Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-32

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538	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
EJEMPLO  5  Corral	 rectangular	 	 Greg Fierro construye un corral rectangular 
para unos terneros recién nacidos (ver Figura	8.11). Si planea utilizar 160 metros de 
cerca, determina las dimensiones del corral con la mayor área.	
Solución Entiende Tenemos el perímetro del corral, 160 metros. La fórmula para 
el perímetro de un rectángulo es P 5 2l 1 2w. Para este problema tenemos que 160 5 
2l 1 2w. Nos piden maximizar el área, A, donde
A 5 l 
Necesitamos expresar el área en términos de una sola variable, no de dos. Despejamos 
w de la fórmula del perímetro, 160 5 2l 1 2w, y posteriormente hacemos la sustitución.
Traduce	
80 - l = w
061 - 2l = 2w
061 = 2l + 2w
Realiza	los	cálculos	Ahora sustituimos w por 80 2 l en	A 5 lw. Esto da
A = - l2 + 80l
A = l 180 - l2
A = lw
En esta ecuación cuadrática, a 5 21, b 5 80 y c 5 0. El área máxima se obtendrá cuando
l = -
b
2a
= -
80
2 1-12 = 40
Responde	 	 La longitud que dará el área máxima es 40 metros. El ancho, w 5 80 2 l 
también será igual a 40 metros. Por lo tanto, un cuadrado con dimensiones de 40 por 
40 metros dará el área máxima.
El área máxima también puede determinarse sustituyendo l 5 40 en la fórmula 
A 5 l(80 2 l) o mediante A =
4ac - b2
4a
. En cualquier caso, obtenemos un área de 
1600 metros cuadrados.
Resuelve ahora el ejercicio 91
	5 	Entender	el	desplazamiento	de	las	parábolas
Nuestro siguiente método para graficar parábolas comienza con las gráficas de funcio­
nes cuadráticas de la forma f(x) 5 ax2. Considera las funciones f(x) 5 x2, g(x) 5 2x2 y 
h 1x2 =
1
2
x2 mostradas en la Figura	8.12. Observa que el valor de a determina el ancho de 
la parábola.
Ahora, considera las funciones f(x) 5 2x2, g(x) 5 22x2 y h 1x2 = -
1
2
x2 mostradas 
en la Figura	8.13. A pesar de que las parábolas abren hacia abajo, el valor de a sigue deter­
minando el ancho de la parábola.
FIguRA	 8.11
�5
�6
�4
�3
�2
�1
5
6
4
3
2
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1
g(x) � 2x2
f (x) � x2
h(x) � qx2
x
y
FIguRA	 8.12
5 6432�4�5�6 �3 �2
g(x) � �2x2
f (x) � �x2h(x) � �qx2
x
y
�5
�6
�4
�3
�2
5
6
4
3
1
2
FIguRA	 8.13
Comprendiendo 
el álgebra
En	general,	cuando	graficamos	
una	parábola	que	corresponde	
a	una	función	cuadrática	de	la	
forma	f (x)	5	ax2,	conforme	|a|	
aumenta,	la	parábola	se	hace	
más	angosta.	conforme	|a|	
disminuye,	la	parábola	se	hace	
más	ancha.
	 Sección	8.5	 	 graficación	de	funciones	cuadráticas	 539
Observa también que la gráfica de g(x) se traslada, o desplaza, 2 unidades a la derecha 
de la gráfica de f (x). La gráfica de h(x) se traslada 2 unidades a la izquierda de la grá ­
fica de f (x).
En general, la gráfica de g(x) 5 a(x 2 h)2 tendrá la misma forma que la gráfica de 
f (x) 5 ax2. Si h es positiva, entonces la gráfica g(x) se desplazará h unidades hacia la dere-
cha de la gráfica de f (x). Si h es negativa, entonces la gráfica de g(x) se trasladará |h| unida-
des hacia la izquierda de la gráfica de f (x).
A continuación, considera las gráficas de f (x) 5 x2, g(x) 5 x2 1 3, y h(x) 5 x2 2 3 
mostradas en la Figura	8.15. Observa nuevamente que las tres gráficas son idénticas en 
forma pero en posiciones diferentes.
�4
�2
�1
7
6
5
8
4
1
2
3
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1 x
y
g(x) � x2 � 3
h(x) � x2 � 3
f (x) � x2
La gráfica de g(x)
es la gráfica de f (x)
trasladada 3 unidades
hacia arriba.
La gráfica de h(x)
es la gráfica de f (x)
trasladada 3 unidades
hacia abajo.
Observa que la gráfica de g(x) se traslada, hacia arriba de la gráfica de f (x). La 
gráfica de h(x) se traslada 3 unidades hacia abajo de la gráfica de f (x).
En general, la gráfica de g(x) 5 ax2 1 k tendrá la misma forma que la grá-
fica de f (x) 5 ax2. Si k es positiva, entonces la gráfica de g(x) será desplazada k 
unidades hacia arriba de la gráfica de f (x). Si k es negativa, entonces la gráfica de 
g(x) será desplazada |k| unidades hacia abajo de la gráfica de f (x).
Ahora considera las gráficas de f (x) 5 x2 y g(x) 5 (x 2 2)2 1 3, mostradas 
en la Figura	8.16. Observa que la gráfica de g(x) tiene idéntica forma que f (x). 
La gráfica de g(x) es la gráfica de f (x) trasladada 2 unidades a la derecha y 3 
unidades hacia arriba. Esta gráfica y el análisis anterior conducen a los siguien­
tes hechos importantes.
De las Figuras	8.12 y 8.13 podemos ver que, en general, conforme |a| aumenta, la parábola 
se hace más angosta y conforme |a| disminuye, la parábola se hace más ancha.
Ahora trasladaremos, o desplazaremos, la posición de las gráficas de la forma 
f (x) 5 ax2 para obtener las gráficas de otras funciones cuadráticas. Por ejemplo, con ­
sidera las tres funciones f (x) 5 x2, g(x) 5 (x 2 2)2 y h(x) 5 (x 1 2)2 que se ilustran 
en la Figura	8.14. Observa que las tres gráficas son idénticas en la forma pero tienen posi­
ciones diferentes.
�4
�3
�2
�1
5
8
4
3
1
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1 x
y
g(x) � (x � 2)2
f (x) � x2
h(x) � (x � 2)2
La gráfica de h(x)
es la misma gráfica que f (x),
pero trasladada
2 unidades a la izquierda.
La gráfica de g(x)
es la misma gráfica que f (x),
pero trasladada
2 unidades a la derecha.FIguRA	 8.14
FIguRA	 8.16
�2
�1
5
8
7
6
4
3
2
1
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1 x
g(x) � (x � 2)2 � 3
f (x) � x2
(2, 3)
y FIguRA	 8.15
540	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
Examina la gráfica de g(x) 5 (x 2 2)2 1 3 en la Figura	8.16 de la página 539. Observa 
que su eje de simetría está en x 5 2 y su vértice está en (2, 3).
Ejemplo Eje	de	simetría Vértice La	parábola	abre	hacia
f 1x2 = 2 1x - 52 2 + 7 x 5 5 (5, 7) arriba, a  0
f 1x2 = -
1
2
1x - 62 2 - 3 x 5 6 (6, 23) abajo, a  0
Ejemplo Eje	de	simetría Vértice La	parábola	abre	hacia
f 1x2 = 3 1x + 42 2 - 2 x = -4 1-4, -22 arriba, a  0
f 1x2 = -
1
2
ax +
1
3
b
2
+
1
4
x = -
1
3
a- 1
3
,
1
4
b abajo, a  0
Ahora considera f(x) 5 2(x 1 5)2 1 3. Podemos reescribir esta función como 
f (x) 5 2[x 2 (25)]2 1 3. Por lo tanto, h tiene un valor de 25 y k tiene un valor de 3. La 
gráfica de esta función tiene su eje de simetría en x 5 25 y su vértice en (25, 3).
Ahora estamos preparados para graficar parábolas utilizando las traslaciones.
EJEMPLO  6  La gráfica de f (x) 5 22x2 se ilustra en la Figura	8.17. Utilizando 
esta gráfica como guía, grafica g(x) 5 22(x 1 3)2 2 4.
Solución    La función g(x) puede escribirse como g(x)522[x2(23)]224. Por 
tanto, en la función, h tiene un valor 
de 23 y k tiene un valor de 24. La 
gráfica de g(x) será, por lo tanto, 
la gráfica de f (x) trasladada 3 uni­
dades hacia la izquierda (ya que 
h 5 23) y 4 unidades hacia abajo (ya 
que k 5 24). Las gráficas f (x) y g(x) 
se muestran en la Figura	8.18.
Resuelve ahora el ejercicio 49
�5
�8
�9
�7
�6
�4
�3
�2
�1
2
1
654321�6 �5 �4 �3 �2 �1 x
y
g(x) � �2(x � 3)2 � 4
f (x) � �2x2(�3, �4)
FIguRA	 8.18
�5
�10
�9
�8
�7
�6
�4
�3
�2
�1
2
1
4321�4 �3 �2 �1 x
y
f (x) � �2x2
FIguRA	 8.17
Para cualquier función f (x) 5 ax2, la gráfica de g(x) 5 a(x 2h)2 1 k tendrá la misma forma 
que la gráfica de f (x). La gráfica de g(x) será la gráfica de f (x), pero desplazada como sigue:
	 • Si h es un número real positivo, la gráfica se desplazará h unidades hacia la derecha.
	 • Si h es un número real negativo, la gráfica se desplazará |h| unidades hacia la izquierda.
	 • Si k es un número real positivo, la gráfica se desplazará k unidades hacia arriba.
	 • Si k es un número real negativo, la gráfica se desplazará |k| unidades hacia abajo.
Desplazamientos de parábolas
La gráfica de cualquier función de la forma 
f (x) 5 a(x 2 h)2 1 k
Será una parábola con eje de simetría en x 5 h y vértice en (h, k).
Eje de simetría y vértice de una parábola
	 Sección	8.5	 	 graficación	de	funciones	cuadráticas	 541
En el objetivo 2, iniciamos con una función de la forma f (x) 5 ax2 1 bx 1 c y com­
pletamos el cuadrado para obtener 
f 1 x2 = a cx - a-
b
2a
b d
2
+
4ac - b2
4a
Además, hemos dicho que el vértice de esta parábola es q- b
2a
,
4ac - b2
4a
r.
Supongamos que en lafunción sustituimos h por -
b
2a
 y k por 4ac - b2
4a
. Entonces obten­
dremos
f (x) 5 a(x 2 h)2 1 k
que sabemos es una parábola con vértice en (h, k). Por lo tanto, ambas funciones 
f (x) 5 ax2 1 bx 1 c y f (x) 5 a(x 2 h)2 1 k dan por resultado el mismo vértice y el mismo 
eje de simetría para cualquier función dada.
	6 	Escribir	funciones	en	la	forma	f(x)	5	a(x	2	h)2	1	k
Si deseamos graficar parábolas utilizando desplazamientos, necesitamos cambiar la forma 
de la función f (x) 5 ax2 1 bx 1 c a f (x) 5 a(x 2 h)2 1 k. Para hacerlo, completamos el 
cuadrado como se estudió en la sección 8.1. 
EJEMPLO  7  Dada f (x) 5 x2 2 6x 1 10,
	 a) Escribe f (x) en la forma f (x) 5 a(x 2 h)2 1 k.
	 b) Grafica f (x).
Solución   
	 a) Utilizamos los términos x2 y 26x para obtener un trinomio cuadrado perfecto.
f (x) 5 (x2 2 6x) 1 10
Ahora tomamos la mitad del coeficiente del término en x y lo elevamos al cua­
drado.
c1
2
1 -62 d
2
= 9
Luego sumamos este valor, 9, dentro del paréntesis. Como sumamos 9 dentro del 
paréntesis, sumamos 29 fuera del paréntesis. Sumamos 9 y 29 a una expresión 
es lo mismo que si sumáramos 0, es decir, no cambia el valor de la expresión.
f 1 x2 = 1 x2 - 6x + 9 2 - 9 + 10
Al hacer esto, estamos creando un trinomio cuadrado perfecto dentro del parén­
tesis más una constante fuera de ellos. Expresamos el trinomio cuadrado perfec­
to como el cuadrado de un binomio.
f (x) 5 (x 2 3)2 1 1
Ahora la función está en la forma que la necesitamos.
542	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
Resuelve ahora el ejercicio 59
EJEMPLO  8  Dada f (x) 5 22x2 2 10x 2 13,
	 a)	 Escribe f (x) en la forma f (x) 5 a(x 2 h)2 1 k
	 b)	 Grafica f (x).
Solución   
	 a)	 Cuando el coeficiente principal no es 1, lo factorizamos de los términos que con­
tienen la variable.
f (x) 5 22(x2 1 5x) 2 13
Ahora completamos el cuadrado.
c1
2
152 d
2
=
25
4
La mitad del coeficiente del término
de primer grado al cuadrado
Si sumamos 
25
4
 dentro de los paréntesis, en realidad sumamos -2a25
4
b o -
25
2
, 
ya que cada término dentro de los paréntesis se multiplica por 22. Por lo tanto, 
para compensar lo que hacemos dentro de los paréntesis, debemos sumar 
25
2
 
fuera de los paréntesis.
= -2 ax +
5
2
b
2
-
1
2
f 1 x2 = -2 ax2 + 5x +
25
4
b +
25
2
- 13
	 b)	 Como a 5 22, la parábola abre hacia abajo. El eje de simetría está en x = -
5
2
 
y el vértice está en a- 5
2
, -
1
2
b . La intersección con el eje y está en f (0) 5 213. 
Trazamos unos cuantos puntos y dibujamos la gráfica de la Figura	8.20 en la pá­
gina 453. Para comparar, en la figura también se muestra la gráfica de y 5 22x2.
�2
�1
10
11
9
8
7
6
5
4
3
2
1
6 754321�6 �5 �4 �3 �2 �1 x
y
f (x) � (x � 3)2 � 1
(3, 1)
y � x2
FIguRA	 8.19
	 b) Como a 5 1, es mayor que 0, la parábola abre hacia arriba. El eje de simetría 
de la parábola está en x 5 3, y el vértice está en (3,1). La intersección con el eje 
y puede obtenerse sustituyendo x 5 0 y determinando el valor de f (x). Cuando 
x 5 0, f (x) 5 (23)2 1 1 5 10. Por lo tanto, la intersección con el eje y se da en 
10. Trazando el vértice, la intersección con el eje y y unos cuantos puntos más, 
obtenemos la gráfica de la Figura	8.19. La figura también muestra la gráfica de 
y 5 x2 para compararlas.
	 Sección	8.5	 	 graficación	de	funciones	cuadráticas	 543
�5
�7
�6
�3
�4
�2
�1
2
1
4321�4�5�8 �6�7 �1 x
y
f (x) � �2�x � e�2 � q y � �2x2
��e, �q�
FIguRA	 8.20
Observa que f 1 x2 = -2 ax +
5
2
b
2
-
1
2
 no tiene intersecciones con el eje x. Por lo 
tanto, no hay valores reales de x para los que f (x) 5 0.
Resuelve ahora el ejercicio 63
Una segunda manera de cambiar la ecuación f (x) 5 ax2 1 bx 1 c a la forma 
f (x) 5 a(x 2 h)2 es hacer h = -
b
2a
 y k =
4ac - b2
4a
. Determina los valores para h y k, y 
luego sustituye los valores obtenidos en f (x) 5 a(x 2 h)2 1 k. Por ejemplo, para la función 
f (x) 5 22x2 2 10x 2 13 del ejemplo 8, a 5 22, b 5 210 y c 5 213. Entonces
k =
4ac - b2
4a
=
4 1-22 1 -132 - 1 -102 2
41 -22 = -
1
2
h = -
b
2a
= -
-10
2 1-22 = -
5
2
Por lo tanto,
= -2 ax +
5
2
b
2
-
1
2
= -2 cx - a-
5
2
b d
2
-
1
2
f 1 x2 = a 1x - h2 2 + k
Esta respuesta coincide con la que se obtuvo en el ejemplo 8.
CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.5 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
abajo eje de simetría intersección con el eje y	 -
b
2a
	 abre hacia abajo 
vértice más angosta derecha izquierda intersección con el eje x
4ac - b2
4a
 parábola arriba línea
	 1.	La gráfica de una función cuadrática es una .
	 2.	Cuando a  0, la gráfica de f (x) 5 ax2 1 bx 1 c es una pa­
rábola que abre hacia arriba, y el es el 
punto más bajo en la curva.
	 3.	Cuando a  0, la gráfica de f (x) 5 ax2 1 bx 1 c es una pará­
bola que y el vértice es el punto más alto 
en la curva.
	 4.	Las gráficas de las funciones cuadráticas tendrán simetría 
alrededor de una línea vertical llamada .
544	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
	 5.	La ecuación x 5 proporciona la ecuación 
del eje de simetría y la coordenada x del vértice.
	 6.	Para obtener la de una función cuadráti­
ca (si existiese alguna), iguala a 0 y o f (x) y resuelve para x.
	 7.	Para obtener la de una función cuadráti­
ca, haz x 5 0 y resuelve para y o f (x).
	 8. En general, cuando graficamos una parábola que correspon­
de a una función cuadrática de la forma f (x) 5 ax2, confor­
me |a| aumenta, la parábola se hace .
	 9.	Si h es positiva, entonces la gráfica de g(x) 5 a(x 2 h)2 tendrá 
la misma forma que la gráfica de f (x) 5 ax2 pero estará des­
plazada h unidades a la de la gráfica de 
f (x).
	 10.	Si h es negativa, entonces la gráfica de g(x) 5 a(x 2 h)2 
tendrá la misma forma que la gráfica de f(x) 5 ax2 pero 
estará desplazada |h| unidades a la de 
la gráfica de f(x).
	 11.	Si k es positiva, entonces la gráfica de g(x) 5 ax2 1 k tendrá 
la misma forma que la gráfica de f (x) 5 ax2 pero estará des­
plazada k unidades hacia con respecto a 
la gráfica de f (x).
	 12.	Si k es negativa, entonces la gráfica de g(x) 5 ax2 1 k tendrá 
la misma forma que la gráfica de f (x) 5 ax2 pero estará des­
plazada |k| unidades hacia con respecto a 
la gráfica de f (x).
Practica tus habilidades
Determina: a) si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, b)	la intersección con el eje y, c) el vértice, d) las intersecciones con el eje x 
(si las hay), y e) traza la gráfica.
13. 14. 15. f 1x2 = x2 + 8x + 15f 1x2 = x2 - 6x + 5f 1x2 = x2 + 6x + 8
16. 17. 18. h 1x2 = x2 - 2x - 8f 1x2 = x2 - 4x + 3g 1x2 = x2 + 2x - 3
19. 20. 21. g 1x2 = -x2 + 4x + 5p 1x2 = -x2 + 8x - 15f 1x2 = -x2 - 2x + 8
22. 23. 24. g 1x2 = x2 + 6x + 13t 1x2 = -x2 + 4x - 5n 1x2 = -x2 - 2x + 24
25. 26. 27. r 1x2 = x2 + 2r 1x2 = -x2 + 10x - 25f 1x2 = x2 - 4x + 4
28. 29. 30. g 1x2 = -x2 + 6xl 1x2 = -x2 + 5f 1x2 = x2 + 4x
31. 32. 33. m 1x2 = 3x2 + 4x + 3g 1x2 = -2x2 - 6x + 4f 1x2 = -2x2 + 4x - 8
34. 35. 36. y = x2 - 6x + 4y = 3x2 + 4x - 6p 1x2 = -2x2 + 5x + 4
37. 38. 39. f 1x2 = -x2 + 3x - 5g 1x2 = -4x2 + 6x - 9y = 2x2 - x - 6
40. h 1x2 = -2x2 + 4x - 5
	 Sección	8.5	 	 graficación	de	funciones	cuadráticas	 545
Utilizando como guía las gráficas de la Figura	8.12 a la 8.16, grafica cada función y marca el vértice.
 a) 
x
y
�2
�6
�4
2
2�2�6 �4
 b) 
x
y
�2
2
6
4
2 4�2�4
c)	
x
y
2
4
2 4�2�4
 d) 
x
y
�2
2
6
4
2�2�6 �4
 69.	 f (x) 5 2(x 2 1)2 1 3 70.	 f (x) 5 22(x 1 3)2 2 1 71.	 f (x) 5 2(x 1 3)2 2 1 72.	 f (x) 5 22(x 2 1)2 1 3
Área Para cada rectángulo, a) determina el valor de x que da el área máxima, y b) determina el área máxima.
73.	
26 � x
x � 5
 74.	
19 � x
x � 7
 75.	
18 � x
x � 4
 76.	
19 � x
x � 2
 
 77.	Venta	de	pilas La función para calcular el ingreso por la 
venta de n pilas es R(n) 5 n(8 2 0.02n) 5 20.02n2 1 8n. 
Determina a) el número de pilas que deben venderse para 
obtener el ingreso máximo, y b) el ingreso máximo.
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el
 78.Venta	de	relojes La función para calcular el ingreso por la 
venta de n relojes es R(n) 5 n(25 2 0.1n) 5 20.1n2 1 25n. 
Determina a) el número de relojes que deben venderse para 
obtener el ingreso máximo, y b) el ingreso máximo.
 79.	Matrícula	 escolar El número de alumnos inscritos en la 
escuela del distrito de Naplewood puede aproximarse me­
diante la función
N(t) 5 20.043t2 1 1.82t 1 46.0
donde t es el número de años desde 1989, y 1  t  22. ¿En 
qué año se obtendrá el máximo de alumnos inscritos?
©
 M
ich
ae
l C
ha
m
be
rlin
/S
hu
tte
rst
oc
k
.44.34.24.14
.84.74.64.54
49. .25.15.05
.65.55.45.35
.85.75 f 1x2 = - 1 x - 52 2 + 2h 1x2 = -21 x + 12 2 - 3
y = -2 1x - 32 2 + 1y = -2 1x - 22 2 + 2g 1x2 = 1 x - 12 2 + 4g 1x2 = - 1 x + 32 2 - 2
h 1x2 = 1x + 42 2 - 1f 1x2 = 1 x + 42 2 + 4f 1x2 = 1 x - 32 2 - 4f 1x2 = 1 x - 22 2 + 3
f 1x2 = x2 - 4f 1x2 = x2 - 1f 1x2 = x2 + 5f 1x2 = x2 + 3
f 1x2 = 1x + 2 22f 1x2 = 1 x + 12 2f 1x2 = 1 x - 42 2f 1x2 = 1 x - 32 2
59. 60.
61. 62.
63. 64.
65. 66.
67. 68. k 1x2 = 2x2 + 7x - 4f 1x2 = 2x2 + 5x - 3
p 1x2 = x2 - 2x - 6g 1x2 = x2 - 4x - 1
h 1x2 = -x2 + 6x + 1f 1x2 = -x2 - 4x - 6
f 1x2 = x2 - x + 1g 1x2 = x2 - x - 3
g 1x2 = x2 + 6x + 2f 1x2 = x2 - 6x + 8
En los ejercicios 59-68 a) expresa cada función en la forma	f (x) 5 a(x 2 h)2 1 k y b) dibuja la gráfica de cada función y marca el vértice.
Resolución de problemas
De las funciones de los ejercicios 69-72, identifica cuál corresponde a cada una de las gráficas marcadas de la a) a la d).
546	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
	 80.	Escuelas	libres	de	drogas En Estados Unidos, el porcenta­
je de estudiantes que afirman que en sus escuelas se consu­
men drogas puede calcularse mediante la función
f (a) 5 22.32a2 1 76.58a 2 559.87
donde a es la edad del estudiante, y 12  a  20. ¿A qué 
grupo de edad pertenecen los estudiantes que representan 
el porcentaje más alto entre los que afirman que en sus es­
cuelas se consumen drogas?
	 81.	¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de 
y g 1x2 = 1 x - 22 2 -
3
2
?f 1x2 = 1 x - 22 2 +
5
2
	 82.	¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de 
f (x) 5 2(x 2 4)2 2 3 y g (x) 5 23(x 2 4)2 1 2?
	 83.	¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de 
f (x) 5 2(x 1 4)2 2 3 y g (x) 5 2(x 1 1)2 2 3?
	 84.	¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de 
y g 1x2 = 2 1x + 52 2 - 2?f 1x2 = -  
1
3
1x - 32 2 - 2 
	 85.	Escribe la función cuya gráfica tiene la forma de la gráfica 
de f (x) 5 2x2 y su vértice está en (3, 22).
	 86.	Escribe la función cuya gráfica tiene la forma de la gráfica 
de f 1x2 = -  
1
2
x2 y tiene el vértice en a2
3
, -5b .
	 87.	Escribe la función cuya gráfica tiene la forma de la gráfica 
de f 1x2 = -4x2 y tiene su vértice en a- 3
5
, -!2b . 
	 88.	Escribe la función cuya gráfica tiene la forma de la gráfica 
de f 1x2 =
3
5
 x2 y tiene el vértice en 1-!3, !52 .
	 89.	Venta	 de	 boletos El club de teatro de la preparatoria 
Johnson trata de establecer el precio de los boletos para una 
obra. Si el precio es muy bajo no recolectará suficiente dine­
ro para cubrir los gastos, y si es muy alto no habrá suficiente 
gente que pague el precio del boleto. Ellos creen que su in­
greso total por presentación, I, en cientos de dólares, puede 
calcularse mediante la fórmula
I 5 2x2 1 24x 2 44, 0  x  24
donde x es el costo de un boleto.
	 a)	 Dibuja una gráfica del ingreso contra el costo de un boleto.
	 b)	 Determina el costo mínimo de un boleto para que el club 
de teatro llegue al punto de equilibrio.
	 c)	 Determina el costo máximo que puede cobrar el club de 
teatro por cada boleto para llegar al punto de equilibrio.
	 d)	 ¿Cuánto deben cobrar para obtener el ingreso máximo?
	 e)	 Determina el ingreso máximo.
	 90.	Lanzamiento	de	un	objeto Un objeto se lanza hacia arri­
ba con una velocidad inicial de 192 pies por segundo. La 
distancia a la que se encuentra el objeto con respecto del 
piso, d, después de t segundos, puede calcularse mediante la 
fórmula d 5 216t2 1 192t.
	 a)	 Determina la distancia que habrá entre el objeto y el piso 
después de 3 segundos.
	 b)	 Dibuja una gráfica de la distancia contra el tiempo.
	 c)	 ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?
	 d)	 ¿En qué instante alcanzará su altura máxima?
	 e)	 ¿En qué instante el objeto chocará contra el piso?
	 91.	Utilidades La compañía Fulton Bird House obtiene una 
utilidad semanal con la función f (x) 5 20.4x2 1 80x 2 200 
donde x es el número de bolsas de alimento para aves fabri­
cadas y vendidas.
	 a)	 Determina el número de bolsas de alimento para aves 
que debe vender en una semana la compañía para ob­
tener la utilidad máxima.
	 b)	 Determina la utilidad máxima.
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	 92.	Ganancia La compañía A. B. Bronson obtiene una ganan­
cia semanal con la función f (x) 5 21.2x2 1 180x 2 280 don­
de x es el número de mecedoras fabricadas y vendidas.
	 a)	 Determina el número de mecedoras que la mueblería debe 
vender en una semana para obtener la ganancia máxima.
	 b)	 Determina la ganancia máxima.
	 93.	Disparo	 de	 un	 cañón Si un cañón se dispara desde una 
altura de 9.8 metros por arriba del suelo, a cierto ángulo, la altu­ 
ra de la bala respecto del suelo, h, en metros, en el instante t, 
en segundos, se determina por medio de la función.
h(t) 5 24.9t2 1 24.5t 1 9.8
9.8 m
	 a)	 Determina la altura máxima que alcanza la bala de cañón.
	 b)	 Determina el tiempo que tarda la bala para llegar a su 
altura máxima.
	 c)	 Determina el tiempo que tarda la bala en chocar contra 
el suelo.
	94.	 Lanzamiento	de	un	balón	 	 Ramon Loomis lanza un balón 
al aire con una velocidad inicial de 32 pies por segundo. La 
altura del balón en cualquier instante, t, está dada por la 
fórmula h 5 96t 2 16t2. ¿En qué instante el balón llega a su 
altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima?
	95.	 Diseño	de	interiores	 	 Jake Kishner está diseñando los pla­
nos de su casa. ¿Cuál es el área máxima posible de una ha­
bitación si su perímetro será de 80 pies?