran(f) = [4; 7) a = 2: b = 4 
Del gráfico:
I. Verdadero
f es inyectiva
II. Verdadero
Como f es inyectiva y suryectiva, f es biyectiva
III. Verdadero
Como f es una biyección, existe f inversa 
V W
45. indicar verdadero (V) o falso (F), en cada una de 
los siguientes enunciados:
I. Si f, g: E —► IR son funciones acotadas, enton­
ces f + g es acotada.
II. Si f(x) = X e (0; + 0 0), entonces f es una 
función acotada.
III. Si f es acotada, entonces - f es también acotada. 
Resolución:
I. Verdadero
f y g son acotadas existen y positivos 
tales que:
|f(x)| < M„ V X e Dom(f)
|g(x)| < M2, V X e Dom(g)
Para x e Dom(f + g) = Dom(f) n Dom{g), se tiene; 
|(f + g)(x)| = |f(x) + g(x)l < |f(x)| + |g(x)|
(Por la desigualdad triangular)
Pero: |f(x)| + jg(x)| < M, +
^ |(f + g)(x)i < M, + M̂ ; M, + > O
= (f + g) es acotada
II. Falso
f(x)= ^ ,x e < 0 ; 3)
0; ~ O ^ f(x) > O
= |f(x)| > O = f no es acotada
III. Verdadero
f es acotada =» 3 M > 0;
Tal que: | f(x)) < M v x e Dom(f)
=» |f(x)| = (-f(x)l < fVl, V X G Dom(-f) = Dom(f) 
=» - fe s acotada .-. VFV
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46. Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada uno de los 
siguientes enunciados:
I. {(x; |9 - x l̂) / X e E} es una función acotada 
inferiormente.
La función f: E —► IR / f(x) = 1 999
x^+ 1
es una fun­
ción acotada superiormente 
La función f definida por:
+ 4x; - 3 < x < O 
[5 / x ;0 < x < 4 
es acotada
f(x) =
Resolución;
I. Verdadero
f = { ( x ; i 9 - x ^ l ) / X e E }
f(x) = 19-x^l, V X G I R ; 1 9 -x ' l> 0
=> f(x) > 0 => O < f(x)
=> fes acotada interiormente
II. Verdadero
f(x) = e E
X + 1
V X e E: x̂ > O =» x̂ + 1 > 1 
1O < < 1 O < < 1999
x^+ 1x"+1 
= o < f(x)< 1999 
=> f es acotada superiormente 
. Verdadero 
. íx^ + 4x = ( X + 2 ) ^ - 4; -3 < X < O 
'^ ^ ' " | 5 J I ; 0 < x < 4 
Para f,(x) = x̂ + 4x:
- 3 < x < 0 => - 1 < x + 2 < 2 
= O < (X + 2) ̂< 4 ^ -4 < (x + 2) ̂- 4 < O 
^ -4 < f , ( x )< 0 ,..(a)
Para fjíx) = 5 •Ix
0 < x < 4 = > 0 < y x < 2 = = .0 < 5 V x < 1 0 
^ 0 < f^ (x )< 1 0 ...(p)
De la ecuación (a) y (p): - 4 < f(x) < 10 
=» O £ |f{x)| < 10 f ©s acotada 
VW
47 . Si f es una función definida por: 
6f{x) = - 2 ; V x g IR
x" - 2x + 3 
Hallar el menor valor de k, tal que |f(x)| < k, 
V X G Dom(f)
Resolución:
f(x) =
f(x) =
6
x" - 2x + 3
- 2 ; x g E
- 2
( x - 1 ) " + 2 
x e E ^ ( X - 1 ) " > O ^ { X - l f + 2 > 2
^ 0 < ------- < ^ =» 0< -------—,------ < 3
( x - 1 ) ' + 2 2 ( x - i ) = + 2
(x -1 ) " + 2
=. O < |f(x)| < 2 
k.,n = 2
k > 2
48 . Sean las funciones;
f(x) = 3x + 1, X G E A g(x) = 5x, X GE 
31 < ( fo g )< b
Hallar el valor de b. para que (f o g) sea suryectiva 
en el dominio [2; 10]
Resolución;
(f o g) existe, pues g(x) e Dom(f) v x e Dom(g); 
además:
(fog)(x) = 15x + 1; XG [2; 10]
2 < x < 10 =» 30< 15x< 150 
31 < 15x + 1 < 151 
^ 31 < {fo g )(x )< 151 
b = 151
49. Dadas las funciones; f(x) = 2x + a a g(x) = ax
Hallar el valor de a, tal que; (g* o f)(x) = ^ + 1
Resolución:
Teniendo en cuenta que:
g o g * = í a l o f = f o l = f
f(x) = 2x + a a g(x) = ax, son funciones biyectivas,
tenemos:
(g*of)(x) = | + i 
=* gl(g’ o0{x)] = g ( | + l)
= [(gog ‘ )o f](x) = g { |+ 1 )
- f ( x ) = g ( | + l ) - 2 x + a - ( | + l ) a 
=» 2x + a = j x + a a = 4
50. Sea f: [0; 1] -*• [2; 4] una función creciente y so-
breyectiva, tal que f(x) = ax + b. Hallar a - b
Resolución;
Como f es creciente de la definición tenemos que 
f es inyectiva, y como toda función lineal es sobre- 
yectiva concluimos que f es biyectiva. Luego; 
f(0) = 2 =. b = 2 
f(1) = 4 ^ a + b = 4 ^ a = 2 
a - b = O
51. Seaf(x) =
x^+ 1 
Resolución:
•; Dom(0 = E
. Hallar f*(x), si existe
f(x) = ^
x"+ 1
Veamos que f no es inyectiva 
Sean x, ; X2 e E / fíx, ) = f(Xj)
X , X , X , X_ _ ^ = 0
x ; + 1 X2 + 1 x í + 1 X2 + 1
1 = 0X 1X 2 + X , - X ? X 2 - X
( X Í + 1 ) ( x ^ + 1 )
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^ (X, - X,) (1 - x,x^) = 0 
=> X, = X ̂ V X,X2 = 1 
Con lo cual f no es inyectiva 
Veamos por ejemplo que:
4 ^
52. Halle la inversa de la función f(x) = 4 - Vl - x̂ ; 
X éí 1-1; o! si existe
Resolución:
Veamos si f es inyectiva:
Sean x,; Xj e f~1; 0], tal que: f(Xi) = f(Xj)
- 4 - J1 - X ? = 4 - V l - x =
=> (X, + X2>(X, - X2) = o =» X, = -X j V X, = x¿ 
Como X,; X2 e (-1 ; 01:
=> x, = -X2 => Xi = X2 = O
En general: x, = x¿ = f es inyectiva y f* existe
S e a : y = 4 + h - x ^
^ V1 - x ^ = 4 - y ^ 1 - x ' = (4 - y)^
= x^ = 1 - {4 - y) '
^ | x | = J 1 - ( 4 - y ) ' A x e !-1: 0 ]
- - X - - ( 4 - y ) ^ f * ( x ) - / í - “ ( 4 - y ) '
53. I n d i c a r v e r d a d e r o ( V ) o f a l s o ( F ) e n c a d a u n o d e l o s 
e n u n c i a d o s s i g u i e n t e s :
I . S i f e s u n a f u n c i ó n b i y e c t i v a , e n t o n c e s f o f * = f * o f .
I I . S i f e s c r e c i e n t e , e n t o n c e s f * t a m b i é n e s c r e ­
c i e n t e
I I I . S i f e s i m p a r e i n y e c t i v a , e n t o n c e s f * t a m b i é n e s 
i m p a r .
Resolución:
I - F a l s o
f e s b i y e c t i v a f e x i s t e 
f * o f = i . v x E D o m ( f ) 
f o f * = I , v x e D o m ( f * )
P e r o , D o m ( f ) n o n e c e s a r i a m e n t e e s i g u a l a : 
D o m ( f ) . L u e g o : r o f f o f 
P o r e j e m p l o : f ( x ) = 7 2 - x 
D o n d e : D o m ( f ) = ( - e x ; ; 2 ] 
f e s i n y e c t i v a y f * e x i s t e : 
f ( x ) = 2 - x ^ ; D o m ( r ) = [ 0 ; + c c )
N o t e q u e : D o m ( f ) + D o m ( r )
I I . V e r d a d e r o
f e s c r e c i e n t e = > f e s i n y e c t i v a
= » f * e x i s t e y e s t a t a m b i é n e s c r e c i e n t e .
I I I , V e r d a d e r o
f e s i m p a r y f e s i n y e c t i v a 
^ f ( - x ) = - f ( x ) A f * e x i s t e 
n - y ) = X ^ - y = f { x )
- y = -f(x) - y = f ( - x )
^ - X = f * ( y ) ^ X = - f ( y )
Luego: T (-y ) = - r (y ) 
.-. FW
V es impar
54. Sea f(x) = x + |x|. Indicar verdadero (V) o falso (F) 
en cada uno de los siguientes enunciados:
I. Existe la función inversa T de f.
II. f(x)> O, V xeIR
III. fes acotada
2x; X > O 
0; x < O
Resolución:
f(x) = X + |x|; f(x) =
I. Falso
f no es inyectiva (la función nula, no es inyectiva)=» f* no existe
II. Verdadero
De la definición de Dom(f), vemos que: 
f{x) > O, V X e IR
III. Falso
Ran(f) = [0; + c c ) , con lo cual f no es acotada 
FVF
55 . Dada la función; F(x) = - ^ x ^ + -|x - ^ 
si X < 2, hallar la inversa, si existe;
Resolución:
Del dato: F(x) - - 6x + 1)
^ F(x)= - | ( x - 3 ) " - i - 2 ; x < 2 
Sean x,; X2 e Dom(F) / F(x,) = F(X2)
- - l ( x , -3 )^ + 2 = - 1 ( x2 -3 )^ + 2
^ (x, - 3)' = (X2 - 3)= ^ |x, - 3| - |x̂ - 3[
Como x,; X2 e Dom(F), se tiene:
x, < 2 ax2<2 =» x , - 3 < - 1 < 0 ax2 - 3 < - 1 < 0
Luego: 3 - x, = 3 - Xj x, = Xj
» F es inyectiva y por tanto F* existe
Sea; y = - ^ ( x - 3)" + 2 = 4(y - 2) = - (x - 3 f
^ (X - 3) ̂= 4(2 - y) A X < 2
^ Ix - 3| - V4(2-y) = 3 - X = 2 / 2 ^
« X = 3 - 2 ^ 2 ^ F’ (x) = 3 - 2 / 2 ^
56 . Hallar r , si existe para;
f(x) = (Ix - 31] - 30 + x)V62-2x
Resolución:
Primero tenemos que;
6 2 - 2 x > 0 =» x<31 , luego
f(x) = (31 - X - 30 + x)V62^2x
=> f(x)= V 6 2 -2 x ;x < 3 1
Como f es inyectiva, entonces f* existe.
Luego: y = /62 - 2x => / = 62 - 2x
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57. En la figura adjunta se muestra una región som­
breada.
Hallar el sistema de inecuaciones que mejor define 
dicha región
Resolución:
De la figura:
La región sombreada es la representación del sis­
tema de inecuaciones: 
y > y < -|x | + 2 
-H ŷ > 1
58. En la figura adjunta se muestra una región som­
breada.
Hallar el sistema de inecuaciones que mejor define 
dicha región
Resolución:
La región sombreada es la intersecación de la par­
te interna del rombo con la región externa del disco 
centrado en el origen, cuyo radio es:
R = - ^ = 2/2 
■/2
Luego, el sistema de inecuaciones será:
|x| + |y| < 4 => + / > (2 /2 f = 8
59. Si A es un conjunto definido por:
A = {(x; y) € E X E / /x - y < 1}, hallar la figura 
que mejor representa la gráfica del conjunto A.
Resolución:
A = {(x; y ) e E X E / Vx - y < 1}
De: ^ x - y < 1
= » x - y > 0 A x - y < 1 ® x > y A y > x - 1 
= » x - 1 < y < x ; y s u gráfica es:
60. Al representar gráficamente el siguiente sistema: 
x -I- y < a 
- x -h y < a 
- x - y < a 
X - y < a
Se obtiene una región cerrada, cuya área es 32. 
Hallar el valor de “a".
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