Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (133)

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Verificando en la función original 
Para x ~ 0: y = 0 (mínimo)
Para x = 2: y ~ 8 (máximo)
5. Un rectángulo tiene 4 m de perímetro, hallar el que 
tenga la diagonal mínima
Resolución:
Sean “x” e "y” el largo y el ancho, respectivamente, 
entonces: ^
2x + 2y = 4 X + y ^ 2 
Luego:
y = 2 - x ..(1)
Sabemos que: 
d̂ ' - x" + y‘ -.(2) »
(1) en (2): d' - x' + (2 - xY ^ d' - 2x' - 4x + 4
Calculando su primera y segunda derivada: 
d’ 4x - 4: luego: 4x -- 4 - O x = 1 
d" = 4, existe un mínimo porque d" .> O 
Sustituyendo x = 1 en (2): 
ó‘ - V + V ^ d = -12
Se trata de un cuadrado de tado 1.
6. Hallar fa variación de la función siguiente y cons­
truir la curva correspondiente:
y ^ x̂ -- 3x T 2
R e s o lu c ió n :
Encontrando los puntos máximos y mínimos: 
y' = 3 x ^ -3 
3x ̂- 3 = O =* x = ±1 
y" = 6x 
Para x = 1
= y" = 6 > O (mínimo)
Para x = -1
y" = -6 < O (máximo)
En ta función primitiva:
Para x = 1 =» y = O (mínimo)
Para x = -1 = y = 4 (máximo)
Luego ta variación la tendremos en el siguiente 
cuadro
c y
( - 1 . 4 )
B
\ » /
- 1 ( - 1 : 0 ) B
X — oo
y' +
1 + 30-1
O - O +
y crece 4 decrece O crece +oo
máximo mínimo
■ ‘ ■ n P R O B L E M A S RESUELTOS
B " " "
Calcular: S =
> x ^ + X + 1
Resolución;
Aplicando la propiedad:
lím 5x^ - 2x + 3 lím (5x^) - lím (2 x ) + lím 3
lím X“' + X + 1 iim X f lim X + lím 1
^ ^ 5lím x^ - 2lím X + lím 3 ^ 5 ( i ) ^ 2 ( 1 ) + 3 ^ ^ 
lirrs x ̂+ íim X + lim 1 Ì + 1 + 1X .1 < . 1 í ■ 1
2. Calcular: A = íímX - 25 x - 2 5
Resolución:
Como presenta la forma primero levantemos la 
indeterminación:
A = ( / í - 2 ) - 3
(x - 25) (V /x '-2 )^ + ^Í2.^(7x - 2 + 
/x - 25- lim . . = iim
A =
■25 ( x - 25)¡*;
1 1
(x - 25)[.](/x + 5) 
>/3
(3W (tO )l 90
3. Calcular: E = lím i 2ax
Resolución:
E = lím - (x ̂+ ax + â )
(x - a)(x^ + ax + a )̂
E = Um­ ax - a
(x - a)(x^ + ax + a
E = lím a(x - a)
-M x -a )(x ^+ a x + a ^ ) 3a ̂ 3a
Va + X + Vb +”x - 2 Íx + - ^ - ^ 
4. Calcutar: lím— ’ 2
Resolución:
lím
Ja + X - Jx +
Va + X - Vb + X 
Vb + X -a + b a + b
Va + X - Vb + X VF+~x - Vb +
lím
a - b
+ Vb + X )
(a - b)(Vá + X + Jx + a + b
—o ^ i( Va I 7 + Vb + X )
lím •
a - &
a - b)|Vb + X + .^xT a f b
'2 j2 /b T x |- l\2 V b + x
2VB + X 2 /b T ir
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5. Calcular lim ~ a > 1x-a a' - a
Resolución;
(a - a )' » a Ina - O
aa®’ '-a® lna 1 - Ina
7.
a^lna Ina
6. Halle el máximo valor del volumen del cilindro que 
se puede inscribir en una esfera de radio V^m,
Resolución;
3 = H2 + r2
V = nr^(2H) = ti(3 - H')(2H)
v = 2;i(3H-H=) ...(a)
Derivando respecto de H 
V' = 2n(3 - 3H') = 0 « H = 1 
Reemplazando en (a)
V = 2ti(3 - 1 ) = 4n => v^ , = An m̂ 
Es el volumen máximo porque:
V " (1) = 2n(-6(1)) < O
Calcular: límx-1
Resolución:
Inx - X + 1
lím 1)’ lím ■
( X - X 
/1
- - 1 + 0 _x_________
1 -x '( ln x + 1)
-1V
= lím-
‘ -I (1 - x*lnx - x' 
= lím-
- 1
1 - 1
x‘ (lnx + 1)lnx + -^ 
2
- x*(lnx + 1)'
8. Sea la función: f(x) = a^x“ + a,x^ + azx̂ + a¡x + â
tal que tiene una raiz Xq; donde Xo£<0; 1 > , si se
 , 3-1 a? a*! ,cumple que: + + + + â = k
5 4 j Z
Determine el valor de k.
Resolución:
Asumimos la función:
3r,x ̂ a,x" a,x ^ a,x
g(x) 5 ' 4 ' 3 ' 2
Aplicamos el teorema del valor medio en el interva­
lo < 0; 1 > para que g(x) se tiene 3Xo e < 0; 1 > tal 
que:
Pero obsen/amos que g’(Xo) = f(Xo) y como x̂ es 
raíz de Xg entonces; f(Xn) = 0 => g'(Xo) = O 
Reemplazando en (a):
9 ( 1 ) - 9 ( 0 ) = O 
9 ( 1 ) = g(0)
3a 3 * 3 ^ 3 % ^
= k^O
9. Calcular el área máxima del rectángulo inscrito en 
la región encerrada por la curva y = -x^ + 3; y el 
eje X .
Resolución:
A = (2a)f(a) = (2a)(3 - â )
A = 2(3a~a^) ...(a)
Derivando respecto de a 
A' = 2(3 - 3a') - 0 ^ 8 = 1 
Reemplazando en (a): A = 2(3 - 1) = 4u^
Es el área máxima porque; A" (1) = 2(-6(1)) < O
10. Dada la función;
2x ̂+ 16x
f(x) =
28 , X < - 2
x' + -y - 2x + 6 , |x| < 2 V - 2 < X < 2
4x ,x > 2
determine los puntos máximos y mínimos, si los 
hubiere,
Resolución:
4x + 16, x < - 2 
f'(x) = 3x ̂+ x - 2, -2 < X < 2 
|x^ + 4 . x > 2
f ’( - 2 - ) = 8 A f '(-2 -) = 8 
Además f'(2 ) = 12 a f'(2 ') = 12 
Puntos críticos: x = -4 ; -1 ; 2/3
Intervalos Signo f (x) f(x)
(-oc; -4 ) - decrece
(-4 ; -2 ) + crece
(-2 : -1 ) + crece
(-1 :2 /3 ) - decrece
( 2/3; 2 ) + crece
( 2; +0C ) + crece
mínimo X = -4 
máximo x = -1 
mínimo x == 2/3
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Puntos de mínimo: 
p,( -4 ; -4). Pj {2/3; 5,18) 
Puntos de máximo: 
P3(-1;15,2)
11. Un cilindro circular recto es inserito en un cono 
circular recto de radio r. Encontrar el radio R dei 
cilindro si su volumen es un máximo.
Resolución:
Sea Ve el volumen del cilindro el cual hay que maxi­
mizer: Vj = nR^H ...(i)
Sea V|< ei volumen dei cono;
V, = ^Tir^h
En et gráfico:
ATMS ~ APMQ
PM PQ r
h - H = - h « H = h - - í^ h
r r
En(1):
V = 7 iR ^ (h - ^ ) =7ihR ^- -^R ^
^ = V = 2ithR - - OdR r
=> V = 7ihR|2--^R) - O
Puntos críticos:
2 2 R = o, -^r, donde solo admitimos: R = ■j''
V” = 27ih - - ^ R == V " | r -2rch - — ( | r r sj r ' o
V” = -27th < O =» R = I r
R,
12. Haiiar ei área dei mayor rectángulo que tiene su 
base inferior en el eje x y con dos vértices en la 
curva y = 12 - x̂ .
Resolución:
y = 12 - x2
A = 2xy = 2xy = 2x(12-x^) 
=» A = 24x - 2x^
^ A'(x) = 24 - 6x' = O 
= x̂ = 4 = x = 2 
y = 8
=, A = 2 xy = 2(16) = 32
13. Sea f: IR => IR, tai que f(x) = (2x ̂+ 3x)e*.
Determine a + p + y, tal que:
af"(x) + pf”{x) -H ye’ = f(x), v x e E
Resolución:
f(x) = (2x ̂+ 3x)e’'
f(x) = {4x + 3)e‘ + (2x ̂+ 3x)e‘
= (2x ̂+ 7x + 3)e‘ 
f ’(x) = (4x + 7)e’ + (2x ̂-H 7x + 3)e’‘ 
f ’(x)= (2x ̂+ 11x + 10)e‘
Se cumple: af"(x) + pf'{x) + ye* = f(x), v x g IR
a(2x' + 11x + 10)6“ + f^(2x' + 7x + 3)e’ + ye“ =
{2x' + 3x)e' 
2(a + |3)x̂ -I- (la + 7p)x + 10a + 3p + y =
2x ̂+ 3x + 0
Se deduce que: a + p = 1
11a + 7p = 3
10a + 3p + Y = O 
a = -1 ,p = 2 ,y = 4
Por io tanto: a + p + y = -1 -i-2 + 4 = 5
14. Un punto se mueve sobre la parábola 2y ̂ = 7x, 
de manera que la abscisa aumenta uniformemente 
3 cm/s. ¿En qué punto aumenta ia abscisa y ia or­
denada a la misma razón?
Resolución:
Por dato: ^ = 3 cm/s dt
Tenemos que hallar el punto (x; y), tal que: 
dt dt
Como: 2-/ = 7x, derivando implicitamente con res­
pecto al tiempo t, tenemos:
dt dt I4 y ^ = 7 ^ - ^ dt dt '
^ 4 y - 7 =« y = l 
Además 2y ̂= 7x =» x = 1
15. Un viaje subsidiado por un colegio costará 15 soles 
a cada alumno si viajan no más de 150 alumnos; 
sin embargo, ei costo por alumno se reducirá 0,05 
soles por cada uno que sobrepase los 150 soles. 
¿Cuántos alumnos deben realizar el viaje a fin de 
que e! colegio reciba los mayores ingresos brutos?
Resolución;
Sea x; n.° de alumnos
l{x): ingreso bruto total por x alumnos
i(x) = T5x: x < 150
■(15 - 0,05(x - 150)x; x > 150
Piden: máximo valor de i(x)
Cuando: x ¿ 150; l(x)ma« - 15(150)
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Cuando: x > 150; l(x) - 15x - 
r(x) = 1 5 - | ^ + ^ = 0 - x - 2 2 5 
Además: l"{x) ~
Entonces para x = 225 habrá un máximo. 
1(225) = 15(225) - + ^ ( 2 2 5 )
Gráfica de l(x)
•. n.° de alumnos: 225
16. Dado; f(x) = V x^- 1 + Vx + 31, determine f ’(1), 
justificando si existe o no.
Resolución;
h-o h
= lím V(1 + h ) ' - 1 +V1 + h + 31 - 2
h-o h
f (1) = lim '^3h + 3 h ^+ h ^ + ^ ;h T 3 2 -2 
^-0 h
f(1) = „•m -^1 5 ± 1 5 !± Z +
h-0 h h-0 h
l i^ V h T g S - 2 
n-0 h
Haciendo; h + 32 = z®
SI; h =» 0; = h + 32 => 32 Z ^ = 2
lím ^ ~ ^ - lim ----------- J -
^-2z®-32 z-2(z-2)(z ‘*+2z^+4zV8z+16) 80
M E 1 ± E , l i m S U E S ^ ® ^ ̂
ti-o n n-o 3 ^ O*
^ f ' = + ^ + ¿ = + ^ ^ 3f(1)
17. Determine; f (x) si: f(x) = 2 íx + 3Vx + 4x ̂
Resolución:
f(x )= H m íí* ' + ’!> - 'W
f '( x ) - límh-O
[2 V x + h + 3^yx-t-h + 4 ( x + h ) 2 ] - [2 -íx + 3 ^-íx 4 -4x^] 
h
_ 2Vx+h - 2/x + 3^Æf-h - 3Vx + 8xh + 4h*
n-o h
2(Vx + h - / x ) ,, (3Vh + x - ^íx)
= Irm — r + l im r -
h - o h h -o h
+ lím (8x + 4h )̂n-o ' '
Racionalizando los numeradores en los dos prime­
ros sumandos:
, , 2 ( V x + h - í k ) ( 7 x 4 - h + / x )
l im r . , —
h . o h ( / í T h + / x i
3 (^ /x7 h • J/x’ K ’Jx+h^ + ^/x^Vx + h + ,, ,
■ i im --------------. . . . — =:^-------------+ lim (8x+ 4h '^h(̂ Vx-rĥ + + ’/x^
lim
2(x + h - x)
lím
3(h + X - x)
f (x) = + ̂ + 8x
■/x
+ lím(8x + 4h
n -o
18. Si; y = ; hallar y’
x - 2
Resolución;
Aplicando el teorema:
_ (x ̂- 2) (2x^ + 4x + 1 )• - (2x^ + 4x + 1 ) (x ̂- 2) ' 
(x^-2)^
(x^-2)(4x + 4 )-(2x^ + 4x+1)(2x)
(x^-2)^
. _ 4x^8x + 4x^ - 8 - 4x' - 8x^ - 2x
(x^-2)^
••• y = 4x^~ IO x -8 
(x^-2)^
19. Calcular; lím ^
x ^ + 2 x -5
Resolución:
En estos casos se divide numerador y denomina­
dor por la variable elevada a su mayor exponente. 
Para este caso entre x̂ .
lím
3 + 1 + 4 
X
1 + 2 _ 4
3 + 0 + 0 _ 3 _ o 
1 + 0 + 0 1 “
J y 2 _ A
20. Evaluar: lím ~ — -«--c X
Resolución;
- / ?Iim — ~ — - lim
x " - 4
1
21. Evaluar: lím ( ̂ 1 ex'* + 15x' - 2x + 1 - 2x ) 
R esolución:
lím
lim
ISx“ + 15x ̂+ -4 x ^ ~ 2x 4 1 
■/l 6x-+ 15x^- 2x + 1 + 2x
16 15 4
16 , — — = + oc
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