Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (126)

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<4 LOGARITMOS DE NÚMEROS NEGATIVOS
P a r a d e d u c i r l a f ó r m u l a , s e d e b e h a l l a r l a f o r m a e x p o ­
n e n c i a l d e l n ú m e r o n e g a t i v o , e x p r e s a d o c o m o u n c o m ­
p l e j o , c o n f o r m e s e i n d i c a :
- N ^ . N + O i = N e " '
L u e g o .
l o g ( - N ) = l o g N e ' = l o g N - l o g e ' ' - l o g N + n i ( l o g e ) 
l o g ( N ) = l o g N f 1 . 3 6 4 3 9 i
Ejemplos:
1 . R e s o l v e r y h a l l a r x e n : i o g ^ J M + l o g i 2 + l o g f l , 2 = O8
Resolución;
T r a n s f o r m a n d o l a e x p r e s i ó n :
'092, ( 2) " + l o g i 2 + 1096.2 = Og
- 2 1 0 9 2 , 2 + l o g i 2 t l o g g , 2 = O
5
P o r l a p r o p i e d a d d e l a c a d e n a :
 L _ = o109¿2x l o g ¿ ( x / 8) l o g ^ S x
D e s d o b l a n d o e n l o s d e n o m i n a d o r e s :
^ . 2 , 1_ . ^_ _ _ _
1 + i o g 2X l o g 2X - 3 3 r l o g j X
2I092X - 1 S + 1092̂ - A l o g j X + 3 - l o g ^ x -
2 l o g 2 x - 3 = O 
L u e g o 2I092X + 1 8 = 0 l o g j X = - 9
X = 2 "
2 R e s o l v e r : l o g x ' ' ® ’ - l o g x - 6 == O 
Resotución:
L a e x p r e s i ó n p u e d e e s c r i b i r s e c o m o :
l o g x X l o g x - l o g x - 6 = 0
( l o g x ) ' - l o g x - 6 = O ( l o g x - 3 ) ( l o g x + 2 ) = O
I g u a l a n d o c a d a f a c t o r a c e r o s e t e n d r á :
• S i - l o g x - 3 = 0 ^ l o g x = 3 x , = 1 0 ^
• S i : l o g x + 2 - O l o g x = - 2 x¡ = 1 0 ' ^
3. Resolver: log. log,2 + 1 O
2 ] = -1
log,{iog,,x
Resolución;
La igualdad puede escribirse como; 
logxlog, [log,|..y 2] = -1
Por la regla de la cadena: log[log 
Aplicando la definición de logaritmo:
1 0 ' = i
Aplicando nuevamente la definición de logaritmo:
(log.:,xy'O - 2 == log,-x = 2'°
Luego: x - 17'^'' x - 2^"
Resolver: iog.x" ! log,^x'' - 4 
Resolución;
Transformando la ecuación:
xlog.x + x^tog,-x - 4 x + x^l0g,ix = 4
Por la regla de la cadena se tendrá que:
X + X "
1
'log<x
+ x̂ ̂ ^ = 4 ^ X + 4 ; - = 4 ^ x̂ + 2x - 8 = O21og.,x./ 2
Factorizando:
(x + 4)(x - 2) = O X, = - 4 (no cumple)
Xj = 2 (cumple)
Calcular: log,. ̂antilog4;5 cologejj 8 
Resolución;
Sacando raíz; log.'santilogívjcolog^yj 
Expresando el colog en función del logaritmo: 
log.'2 antilo94j21094/2 = log2''*Í8^ = log/2*^^
Luego: logj^/2’ ® = -9
Si X = 2, calcular: k = ( 3 '° 3 » ’‘ +
Resolución:
Aplicando la propiedad de la permuta;
Efectuando el paréntesis: k = (8'®̂ “ )̂''̂
Desdoblando el exponente de x y reemplazando su 
valor se tendrá:
k = [8(2'“9^^r*'r'- = (16)’'" k = 4
7. Efectuar:
22 + 10976 gl097l4
glog72
Resolución:
Transformando el numerador del radicando en el 
radical;
K =
K =
K =
x2 ) 4 x 2'°9^5+5’ '̂°®'̂
5̂ 972
4x2'°3'" + 6 x 5 ‘° '̂
5'og,2
k = 3
8. Resolver: log<2 + logg,2 = colog2,4 ^
8
Resolución;
Por la regla de la cadena en el primer miembro y 
expresando en función de log el segundo miembro;
 L ^ + _ L „ = _ L _
iog^(x/8) log^lBx) log2(2x)
Desdoblando los denominadores;
1 . 1 2
logjX- 10928 logsS - logjX log22 - logjX
Haciendo: log^x - a 
2
a - 3 a + 3 a + 1
=» a = -9
a" + a = a" - 9
Luego, reponiendo x: log^x = -9 =» x = 2’
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9. Si l o g „ X = 5, c a l c u l a r ; K = l o g „ — ~ —
w
Resolución;
Transformando el cociente a resta de logaritmos:
K = l o g , / x / y y ' ^ - l o g , / / y
Multiplicando y dividiendo entre x a la cantidad 
subradical en los radicales:
K = lo g . , ( x ^ )
K = ~ | io g „ /y - log ,/
i i
Luego: K = -(log,^Jx + log,,/)^) - ^ ( 1 - log„x) 
K = ^(^ log ,,x + -i|o g ,,xy )-^ (1 - log</)
Reemplazando el valor de log x = 5
K = 15
10. Resolver: 1 2 logo 25(4- x ) ^ 
log2(3 + x)l o g á i s + x )
Resolución:
P o r l a r e g l a d e l a c a d e n a e n e l p r i m e r s u m a n d o ;
R ^ 2 l o g , ,4( 4 - x ) _ 
l o g á i s + x )
D á n d o l e c o m ú n d e n o m i n a d o r :
l o g , , , 3,6 X l o g ^ í x + 3 ) + 2l o g , , 4(4 - x) = l o g 2( x - r 2 )
log2 = tog¿(x + 3)
2 lo g ,(4 - x ) - '^ 
6
4 - x
Donde: x, = 3 v x¡ = 2 
Inx - e11. Resolver: log 
Resolución:
Inx
4 - X
= In - e
= X + 3
Multiplicando a ambos miembros por logx 
' In X - elogx log,
logxiog.
In x + e
In x - e > 
In x + e ) = -1
= (ini - lne)logx 
Inx - e\‘og| In X + e , = -1
Aplicando ta definición de logaritmo 
In X + eIn X - e _ 10 ' - — 
in X + e 10 In X - e
Por la propiedad de proporciones 
.§. = £=» a + b _ c + d 
b a a - b c - d
= 10
2lnx 10 + 1
2e 10-1
OPERACIONES CON LOGARITIUOS DECIMALES 
C aracterísticas y m antisa
Dentro de los logaritmos decimales existen valores que 
están compuestos por una parte entera (característi­
cas) y una parte decimal (mantisa).
Así sea: logN = a,bcd
mantisa
característica
Determinación de la característica de un loga­
ritmo decimal
1.®' caso: cuando los números son mayores que la uni­
dad; en estos casos el valor de la característica estará 
dado por la cantidad de cifras del número disminuido 
en la unidad.
Ejemplos:
log2 = 0,30103 
log3 = 0,47712 
Iog20 1,30103 
logSOO = 2,47712
Número de cifras del número = características + 1
Ejemplo:
¿Cuántas cifras tiene 5‘’°x 2™x 3’“?
Resolución:
Sea: N = 5""x 2™x 3'“ = 5“°x 2‘°x 2^°x 3’°
N = (10"")2'°x 3'°
Tomando logaritmo a ambos miembros; 
logN = Iog(10"°x2^°x3’°)
Luego: logN = 40 + 30log2 + 10log3
logN = 40 + 30(0,30103) + 10(0,47712) 
logN = 53,801112 N tiene 54 cifras 
2.® caso: cuando el número es menor que uno; en es­
tos casos la característica será negativa e igual a la 
cantidad de ceros que le precede a la primera cifra sig­
nificativa inciuido el cero de los enteros.
Ejemplos;
-2,68897 = -2 -0,68897
-3,047712 = - 3 -0,047712
Número parcialmente negativo: cuando su caracte­
rística es negativa y su mantisa positiva.
Ejemplos;
3,19814 = -3 + 0,19814 
5,24134 = -5 + 0,24134 
7,21573 = -7 + 0,21573
Conversión de un número totalmente negativo 
a uno parcialmente negativo y viceversa
Para realizar la conversión se suma y se resta uno (1) 
convenientemente y luego se efectúan operaciones de 
acuerdo a lo deseado.
Ejemplos:
1. -2,69897 = - 2 -0,69897 + 1
= -1 = -3 + 0,30103 = 3,30103
2. - 3 ,0 4 7 7 1 3 = - 3 - 0 ,0 4 7 7 1 2 + 1 - 1
= -4 + 0,0952288 = 4,952288
3. (ogO,00145 = -2,838632 (totalmente negativo)
logO,00145 = 3,161368 (parcialmente negativo)
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4. logO,0000000145 = -7.838632 (totalmente negativo) 
logO,0000000145 = 8,161368 (parcialmente negativo) 
Es decir; si: logx= - 421,037
X tiene 421 ceros entre ia coma decimal y la prime­
ra cifra significa.
5. ¿Cuántos ceros existen entre el cero de los ente­
ros y la primera cifra significativa de (0,02)^°.
Resolución:
Sea N = (0,02)™
Tomando logaritmo a ambos miembros: 
logN = log(0,02)'“
Luego:
logN = 70log0,02 = 701og'l0"^ 
logN = 70(log2 + log10’ )̂ = 70(log^ -2 ) 
logN = 70(2,30103) = 70(1,69897) = -118,9279 
N tiene 118 ceros
Desigualdades logarítm icas
log^a > logt,c
log^a > c
a c; b > 1
a < c; 0 < b < 1
a .■> b*"; b > 1
a < b^ 0 < b < 1
a > c; b > 1
a < c; 0 < b < 1
b̂ > b'
Ejemplos:
1. Resolver: log^(5x - 12) < -3
2
Resolución:
Analizando: 5x - 12 > O =» x > (12/5)
Resolviendo: 5 x - 12 > (1 
5x > 20 =̂ X > 4
- ( I )
• . . ( I I )
La solución estará dada por: (l) n (II): x > 4
X e ( 4; + c c )
2. Resolver: > 1
Resolución:
Analizando: ^ > O
X - 1
Los puntos críticos serán: -15 y 1; en la recta nu­
mérica:
.-. X e ( -3 o : 1 5 ) u <1; +oo)
Pero: x?í1. x > 0 =='Xe(1: +«) ...(l)
Resolviendo: > 1 ^ x + 15-X^ + x ^ ^
x - 1 x - 1
Reduciendo y multiplicando por (-1):
x ^ -2 x -1 5 < O
Luego, factorizando el numerador:
(x + 3 )(x -5 )
(x -1 )
Los puntos críticos son: -3 , 5 y -1 , en la recta nu­
mérica:
Donde: xe ( - x ; -3 ) u (1; 5)
La solución general será (I)n (II): xe (1; 5)
Resolver: log2(2x + 4) > log2(5x + 3) 
Resolución:
Analizando: 2x +4 > 0 = » x > - 2 
5x + 3 > 0 = » x > -3/5 
También como la base (II) es mayor que (l); 
2x + 4 > 5x + 3 
-3 x > -1 => X < -ió
La solución será: (l) n (II) n (MI):
( I I )
•••(i)
- ( I I )
.(III)
Resolver: logjIS - 4x| > 2 
Resolución:
Analizando: |3 - 4x| > 3̂ ; pero: |a|̂ =
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
|3 - 4x|' > 9̂ ^ |3 - 4xp - 9" > O 
(3 - 4x)^ - 9̂ > O 
(12 - 4x)(-6 - 4x) > O ^ (4x - 12)(4x + 6) > O
Los puntos críticos son: 3 y -3/2, en la recta numé­
rica:
X e ( — c o ; — 3 / 2 ) ' • j ( 3 ; - ( - o c )
<4 EL NÚMERO e Y LOS LOGARITMOS NATURALES 
El número e
Se define este número por la expresión:
cuyo segundo miembro consta de una infinidad de su­
mandos.
El número “e" quedará perfectamente determinado por 
la igualdad anterior, si conseguimos demostrar que la 
suma:
s . - 1 + 1 + ̂ + 1 + . . . 4 -1
tiende a un limite finito y determinado, al crecer “n" in­
definidamente.
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