Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (127)

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Prescindiendo de los dos primeros términos cuya suma 
es 2, se observa que los siguientes son, a partir de! 
segundo, respectivamente, menores que ios de la pro­
gresión geométrica decreciente.
1 1
1 2 2"^’— , cuya suma: • ^22 2̂ T
tiene por limite la unidad cuando n x. Luego, es 
una variable constantemente creciente que tiende a un 
limite finito y determinado comprendido entre 2 y 3. Di­
cho límite es el que representamos por la letra “e”. 
Acabamos de ver que el número "e” no es entero, pues­
to que está comprendido entre 2 y 3. Veremos ahora 
que tampoco puede ser fraccionario; pues si se verifi­
case ia igualdad:
n 1! 2! 3! ^ -^ n !
1 1
(n + 1)! (n + 2)! 
multiplicando los dos miembros por n!, tendríamos: 
m(n - 1)! = n! + n! + 3 X 4... n + 4 x 5 ,..n + ... + 1
+ . . .
1 1 1
' n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) .....
igualdad absurda, puesto que el primer miembro es un 
número entero, y el segundo miembro se compone de 
parte entera.
ni ni + 3 x 4 ... n + 4 X 5 + n -i- ... + 1 
seguida de una suma de fracciones.
^ + ^ ^ +
n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1){n + 2){n + 3) '■
Evidentemente menor que la suma de la progresión: 
1 . 1 . 1■ + +
n + 1 ( n + 1) ̂ (n + 1)
1
cuyo límite, según sabemos, es: n + 1
1 - 1
Se deduce, pues, que la hipótesis e = ^ es inadmisible
y. por tanto, e! número “e" es irracional.
Se tendrá un valor aproximado del número “e” tomando 
en la suma que define este número, un número limitado 
de términos. Si se toman los n + 1 primeros, el error 
cometido tendrá por expresión.
^ “ (n + 1)7"'' (n + 2)1 (n + 3)1 '■
Hallaremos un límite superior del error, por las siguien­
tes transformaciones:
1 1 1
n + 1 (n + 1)(n + 2) (n+1)(n+2)(n+3)
E < n̂!
1 1 1 1 1
n!nn + 1 ( n + 1) ' (n+1)^
La última desigualdad nos dice que, el error que se co­
mete tomando por valor aproximado del número “e”, la
suma de un cierto número de términos, es menor que el 
último de los términos tomados dividido por el número 
que indica los términos que le anteceden.
El valor aproximado del número “e" con seis cifras 
exactas es 2,718281.
Límite de (1 + —) cuando “m" crece indefinidamente.l mi
Estamos en el caso de la forma indeterminada . 
Supongamos, en primer lugar, que "m" crece sin fin y 
sin límite, pasando únicamente por valores enteros y 
positivos. En este supuesto, desarrollando la potencia 
indicada tendremos:
/. 1 v"" . 1 m(m - 1 ) 11-h-L =; 1 +rn-L + _ L —— + 
l m/ m 2! tn̂
m (m -1)(m -2) i , m (m -1)(m -2)(m -3) 1” - + a, . + ...3! 4 !
Desarrollo que puede ponerse en la forma:
2! 3!\ 1 - - 1m/\ mi
Pero, es evidente que:
( 1 - - Í Í 1 - - U 1 - - - - +
m/\ m /\ m i \ m
- L > 1 _ 1±1 _ 1 _ 2 x 3 .
m 2m ■
1 I o w o > ^
1 - 1 ) m I
1 +2 + 3 3x4
m 2m
y, como por otra parte, los productos contenidos en los 
primeros miembros de las anteriores desigualdades, 
son todos ellos menores que la unidad, por serlo cada 
uno de los factores que lo componen, tendremos;
j > 1 _ 2X3 
m/ 2m
1
de donde:
(l )(l - —)= 1m /I m ' 2m
= 1 - k. 3x4
2m
siendo k,. kj ... números positivos convenientemente 
elegidos, menores todos que la unidad.
1
Sustituyendo en el desarrollo de 1̂
11
, resulta:
= ( i+ ^ + ¿ + -
y to m a n d o lim ite s :
3 !'
k 2 x 3 \ ,
2m ) ^
1 /h k, kj
2m( ^ 1 ' 2!
3! 4!
lím
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Pero, el límite del primer paréntesis es el número "e": 
el límite del segundo paréntesis es un valor finito no 
superior a “e", a causa de ser k,; k2i k3,,, números me­
nores que la unidad, y el limite de ^ es cero. Luego
se tendrá en definitiva;
Si “m” es un número positivo, fraccionario o irracional, 
existirán siempre dos enteros consecutivos "n" y “n + 1”, 
tales que satisfagan a la limitación;
n < m < n + 1
y al crecer “m” indefinidamente, crecerán del mismo 
modo “n" y “n + 1".
Cualquiera que sea el valor de “m" se tiene, en virtud de 
la limitación anterior:
f l
Pero: 
lìmi 1 -Hn + 1.
n + 1
- lim
Í 1 + - Í
n+ 1, n + 1,
= límí1 + n + 1, ;lím /l n + 1 = e; 1 = e
lím(l + ^ lím
^ lím |l + X n) ^ ® ^ ^ ®
Luego la expresión + ~ j comprendida constante­
mente entre otras dos que tienen por límite común el 
número “e", tiende al mismo limite.
Si m crece indefinidamente, siendo negativo, se tiene: 
m /. , 1 r
■ m - 1' m - 1,
= í^ + m - 1, 1 + 1
De donde, tomando límites:
l im ( l - —) = lim (l-H—\ m/ \ m -
= e X 1 = e
X lim(l +
m - 
1 \
Queda pues demostrado, para todos los casos en que
“m" es real, que la expresión ^ j tiene por limite el
número “e”, cuando “m” crece indefinidamente.
Del resultado anterior se deduce, en la misma hipótesis 
m —* x:
l lm ( 1 + A r = e
en efecto, se tiene
X1 + ^ r = / i + _ L 
m ' m
Tomando limites, resulta:
m
X
l im ( l + — f = lim
EL
' m ' m
X
Estoes; lím ^ l- t-^ j = e*
Lim ite de (1 + u)^ cuando u tiende a cero
Si en la expresión hacemos a = i^ , al crecer
"m" indefinitivamente. a tenderá a cero, esto es, a será 
infinitamente pequeño, cuando “m" sea infinitivamente 
grande, pero:
d + „ ) í = ( i + i r
y tomando límites de ambas expresiones;
lím (1+a)«= l ím f l+ —) = e
Logaritmos naturales
Los logaritmos naturales se definen por las progresio­
nes:
... -2a , -a . O, a, 2a na, ...
...(1 + a ) ■ ^ (1 + a ) ~ \ 1, {1 a ) , (1 + a ) ^ (1 + a f , ...
en las cuales u es un número positivo que tiene por 
limite cero. Según esto, y teniendo en cuenta las defi­
niciones dadas en el Tratado de Aritmética y Álgebra. 
la base de este sistema es el número "e", puesto que:
lim(1 + a p = e
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P R O B L E M A S RESUELTOS IQ
1. Determine ei valor de x en la ecuación: 
- 2 7 X - 0
Resolución: 2
Obsen/ar: = i3 = /3 ' .
Reemplazando:
(3^) =27 '
27®'°°'’ ̂ _ 2JX. bases iguales
. X = 2'°93
x = Í̂4
2. Determine el valor de x en;
■ogáHx - 1) ^ 2 + log^íx - i;
Resolución:
Transformando; 1
1093( x - 1) 
1 A X 2
= 2 - 1093( x - 1)
Observar: x 
De la ecuación:
1 = 2I093(x - 1) - log^(x - 1)
^ 1o93(x - 1) - 21o93(x - 1) + 1 = o
Conocido 
[ Io g 3 { x - 1 ) - I f = 0 : 
x= 4
109j(x - 1) = 1
3. Sea a > 0; X > O y, además.
(7x)'°®®̂ - (Sx)'“̂ ®̂ = O, determine el valor de x.
Resolución:
De (7x)'^-’ =
Tomando logaritmos en base ‘‘a”: 
log,7 X log^í/x) = iog^S x log^íSx) 
lo9a7(loga7 + log^x) = log^SílogaS + log^x)
Efectuando y transponiendo:
loĝ a? - loĝ gS = logaS x log^x - log,7 x log^x
‘09^7 - log^,5 = -log^xílog j - log,5)
(log,7 + log35)(logJ - log,5)
=» lo9a7 + log^S = -logá
log^SS = log^x ' 35
Se define (a función f, mediante:
f(x) = 1092(̂ 2 + X + V2 - X ), entonces el Ran(f), es:
Resolución:
De f(x) = log2( /2~Tx + V2 - x)
Obs.: 2 + x > 0 a 2 - x > 0 a ( V 2 + x + V2 - x) > O
= > x > - 2 a x < 2 
x> -2 A x < 2 
X > -2 A X < 2
De aqui: - 2 < x < 2
• Transformemos la expresión mostrada a radical 
doble, asi:
^ 2 T x + í 2 ^ = / [ T f r T T T f ^ T f
= ^4 + 2 ^ 4 -x '
Ahora, de -2 < x < 2
• Al cuadrado: O < x̂ < 4
• Por(-1): - 4 < x̂ < O
• Sumo 4: O < 4 - x̂ < 4
• Saco í~- O < - / í - x" < 2
• Por 2: O < 2 Ü - x ^ < 4
• Sumo4: 4 < 4 -2^4 - x" < 8
• S a c o f : 2 < i ^ ~ 2 Ü ^ < 2 Í2
2 < Í 2 ^ - Í T T x < 2 ñ 
Obs.: O < f(x) < 2 Ran(0 = [2; 2 /2 ]
5. Halle el conjunto solución de la ecuación:
6.
[((og.^x)- 1]^ = 
Resolución:
[ ( i o g , , x ) - i ] ' ^ ^ ^ ^ ^
c/2
lo g .^x - lo g .^ ^ = (-? j-^
De donde; - /2
■/2
Determine la suma de las raices de la siguiente 
ecuación: [log2(2x + 1)]̂ + lcg2(2x + 1)' = 3
Resolución;
[l093(2x + 1)]̂ + log2(2x + 1)̂ = 3
log2(2x + 1) = a. la relación queda así;
â * 2a - 3 = O
a 3 ^ a — — 3
a - ^ ^ - 1 ^ a = 1
iog2(2x + 1) = -3 V log2(2x + 1) = 1
^ 2x + 1 = 2’ ̂ V 2x + 1 = 2
X , = 16 V 2
7.
Luego: x, + x, = - ^ + 1 = ^
Al resolver la ecuación logarítmica;
(log2x)log,(^^* ] = -1 , el conjunto solución eslog,-3X
{a; b}. Determine: E = ab
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Resolución:
(lo92X)log log.^x
Por la regia de la cadena: 
log2(log.®'/3 X log,-^)= -1
|lo g ,3 x -i|og,3 -2 ’
=5 log^,3 = 9 => log,3 = 3 v log,3 = -3 
^ = 3 V = 3
^ X = ■̂[3 V X = : ; ^
3)3
.-. ab= 1 
8. Resolver: log,
Resoiución:
log32
1093 2
log3(log.iX)
C S = )® ;5 ^
+ 1 = 0
= {a: b}
log
'oQjí'ogvix)
+ 1 = 0
Usando: = j^g n
lo9ba
(log3X)log,(íog,„g.^,2) = -1
log3(log,o9, ,̂2) = -1
(Io 9 io9 ^ .2 ) = 3 ' ' ^ lo g j( !o g ,^ x ) ^ 3
^ (log^x) = 2" = X = /2 " ' X = 16
9. Resuelva ef sistema: 
log^x + log.y = 2
5 ' ° * ! ' ’ ' + 3 i ¿ ; 2 “ t
y determine el valor de: lo g / 
Resolución:
log^x + lo94y = 2 ..,(1)
= f ...(2)
( - )
De(1): -Jlog2X+ ^ lo g ,y= 1 
De (2): llog^x + ^log^y = |
■ l̂og^y - ^log^y^
'0 9 2 y (|--5 ) ^ ^ log^y^S ^ y = 2̂ 
En (1): log^x + log,22^ = 2
'092X + 1 = 2
log,x = I092X
'092V
loQjX = ~ 
J.
1 = 1 
■ 3 6
^*^9?j 2 2 5 j _ _ J _ 2|qq y
l o g , ^ ( 2 2 5 ) ^ - \ c a l c u l e x + y
+ y = 50
Resolución;
-
x̂ + y = 50 ,.,(2)
= log,(xy) = 7 - iog.y" =» log.(xy) + io g ^ = 7 
^ log,(xy') = 7 ^ xy' = x" " = X® « y = x̂
En (2): 2y = 50 ^ y = 25
Luego: x̂ = 25 ==> x = 5 (x >0) /. x + y = 30
11. Indicar el valor de verdad de las siguientes propo­
siciones:
I. logoo,0,0000l > 1
II. Si f(x) = logo,25(6 '̂ + e* - 2) => Dom(f) = E
III. Si g(x) = e"*'” con x e E =■ Ran(f) = [1; ctj 
Resolución:
I. logoo,0,00001 - log,Q_j10“^
logo.o,0,00001 = 5|log,o10 - I > 1 (V)
II. ( X ) = logo,2s(e'’ + e“ - 2)
e ‘̂ + e‘ - 2 = (e' + 2){e“ - 1) > O 
==• e“ - 1 > O ^ e‘ > 1 = e°
= X > O => Dom(f) = E ‘ E (F)
=> g{x) > 1 =» Ran(g) = [1; + ^ ) (V)
.'. VFV
12. Si: logS = a A lo g -^ ^ ^ b, calcular: lo g [-~ ^J 
Resolución:
logS = a A lo g ( ^ ^ ) = b
=> Iog2401 - log125 = b => 4log7 - 3log5 = b 
b + 3a
logi
log7 = 
343
3125 log343 - log3125 = 3log7 - 5log5
_ 3/b_+_3a ̂ _ 5g _ 3b + 9a - 20a ,3 b -1 1 a
13. Calcular el valor de la expresión:
exp27Í¿ expsí--! '091/2( 4 '
Resolución:
• exp^íx) = a’ ; a >0 A a 7̂ 1
A = (e x p „ ( I) ) (e x p 3( - l ) ) lo o i ( l ;
A = (27ÍH3-7)(iogj.i2 ■■■ A = = 2
14. A un cierto número “p" se le duplicó y se le toma su 
logaritmo neperiano y el resultado es igual al triple 
del logaritmo neperiano del número “p”.
Sí log(4p) = klog(p}, hallar el valor de "k”.
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