Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (131)

Vista previa del material en texto

Límites
y
Derivadas
O
D
a
o
o
G o ttf r ie d W ilh e lm L eibniz , a v e ­
c e s v o n L eibn iz , n a c ió e n Leipzig 
e l 1 d e ju l io d e 1646 y m u r ió en 
H a n n o v e r e í 14 d e n o v ie m b re d e 
1716. F u e u n filó so fo , ló g ic o , m a ­
te m á tic o . ju r is ta , b ib l io te c a r io y 
p o lí t ic o a le m á n . Es c o n s id e ra d o 
u n o d e los g ra n d e s p e n s a d o re s 
d e los s ig lo s XVII y XVIII, y se le 
r e c o n o c e c o m o «el ú lt im o g e n io 
un iversa l» .
A u n q u e la n o c ió n m a te m á t ic a 
d e fu n c ió n e s ta b a im p líc ita e n la 
t r ig o n o m e tr ía y la s ta b la s lo g a r ít­
m ic a s . las c u a le s y a e x is tía n en 
su s t ie m p o s . L eibn iz fu e e l p r im e ­
ro . e n 1692 y 1694, e n e m p le a r ­
las e x p líc i ta m e n te p a ra d e n o ta r 
a lg u n o d e lo s v a r io s c o n c e p to s 
g e o m é tr ic o s d e r iv a d o s d e u n a 
c u rv a , ta le s c o m o ab sc isa , o r d e ­
n a d a , ta n g e n te , c u e rd a y p e r p e n ­
d ic u la r La in v e n c ió n d e l c á lc u lo in f in ite s im a l es a tr ib u id a ta n to a L eibn iz c o m o a N e w to n . De 
a c u e r d o c o n lo s c u a d e r n o s d e L eibn iz , e l 11 d e n o v ie m b re d e 1675 tu v o lu g a r u n a c o n te c im ie n ­
to fu n d a m e n ta l : e se d ía e m p le ó p o r p r im e ra v e z e l c á lc u lo in te g ra l p a r a e n c o n t r a r el á re a b a jo 
la c u rv a d e u n a fu n c ió n y = f(x ) . L eibn iz in t ro d u jo v a r ia s n o ta c io n e s u s a d a s e n la a c tu a l id a d , tal 
c o m o el «signo in te g ra l /» , q u e re p re s e n ta u n a S a la rg a d a , d e n v a d o d e l la tín s u m m a . y la le tra 
«d» p a ra re fe r ir se a lo s «d iferenciales» (del la tín d if íe re n tia ) . E sta in g e n io sa y s u g e re n te n o ta c ió n 
p a ra e l c á lc u lo es p ro b a b le m e n te su le g a d o m a te m á t ic o m á s p e rd u ra b le .
F u en te : W ifeipedla
l̂ temania. ÍB4B - Aleman/a, /7®
www.full-ebook.com
<4 LÍMITE
Sea f(x) una función, si cuando x se aproxima al valor 
de “a” , f(x) se aproxima al valor de "b", entonces se dice:
lím f(x) = b
f ( x ) = b
Para efectos de calculo, 
se procede: f(a) = b
a
<4 FORMAS DETERMINADAS
l í m ^ = 0
« - 0 a
=> l í m — = X a
l í m — =
> - 0 x
l í m - = 0
» - 0 X
l i m — = 0
x - O V 
y - O ’
y
= » l í m — = »
« - 0 Xy--c
<4 FORMAS INDERTEMINADAS
Los casos que se presentan usualmente son:
—; cc — 3o;0xoo;1’";0®U co
Estudio de la forma ^
Regla para levantar la Indeterminación. En este caso 
se factoriza tanto el numerador como el denominador, 
para cancelar los factores que indeterminan la fracción.
Ejemplos:
Se puede utilizar, también, la racionalización, binomio 
de Newton, etc.
1. Calcular: lim
«-2 x ̂+ 2x - 8 
Resolución:
Factorizando el numerador y denominador
(x -2 )(x + 7) ,, x + 7
1'^ 7 ÎTV7 TV = lirn ■x-2 (x - 2)(x + 4) X-2X + 4
Evaluando para x = 2:
2 + 7 _ 9 
2 + 4 6
. lím x ^ - h 5 x - 1 4 
X- + 2x - 8
2. Levantar la indeterminación de; 1̂ 9 x + log x— ^
log‘ x - 256
para x = 10“
Resolución;
Si x = 10" => Iogx = loglO“ = 4
Haciendo: Iogx = m 
Luego la expresión será: m' - 80 para m = 4
- 256
Factorizando el numerador por divisores binómicos 
para m = 4 se anula, luego tendría un factor (m - 4)
0 -80
4 4 20 80
5 20 0
Factorizando el denominador por diferencia de 
cuadrados:
m" - 256 = (m ̂ -16)(m^ f 16) 
m" - 256 = (m -4){m + 4)(m' + 16)
En la expresión:
(m^+5m + 20 )(m -4 ) ^ m ̂+ 5m + 20 
{m - 4){m + 4)(m^+ 16) (m + 4)(m^ + 16)
Evaluando para m = 4 :
( 4 ) ^ + 5 ( 4 ) + 20 56 7
( 4 + 4 ) ( 4 ^ +16) 8(32) 32
3. Calcular: lím ~
Resolución:
Al reemplazar x = O se tiene la forma: 
Racionalizando:
lfm / 2 T 7 - / 2 0( ^ + ^ ) ^
X ( /2 T 7 + 72) «-ox(72+x +-/2)
1lím-, ^
«•o-/2T x + /2
Evaluando para x = 0: 1 1
■ /2TÔ + -/2 2-Í2
4. Si: E = — r—-— ^------- , calcular: lím E
3x^- 18x ̂+ 3 6 x -2 4 «-2
Resolución:
Al reemplazar x = 2 se obtiene: ^
Factorizando numerador y denominador para le­
vantar la indeterminación:
x ^ -2 x ^ - (x ^ -4 ) _ x ^ (x -2 )~ (x -2 )(x + 2
3(x^-6x^+ 12X-8) " 3 (x -2 )^
{ x - 2) [ x ^ - x - 2]
Luego: E =
3(x - 2Ÿ
x " - x - 2 _ ( x - 2)(x+ 1) _ x + 1
3 (x -2 )^ 3 (x -2 )^ 3 (x -2 )
9 I 1 o
Entonces: lím E = lím ^7 ' = ^ => x
x - 2 . - 2 3(x - 2) o
Respuesta: el límite tiende al infinito.
www.full-ebook.com
5, s iA = - í ^ 1 - h ^ + 7
X - 9 
Resolución*.
, calcular; lím A
Al reemplazar x == 3 se obtiene; ^ 
Racionalizando;
A = x + 1 ~ / ? F ^ ( x + 1 + /x^ + 7) 
x " - 9 (x+ 1 + -^x^+7)
A =
( x + l f - ( / 7 T 7 ) '
x^ -9 )(x+ 1 + V x^ + 7)
Efectuando en el numerador y desdoblando la dife­
rencia de cuadrados en el denominador;
2 (x -3 )_____A = 
A =
(x + 3)(x - 3)(x + 1 + -ÍxT+T)
 2
(x+ 3 )(x+ 1 + /x ' + 7)
Luego; lím A = lím
3(3 + 3)(3 + 1 + yüTT) 6(8)
lím A = 24
6. Sí; V = calcular: lím V
VxT 3 2 - 2 «-0
Resolución:
OAl reemplazar x = O se obtiene; ^
Transformando los radicales: V =_ (x + 27)^'"-3 
(x + 32)"'® - 2 
Aplicando el desarrollo del binomio de Newton 
cuando n e IN se tendrá;
V =
(7 27’'" + V3)27V3-,^ + (V3 2r'^-^xV ... -3
n / 5
lo 32’'"+ i/5j32i/5-ix + (''6
3 2 ' ’ ^ - ^ ^ + . . . -21 / \ 2
3 + X 1x27-='^ + : 27’'=-^x + ... - 3
2 + x 1 x 3 2 '“'̂ + 1/5 32’'^-^x + ... - 2
V =
Luego, como; x O tenemos; 
1 1 x 13 9 80:^x27 -^ '
<4 DERIVADAS
Sea y = f(x) una función, la derivada de la fundón se 
denota de ta siguiente manera:
y = n x ) = |
Se define;
f'(x) = lim f(x + ti) - f(x) 
h
Gráficamente:
Pendiente de Lj. , ,,, , f(x + h) - f(x)y’ = f ’(x) = lim - i------ ¿-—' ' x-o h
Ejemplo:
Calcular la derivada de: f(x) = 3x'
Resolución’.
Por la definición de derivadas:
ti O h
f(x)= lím 3 ( x + h t ^ ^ , e x h ^ l ,
' h-0 hl fi-o\ h / fi-o ' '
Reemplazando h = O 
f'(x) = 6x
Fórmulas;
Sean f(x), u. v, funciones de variable "x" y sean "n" y "c" 
constantes:
1. f(x) = x" =» f(x) = nx"
Ejemplos:
• f(x) x̂ = F(x) = 5x4
• f(x) = 9x® = f(x) = 54x"
• f(x) = 8x ^ f(x) = 8
2. f(x) = c = f'(x) = o
Ejemplo:
f(x) = 2® = f'(x) = O
f(x) = U + V =í f'(x) = u' + v'
Ejemplos:
♦ f(x) = 4x^ - 5x' + 7x + 9 
f'(x) = 12x' - 10x + 7
• f(x) = 9x' - 5x̂ - lOx + 1
f'(x) = 45x‘' - I5x ' - 10
4. f(x) = "Jx => f'(x) = 1
Ejemplos:
f(x) ^ f'(x) -
5̂ Vx
f(x) = =» f'(x) =
www.full-ebook.com