Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-paginas-10

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Intersección (n)
La intersección de dos conjuntos A y B se define como 
el conjunto de los elementos que son comunes a A y B, 
es decir de aquellos elementos que pertenecen a A y 
que también pertenecen a B.
Se denota por A n B; y se lee: “A intersección B" 
Ejemplo:
Sean:
A = {a; b; c}
B = {b; c; d; e}
A n B = {b; c}
En general:
A n 8 = {x/x e A A X
1. AnB, 3 y i
2. A n B s B n A
3. (A hB )nC »A n(B n 'C )
4. A r i (B u C )a (A o B )u (A n C ) 
A u (B u C) » (A U B) n (A U C)
5. AnAr=A
A O 0 S 0
A-iU • A
6. A c B * * A n B = A .
7. <AnB)cA A (A n B )cñ
Diferencia ( - )
La diferencia de dos conjuntos A y B se define como el 
conjunto de todos los elementos del conjunto A que no 
pertenecen al conjunto B.
Se denota por: A - 8 y se lee: “A diferencia B" o “A 
menos B".
Ejemplos:
• Sean: A = {a; b: c; d; e} A B = {d; e}
» A - B = {a; b; c}
Gráficamente:
Sean: A = {0; 1; 2; 3} a B = {2; 3; 4} 
« A - B = {0; 1} 
Gráficamente:
Sean: A = {a; e; 1} a B = {o; u} 
=» A - B = {a; e; i}
Gráficamente:
1. A -B ,.3yesú fM »
? A - A « 0 ; A - U = (0; A - 0 = A
4. ^ - S ) c A _ n-
Complemento de un conjunto
Si A y B son conjuntos tales que A c B, se define el 
complemento de A con respecto de B y se denota por: 
C ; C ;̂
Entonces el compleniento de A será:
A* = B - A = {x/x e B A X ^ A}
Ejemplo:
Sean-, u = {1 ; 2; 3; 4; 5)
A = {3;4}
A' = u - A = {1;2;5}
Gráficamente:
'k é im & É M ñ
A -È
1.
2 AoA>^U
3. A (iA '^E ? = ’Hl
Diferencia simétrica
Dados los conjuntos A y B entonces se define:
A A 8 = (A - B) u (B - A) v 
A A B = (A U B) - (A n B)
Se lee: “A diferencia simétrica con 8”
Ejemplo:
A = {1; 2: 3; 6: 7} A 8 = {2; 3; 7; 4; 9}; entonces:
A A B = (A - B) u (B - A); A - B = {1; 5} A B - A = {4; 9} 
A A B = {1;4;5; 9}
Gráficamente:
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t A a B V m u m a i 
i A A f » - S l A 
J fA<.|hJ.C •
^ A ̂b - .* «• A >
^ NÚMERO DE ELEMENTOS DE IIN CONJCJNTO
Dado un conjunto A cualquiera, la familia de elemen­
tos del conjunto se llama número cardinal de A y se 
denota por:
n(A) V Card(A)
Se lee: “número de elementos de A” o “cardinal de A". 
Se cumplen las siguientes propiedades:
1. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, esto es:
A n B = 0: entonces; 
n(AuB) = n(A) + n(B)
2. Si A y B son dos conjuntos tales que A n B 0 , 
entonces:
n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B)
3. Si son 3 conjuntos A; B y C:
n(A u B u C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A n B) -
n(A n C) - n(B n C) + n(A n B n C)
n(A - B) = n(A) - n(A n B)
Ejemplo:
A = {2; 3; 5; 7\ 9} 
8 = {1:4; 8}
n(AuB) = n(A) + n(B) 
5 + 3
n(AuB) = 8
• C = {2; 3; 5; 7; 9}
D = {1: 4; 5; 7; 10} son no comparables
n(C U D) = n(C) + n(D) - n(C n D)
= 5 + 5 - 2
n(C U D) = 8
Aplicaciones
1. Dado el conjunto; A = {5; {2}; 3}
Ind icar la p roposic ión fa lsa :
I. {2>eA II. { {2 }>cA
lll. 3 e A IV. {5;3}eA
V. {5 ; {2 } }cA
Resoludón:
I. Es verdadera, dado que {2} es un elemento de 
A, además, )a relación de pertenencia se em­
plea de elemento a conjunto.
II. Verdadera ya que { {2} } es un subconjunto 
de A, no está por demás hacer la aclaración 
que entre conjuntos se utiliza la relación de 
inclusión.
III. Verdadera, ya que la pertenencia se utiliza de 
elemento a conjunto.
IV. Falsa, ya que {5; 3} es un subconjunto de A, 
entonces debería de haberse empleado la 
inclusión.
V. Verdadera, se utiliza la inclusión para relacionar 
conjuntos.
2. De ias siguientes notaciones:
I. {2; 5; 3} = {3; 5; 2}
II. {4} € {{4} ; 5}
III. {3}c{2;3; 4}
IV. 0 G {3; {4}; 2}
V 0c {3 : {4 } ;2 }
Indicar la proposición falsa.
Resolución:
I. Verdadera, son conjuntos iguales.
II. Verdadera, ya que {4} es un elemento del con­
junto.
III. Verdadera, ya que {3} es un subconjunto.
IV. Falsa, ya que 0 ^ a dicho conjunto.
V. Verdadera ya que 0 está contenido en cual­
quier conjunto.
3. Sabiendo que;
n(B) = 56; n(AriC) = 14
n ( A n 8 ) = 15; n (A o B n C ) = 6
n(BnC) = 19
Hallar ei número de elementos de la parte som­
breada.
Resolución:
Trasladando los datos al diagrama tendremos:
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4.
5.
Luego el n.° de elementos de la parte sombreada 
será: 28 + 8 = 36
En una encuesta acerca del consumo de bebidas 
se obtuvo la siguiente información:
• Toman Guaraná y Pasteurína 1/3 de los que 
solo toman Pasteurína y 1/2 de los que toman 
Guaraná.
• Toman otras bebidas diferentes tantos como los 
que toman solo una bebida de las mencionadas.
Si los encudstados fueron 495 persor\as, hallar tos 
que toman una bebida (Pasteurína o Guaraná).
Resolución:
Utilizando el diagrama de Venn:
Sea X el conjunto de los que toman las dos bebidas, 
luego:
De donde:
2x + X + 3x + 2x + 3x = 495
11x = 495
toman otras 
X = 45
Luego los que toman solo una t>ebida son:
2(45) + 3(45) = 225
De un grupo de 55 personas 25 hablan castellano, 
32 quechua, 33 inglés y 5 los 3 idiomas. 
Determinar el n.° de personas que hablan solo dos 
de esos idiomas.
Resolución:
Llevando los datos a un diagrama, se tiene:
- ^ (3 2 )
( ^ é A
b \
\ / ' \ 5 / ^\ / X \ < / Z
V ^
1(33) 55
X + y + a = 20 - . (1)
y + b + z = 27 - (2)
X + c + z = 28 ...(3)
Sumando (1), (2) y (3):
X + y + z + x + y + z + a + b + c = 75 
50
.-. x + y + z = 25
Luego el número de personas que solo hablan dos 
de estos idiomas es 25.
6.
7.
8 .
9,
De una encuesta a 60 personas se recibió la si­
guiente información:
• 7personasconsumenelproductoAyBperonoC.
• 6 personas consumenel producto ByC pero no A.
• 3personasconsumenelproductoAyCperonoB. 
> 50 personas consumen ai menos uno de estos
productos.
• 11 personas consumen el producto A y B.
Determinar la cantidad de personas que consumen 
solamente un producto.
Resoiución:
Distribuyendo los datos en un diagrama de Venn:
En el gráfico se pide: a + b -f c 
De donde: 20 + a + b + c = 50 
.-. a + b -t- c = 30
Como se observa consumen solamente un produc­
to 30.
Si: A = {4; 5; {8>; {10; 11}; 9; 12; {15}}, determinar 
cuáles son verdaderas.
I. {4 }c A lll. {10; 11} c A
II. ( 4 ;5 }c A IV {15}cA
Resoiución:
I. {4} c A es verdadera 
({4} es subconjunto de A)
II. {4; 5} c A es verdadera 
({4; 5} es subconjunto de A)
III. {10; 11}cAesfalsa
({10; 11}eAya que {10; 11} es elemento de A)
IV. {15} c Aes falsa (por lll)
Si a e A entonces: 
a E (A u B) a € (A - B)
a e (A n B) a g A’
¿Cuáles son verdaderas si B es un conjunto cual­
quiera?
Resoiución:
* a E (A u B) es verdadero para cualquier conjunto B.
• a e ( A n B } =» a e A A a e B .
no se puede determinar el valor de verdad (¿a e B 7)
• a e ( A - B ) = » a e A A 3 ? B ( a puede o no 
pertenecer a B).
* a £ A' es verdadero.
Detemiinar la afirmación falsa:
I. AnA ' = 0
II. A u A ’ = u
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III. A - B = A n B ’
IV. (A n B) - C = (A - C) n {B - C)
V. A - B = j ^ B - A 
Resolución:
I. A n A' = 0 por definición de complemento
(0 # 0) (F)
II. A u A '= U tomando el dual de A (V)
III. A - B = A n B' definición de la diferencia
de conjuntos (V)
IV De (A - C) n (B - C) = (An C) n (B n C)
= A n B n C ' n C ’ = A n B n C ’
= (A n B) n C’ = (A n B) - C (V)
V A - B / B - A (V)
10. Dados los conjuntos:
A={ 1 ; 2 : 3; 4}; B = {1; 4; 13; 14} y
U = {1; 2; 3; 4; ...; 10; 11; ...; 14; 15}
¿Cuál de los siguientes subconjuntos no es sub­
conjunto de (A u B)'?
I.{5} II. {5; 4}
Resolución:
De:(AuB)' = U - ( A u B ) ...(1)
A u B = {1;2; 3; 4; 13; 14}
U = {1; 2; 3; . . . ; 14; 15}
Entonces de (1):
(Au B)' = (5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} 
Respondiendo:
I. (5} si es subconjunto de (Au By
II. {5; 4} no es subconjunto ya que 4 $ (A u B)'
.-. II no es subconjunto de A u B
PRO BLEM AS RESUELTOS Q
1. Sea: A = {1; 2; 4; 8; 16}. 8 = {1; 4; 7; 11; 14} y
U = {1;2;3.. . ;13; 14; 15; 16}
¿Cuál de los siguientes subconjuntos es subcon- 
junlo de (A n B)'?
I. {1;2;3} II. {2; 3; 5}
Resolución:
Sabemos que: (An B)' = U - (An B)
A n B = {1;4}; U = {1; 2; 3;...; 14; 15; 16} 
Entonces:
(AnB)' ={2; 3; 5; 6; 7;...; 14; 15; 16} 
Respondiendo:
i. {1;2;3}noessubconJuntode(AnB)’ (1 í (AnB)') 
It. {2; 3; 5} si es subconjuntode (A n B)'
2. Dados los conjuntos:
A = {1;2; 3; 4}; B = {1; 4; 13; 14};
C = {4; 5; 12; 13}y U = {1;2: 3;...; 15; 16} 
Señalar cuáles son verdaderas: 
t. 4 e ( U - C ) lll. ( B n C ) c ( U - A )
II. 1 e ( A n B ) IV A c ( B u C )
Resolución:
I. (U - C ) = {1;2;3;...; 15; 16} - {4; 5; 12; 13}
(U - C) = {1; 2; 3; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 14; 15; 16}
Entonces: 4 e (U - C) (F)
II. A n B = {1; 4} ^ 1 e ( A n B ) (V)
III. B n C = {4; 13}
U - A = {5;6; 7; . . . ; 15; 16}
Entonces: (B n C) cr (U - A) (4 ¿ U - A) (F) 
IV B u C = {1;4; 5; 12; 13; 14}
A= { 1 ;2 ;3 ; 4 } = » A d (B u C ) (F)
3. IHallar cuál es la afirmación falsa.
I. ( A u B ) c U
II. ( ( A n B ) n C ) c A
lU. ( A u C ) c B %
IV (A - B) c U
V. Todas son verdaderas
Resolución:
I. (AnB)cUestr ivialyaqueA,ByCcU. (V)
II. (A n B) n C c A es trivial
[(A n B) n C] n A’ = {A n fK[ ) n B n C - 0 (V)
III. A u C c B e s ® (F)
(no se puede decir que (A u C) n B' = 0 )
IV (A - B) c U
(A - B) n U' = (A - B) n 0 = 0 (V)
La afirmación en III es la falsa.
4 . Dados los conjuntos:
U = {-1 ; O; 1; 2; 3; 4; 5}; A = {~1; 0; 2)
B = {2;3;4} ;C = { -1 ;1 ;3 ; 5}
D = {x e U /x e A A x g B } ; E = {xe U /x§ ÉAvxeC} 
Hallar el número de elementos de D u E. 
Resolución:
U = {-1 ; 0; 1; 2; 3; 4; 5}; A = {-1 ; 0; 2}
B = {2; 3; 4}; C = {-1 ; 1; 3; 5}
D = { x e U / x e A A x g B )
= { x e U / x e A A x s B ' ) = A n B 
E = {xe U / x í A v x e C}
= { x G U / x e A ' v x e C } = A ’ uC
Resolviendo;
O = {-1 ; 0; 2 } n { - 1 ; 0 ; 1; 5} = { -1;0}
A B'
E = {1; 3; 4; 5 }u { -1 ; 1; 3; 5} = {-1 ; 1; 3; 4; 5}
A' C
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