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Sucesiones & Series
Sucesiones & Series
Rafael Ramírez Ros
Problemas de Sucesiones & Series (clases 2 & 3)
Sucesiones & Series
Sucesiones
Índice
1 Sucesiones
2 Series numéricas
3 Series de potencias
Sucesiones & Series
Sucesiones
Definiciones
Una sucesión es un lista infinita de números: a1, a2, . . . , an, . . .
an es el término general.
La sucesión (an)n es:
Creciente ⇔ an+1 ≥ an para todo n ≥ 1;
Decreciente ⇔ an+1 ≤ an para todo n ≥ 1;
Acotada superiormente por M ⇔ an ≤ M para todo n ≥ 1;
Acotada inferiormente por K ⇔ an ≥ K para todo n ≥ 1.
Reto: Determinar si existe L = lim
n→+∞
an y, en caso afirmativo,
calcular su valor.
Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente
por M tiene un límite L ∈ R, L ≤ M.
Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente
por K tiene un límite L ∈ R, L ≥ K .
Sucesiones & Series
Sucesiones
Dos métodos
Paso a variable continua:
an = f (n)
f : [1,+∞)→ R
∃ lim
x→+∞
f (x) = L
⇒ lim
n→+∞
an = L.
(Advertencia: El recíproco es falso.)
Lema del bocadillo:
in ≤ an ≤ sn
lim
n→+∞
in = lim
n→+∞
sn = L
}
⇒ lim
n→+∞
an = L.
Sucesiones & Series
Sucesiones
Cuatro criterios
M.A.: lim
n→+∞
an = L⇒ lim
n→+∞
a1 + a2 + · · ·+ an
n
= L.
M.G.: an > 0 & lim
n→+∞
an = L⇒ lim
n→+∞
n
√
a1a2 · · · an = L.
C-R: an > 0 & lim
n→+∞
an+1
an
= L⇒ lim
n→+∞
n
√
an = L.
Stolz:
(bn)n creciente
lim
n→+∞
bn = +∞
lim
n→+∞
an+1 − an
bn+1 − bn
= L
⇒ lim
n→+∞
an
bn
= L.
(Observación: Stolz se interpreta como una versión discreta de
L’Hôpital ya que an+1 − an y bn+1 − bn se interpretan como
las “derivadas discretas” de las sucesiones an y bn.)
Sucesiones & Series
Sucesiones
Órdenes de magnitud
lim
n→+∞
log(log n)
log n
= 0.
lim
n→+∞
log n
nα
= 0, para todo α > 0.
lim
n→+∞
nα
an
= 0, para todo α ∈ R y para todo a > 1.
lim
n→+∞
an
n!
= 0, para todo a > 1.
lim
n→+∞
n!
nn
= 0.
En particular, si 0 < α < β y 1 < a < b, entonces
log(log n)� log n� nα � nβ � an � bn � n!� nn
cuando n→ +∞.
Sucesiones & Series
Series numéricas
Índice
1 Sucesiones
2 Series numéricas
3 Series de potencias
Sucesiones & Series
Series numéricas
Pregunta
¿Qué pasa cuando sumamos infinitos números que se hacen
cada vez más pequeños?
Los filósofos griegos tuvieron grandes discusiones sobre esto.
Por ejemplo, las paradojas de Zenón tratan ese tema.
Dos ejemplos paradigmáticos son:
1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+ · · · = 2 < +∞; y
1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+ · · · = +∞.
Sucesiones & Series
Series numéricas
Convergencia & divergencia
Una serie numérica es una suma infinita S =
∑+∞
n=1 an.
La suma parcial N-ésima es la suma finita SN =
∑N
n=1 an.
Hay tres posibilidades:
1 limN→+∞ SN existe y es finito;
2 limN→+∞ SN existe, pero no es finito; o
3 6 ∃ limN→+∞ SN .
En el primer caso, diremos que la serie es convergente y
S =
+∞∑
n=1
an := lim
N→+∞
SN = lim
N→+∞
N∑
n=1
an.
De lo contrario, diremos que la serie es divergente.
Condición necesaria:
∑+∞
n=1 an convergente ⇒ lim
n→+∞
an = 0.
Sucesiones & Series
Series numéricas
Ejemplos importantes
Series telescópicas: Si an = αn − αn+1 y ∃α = lim
n→+∞
αn ∈ R,
entonces la serie
+∞∑
n=1
an = α1 − α es convergente.
Series geométricas de razón r :
+∞∑
n=0
rn =
{ 1
1−r (convergente), si |r | < 1
divergente, si |r | ≥ 1
Sucesiones & Series
Series numéricas
Convergencia absoluta
Diremos que la serie
∑
an es absolutamente convergente si la
serie
∑
|an| es convergente.
Teorema: Toda serie absolutamente convergente es
convergente.
El recíproco no es cierto. Por ejemplo, la serie armónica
alternada es convergente pero no absolutamente convergente.
Sucesiones & Series
Series numéricas
Series numéricas famosas
Algunas series p-armónicas:
+∞∑
n=1
1
n
= 1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+ · · · = +∞;
+∞∑
n=1
1
n2 =
π2
6
;
+∞∑
n=1
1
n4 =
π4
90
.
Serie armónica alternada:
+∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
= 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+
1
5
− · · · = log 2.
Fórmula de Leibniz:
+∞∑
n=0
(−1)n 1
2n + 1
= 1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+
1
9
− · · · = π
4
.
Sucesiones & Series
Series numéricas
Criterio integral
Si an = f (n) y f (x) es una función continua, positiva y
decreciente en [1,+∞), entonces
1 S =
∑∞
n=1 an convergente ⇔ I =
∫ +∞
1 f (x)dx convergente; y
2 Estimación del valor de la serie: I ≤ S ≤ a1 + I .
Si la función f (x) sólo es positiva y decreciente en un intervalo
de la forma [a,+∞) con a ≥ 1, entonces el primer punto sigue
siendo cierto, pero el segundo no.
Este criterio sirve para estudiar las series p-armónicas:
1 Sp =
+∞∑
n=1
1
np
converge ⇔ Ip =
∫ +∞
1
1
xp
dx converge ⇔ p > 1
2 1
p−1 = Ip ≤ Sp ≤ 1+ Ip = p
p−1 , para todo p > 1.
Sucesiones & Series
Series numéricas
Criterios de comparación
Comparación directa: Sean (an)n y (bn)n dos sucesiones tales
que 0 ≤ an ≤ bn.∑
bn converge ⇒
∑
an converge; y∑
an diverge ⇒
∑
bn diverge.
Comparación por paso al límite: Sean (an)n y (bn)n dos
sucesiones positivas tales que ∃L = limn→+∞
an
bn
.
Si L = 0, entonces:
∑
bn convergente ⇒
∑
an convergente;
Si L = +∞, entonces:
∑
bn divergente ⇒
∑
an divergente; y
Si 0 < L < +∞, entonces:
∑
an conv. ⇔
∑
bn conv.
Sucesiones & Series
Series numéricas
Criterios del cociente y de la raíz
Cociente: Sea (an)n una sucesión de términos no nulos tal que
limn→+∞ |an+1
an
| existe y es igual a L.
L < 1⇒
∑
an es abs. convergente (y, por tanto, convergente);
L > 1⇒
∑
an divergente; y
L = 1⇒ No podemos decir nada.
Raíz: Sea (an)n una sucesión tal que ∃L = limn→+∞
n
√
|an|.
L < 1⇒
∑
an es abs. convergente (y, por tanto, convergente);
L > 1⇒
∑
an divergente; y
L = 1⇒ No podemos decir nada.
Truco: El criterio del cociente (respectivamente, de la raíz) se
suele aplicar cuando aparecen factoriales (respectivamente,
potencias n-ésimas) en la expresión de an.
Sucesiones & Series
Series numéricas
Series alternadas & criterio de Leibniz
Definición: Una serie es alternada cuando su término general
va cambiando alternativamente de signo:∑
n
(−1)nbn o
∑
n
(−1)n+1bn, con bn ≥ 0.
Criterio de Leibniz: Si la sucesión (bn) es positiva, decreciente
y tiende a cero, entonces:
1 S =
∑+∞
n=1(−1)nbn (o S =
∑+∞
n=1(−1)n+1bn) es convergente; y
2 |S − SN | ≤ bN+1.
El segundo punto nos permite determinar cuantos términos de
la serie hay que sumar para que la aproximación
S ' SN
tenga un error menor que un ε > 0 dado.
Sucesiones & Series
Series de potencias
Índice
1 Sucesiones
2 Series numéricas
3 Series de potencias
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	Series de potencias