Material y Apuntes

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Material y Apuntes 
TURBOMÁQUINAS TÉRMICAS 
CT-3412 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Miguel ASUAJE 
 
Turbomáquinas Térmicas. Prof. Dr. Miguel Alejandro ASUAJE TOVAR Pág 2 de 50 
 
 
CONTENIDO 
 
CONTENIDO ............................................................................................................... 2 
FIGURAS ..................................................................................................................... 3 
1.  ANÁLISIS DIMENSIONAL ................................................................................ 4 
2.  DEFINICIONES DE RENDIMIENTO O EFICIENCIA ................................... 10 
2.1.  TURBINA ........................................................................................................ 10 
2.2.  COMPRESOR ................................................................................................. 11 
2.3.  RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA TOBERA .................................. 18 
2.4.  RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UN DIFUSOR ................................... 19 
3.  FLUJO EN REJILLAS DE ALABES EN CASCADAS (flujo bidimensional) . 21 
4.  TURBINAS AXIALES (flujo bidimensional) .................................................... 26 
4.1.  RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA ETAPA DE TURBINA ............ 31 
4.2.  PÉRDIDAS EN LA ETAPA ........................................................................... 32 
4.3.  Tipos de diseño de turbinas axiales ................................................................. 35 
4.4.  Grado de Reacción ........................................................................................... 36 
5.  COMPRESORES AXIALES (Flujo Bidimensional) .......................................... 41 
5.1.  Eficiencia de la etapa y Relación de Compresión ............................................ 43 
5.2.  Grado de Reacción ........................................................................................... 45 
5.3.  Factor o coeficiente de carga ........................................................................... 46 
5.4.  Características de funcionamiento fuera de diseño .......................................... 48 
REFERENCIAS ......................................................................................................... 50 
 
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FIGURAS 
 
FIGURA N°1. Propiedad de Estancamiento .................................................................... 4 
Figura N°2. Variación adiabática ideal de las condiciones de parada a lo largo de una 
turbomáquina .................................................................................................................... 6 
Figura N°3. Curva característica de un compresor ........................................................... 9 
Figura N°4. Curva característica de una turbina .............................................................. 9 
Figura N°5. Proceso de Expansión en una turbina ......................................................... 10 
Figura N°6. Proceso de Compresión .............................................................................. 12 
Figura N°7. Proceso de compresión en pequeñas etapas ............................................... 13 
Figura N°8. Proceso de compresión. Definición de rendimiento politrópico ................ 14 
Figura N°8. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un 
pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4) .............................. 15 
Figura N°9. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un 
pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4) .............................. 16 
Figura N°10. Diagrama de Mollier mostrando el proceso de expansión dividido en un 
número de pequeños escalonamientos ............................................................................ 17 
Figura N°11. Diagrama de Mollier para el proceso a través de una tobera .................... 18 
Figura N°12. Diagrama de Mollier para el proceso a través de un difusor .................... 19 
Figura N°13. Esquemas de difusores subsónicos ........................................................... 20 
Figura N°14. Perfil aerodinámico ................................................................................... 21 
Figura N°15. Rejilla de álabes. Definición de ángulos y parámetros geométricos ........ 22 
Figura N°16. Fuerzas y triángulos de velocidades en una rejilla de álabes ................... 23 
Figura N°17. Fuerza de sustentación y arrastre .............................................................. 25 
Figura N°18. Proyecciones de las fuerzas ...................................................................... 25 
Figura N°19. Diagramas de velocidad de una turbina axial ........................................... 26 
Figura N°20. Línea de corriente y velocidades en una turbomáquina ........................... 27 
Figura N°21. Diagramas de velocidad superpuestos de una etapa normal de una turbina 
axial ................................................................................................................................ 28 
Figura N°22. Diagramas de velocidad adimensionales de una etapa normal de una 
turbina axial .................................................................................................................... 29 
Figura N°23. Diagrama h-s de la etapa de una turbina ................................................... 30 
Figura N°24. Distribución de presión en una rejilla de una etapa de una turbina axial . 33 
Figura N°25. Correlación de Soderberg para los coeficientes de pérdidas en una turbina 
en función de la deflexión .............................................................................................. 34 
Figura N°26. Esquema del canal interálabe ................................................................... 35 
 
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1. ANÁLISIS DIMENSIONAL 
 
Máquinas de Flujo Compresible 
 
m& Flujo de masa 
c Velocidad del Fluido 
TRa ⋅⋅= γ Velocidad del sonido 
01a Velocidad del sonido de estancamiento en la entrada de la turbomáquina 
 
( ) ( )⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+−+−=− 12
2
1
2
212 2
1 zzgcchhmWQ &&& 
 
 Energía Energía Cero para un gas 
 Estática Cinética 
 
02
2
22 2
1 hch =+ Entalpía Total, Estancamiento ó Parada 
 
p
pp C
cTTTCcTC
2
2
20202
2
22 2
1
2
1
+=⇒=+ 
 
FIGURA N°1. Propiedad de Estancamiento 
 
sh0Δ Cambio de entalpía isentrópico 
0=Q& Adiabático Isentrópico 
η Eficiencia 
P Potencia 
 
ss hhh
m
W
00102 Δ=−=−
&
&
 
 
),,,,,,( 010110 γρημ amDFh s &=Δ 
),,,,,,( 01012 γρημη amDF &= 
),,,,,,( 01013 γρημ amDFP &= 
 
 
 
 
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Aplicando el Teorema π 
 
Propiedad/Unidades M L T 
ρ01 M L-3 
N (rpm) T-1 
μ M L-1 T-1 
a01 L T-1 
m M T-1 
Δh01 L2 T-2 
P M L2 T-3 
D L 
η 
γ 
 
Se seleccionaron las siguientes variables independientes: ρ01, N y D (diámetro 
característico) y se aplico el teorema π 
 
Como ρ0 y a0 varían a través de una turbomáquina se toma el valor de estas variables en 
la entrada 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
Δ γ
μ
ρ
ρ
,,,
01
2
01
3
01
122
0
a
NDND
ND
mf
DN
h s &
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= γ
μ
ρ
ρ
η ,,,
01
2
01
3
01
2 a
NDND
ND
mf
&
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= γ
μ
ρ
ρρ
,,,
01
2
01
3
01
353
01 a
NDND
ND
mf
DN
P &
 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
Δ γ
μ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
mf
DN
P
DN
h s & 
 
Tarea: Demostrar el resultado obtenido 
 
Simplificación: φ
ρ
ρ
ρ
=≈⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= 2
0101
01
2
0101
3
01 Da
m
a
NDDa
m
ND
m &&&
 Coeficiente de Flujo 
 
 Se elimina este término porque ya está considerado en el análisis 
 
 
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⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
Δ
γ
μ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
2
0101
53
01
22
0
a
NDND
Da
mf
DN
P
DN
h s &
 Válido para cualquier gas 
 
 
 φ #Re #Mach 
 
Para una maquina que utiliza un gas perfecto se utiliza un conjunto diferente de 
relaciones funcionales 
 
Consideremos un compresor adiabático: 
 
( ) [ ]0102
2
1
2
212 2
1 hhmWQcchhmWQ −=−⇒⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+−=− &&&&&& 
 
 
Figura N°2. Variación adiabática ideal de las condiciones de parada a lo largo de una 
turbomáquina 
 
 
[ ]0102 hhmW −=− && Adiabático 
[ ]0102 hhmW ss −=− && Isentrópico 
 
Si suponemos h=CpT se obtiene: 
 
[ ]0102 TTCmW sps −=− && 
 
Nota: La relación 2
0 2
1 cPP ρ+= es una relación para flujo incompresible y por lo tanto 
no se puede usar para el análisis de la turbomáquinas 
 
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Gas ideal ó perfecto: RTP
=
ρ
 
Procesos adiabático isentrópico: ctteP
=γρ
 
 
01
01
02
02
01
02
ρ
ρ
ρ P
P
T
T
R
PT s =⇒= y usando 
ctte
P
γ
ρ
1
= 
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
1
1
01
1
01
1
01
02
01
02
1
01
02
/1
01
01
/1
02
02
01
02
−−−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⇒⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⇒⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
P
P
T
T
P
P
T
T
P
P
P
P
P
P
T
T ss 
Esta propiedad se puede aplicar entre dos temperaturas cualesquiera que se encuentren 
en la misma línea isentrópica 
[ ] [ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=−=Δ⇒−=−
−
11
1
01
02
01
01
02
01010200102
γ
γ
P
P
TC
T
T
TCTTChTTCmW p
s
pspssps && 
vp
v
p
CCR
C
C
−=
= γ
 
1−
=
γ
γRC p 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=Δ
−−−
1
1
1
1
1
1
01
02
2
01
1
01
0201
1
01
02
010
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γγ
γ
P
Pa
P
PRT
P
P
TCh ps 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
Δ
⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
Δ
−
01
02
22
0
1
01
02
2
01
0 1
1
1
P
P
f
DN
h
P
P
a
h
s
s
γ
γ
γ
 
 
El parámetro adimensional obtenido anteriormente es función de la relación de 
presiones ya que: 
 
 2
01
0
2
01
22
0
22
0
a
h
a
ND
DN
h
DN
h sss Δ
≈⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛Δ
≈
Δ
 
 
Para el coeficiente de flujo: 
 
γγρ
φ
01
2
01
2
0101
01
2
0101 PD
RTm
DRTP
RTm
Da
m &&&
=== 
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Usando la ecuación de gas ideal y la ecuación de la velocidad del sonido 
 
 
 
 
 
Para la potencia 
 
( )( )( )22
01
0
53
01
ˆ
NDNDD
TCm
DN
PP p
ρρ
Δ
==
&
, VelocidadAream ⋅⋅= ρ& 
 
 
 Área Velocidad 
 
( ) ( ) 01
0
01
02
01
2
0
2
0 1ˆ
T
T
RT
TR
a
ND
ND
TC
ND
TC
P pp Δ
≈
Δ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
≈⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛Δ
≈
Δ
=
γ
γ
γ
 
 
 
Finalmente se obtiene: 
Parámetros adimensionales para un gas perfecto 
 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Δ
γ
γμ
ρ
γ
η ,,,,,
01
2
01
01
2
01
01
0
01
02
RT
NDND
PD
RTm
f
T
T
P
P &
 
 
Para una misma máquina que opera con #Re bajos y un mismo fluido se puede realizar 
una simplificación de los parámetros adimensionales: 
 
 
 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Δ
0101
01
01
0
01
02 ,,,
T
ND
P
Tm
f
T
T
P
P &
η 
 
 
 
 
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Figura N°3. Curva característica de un compresor 
 
Figura N°4. Curva característica de una turbina 
 
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2. DEFINICIONES DE RENDIMIENTO O EFICIENCIA 
 
2.1. TURBINA 
 
Rendimiento o eficiencia global 
 
η0 = Energía Mecánica disipada acoplamiento eje / tiempo 
 Máxima diferencia de energía disponible en el fluido/tiempo 
 
Rendimiento adiabático o hidráulico 
 
ηt = Energía Mecánica suministrada al rotor / tiempo 
 Máxima diferencia de energía disponible en el fluido/tiempo 
 
[ ]
[ ]
s
sos
real
t
ss
real
hm
ejePotencia
hh
hh
h
h
W
W
hmhhmW
hmhhmW
0
0
0201
02010
max
00201max
00201
_
Δ
=
−
−
=
Δ
Δ
==
Δ=−=
Δ=−=
&
&
&
&&&
&&&
η
η 
Rendimiento Mecánico 
t
m η
η
η 0= 
ηm = Energía Mecánica disipada acoplamiento eje / tiempo 
 Energía Mecánica suministrada al rotor / tiempo 
 
95% Maquinas pequeñas 
99% Máquinas grandes y medianas 
 
 
Figura N°5. Proceso de Expansión en una turbina 
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Si se puede aprovechar la energía cinética en la salida de la turbina se define el 
rendimiento total a total ηtt 
 
s
tt
ss
sss
tt
hh
hh
frecuenteescc
cccc
chch
chch
hh
hh
21
21
21
2222
2
22
2
11
2
22
2
11
0201
0201
)_(
)2
1()2
1(
)2
1()2
1(
−
−
=
=
≅≈>
+−+
+−+
=
−
−
=
η
η
 
 
Si no se aprovecha la energía cinética del fluido en la salida de la turbina el 
rendimiento adiabático es total a estático ηts 
2
221
21
21
2
2
2
22
2
11
2
22
2
11
201
0201
2
20201
0201
2
1
)_(
2
1)2
1()2
1(
)2
1()2
1(
2
1
chh
hh
frecuenteescc
cchch
chch
hh
hh
chh
hh
s
ts
ssssss
ts
+−
−
=
=
++−+
+−+
=
−
−
=
+−
−
=
η
η
 
2.2. COMPRESOR 
 
Rendimiento o eficiencia global 
 
η0c = Energía mínima necesaria para comprimir de P1 a P2 / tiempo 
 Energía suministrada en el acoplamiento / tiempo 
 
Rendimiento adiabático o hidráulico 
 
ηtc = Energía mínima necesaria para comprimir de P1 a P2 / tiempo 
 Energía suministrada por el rotor al fluido / tiempo 
 
[ ]
[ ]
0102
01020min
00102min
00102
hh
hh
h
h
W
W
hmhhmW
hmhhmW
s
o
s
real
tc
ss
real
−
−
=
Δ
Δ
==
Δ=−=
Δ=−=
&
&
&&&
&&&
η
 
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Figura N°6. Proceso de Compresión 
 
Si c1=c2 
12
12
2
11
2
22
2
11
2
22
0102
0102
)2
1()2
1(
)2
1()2
1(
hh
hh
chch
chch
hh
hh ssss
c −
−
=
+−+
+−+
=
−
−
=η 
Rendimiento Mecánico 
tc
c
m η
η
η 0= 
ηm = Energía suministrada por el rotor al fluido/ tiempo 
 Energía suministrada al acoplamiento / tiempo 
 
Rendimiento Politrópico: infinito número de etapas muy pequeñas de igual 
rendimiento 
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Figura N°7. Proceso de compresión en pequeñas etapas 
 
Tds=dh-vdP Para un proceso a presión constante 
 
T
s
h
P
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ 
Sobre una línea isentrópica las pendientes de la líneas de Presión contaste van 
aumentando si nos movemos desde abajo hacia arriba. 
 
.........
1
1min =
−
−
=
−
−
=
Δ
Δ
=
hxhy
hxhys
hhx
hhxs
W
W
p &
&
η 
 
Como todas las etapas tienen el mismo rendimiento 
 
∑
∑
Δ
Δ
=
W
W
p &
&
minη 
 
( ) ( )∑ −=+−+−=Δ 121 ....... hhhxhyhhxW& 
 
 ( ) ( )
12
1 .........
hh
hxhyshhxs
p −
+−+−
=η 
 
 
12
12
hh
hh s
c −
−
=η Para c1=c2 
 
 
Debido a la divergencia de las líneas de presión constante (ver última figura) se cumple: 
 
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( ) ( ) 121 ........ hhhxhyshhxs s −>+−+− Por lo tanto 
 
 ηp > ηc 
 
Para un proceso de compresión el rendimiento adiabático de la máquina es menor que el 
rendimiento del pequeño escalonamiento. 
 
Rendimiento del pequeño escalonamiento para un gas perfecto 
 
 
Figura N°8. Proceso de compresión. Definición de rendimiento politrópico 
 
( )
p
P
P
T
T
PPTTP
dP
T
dT
PdTR
RTdP
dTRdTCdh
P
RTdPdhis
P
RTv
vdPdhisTds
dh
dhis
pp
p
p
p
ηγ
γ
γη
γ
γη
γ
γ
γ
η
γ
γ
η
⋅
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
−
=−⇒
−
=⇒
−
=
−
==
=⇒=
−==
=
1
1
2
1
2
1212 lnln1lnln1
1
1
0
 
 
 
 
También se pueden aplicar condiciones de estancamiento en esta propiedad 
 
Si se utiliza una línea isentrópica ηp=1 
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Ahora aplicamos esta propiedad a la definición de eficiencia del compresor 
 
⇒
−
−
=
−
−
=
−
−
=
1
1
1
2
1
2
12
12
12
12
T
T
T
T
TT
TT
hh
hh
s
ss
cη 
 
1
1
1
1
2
1
1
2
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⋅
−
−
p
P
P
P
P
c
ηγ
γ
γ
γ
η Se pueden usar condiciones estáticas o de estancamiento 
 
 
 
Figura N°8. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un 
pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4) 
 
Como se observa en la gráfica si se aumenta la relación de presión en un compresor 
manteniendo el rendimiento politrópico constante la eficiencia del compresor disminuye 
 
Rendimiento politrópico de una turbina: De manera análoga al compresor se obtiene 
 
( )
γ
ηγ p
P
P
T
T
1
1
2
1
2
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= 
Turbomáquinas Térmicas. Prof. Dr. Miguel Alejandro ASUAJE TOVAR Pág 16 de 50 
 
( )
γ
γ
γ
ηγ
η 1
1
2
1
1
2
1
1
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
P
P
P
P
p
c 
 
Figura N°9. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un 
pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4) 
 
Como se observa en la gráfica si se aumenta la relación de presión en una turbina 
manteniendo el rendimiento politrópico constante la eficiencia de la turbina aumenta 
 
Factor de Recalentamiento o Recuperación: Se aplica en la práctica de la turbinas de 
vapor como una medida de la ineficiencia de la expansión completa 
 
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Figura N°10. Diagrama de Mollier mostrando el proceso de expansión dividido en un 
número de pequeños escalonamientos 
 
( ) ( )
ss
h hh
his
hh
hyshxhxshR
2121
1 .....
−
Δ
=
−
+−+−
= ∑ 
 
1.03< Rh <1.08 
 
hp
ss
t R
hh
his
his
hh
hh
hh
ηη =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
−
=
−
−
= ∑
∑ 21
21
21
21 Eficiencia de una turbina 
 
 hpt Rηη = 
 
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2.3. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA TOBERA 
 
Figura N°11. Diagrama de Mollier para el proceso a través de una tobera 
( ) ( )[ ]2
1
2
212 2
1 cchhmWQ −+−=− &&& 
Tobera: Q=0 y W=0 
 
0201
2
11
2
22 2
1
2
1 hhchch =⇒+=+ 
 
Eficiencia de una tobera 
ss
n hh
hh
c
c
201
201
2
2
2
2
2
1
2
1
−
−
==η 
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2.4. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UN DIFUSOR 
 
Figura N°12. Diagrama de Mollier para el proceso a través de un difusor 
 
( ) ( )[ ]2
1
2
212 2
1 cchhmWQ −+−=− &&& 
Difusor: Q=0 y W=0 
 
0201
2
11
2
22 2
1
2
1 hhchch =⇒+=+ 
 
Eficiencia de un difusor 
 
2
2
2
1
2
2
2
1
1
12
2 cc
cc
hh
hh ss
d
−
−
=
−
−
=η 
 
Diseño óptimo para un difusor recto 
 
 
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Figura N°13. Esquemas de difusores subsónicos 
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3. FLUJO EN REJILLAS DE ALABES EN CASCADAS (flujo bidimensional) 
 
Métodos matemáticos 
- Flujo potencial 
- Transformación conforme 
 
Métodos experimentales 
- Túnel de viento → rejillas de alabes 
 
 
Métodos de simulación computacional 
 
Figura N°14. Perfil aerodinámico 
 
a , b puntos de máxima curvatura 
l = cuerda 
t = espesor 
La línea de centros o de curvatura puede ser circular, parabólica ó otro tipo de curva 
 
Tablas de perfiles normalizados → y/l, t/l en función de x/l 
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Figura N°15. Rejilla de álabes. Definición de ángulos y parámetros geométricos 
 
b cuerda axial 
l cuerda 
α1’ = ángulo tangente línea de centros en la entrada 
α2’ = ángulo tangente línea de centros en la salida 
α1 = ángulo del fluido en la entrada 
α2 = ángulo del fluido en la salida 
i = α1 - α1’ Incidencia 
S = Paso (distancia entre dos alabes) 
ε = α1 - α2 Deflexión 
θ = α1’ - α2’ Curvatura 
δ = α2 - α2’ Desviación 
 
Análisis de fuerzas en cascadas: En el siguiente análisis se supone que el fluido es 
incompresible y el flujo estacionario 
 
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Figura N°16. Fuerzas y triángulos de velocidades en una rejilla de álabes 
 
222
111
222
111
21
21
222111
22221111
tan
tan
cos
cos
1
coscos
α
α
α
α
ρρ
ρρ
αραρ
cc
cc
cc
cc
SAA
cAcAm
cAcAm
y
y
x
x
xx
=
=
=
=
×==
=
==
==
&
&
 
 xxx ccc == 21 
 
 
Fuerzas 
 
X y Y son las fuerzas que ejercen los alabes sobre el fluido 
 
( )
( )
( )21
2
21
12
tantan
1
ααρ
ρ
−=
−=
×−=
x
yyx
SCY
CCSCY
SPPX
 
 
Pérdidas de energía: Un fluido real que cruza la cascada experimenta una pérdida de 
presión total ΔP0 debido a la fricción superficial y a efectos afines 
 
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( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )2121
0
2121
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
210
2
22
2
1100201
2
1
2
1
2
1
2
1
yyyy
yyyyyyxyxy
cccc
S
XP
cccccccccccc
ccPPP
cPcPPPP
+−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
Δ
+−=−=+−+=−
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=Δ=−
ρρ
ρρ
ρρ
 
 
Multiplica y divide por ρCxS 
 
( ) ( )
( )
( )21
21
0
2
2
1
1
2121
0
tantan
2
1tan
tantan
2
1
tan
tan
2
11
ααα
αα
ρρρ
α
α
ρ
ρρρ
+=
++−=
Δ
=
=
−++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
Δ
m
x
y
x
y
yyxyy
x
Y
SS
XP
c
c
c
c
ccSccc
ScS
XP
 
 
 
( )mYX
S
P
α
ρρ
tan10 +−=
Δ
 
Coeficiente de pérdidas de Ptotal o de estancamiento 
2
1
0
2
0
2
1
2
1
c
P
c
P
x
ρ
ϖ
ρ
ξ
Δ
=
Δ
=
 
Coeficiente de elevación de presión 
22
12
2
1
2
1
xx
p Sc
X
c
PPC
ρρ
=
−
= 
Coeficiente de fuerza tangencial 
( )
ξα
αα
ρ
−=
−==
mfp
x
f
CC
Sc
YC
tan
tantan2
2
1 212 
 
Sustentación y Resistencia 
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Figura N°17. Fuerza de sustentación y arrastre 
 
L= Fuerza de sustentación ; D= Fuerza de Arrastre 
 
Fuerza Resultante L+D= Fuerza Resultante X +Y 
 
 
Figura N°18. Proyecciones de las fuerzas 
 
( )
( )
( )
( ) mmx
mm
mmmm
mmm
mmm
mm
mm
senPSScL
senPSYL
senPSsenYL
YsenPSYL
PSXYD
XYsenD
YXsenL
ααααρ
αα
αααα
ααα
ααα
αα
αα
021
2
0
0
0
0
sectantan
sec
costan
costan
costancos
cos
cos
Δ−+=
Δ−=
Δ−+=
+Δ−=
Δ=−=
−=
+=
 
 
 
 
 
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Coeficiente de sustentación 
12
1 2 ×
=
lc
LC
m
L
ρ
 
Coeficiente de arrastre 
12
1 2 ×
=
lc
DC
m
D
ρ
 
4. TURBINAS AXIALES (flujo bidimensional) 
 
 
Figura N°19. Diagramas de velocidad de una turbina axial 
 
 
Velocidad del alabe 
60
2
60
RNDNU ππ
== 
 
Ecuación de continuidad 
333222111 xxx CACACAm ρρρ ===& 
 
Para este curso → 32321 xxxxx wwccc ==== 
ctteAyoA === 332211 ρρρ 
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Si 222 RTac γ== se alcanza la velocidad del sonido y el flujo se estrangula 
 
Tobera 
 
( ) ( )[ ]2
1
2
212 2
1 cchhmWQ −+−=− &&& Tobera: Q=0 yW=0 
 
0201
2
11
2
22 2
1
2
1 hhchch =⇒+=+ Se acelera el flujo 
 
Rotor 
 
[ ]0203 hhmWQ −=− &&& Rotor: Q=0 
 
[ ]0302 hhmW −= && Como ⇒= 0201 hh [ ]0301 hhmW −= && 
 
Momento de la cantidad de movimiento 
 
Empleando la segunda ley de Newton aplicada a los momentos de las fuerzas 
( )yA Rc
dt
dm=τ 
 
Figura N°20. Línea de corriente y velocidades en una turbomáquina 
 
Para un volumen de control de una turbomáquina genérica se puede obtener la ley del 
momento de la cantidad de movimiento. Para flujo estacionario unidimensional: 
 
( )
( ) ( )33223322
3322
60
2
60
yyyyA
yyA
cUcUmcRcRmPotencia
RRNDNU
cRcRm
−=−Ω=Ω=
Ω===
−=
&&
&
τ
ππ
τ
 
 
cy3 es usualmente negativo y en flujo bidimensional U2=U3=U 
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( )32 yy ccUmW += && 
 
 
[ ] ( )
( )3203010
320301
yy
yy
ccUhhh
ccUmhhmW
+=−=Δ
+=−= &&&
 
 
 
Si 32321 xxxxx wwccc ==== y U2=U3=U se pueden acoplar los triángulos de 
velocidades de la siguiente manera: 
 
Figura N°21. Diagramas de velocidad superpuestos de una etapa normal de una 
turbina axial 
 
Coeficiente de flujo 
 
U
Cx=φ 
 
Análisis Dimensional 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
Δ γ
μ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
mf
DN
P
DN
h s & 
φ
ρ
ρ
ρρ
==≈=
U
C
UD
CD
NDD
m
ND
m xx
2
01
2
01
2
01
3
01
&&
 
 
Coeficiente o factor de carga 
 2U
WΔ
=ψ 
 
Análisis Dimensional 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Δ
γ
μ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
mf
DN
P
DN
h s &
 222
0
U
W
DN
h s Δ
≈
Δ
 
( ) ( ) 00301320301 TCpTTCpccUhh
m
WW yy Δ=−=+=−==Δ
&
&
 
 
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( ) ( )
2
032
2
32
U
TCp
U
cc
U
ccU yyyy Δ
=
+
=
+
=ψ 
 
Triángulos unitarios: Dividiendo los triángulos anteriores entre U obtenemos: 
 
 
Figura N°22. Diagramas de velocidad adimensionales de una etapa normal de una 
turbina axial 
 
Rotor 
[ ]0302 hhmW −= && 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
( )( )
( ) 0
2
1
0
2
1
_
0
2
1
02
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
232
323232
3232
33
22
323232
323232
32323232
32
2
3
2
232
32
32
2
3
2
33
2
2
2
22
2
33
2
220302
=−+−
=−++−
+=+
=+
=−
=+−−++−
=−−++−
=+−+++−
+=++−
=
+=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ++−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ++=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +=−
yy
yyyy
yyyy
yy
yy
yyyy
yyyy
yyyyyy
yyyy
xx
yyyxyx
wwhh
wwwwhh
wwcc
wUc
wUc
triángulosVer
UcUccchh
Ucccchh
ccUcccchh
ccUcchh
cc
ccUcchcchchchhh
 
Sumo y resto 2
2
1
xw 
Turbomáquinas Térmicas. Prof. Dr. Miguel Alejandro ASUAJE TOVAR Pág 30 de 50 
 
( ) 0
2
1 2
3
2
232 =−+− wwhh 
 
rr hh
whwh
0302
2
33
2
22 2
1
2
1
=
+=+
 Entalpía de estancamiento relativa 
 
 
Entonces 
 
Tobera: 0201 hh = 
Rotor: rr hh 0302 = 
 
 
Figura N°23. Diagrama h-s de la etapa de una turbina 
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4.1. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA ETAPA DE TURBINA 
 
ηtt= _______Trabajo real efectuado____________________ 
 Trabajo real operando con los mismos niveles de presión 
 
isss
tt W
W
hh
hh
Δ
Δ
=
−
−
=
0301
0301η 
 
 Etapa normal 
31
31
αα =
= cc y se supone c3=c3ss 
 
( ) ( ) ( )ssssss
tt hhhhhh
hh
hh
hh
normaletapa
333331
31
31
31)_(
−+−+−
−
=
−
−
=η 
 
( )
( )
( ) ( )
( )ssss
ssss
ss
ssssss
P
hh
T
T
hh
Mollierdiagramaverssss
ssThh
ssThh
sThT
s
hdP
vdPdhTds
22
2
3
33
2233
22222
33333
__
0
−=−
⇒−=−
⎩
⎨
⎧
−=−
−=−
Δ=Δ⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⇒=
−=
 
( ) ( ) ( )ss
tt
hh
T
T
hhhh
hh
normaletapa
22
2
3
3331
31)_(
−+−+−
−
=η 
Toberas: Ns chh ξ2
222 2
1
=− 
Rotor: Rs Whh ξ2
333 2
1
=− 
 
ξ= Coeficiente de pérdidas 
 
Condiciones totales a totales 
( ) ( )
1
31
2
32
2
2
3
2
32
2
2
331
31
2
1
2
1
2
1
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+
+=
++−
−
=
hh
T
TcW
T
T
cWhh
hh NR
NR
tt
ξξ
ξξ
η 
 
 
 
 
 
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Condiciones totales a estática 
 
( )
1
31
2
3
2
32
2
2
3
2
331
31
2
1
2
1
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+
+=
+−
−
=
hh
cT
TcW
chh
hh NR
ss
ts
ξξ
η 
4.2. PÉRDIDAS EN LA ETAPA 
 
- Generación de entropía 
1) Fricción viscosa en capa límite por mezcla de chorros, por la estela del alabe 
 
Pérdidas Subsónico (%) Supersónico (%) 
Capa límite 1/3 0.25 
Estela 1/3 0.5 
Paredes anulares 1/3 0.25 
2) Transferencia de calor en diferencias de temperaturas finitas → flujo de 
refrigeración 
3) Procesos en no equilibrio, ondas de choque, expansiones rápidas 
 
- Por fuga de fluido en el extremo de los alabes 
 
Correlaciones de Soderberg y Zweifel 
 
 Relación Paso-Cuerda S/b Optimo 
Pérdidas → Deflexión ε Relación aspecto del alabe H/b 
 Relación Espesor alabe/ Cuerda perfil t/l 
 #Re 
 
Queremos hallar ξN y ξR 
 
Se busca la relación S/b óptimo para que las pérdidas sean mínimas 
 
Zweifel: Distribución de presiones ideal para que no exista separación de flujo: lado de 
presión P0 y lado de succión P2 
 
 
 
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Figura N°24. Distribución de presión en una rejilla de una etapa de una turbina axial 
 
P= lado de presión 
S= lado de succión 
 
 
 
 
Coeficiente de carga tangencial 
 
( )
( )20
21
1
tantan
PPb
ccSc
Y
Y xxx
ideal
real
t −⋅⋅
+
==Ψ
ααρ
 
( ) 2
220
2
220
2
11
2
1
cbPPb
cPP
ρ
ρ
=−⋅⋅
+=
 
 
( )212
2 tantancos2 ααα +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⋅=Ψ
N
t b
S Toberas 
( )212
2 tantancos2 βββ +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⋅=Ψ
R
t b
S Rotor 
8,0_ =Ψ optimot 
 
Soderberg: Se cumple para: 
 
H/b = 3 
#Re = 105 
tmáx/ l =0,2 
ε ≤ 120° 
Para i=0 (incidencia) → α1- α1’=0 
 
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Figura N°25. Correlación de Soderberg para los coeficientes de pérdidas en una 
turbina en función de la deflexión 
 
 
 
2
*
100
06,004,0 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=
εξ Coeficiente de pérdidas 
 
 
Tobera: 
2
100
06,004,0 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+= N
N
εξ 21 ααε +=N 
Rotor: 
2
100
06,004,0 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+= R
R
εξ 32 ββε +=R 
 
Si no conocemos la deflexión se puede asumir ε ≈ θ (curvatura) 
 
'
2
'
1 ααθ +=N 
'
3
'
2 ββθ +=R 
 
Si H/b ≠ 3 
 
Tobera 
( )( )
( )( ) 1/021,0993,01
/021,0993,011
*
1
*
1
−++=
++=+
Hb
Hb
NN
NN
ξξ
ξξ
 
 
Rotor 
( )( )
( )( ) 1/075,0975,01
/075,0975,011
*
1
*
1
−++=
++=+
Hb
Hb
RN
RR
ξξ
ξξ
 
 
Si #Re ≠ 105 
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μ
ρ 222Re hDc
= 
mojado
flujo
h P
A
D
4
= ( )H
h S
HSD
+
=
2
2
cos2
cos4
α
α 1
4
1
5
2 Re
10 ξξ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= 
 
Figura N°26. Esquema del canal interálabe 
 
 
Factor de corrección de pérdidas FCP 
 
FCP= Área alabes_____ 
 Área alabes + holgura 
 
ttcorregidott ηη =)( FCP 
 
4.3. Tipos de diseño de turbinas axiales 
 
Consideremos el problema de seleccionar el diseño de una turbina axial para la cual se 
ha elegido de antemano la velocidad media del alabe U, el trabajo específico ΔW y la 
velocidad axial cx. El limite superior de la velocidad del alabe está fijado por tensiones 
mecánicas y la velocidad axial está limitada por consideraciones de la sección del flujo. 
 
( ) 2332 yyyy c
U
WcccUW −
Δ
=⇒+=Δ 
 
 Para diferentes valores de Cy2 se pueden construir los triángulos de velocidades, 
determinar los coeficientesde pérdidas y calcular ηts y ηtt. Stenning consideró una 
familia de turbinas donde cada turbina tenía un coeficiente de flujo Cx/U =0,4, una 
relación de aspecto de alabe H/b =3 y número de Reynolds =105 y cálculo ηts y ηtt para 
factores de carga del escalonamiento ΔW/U2 de 1, 2 y 3 utilizando la correlación de 
Soderberg. Los resultados de estos cálculos se muestran en la siguiente figura: 
 
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4.4. Grado de Reacción 
 
R = Caída de entalpía estática en el rotor 
 Caída de entalpía estática en la etapa 
 
31
32
hh
hhR
−
−
= 
Suponemos etapa normal 
31
31
αα =
= cc y la velocidad axial constante a lo largo de la etapa 
 
0301
32
hh
hhR
−
−
= 
 
En el rotor 
( )2
2
2
332
2
33
2
22
0302
2
1
2
1
2
1
wwhh
whwh
hh rr
−=−
+=+
=
 
 
Recordando ( ) ( )323203010 yyyy wwUccUhhh +=+=−=Δ 
 
 
 
 
Turbomáquinas Térmicas. Prof. Dr. Miguel Alejandro ASUAJE TOVAR Pág 37 de 50 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces ( )32
2
2
2
3
0301
32
2 yy ccU
ww
hh
hhR
+
−
=
−
−
= 
 
( ) ( ) ( )( )2323
22
2
22
3
2
2
2
3 yyyyxyxy wwwwwwwwww −+=+−+=− 
 
( )( )
( )
( ) ( )23
23
32
2323 tantan
222
ββ −=
−
=
+
−+
=
U
C
U
ww
wwU
wwww
R xyy
yy
yyyy 
 
( )23 tantan
2
ββφ
−=R 
U
cx=φ 
 
 
( )
U
Ucc
U
Ucw
U
ww
R xxyyyy
2
tantan
22
232323 +−
=
−−
=
−
=
αβ 
 
( )
U
cR x
2
tantan
2
1 23 αβ −
+= 
 
( ) ( )
U
cc
U
UcUc
U
ww
R yyyyyy
2
1
22
232323 −
+=
−−+
=
−
= 
 
( )
U
cR x
2
tantan1 23 αα −
+= 
 
Grado de reacción cero 
 
32
31
32 0 hh
hh
hhR =⇒=
−
−
= 
32
2
33
2
22
0302
2
1
2
1 wwwhwh
hh rr
=⇒+=+
=
 
 
( ) 2323 0tantan
2
ββββφ
=⇒=−=R 
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Etapa de turbina de acción o de impulso 
 
Suponga una etapa con 0 caída de presión en el rotor 
 
Negativo
hh
hhR ⇒
−
−
=
31
32 Etapa de impulso→Admisión Parcial 
3223
2
33
2
22
0302
2
1
2
1 wwhhwhwh
hh rr
>⇒>⇒+=+
=
 
 
Son ineficientes pero se pueden regular muy bien, se usan casi siempre como primera 
etapa debido a la regulación. 
 
Grado de reacción 0,5 (50%) 
 
( )
23
23 5,0
2
tantan
2
1 αβαβ
=⇒=
−
+=
U
cR x 
 
3221
31
32 5,0 hhhh
hh
hhR −=−⇒=
−
−
= 
 
Los triángulos de velocidades son simétricos por los tanto los alabes en el rotor y en el 
estator son iguales. Sólo difieren en que el rotor gira y el estator está fijo. La mayoría de 
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las turbinas comerciales tienen este grado de reacción debido a que es más económico 
construir el rotor y el estator con alabes iguales. 
 
23
23
βα
αβ
=
=
 
23
33
wc
wc
=
=
 
 
 
Grado de reacción 1 (100%) 
 
( )
23
23 1
2
tantan1 αααα
=⇒=
−
+=
U
cR x 
 
21
31
32 1 hh
hh
hhR =⇒=
−
−
= 
21
2
2
2
10201 2
1
2
1 cccchh =⇒=⇒= El estator no trabaja como tobera 
 
 
 
Triángulo de velocidades relacionado con el grado de reacción 
 
31
32
hh
hhR
−
−
= 
U
ww
R yy
2
23 −
= 
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φ
ψβ 1
2
tan 2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −= R 
φ
ψα 11
2
tan 2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−= R 
φ
ψβ 1
2
tan 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ += R 
φ
ψα 11
2
tan 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−= R 
 
( ) ( )
U
cc
U
UcUc
U
ww
R yyyyyy
2
1
22
232323 −
+=
−−+
=
−
= 
( ) 2332 yyyy c
U
WcccUW −
Δ
=⇒+=Δ 
 
U
c
U
WR y2
22
1 −
Δ
+= → 2tan
2
1 αφψ
−+=R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. COMPRESORES AXIALES (Flujo Bidimensional) 
 
 
 
 
 
Triángulo de velocidades 
 
 
 
 
 
 
 
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Vamos a suponer en este curso → 21321 xxxxx wwccc ==== y etapa normal 
31
31
αα =
= cc 
 
Se obtiene en forma análoga a las turbinas axiales la ecuación de Euler: 
 
[ ] ( )
( )1201030
120103
yy
yy
ccUhhh
ccUmhhmW
−=−=Δ
−=−= &&&
 
 
Se puede demostrar 
 
Rotor 
rr hh
whwh
0201
2
22
2
11 2
1
2
1
=
+=+
 
 
Difusor 
 
( ) ( )[ ]2
2
2
323 2
1 cchhmWQ −+−=− &&& Difusor: Q=0 y W=0 
 
0302
2
33
2
22 2
1
2
1 hhchch =⇒+=+ Se desacelera el flujo 
 
 
 
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( )1201030 yy ccUhhh −=−=Δ 
 
Triángulos 2112
22
11
yyyy
yy
yy wwcc
cwU
cwU
−=−
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=−
=−
 
 
 ( ) ( ) ( )21211201030 tantan ββ −=−=−=−=Δ xyyyy UCwwUccUhhh 
 
 ( ) 0010301030 TCTTChhh pp Δ=−=−=Δ 
 
( )210 tantan ββ −=Δ
p
x
C
UCT 
 
5.1. Eficiencia de la etapa y Relación de Compresión 
 
etapa
ssss
etapa T
T
TT
TT
TT
hh
hh
0
01
03
01
0103
0103
0103
0103
1
Δ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
−
−
=
−
−
=η 
etapa
etapa T
P
PT
0
1
01
03
01 1
Δ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
γ
γ
η 
 
1
01
0
01
03 1
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
+=
γ
γ
η
T
T
P
P etapa
etapa 
 
Eficiencia de la etapa 
 
( ) ( ) ( )
0103
030303030103
0103
0103
hh
hhhhhh
hh
hh ssssss
etapa −
−−−−−
=
−
−
=η 
 
( )
( )
( ) ( ) compresorMollierdiagramaverssss
ssThh
ssThh
sThT
s
hdP
vdPdhTds
ssss
ss
ssssss
P
___
0
220303
22222
0303030303
⇒−=−
⎩
⎨
⎧
−=−
−=−
Δ=Δ⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⇒=
−=
 
( )ssss hh
T
Thh 22
2
03
0303 −=− 
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( )
( )
( ) ( ) compresorMollierdiagramaverssss
ssThh
ssThh
ss
ss
ss
___330303
33333
0303030303
⇒−=−
⎩
⎨
⎧
−=−
−=−
 
 
( )ss hh
T
Thh 33
3
03
0303 −=− 
 
( ) ( ) ( )
0103
33
3
03
22
2
03
0103
0103
0103
hh
hh
T
Thh
T
Thh
hh
hh ss
ss
etapa −
−−−−−
=
−
−
=η Suponemos 1,
3
03
2
03 ≈
T
T
T
T 
 
Se supone densidad constante para la etapa 2
0 2
1 cPP ρ+= Flujo incompresible 
 
Difusor 
2
33
2
220302 2
1
2
1 chchhh +=+⇒= 
 
( ) ( ) ( )[ ]
ρ
1
2
1
303202
2
3
2
223 PPPPcchh −−−=−=− (a) 
 
ρρ
dPdhdPdhTds =⇒−==
10 → 
ρ
23
23
PPhh s
−
=− Ver diagrama (b) 
 
Restando (a) y (b) 
 
( ) ( ) ( )
ρ
23303202
2323
PPPPPPhhhh s
−−−−−
=+−− → 
ρρ
ESTATOR
s
PPPhh 00302
33
Δ
=
−
=− 
 
Rotor 
rr hh 0201 = → 2
22
2
11 2
1
2
1 whwh +=+ y 
2
2
0
wPP r += 
 
( ) ( )[ ]20210112
1 PPPPhh rr −−−=−
ρ
 (a) 
De forma análoga al caso anterior 
ρ
12
12
PPhh s
−
=− Ver diagrama (b) 
 
Restando (a) y (b) ( )
ρρ
rROTOR
rrs
PPPhh 0
020122
1 Δ
=−=− 
 
 
Entonces ( )0103
00
0103
0103 1
hh
PP
hh
hh ESTATORrROTORss
etapa −
Δ+Δ
−=
−
−
=
ρ
η 
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5.2. Grado de Reacción 
 
R = Incremento de entropía estática en el rotor 
 Incremento de entropía estática en la etapa 
 
13
12
hh
hhR
−
−
= 
Suponemos etapa normal 
31
31
αα =
= cc y la velocidad axial constante a lo largo de la etapa 
 
En el rotor 
2
22
2
11
0201
2
1
2
1 whwh
hh rr
+=+
=
 
Como c1=c3 
( )123103010 yy ccUhhhhh −=−=−=Δ 
 
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )12
2121
12
2
2
2
2
2
1
2
1
12
2
2
2
1
13
12
222 yy
yyyy
yy
xyxy
yy ccU
wwww
ccU
wwww
ccU
ww
hh
hhR
−
−+
=
−
+−+
=
−
−
=
−
−
= 
 
Triángulos 2112
22
11
yyyy
yy
yy wwcc
cwU
cwU
−=−
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=−
=−
 
 
( )
m
xyy
U
c
U
ww
R αφββ tan
2
tantan
2
2121 =
+
=
+
= 
 
2
tantantan 21 ββα +
=m 
 
También se puede escribir de la siguiente manera 11 yy cUw −= 
( )1tantan
22
1
22 2
2121 αβ −+=
+−
=
+
=
U
c
U
wcU
U
ww
R xyyyy 
 
Para R=0,5 se reparte la pérdida por igual en el rotor y en el difusor y resultaque la 
etapa es más eficiente. Para R=0,5 los triángulos son simétricos 
 
12
12
βα
αβ
=
=
 
12
12
wc
cw
=
=
 
 
Para R diferente a 0,5 se muestra a continuación como varían los triángulos de 
velocidades 
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5.3. Factor o coeficiente de carga 
 
Coeficiente o factor de carga 
 2U
WΔ
=ψ 
( )120103 yy ccUhh
m
WW −=−==Δ
&
&
 
 
 
( )
U
ccU
U
cwU
U
cc
U
ccU xxyyyyyy 121212
2
12 tantan αβψ −−
=
−−
=
−
=
−
= 
 
( )
U
cx 12 tantan1 αβψ +
−= 
 
( )12 tantan1 αβφψ +−= 
 
Triangulo de velocidades unitario con R=0,5 
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El factor de carga del escalonamiento se puede expresar también en función de los 
coeficientes de sustentación y resistencia para el rotor 
 
 
 
Fuerza tangencial: mm DsenLY ββ += cos 
Fuerza axial: X 
 
2
tantantan 21 βββ +
=m 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ += mm L
DLY ββ tan1cos 
 
Coeficiente de sustentación Coeficiente de arrastre 
12
1 2 ×
=
lw
LC
m
L
ρ
 
12
1 2 ×
=
lw
DC
m
D
ρ
 
D
L
C
C
D
L
= 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+= m
L
D
mLxm
L
D
mLm C
ClCc
C
ClCwY ββρββρ tan1sec
2
1tan1cos
2
1 22
( )mDLmx CClcY ββρ tansec
2
1 2 += 
 
El trabajo realizado por cada alabe móvil pro segundo es YU y es transferido al fluido 
que evoluciona a través de un conducto de alabes durante dicho periodo. 
 
Potencia = Fuerza x Velocidad = YU 
 
( ) ( )01030103 hhSChhmYU x −=−= ρ& 
 
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( )mDL
mx
x
CC
US
lc
USc
YU
U
hh ββ
ρ
ψ tan
2
sec
22
0103 +==
−
= 
( )mDL
m CC
S
l ββφψ tan
2
sec
+
⋅⋅
= El rendimiento optimo se obtiene para 
LD
m
CC <<
°≈ 45β
 
 
 
( )DLoptimo CC
S
l
+=
2
φψ 
 
 
5.4. Características de funcionamiento fuera de diseño 
 
Horlock ha considerado como se comporta la carga del escalonamiento con la variación 
del coeficiente de flujo φ y como resulta influenciada esta característica de 
funcionamiento fuera de diseño por la elección de condiciones de diseño. Los datos de 
cascadas sugieren que los ángulos de salida del fluido β2 (para el rotor) y α1 (=α3) para 
el estator no varían apreciablemente para una gama de incidencias, hasta que se alcanza 
el punto de desprendimiento. Se puede hacer la simplificación de que, para un 
escalonamiento dado: 
 
cttet ==+ 21 tantan βα 
 
( ) t⋅−=+−= φαβφψ 1tantan1 12 
 
2
0103
U
hh −
=ψ 
 
Para U constante si el flujo másico disminuye xAcm ρ=& , Cx disminuye, φ disminuye, 
ψ aumenta y por lo tanto 0103 hh − aumenta 
 
 
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Para el punto de diseño 
d
d
dd tt
φ
ψφψ −
=⇒⋅−=
11 
 
t se fija sin tener en cuenta el grado de reacción y por lo tanto la variación de la carga 
del escalonamiento para condiciones fuera de diseño no depende de la elección del 
grado de reacción de diseño. 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−=⇒⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−=
d
d
dddd
d
ψ
ψ
φ
φ
ψψ
ψ
φ
ψ
φψ
1111 
 
 
 
Cuando ψd≈0,33 pequeñas variaciones de φ producen grandes variaciones de ψ y este es 
el funcionamiento más eficiente. 
 
Turbomáquinas Térmicas. Prof. Dr. Miguel Alejandro ASUAJE TOVAR Pág 50 de 50 
 
 
REFERENCIAS 
 
1.- Apuntes Máquinas Térmicas. Profesor Pedro PIERETTI 
2.- Apuntes Máquinas Térmicas. Profesor Miguel ASUAJE 
3.- Termodinámica de las Turbomáquinas. S. L. Dixon. Editorial Dossat, S.A: 
4.-Turbomachinery Performance Analisys. R. I. Lewis. Editorial Arnold