Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (36)

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Resolución;
P(x) = + 1)x ̂+ 8a^l - 5xt(a" + 1)x" + a ]̂ +
X ____________ T -C___________ 3-
8x ̂- 5x + 1 +
= x‘ (a ̂+ 1) + 8aV - 5(a^ + 1)x̂ - 5a'x + 8x^ -
5x + (1 + a )̂ 
= x *(¿ jM ) - 5(a^+ 1)x̂ + 8(a"+ 1)x̂ -
5 (¿ i_1 )x + ( 1 i¿ ) 
= (a' + 1)(x" - 5x' + 8x" - 5x + 1)
Por aspa doble especial:
X* - 5x ̂+ 8x ̂- 5x + 1 Balanceo
x̂ 1 = x̂ SDT: 8x^
x" ^ ^ \ - 2 x 1 = ^ ST: 2x^
2x^í Falta: 6x"
P(x) = (a ̂+ 1)(x ̂- 3x + 1)(x' - 2x + 1)
P(x) = {a' + 1)(x' - 3x + 1)(x - 1)'
58. Factorice:
P(x) = (a ̂+ 2ab)x^ + b(a - 4b)x + {b - a)<a - 2b) 
e indicar uno de sus factores primos.
Resolución;
Aplicando aspa simple:
P(x) = a(a + 2b)x^ + b(a - 4b)x + (b - a)(a - 2b) 
ax “ 2b) = (â - 4b )̂x
(a + 2b)x (b - a) = (ab - a )̂x
b(a - 4b)x
=■ P(x) = (ax + a - 2b)l(a + 2b)x + b - a]
•. Un factor es: ax + a - 2b
59. Al factorizar: M(x) = 32x* + (x + 1 )̂ - x̂
hallar la menor suma de coeficientes de uno de sus 
factores primos.
Resolución;
Desarrollando
M(x) = 32x' + x̂ + 2x + 1 - x̂
M(x) = 32x® + 2x + 1 = (2x)* + (2x) + 1 
Sea: 2x = a =» M(a) = a® + a + 1 + â - 
Agrupando:
M(a) = a (̂a ̂- 1) + (a ̂+ a + 1)
M(a) = a (̂a - 1)(a ̂+ a + 1) + (â + a + 1 )
M(a) = (a ̂+ a + 1)(a ̂- + 1)
Reponiendo variables:
M(x) = (4x ̂+ 2x + 1)(8x^ -4 x ^ + 1)
2 coef. de (4x ̂+ 2x + 1) es 7 
2 coef. (8x ̂- 4x + 1) es 5
60. Los polinomios; P(x) = x* + 2x^ - x - 2 a
Q(x) = x ̂+ 6x^ + 11x + 6 
tienen un factor común. Indicar la suma de coefi­
cientes de dicho factor común.
Resolución:
Factorizando cada polinomio para encontrar el fac­
tor común
P(x) = x" -h 2x^ - X - 2; agrupando:
P(x) = X ^ ( X -I- 2) - ( X + 2)
P(x) = (x-t- 2 ) (x " - 1)
P(x)= (x + 2)(x - 1)(x ̂+ x + 1) 
Q(x) = x' -I- 6x^ + 11x -H 6 
Por divisores binómicos'.
6 11 i -6
-1 1 -1 -5 i -6
5 6! 0
q(.,
« Q(x)= ( X + 1)q(x)
Q(x) = (x+ 1)(x^-i-5x + 6)
2
^Q (x) = ( X + 1)(x -I- 3)(x + 2)
De aquí observamos que el factor común a P(x) 
y Q(x) es (x + 2); siendo 3 la suma de sus coefi­
cientes.
61. Factorizar el polinomio:
P{x) = (x -t- 2)(x - 1)(x - 3)(x - 6) + 7x ̂- 28x + 1 
e indicar un factor primo-
Resolución;
Multiplicando convenientemente:
P(x) = ( X + 2)(x - 6) ( X - 1)(x - 3) + 7(x ̂- 4x) -i-1 
P(x) = (x ̂- 4x - 12)(x' - 4x + 3) + 7(x^ - 4x) + 1 
Haciendo: x ̂- 4x = a 
« P(a) = (a - 12)(a + 3) + 7a + 1 
P(a) = a ̂- 2a - 35
a O ^ - 7 ; -7a 
a - ' '^ - ^ 5; _5a 
-2a
P(a) = (a “ 7)(a + 5) reponiendo variables 
P(x) = (x̂ - 4x - 7)(x ̂- 4x -I- 5)
.-. Un factor primo es: x̂ - 4x + 5
62. Al factorizar el polinomio:
P(x) = (x + 2)^(x + 1 )(x + 3) - 42 se obtiene un
factor de la forma Q(x) = x̂ + 4x -t- n. Hallar el
mayor valor de Q(-3),
Resolución;
De; P(x) = (X + 2)'(x -i- 1)(x + 3) - 42 
P(x) = (x ̂+ 4x -I- 4)(x^ + 4x + 3) - 42 
Hacemos: -(- 4x = a
P(a) = (a + 4)(a + 3) - 42 
P(a) = a" + 7a - 30 
10
P(a)=(a + 10 )(a -3 )
=» P(x) = (x ̂+ 4x + 10)(x^ + 4x - 3)
Q(x) = x̂ i- 4x + n 
=»n = 1 0 v n = - 3
Q(x) = x ̂+ 4x -t- 10 V Q(x) = x ̂+ 4x - 3 
Q (-3) = 7 V Q(-3) = - 6 Mayor = 7www.full-ebook.com
63. Si F(x) es ei factor primo de mayor grado que re­
sulta al factorizar P(x) = x® + x“ + 1 en Z(x), hallar
F(3).
Resolución:
P(x) = X̂ + X* + 1
Aplicando el método del quita y pon;
P(x) = x̂ + x* + 1 + x̂ -
x^(x^ - 1 ) + x"* + + 1 + x^ - x̂
x^(x' - 1 ) + X ^ ( x ^ - 1 ) + x ̂+ x' + 1 + X - X
x^(x ' - 1 ) + X^(x^ - 1 ) + x(x* - 1 ) + x^ + X + 1
= ( x ^ - 1 ) ( x ^ + X ^ + X ) + x ' + X + 1
= x ( x ' - 1 )(x^ + x + 1 ) + {x* + x + 1 )
= (x̂ + x + 1)(x(x^ - 1) + 1)
= (x' + X + 1)(x' - x + 1 )
^ F(x) - x' - X + 1 F(3) = 3' - 3 + 1 = 25
64. Factorizar; P(x; y) = x̂ + 28 + 3xy(x + y) e indi­
car la suma de coeficientes de uno de sus factores 
primos.
Resolución:
Desdoblando términos para formar desarrollo de
un binomio al cubo
P(x; y) = x̂ + + 3xy(x + y) + 27y^
P(x; y) = (x + y) ̂(3y)^ suma de cubos
P(x; y) = ( X + y + 3y) [(x + y)' - (x + y)(3y) + (3y)'3
=> P(x; y) = (x + 4y)(x^ - xy + 7y^ : factores 
Suma de coeficientes de (x + 4y) es 5.
Suma de coeficientes de (x̂ - xy + 7y )̂ es 7
65. Factorice: P(x) = (x̂ + x + 1 )(x' - x+ 1) + 7x ̂- 385 
e indicar la suma de sus factores primos lineales.
Resolución:
Efectuando: P(x) = (x* + x̂ + 1) + 7x ̂- 385 
P(x) = x“ + 8x ̂- 384 factorizando por aspa simple 
x̂ + 24
x' - 16
P(x) = (x" + 24)(x' - 16)
^ P(x) = (x ̂+ 24)(x + 4)(x - 4)
.-. Nos piden: (x + 4) + (x - 4) = 2x
66. Factorizar: P(x: y) = y V + 2yx ̂- xy + x* - x̂ - 20 
e indicar un factor primo.
Resolución:
Agrupando convenientemente se tiene;
P(x; y) = y"x' + y(2x' - x) + (x̂ + 4)(x' - 5)
yx I x̂ + 4
yx — — x' - 5
P(x; y) = (yx + x̂ + 4){yx + x̂ - 5)
Un factor primo es: yx + x̂ - 5
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 (UNI 1 975 )
Uno de tos factores de: x® - x̂ - 8x - 16, es:
A) x̂ - 4 B) x ̂- 2x + 4 C) x̂ + 2x - 4
D) - x - 4 E) x̂ - X + 4
Resolución:
Extrayendo el signo ( - ) a los tres últimos términos se 
tendrá:
X® - (x ̂+ 8x + 16) = (x')' - (X +
(x ^ + X + 4)(x^ - X - 4)
Clave: D
PB0BLEMA2 (UNI 1978)
Descomponer en dos factores;
(x + y) ̂+ 3xy (1 - x - y) - 1
A) (x + y + 1 )(x ̂+ 2xy + ŷ + x + y + 1 )
B) {x + y - 1 )(x ̂+ 2xy + / - x - y + 1 )
C) (x + y - 1 )(x ̂ - x y + y ^+ x + y + 1 )
D) (x - y - 1 ) (x ^ - 2xy + + X - y + 3)
E) (x - y + l)(x^ - 2xy + ŷ + x + y -3 )
Resolución:
Agrupando en la forma indicada:
(X + y) ̂- 1 - 3xy (X + y - 1 )
{x + y - 1)[(x + y) ̂+ X + y + 1] - 3xy(x + y - 1)
(x + y - 1 )[x̂ + ŷ + 2xy + x + y + 1 - 3xy] 
.-. (x + y - 1)(x* - x y + ŷ + x + y + 1 )
Clave: C
PROBLEMA 3 (UNI 1983-1)
Factorizar: (a - b) (̂c - d)̂ + 2ab(c - d)̂ + 2cd(a ̂+ b*)
e indicar la suma de sus factores
A) â + b' + ĉ + d̂ B) a + 2b + c + 2d
C) a + b̂ + c + d D) a* - b* + - d̂
E) â - b + c - d
Resolución:
Sacando factor común (c - d)̂ a los primeros términos: 
(c - d)̂ [(a - b)* + 2ab] + 2cd(a ̂+ b^
(c - d)̂ (â + b̂ ) + 2cd(a ̂+ b̂ )
Factorizamos ahora: (â + b^
(a ̂+ b')[(c - d) ̂ + 2cd] = (a* + b^(c^ + d̂ )
Se pide la suma de factores: â +
Clave: A
PROBLEMA 4 (UNI 1984 - II)
Uno de los factores de:
zx* + 4x^/ - 4xVz + 4y‘'z - x“ - 4y*, es:
A) 1 + z B) 2 - 2 C) z - 1
D) X - 2y E) X + 2y
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Resolución;
Agrupando en la forma indicada:
(zx" - 4xV^2 + 4y‘z) - (x‘ - 4 xV + 4y‘ ) 
z(x" - 4 x y + 4y“) - (x" - 4 xV + 4y‘ ) 
Sumando factor común:
(X* - 4 xV + 4y")(z - 1) = (x ̂- 2 f f { z - 1)
TCP
Ciave; C
PROBLEMAS 5 (UNI 1985 • II)
Descomponer en factores la siguiente expresión: 
a(logx)“ + 10(logxfa + 23a(logx)^ - 10(logx)a + a
A) a((iogx)^ + Slogx - 1 B) a(logx^ + 6logx - 2)^
0) adogx + 3)(logx - 25) D) a((logx)^ + 4logx - 1)
E) adogx - 2)(logx + 2)
Resoiución;
Haciendo el cambio de variable:
Iogx = y, tendremos:
ay" + 10/a + 2 3 /a - lOya + a
a l y - + 1 0 y * + 2 3 / - 1 0 y + ^ ]
^ a[y" + 5y - 1]"
Reponiendo x; quedaría: a((logx)^ + 5log - 1)̂
Clave: A
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□ P R O B L E M A S PROPUESTOS
1. Hallar un factor primo del siguiente polinomio;
[ ( x - y + 2) ( x - y - z ) + 1 ]^ -4 (x - y ) '
A)x + y + z+ 1 B ) x - y + 2+ 1 C ) x - y + z 
D ) x - y + z + 2 E)z + y - x + 2
2. Sabiendo que x̂ + 2x + 3, es un factor de;
P(x) = x** + x̂ + 6x ̂+ mx + n 
entonces es verdad que:
A) m + n = 21 B) mn < O C) m < O
D) n es par E) n - 2n = 1
3. Calcular el número de factores cuadráticos de: 
P(x) = 4x* - 37x' + 9
A) 2 
D)5
B)3
E)6
0 4
4. Siendo n el valor que debe admitir x para que los 
factores de primer grado de T{x)= 2x^ + 7x +6, 
tengan el mismo valor numérico, señalar un factor 
de: E(a; b; c) = a(a + c ) + nb(b + c)
A) a + b B)b + c C)c + a
D) a + b + c E)a + b - c
5. Factorizar:
M(a; b;c) = â - b̂ - + 2(a + b - c + be)
Dar como respuesta la suma de sus factores primos.A) 2a B)2b + c C)2a + 2
D) 3a + c E) 2a + b + 1
6. Señalar cuántos factores lineales admite la expresión: 
J(x; y) = x’ - x y + x“ŷ - /
A) 1 B) 2 0 3
D)4 E)5
7. Hallar un factor primo del siguiente polinomio:
R(x; y; z) - |[8(x + y + z)' - (x + y)" - (y + z f - (z + x)"]
A) X + y B) xyz
D) X + y + z E) xy + 2z
O x ^ + y " + z ’
8. Sea el polinomio:
Q(n) = (n̂ + 3n - 9)' + n̂ + 3n - 11 
dar el valor de verdad de las siguientes proposicio­
nes:
I. (n - 5) es un factor primo.
II. (n̂ + 3n - 7) es un factor primo.
III. Presenta dos factores primos lineales.
A) FFV B) FW o FVF
D )W F E)VFF
9. Si a uno de los factores primos de:
P(x) = (x + 4)(x + 5)(x - 3)(x - 2) + 6
se le suma 3x; se obtienen dos factores primos li­
neales. Hallar la suma de ellos.
A) 2x + 5 
D) 2x + 3
B)2x - 5 
E)2x
C )2 x -3
10. Si P(x; y; z) = (ax + by + cz)(mx + ny + pz). p e Z, 
representa al polinomio:
P(x; y; z) = 2l(x + y + z) ̂ + (x + y - z) ]̂ +
5(x ̂+ ŷ - z ̂+ 2xy) 
Luego de haber sido factorizado, calcular el valor de;
E _ a j t . b + c
m - n + p 
A) 1/9 B)3/7
D) 7/5 E) 9/5
0 5/7
11. ¿Cuántos valores admite n para que el polinomio; 
P(x) = ( X - n)(x - 6)" - ̂ (2x - 3)’' ’ "
admite dos factores primos repetidos?
A) 6 B)7 0 5 D)4 E) 8
12. Luego de factorizar:
P(x; y) = x̂ y (̂x ̂ + xy) - x^^(xy + yz), dar como 
respuesta la suma de sus factores primos.
A) 3x + 2y + z B) 3x + 2y - z O 2x + y - z
D)2x + y + z E) x + y + z
13. Calcular la suma de coeficientes de un factor primo de: 
Q(x; y) = x̂ - 25z ̂+ 6xy + 9 /
A) 4 B) 9 C) 4 + 5z
D) 4 - 5z E) Hay dos correctas
14. Si P(x; y; z) = (x + 2y + 3z)(x + 3y + 5z) + 2yz 
es un polinomio factorizable, hallar un factor primo.
A)x + y + 2z B) x + y + z C)x + y + 3 z
D) X + 2y + 5z E) x + xy + y
15. Señalar un factor del siguiente polinomio:
( X + y) (̂x ̂ + 3xy + y )̂ - 6xy(x* + xy + ŷ ).
A) x + y B ) x - y C)x^ + xy + ŷ
D) x̂ - xy + ŷ E) x + xy + y
16. Si P(x; y) = x̂ + 28y ̂+ 3xy(x+y) es un polinomio 
factorizable. indicar la suma de coeficientes de uno 
de sus factores primos.
A) 3 B)5 0 6 D)9 E) 10
17. Si P(x) = (3x + 2)(4x - 3)(x - 1)(12x + 11) - 14 es 
un polinomio factorizable en los racionales, señalar 
un factor primo.
A )x - 1 B) 12x̂ - 4x - 3 C) 13x + 12
D )1 2 x -1 3 E )2 x -1
18. Indicar un factor de:
R(x) - 2(x + 21)" + ( X + 20)" - { X + 19)= - 1
A) 2x + 46 B) X - 20 O 2x - 46
D) X - 23 E) x + 9
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