Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina-3

Vista previa del material en texto

Su negación será ~p: La nube no es bianca. 
Siendo su tabla de verdad:
p ~P
V F
F V
Disyunción (V)
Disyunción débil o Inclusiva (v). Tiene como signi­
ficado (O), indica dentro de ia proposición que la ocu­
rrencia de uno de elios no descarta la ocurrencia del 
otro.
Ejemplo:
El veneno es mortal o dañino
Su tabla de verdad es:
P q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
Fuerte o exclusiva (A o v ) . Tiene como significado 
(O... O-..). Indica dentro de una proposición molecular 
la ocurrencia de uno de ios hechos más no la de ambos. 
Ejemplo:
O Luis se encuentra en Lima o se encuentra en Brasii
Su tabla de verdad es:
P q p A q
V V F
V F V
F V V
F F F
Conjunción (a)
Cuando se usa ei término de enlace (y), también puede 
hacerse ta consideración para las siguientes palabras: 
pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, no obs­
tante, dado que, etc.
Ejemplo:
Su tabla de verdad es:
2 + 2 = 4 3 + 4 = 7
P q p A q
V V V
V F F
F V F
F F F
Condicional (=»)
Cuando se usa el conectivo (entonces) y se puede cam­
biar por: luego, por lo tanto, ya que, es consecuencia. 
Ejemplo:
Si estudias entonces apruebas.
p =» q
Su tabla de verdad es;
P q p =» q
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicionai («»)
Está representado por el (si y solo si).
Ejemplo:
Todo número es par si y solo si es divisible por 2. 
P q
Su tabla de verdad es:
P q p « q
V V V
V F F
F V F
F F V
El valor de verdad de las proposiciones compuestas se 
puede determinar a partir del valor de verdad de sus 
componentes.
<4 TAUTOLOGÍA. CONTRADICCIÓN Y CONTIN­
GENCIA
Evaluar una fórmula proposicional consiste en haliar su 
tabla de valores de verdad, pueden ser:
Tautología
Si todos los valores de verdad son verdaderos. 
Contradicción
Si todos los valores de verdad son falsos. 
Contingencia
Si algunos valores de verdad son verdaderos y otros 
falsos.
Ejemplo:
1. De las siguientes proposiciones:
I. Tol<ío es la capital de Japón, es una proposición 
verdadera.
II, Ricardo Palma fue arequipeño, es una contra* 
dicción.
www.full-ebook.com
III. - p v q tiene la misma tabla de valores de ver­
dad que p q.
IV. ¡Vamos Boysl, es una proposición.
Determinar sus valores de verdad.
Resolución:
I. Verdadera
II. Faisa. es una afirmación.
p q ~P V q p q
V V F T v l V V T v l V
V F F 1 ^ 1 F V 1 P 1 F
F V V 1V 1 V F 1 v 1 V
F F V lV j F F lV j F
‘----- iguales— '
Verdadera, tiene la misma tabla de valores de 
verdad.
IV. Falsa, las exclamaciones no son proposiciones.
2. Al evaluarla fórmula lógica: [(p a q) v ~p] » p 
Se obtiene que su tabla de valores de verdad es 
equivalente a:
I. q II. pA q fll. ~q
IV. p V. -p
Resolución:
Evaluando la fórmula, se tendrá:
P q [(P A q) V ~P] P
V V V V F V V
V F F F F V V
F V F V V F F
F F F V V F F
(1) (3) (2) (4)
Et resultado (4) es equivalente a la proposición p. 
Respuesta (IV).
3. De las proposiciones:
I. 3 + 4 = 7, es una tautologia, 
li. jArríba Perú!, es una proposición.
III. José es un buen estudiante, aprobará el ciclo 
en ía universidad, es una disyunción.
IV. (p =» q) V (~r =» t), es una contingencia. 
Determinar sus valores de verdad.
Resolución:
I. Falsa, es una proposición.
II. Falsa, es un enunciado.
III. Falsa, la coma (.) intermedia indica (entonces), 
luego se trata de una condicional.
IV. Verdadera, ya que:
P q r t (P =» -q) V (~r ^ t)
V V V V F V V
V V V F F V V
V V F V F V V
V V F F F F F
V F V V V F
V F V F V V
V F F V V •
V F F F V •
F V V V V •
F V V F V •
• • •
. ;
Se trata de una 
contingencia.
La proposición es 
verdadera.
4. Si la proposición compuesta;
[(p « q) V (q V ~r)] es falsa; determine los valores 
de verdad de p; q y r.
Resolución:
Por condición:
[(p =» q) V (q V ~r)l = F 
Entonces;
(p =» q) = F; donde solo se cumple si p = V y q = F. 
(q V ~r) = F; de lo anterior se sabe que q = F; luego 
~r debe ser F, entonces r = V. 
Finalmente: p = V;q = F y r = V
5. Si la proposición compuesta:
(p ^ q) V ~[(q A ~r) v (r a ~q)] v ~(p v r) es falsa, 
determine los valores de verdad de p, q y r.
Resolución:
Sea: a = (p =» q); b = ~[{q a ~r) v (r a ~q)] y c = ~(p v r) 
Entonces se tendrá:
a V b V c = F; donde soío es posible sí a = F; b = F 
y c = F.
Entonces: a = (p ^ q) = F (así: p = v y q = F) 
b = ~l(q A ~ r ) v ( r A ~ q ) l = F y c = ~ ( p v r ) s F 
í(q A ~ r) V ( r a ~ q ) ] = V p v r = V 
F F V V como p = V
F V r = V o F
Finalmente; p = V; q = F; r = V
6. Determine si estas proposiciones son motecutares 
o atómicas.
I. La teoría de Newton es correcta pero la de 
Einstein más moderna.
II. Sí una persona se corta la yugular por lo tanto 
se desangra.
www.full-ebook.com
III. X + 1 = 3
IV. Fortunato cobra su sueldo y no trabaja. 
Resolución:
I. 2 proposiciones » Molecular 
1 conjunción (pero)
II. 2 proposiciones ^ Molecular 
1 condicional (por lo tanto)
III. 1 proposición » Atómica
IV. 2 proposiciones =» Molecular 
1 conjunción (y)
7. De las siguientes proposiciones compuestas:
• Si; 5 + 3 = 7, entonces 7 < 6
• 8 es mayor que 4 o 7 es menor que 5.
. /Te = 4 y -3^ = 9
. 2 < 4 » 1 2 + 5 < 4 + 5 
Determine sus valores de verdad.
Resolución:
• Si: 5 + 3 = 7. entonces 7 < 6
F =» F = V
• 8 es mayor que 4 o 7 es menor que 5
V V F = V
. VÌ6 = 4 y -3^ = 9
V T = F
• 2 < 4 «^12 + 5 < 4 + 5
V «• F = F WFF
8. Se sabe que; (p a q) = V; (q t) = F y se arirma:
I. ~ H q A p ) A p ]
II. ~ ( ~ p v t ) v q
lil. [~p V (q A M)] « ~(q => t)
Determinar cuáles son verdaderas.
Resolución :
De; p A q = V » p = V ; q = V
Pero: q =» t = F
Entonces; q = V; t = F
Enl: ~[~(VAV)AV] = ~[~(V)AV] = ~tFAV]=~F = V
En H: V F) V V = ~F v V = V V V = V
Enlll: [Fv(VAV)]o~(V=»F) = [V ] «V = V 
V F
Todas son verdaderas
9. Si la pnDposición: ~[(~p A q) (~r =» ~s)] es ver­
dadera, determinar ̂ valor de verdad de p, q, r, s.
Resolución:
~t(~p A q) =» (~r => ~s)l = V 
(~p A q) =*■ (~r =» ~s) = F
F
Donde: ~p a q = V
p = F;q = V
También:
~r =3 ~s = F r = F; s = V
V T
10. Dadas las proposiciones;
I. p A ( ~ q v r ) ; r = V
II. (pvq) « ~ (qvp) :q = V
III. (~p vq ) =»r; r = V
Determinar si la información es suficiente o no para 
hallar el valor de verdad de ias proposiciones.
Resolución:
I. p a (~q V r) : r = V
T
V No es suficiente
II. (pvq) ~ (qvp) : q = V
F Si es suficiente
I. (~p V q) =» r : V(r) = V
V
V Si es suficiente
.-. Solo 11 y lll cumplen la condición.
PRO BLEM AS RESUELTOS B " " *
1. Simbolizar: ‘ Si Julieta es española entonces es afi­
cionada a la fiesta brava y Julieta no es aficionada 
a la fiesta brava por lo tanto, no es española". De­
terminar su tabla de venilad.
Resolución:
Sea p: Julieta es española 
q: Es aficionada a la fiesta brava
[(p =» q) A ~q]
V 
F
V
V 
(1)
F F V 
F V V 
F F V 
V V V 
(3) (2) (4) 
Tautología
www.full-ebook.com
2. Sabiendo que ia proposición: (p ^ ~q) v {~r => s) 
es falsa; reduzca el vaior de verdad de;
[(~ r V q) A q] « [(~ q v r) A s] 
Resolución:
(p=»~q)v(~r=»s) = F 
1 1
V F
y T V F
F F
Entonces;
[(~r V q) A q] » [(~q v r) a s] = [(V vV) a V]
« [(F V F) A F] 
= V « F = F
3. Si p jj q se define por (~p) a (~q). Haiiar el equiva­
lente de ~(p q).
Resolución:
~(p q) = ~[(p =3 q) A (q =» p)]
s~[(~p V q) A (~q V p)] = (p A ~q) v (q a ~p)
Se tiene:
(p il q) = (~P) A (~q )
Entonces;
( p A ~ q ) v ( q A ~ p ) = ( - p l l q ) v { ~ q ) l p )
4. ¿Cuái de ias siguientes proposiciones es equiva­
lente de; "Es necesario pagar 10 soles y ser socio 
para ingresar ai teatro”?
I. No ingresar ai teatro o pagar 10 soles y ser 
socio.
II. Pagar 10 soles o ser socio, y no ingresar al 
teatro.
III. Pagar 10 soles y ser socio, o no ingresar al 
teatro.
IV. Pagar 10 soles o ser socio, e ingresar al teatro. 
Resolución:
p ; pagar 10 soles 
q ; ser socio 
r ; ingresar al teatro
r = ( p A q ) s ~ r v ( p A q )
Pagar 10 soles y ser socio, o no ingresar ai teatro.
5. Si (~(q » p)) =» (s r) es felsa, determinar el valor 
veritativo de ias proposiciones adjuntas; siendo w y 
t proposiciones lógicas.
I. (~ r« p )= . t
II. q v ( t= » w ) 
Ili. (p » r)» (q « s)
Resolución:
~(q ^ p) ^ (s =9 r) es F 
Entonces: ~(q =» p) es V y s r es F 
De donde; (q ^ p) es F 
Es decir: q es V y p es F; s es V y r es F.
I. <=> p) « t 
V ^
F ^ ? .
V
II. q v(t=»w/)
V V ?
V
III. (p «=» r) <=» (q « s)
F « F V » V
V V
V W
6. Clasificar las siguientes proposiciones:
I. ( p A q ) « ( q A ~ p )
II. [ p A ( p V t ) ] A H v p )
III. (p=»q)^q
Como tautología (T), contradicción (F) o contingen­
cia (C).
Resolución:
Hagamos la tabla de verdad en cada caso; 
i.
til.
p q (p A q) « (q A ~p)
V V F ¡ F 1 V
V F V ! F 1 F
F V V : F F
F F F ! F :
' í '
V
Es una contradicción (F)
P t [P A (pVt)] A ( - t V
V V F V V
V F F V V
F V V V F
F F F V
t
V
Es una tautología (T)
P q (p=*q) = q
V V V ; V : V
V F F ¡ \ ¡ F
F V V ¡ V ! V
F F V 1 F
' 1
1 F
Es
*C
una contingencia (C)
www.full-ebook.com