Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (132)

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5. f(x) = u" ^ f ’{x) = nu" ’u'
Ejemplos:
• f(x) = (3x"- 5x + 7)“
^ f(x) = 20(3x* - 5x + 7)’®(12x̂ - 5)
• f(x) = 4(7x' - 4x + 2Y^
^ f-(x) = 48(7x^ - 4x + 2)"(14x - 4)
f(x) = "/Ü ^ f ’(x) =
Ejemplos:
• f(x) = ^/7x' - 5x + 2 =* f (X) = — = M É ^ â =
5^ (̂7x ̂- 5x + 2)‘
• f(x) ^ f'(x) = - ÿ =
f (x ) = U.V f '{ x ) = u ' V + v ' u
Ejemplos:
• f(x) = (7 x '+ 9x + 2)(2x" - 5x + 1) 
f'{x) = (7x ̂+ 9x + 2)'(2x' - 5x + 1) +
(7x ̂+ 9x + 2)(2x' -5x + 1)' 
f ’(x) = (21x' + 9)(2x' - 5x + 1) +
(7x ̂+ 9x + 2)(14x® - 5)
f(x) - 7(x'+ 2)" ^/3x" + 2
f'(x) = 63(x^ + 2)®. (3x^) VSx ̂+ 2 +
21x®[7(x' + 2)
5V(3x^ + 2)
f ( x )= ^ = .f (x ) = i L ^
V
Ejemplos:
f(x) = 7x^ + 9x^+2 
Hx'’ + 9x + 3
^ (63x" + 4 5x “) (11 x “ + 9x + 3) - ( 4 4 x V 9 )(7x" + 9 x V 2) 
(11x“ -(- 9x + 3)"
f(x ) = 6 x " - 7 x ^ + 2 
l5x^~+~2
f'{x)=
(54x®-21x' + 2 ) ( '/ 5 > ^ ) -
5x" + 2
<4 REGLA DE L'HOSPITAL-BERNOlJLLI
Se emplea para levantar la indeterminación en los ca­
sos — u otros transformables a una de las formas
ü cc
anteriores.
Esta régla establece que dadas las expresiones f(x) y g(x);
,, f(x) f ’ (x)iim -V 4 = lim '
g (x ) x - a g ’ (x)
Es más cómodo para el cálculo de muchos límites que 
se hacen por la forma tradicional.
Es importante aclarar que en muchos problemas puede 
aplicarse esta regla dos o más veces si es que fuera 
necesario hasta que se levante la indeterminación.
Ejemplos:
1. Calcular: lím —«--2 X + 2
Resolución:
Aplicando la regla de L’Hospital-Bernoulli; derivando 
en el numerador y denominador por separado:
lím 3x"
... 2 1
Evaluando para x = -2 
llm = 12
X - - 2 1
2, Calcular:
7̂xT T - 2 x^
Resolución:
Derivando el numerador y denominador por sepa-
rado:
(x^/x + 3)' - (2x)’ + (x^)' - ( i xY
(V x T 7 )M 2 7 r
lím
2 x / x n + — ? ¿ = - 2 4 3 x ^ - — ! = 
__________ 2 /x T 3 ___________ 2 ^
- 6x^
3^i(x + 7)' 
Evaluando para x = 1:
lím
1 - 6 71
3. Calcular: lím
1 -a x '^ 
Resolución:
Por L'Hospital-Bernoulli:
d - a x ' ) ' «-« A
x̂
Evaluando para x = a: 
ar '
= lím
K-a 1
3g
“ ^ " 2 ®
4, Calcular: lím- x" - nx + n - 1
•’ x"’ - (n + 1)x + n 
Resolución:
Derivando numerador y denominador por separado:
nx” ■ ' - nlim-
{n + 1)x" - (n + 1)
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Si evaluamos para x = 1; la expresión es de la 
forma entonces aplicamos por segunda vez
L'Hospital-Bernoulli para levantar la indetermina­
ción:
lim (nx ̂ Y - ( n ) ' ^ (n -1 )
[(n + 1)x'’] ' - [(n + 1)]' (n+1)
Calcular: lim t - V2 - V4 - 3x
1 - J 2 -
1
3 -2 x 
Resolución:
Derivando numerador y denominador por separado.
¡ 1 - J 2 T 7 4 r ^ r
1 - J 2 - -1 J 2 -
3 - 2 x / n ^ ■V 3 - 2x
Teniendo en cuenta que: 'VgW = — ' 
la expresión se tendrá: ^ ’ 9
- ( - 3 )
( 2 - V 4 - 3 X ) '
lim 2 ^ 2 -V 4 -3 x 2 J - l 4 ^ 3 x
I 2 - 1
3 -2 x
2 (3 -2x )-
2 - 1
1
3 -2 x
3 -2 x 2 , 2 - 1
'3 - 2 x
Efectuando en el numerador y denominador: 
3
lim
lím
- 4 V 4 - 3 X h - U - 3x
2 ( 3 - 2 x ) 2
J 1 1. 1 ^^3~2xy~ h - 2 x
3 / 1
1
' ^h-2x^ i . ^ 3 - 2 x
’ - 2 ( 3 - 2 x ) ^ V 4 - 3 x ^ 2 - - /4 ^ ^
Evaluando para x == 1:
-2 (-rr) /T /T 2
Estudio de la forma oo/oo
Reglas para levantar la indeterminación. En este 
caso se divide tanto al numerador y denominador entre 
la expresión de mayor grado.
Ejemplos:
1 . S e a : V = , c a l c u l a r l í m V
2 x V 5 x - 2
R esolución:
Factorizando en el numerador y denominador:
x‘‘ ( 2 + 4 - 4 í 2 + 4 - 4\ x ' x-’ i x ' x"
Luego: V = lim ^ + O " 2
4 + 0 + 0 4
lim V = 2
2. Calcular tím M, si: M = 3x® + 2x - 3
X + X + 1
Resolución:
Factorizando en el numerador y denominador.
x̂
M = —
3 + 4 - 4
1+1 + 4
X X^
x’ í 3 + 4 - 4
Luego limivi = :c(3 + 0 - 0 ) ^(3)
(1 + 0 + 0 ) 
límM = oo
x“ + 2x - 1
(1)
Si: P = ~ - ^ T — calcular: ¡ím P 
x® + x V 2
Resolución:
Factorizando numerador y denominador:
7 )x "íi + 4 - 4X'
Luego: lím P = lím 
lim P = O
2_
\ x‘ x® 
1 fO -O 1
^{1 + 0 + 0) oc
Conclusiones:
), Si e) grado de) numerador es igual al grado de) de­
nominador por lo tanto el limite será el cociente de 
dividir el coeficiente del término de mayor grado del 
numerador entre el del denominador.
II. Si el grado del numerador es mayor que el grado 
del denominador entonces el limite será infinito.
III. Si el grado del numerador es menor que el grado 
del denominador entonces el límite será cero.
Si A = 5x + + V36x^ ~~5_ calcular lím A
2x + V2x ̂+ Mx" - 7
Resolución:
Factorizando numerador y denominador:
5 + J3 + J 3 6 - 5 + j3 + . /3 6 - - J
X 2 + ./2 4 - 4
Luego evaluando para x = oc
5 + -Í3 + V36 O 5 f - / 9 5 + 3 8
2 + + V4 - O 2 + / 4 2 + 2 4
lím A =
lím A = 2
5. Dado: M =
(3x + 7)2^(12x + 7)"'-^(4x + 7)̂
(8 x '-7 )" ’ (9x" + 7)" 
calcular m, si; lím M = 256
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Resolución
Extrayendo las "x" de los binomios:
M =
7 -3 + 1 x"
9 +
Simplificando y fuego reemplazando x = «:
(3 + 0) '̂” (12+0)"^~^(4 + 0)'"''‘ _ 3^'^.12'^-^4"^'‘
(8 + 0)^(9+ 0)'"-’
M = 3"’’ "X 2 " ’ ‘ "
Por dato: 3"’ ’ " X 2"” ̂= 256 = 2® 
m = 4
g m g r
m + 4 =
6. Si; E m -.calcular; limE
Resolución:
Desarrollando el número combinatorio:
y'" (x+ m)! -1
m!x! x"'m!x!
m m(x + m)!
P - . x^^mlxi
mx!(x + 1)(x + 2){x + 3),..(x + m)
Simplificando y luego extrayendo las "x" de los bi­
nomios;
x"’ m!
Evaluando para x = oo se tendrá:
E = x'"m! _ x^m! _ m[
m.x.x X mx"* m
m veces
IfmE = (m -1)!
Estudio de las formas co - oo y O x oo
Reglas para levantar la Indeterminación. En estos 
casos se efectúan operaciones o se racionaliza para 
transformar las indeterminaciones dadas a las formas 
conocidas § v —O CO
Ejemplos:
1. Si: M = 1 -, calcular; límM
X - X - 2 x ̂- 3x + 2 
Resolución;
Reemplazando x = 2 resulta M = OC — CC 
Efectuando:
l^^-3x^-9x+ 6-x^+ x+2 2x^ - 8x +
(x^-3x+2)(x^-x-2 ) (x^-3x + 2 )(x ^ -x -2 )
Factorizando en el numerador y denominador; 
2 (x^-4x + 4 ) - 2 (x -2 )^ 
( x -2 ) (x -1 ) (X -2 ) (x + 1)
2 (x -2 )^ 2
( x - 2 ) (x -1 ) (x -2 ) ( x + 1 ) (x -1 ) (x + 1 )
Luego: limM =
2. Si; P = -/x
(2 -1 )(2 + 1) 1(3) 3
, calcular: límP
Resolución:
Reemplazando x = O resulta ta forma O X oo 
Multiplicando se tendrá; P = ^ - x
Luego: límP = i J - O limP =x-o y ¿ «-0 2
3. Si M = -i4x ̂+ 3x + 6 - Mx^ + x + 3. calcular lím M 
Resolución;
Reemplazando x = oo resulta; oo - oc 
Racionalizando.
^ , (V4x̂ 4-3x+6 - ^x^+x+3).(V^^+3x+6 + /^^+x~+3)
M
+ 3x + 6 + + 3)
(4x^ + 3x + 6) ~ (4x^ + X + 3)
M =
MxÑ^ 3x +~6 + •Í4x ̂+ x + 3 
2x + 3
fe " + 3 x + 6 + V4x' + x + 3
Extrayendo “x" en el numerador y denominador se 
tendrá;
xÍ2 + ^ \
4 + 3 6 ^
M =
X . 4 + , . ,
X y X x'
Simplificando y luego evaluando para x = oo;
IVI = - I lim IVI = -I - 1
74+V4 4
4. Calcular; límA, si; A =
4 2
Resolución:
Reemplazando x = oc resulta la forma O X oo 
Racionalizando;
Efectuando: A =
1 + ^ - +1
Evaluando para x = cc: A = 
• límA= j
1 1
/T T Ò + 1 2
5. Calcular: lím R, si; R = ' 1 + 4 T - 1
Resolución:
Reemplazando x = co resulta la forma O X oo
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Desarrollando el binomio con exporiente fraccionario:
n x"̂
R - n' n I
2!
Reduciendo y luego multiplicando:
R = 1 + i \ _ l _ 1.
n n 'n /y"'
1Evaluando para x = r x ; :R = - + 0 + 0 +
1 ̂límR - -X- X n
6. Si: P = Jy ̂+ y - Vy^ + y^. calcular: limP 
Resolución:
Efectuando en cada radical:
P - y
P =
^ 2 ' y 2 l2 /-y^
3 'y ^ U
2 2 Í 2 >Y
Reduciendo y evaluando para y = oc:
P = 1 + 0 + 0.. + 0 + 0...
<4 MÁXIMOS, MÍNIMOS Y REPRESENTACIÓN 
GRÁFICA DE FUNCIONES
Sea una función definida en IR: y = f(x)
Para determinar su máximo (mayor valor que puede to­
mar) o minimo {menor valor que puede tomar), deberá 
de tenerse en cuenta los siguientes pasos'
a) Se calcula la primera derivada de "y”.
b) Se hace y' = O, para deducir los puntos críticos.
c) Se reemplazan estos puntos críticos en la función 
origina! obteniéndose los valores (el mayor repre­
sentará el máximo relativo y el menor representa el 
mínimo relativo).
d) Se reemplazanlos puntos críticos encontrados en 
la segunda derivada de “y", es decir, en y” , donde 
podrán encontrarse las siguientes situaciones.
Si y" O entonces en dicho punto existe un minimo. 
Si y" < O entonces en dicho punto existe un máximo. 
Ejemplos:
1. Hallar los máximos y mínimos relativos de la fun­
ción: f(x) = - 12x
Resolución:
C a lc u la n d o la p r im e ra d e r iv a d a : f '( x ) = 3x^ - 12
Encontrando los puntos críticos: f'(x) = O 
3x ̂ - 12 = O ^ x̂ = 4 ^ X = ±2
Reemplazando los puntos críticos en la función ori­
ginal f(x).
S ix = 2: f(2) = 2' - 12(2) = -16 
Si x = -2 : f(-2 ) = (-2 ) ' - 12(-2) = 16 
De donde: 16 representa el máximo relativo de la 
función y -16 representa el minimo relativo.
2- Calcular el máximo relativo de la función:
f(x ) = 2x + 8
Resolución:
Calculando la primera derivada:
f'{x) - -2 x + 2 ■2x + 2
3 2V-x^ + 2x + 8 3^-x^ + 2x + 8
Calculando los puntos críticos: f'(x) = O 
-2x + 2 = O => X = 1
Reemplazando este único valor en la función origi­
nal se tiene: f '(1 ) = 1 + 2 + 8 = 2
.-. El máximo relativo será 2.
Hallar el máximo y el minimo de la función siguiente: 
y = f(x) = - x̂ - x - 1
Resolución:
Téngase en cuenta que este ejercicio no se están 
pidiendo el máximo y minimo relativos, en conse­
cuencia tendrá que utilizarse los criterios de prime­
ra y segunda derivada, 
y' = 3x ̂ - 2x - 1, luego: 3x ̂ - 2x - 1 = O
6 \ 1
Para x = 1 =»y" = 4 > 0 (minimo)
y " = 6 x - 2
Para ^ y" = -4 < O (máximo)
Ahora reemplazando los puntos críticos en la fun­
ción original.
Para x = 1 :y = 1 - 1 - 1 - 1 = -2 (mínimo) 
Parax= - ^ : y = (máximo)
Hallar los máximos y mínimos de la expresión: 
y = 2x^(3 - x) y los valores de “x” que dan lugar a 
ellos.
Resolución:
La expresión puede escribirse: y = 6x ̂— 2x’ 
Luego: y' = I2x - 6x^
Haciendo:
y ' = O => I 2 x - 6 x^ = O x (2 - x ) = O 
=;■ X = O, X = 2
Calculando y": y" = 12 - 12x 
Para x = 0: y" 12 > O (minimo)
Para x = 2. y" = -12 O (máximo)
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