Funciones Exponenciais e Logarítmicas

Vista previa del material en texto

574	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
EJEMPLO 4
 a) Determina la función inversa de f (x) 5 4x 1 2.
 b) Grafica f (x) y f 21(x) en los mismos ejes.
Solución
 a) Ésta es una función uno a uno, por lo tanto, seguiremos el procedimiento de cua-
tro pasos que se acaba de explicar.
	 	 f (x) 5 4x 1 2 Función original.
	Paso	1 y 5 4x 1 2 Reemplaza f (x) con y.
	Paso	2 x 5 4y 1 2 Intercambia x con y.
	Paso	3 x 2 2 5 4y Despeja y.
o
 f -1 1x 2 =
x - 2
4
 y =
x - 2
4
 
x - 2
4
= y
	Paso	4	 Reemplaza y con f 21(x).
 b) A continuación se muestran tablas de valores para f (x) y f 21(x). Las gráficas 
correspondientes se muestran en la Figura 9.9.
x y = f(x)
 0 2 
1 6 
x y = f –1(x)
2 0 
6 1 
�3
�2
7
6
5
4
3
2
1
765431 2�3�2 x
y
y � x
f (x)
f�1(x)
FIGURA	 9.9		
Observa la simetría de f (x) y de f 21(x) respecto a la recta y	=	x. También observa 
que tanto el dominio como el rango de f (x) y de f 21(x) son el conjunto de los 
números reales, R.
Resuelve ahora el ejercicio 67
EJEMPLO 5
 a) Determina la función inversa de f (x) 5 x3 1 2.
 b) Grafica f (x) y f 21(x) en los mismos ejes.
Solución
 a) Ésta es una función uno a uno; por lo tanto, seguiremos el procedimiento de cua-
tro pasos que se acaba de explicar para determinar su inversa.
	 	 f (x) 5 x3 1 2 Función original.
	Paso	1 y 5 x3 1 2 Reemplaza f (x) con y.
	Paso	2 x 5 y3 1 2 Intercambia x con y.
	Paso	3 x 2 2 5 y3 Despeja y.
	 Saca la raíz cúbica de ambos lados. 
 
o
 f -1 1x 2 = !3 x - 2
 y = !3 x - 2
 !3 x - 2 = y
 !3 x - 2 = "3 y3
Paso	4	 	 Reemplaza y con f 21(x).
	 Sección	9.1	Funciones	compuestas	e	inversas	 575
En la Figura 9.10 se muestran las gráficas de f (x) y de f 21(x). Observa que para 
cada punto (a,	b) en la gráfica de f (x), el punto (b,	a) aparece en la gráfica de 
f 21(x). Por ejemplo, los puntos (2, 10) y (22, 26), marcados en azul, aparecen en 
la gráfica de	f (x), y los puntos (10, 2) y (26, 22), marcados en negro, aparecen 
en la gráfica de f 21(x).
Resuelve ahora el ejercicio 61
	4 	Determinar	la	composición	de	una	función	y	su	inversa
Para ayudar a fortalecer la relación entre una función y su inversa, evaluaremos la com-
posición de 	f 21(x) y	f (x) a partir del ejemplo 5 para los valores de x 5 22, x 5 0 y x 5 2.
( f 21 + f )(22) 5 f 21[ f (22)] 5 f 21(26) 5 22
( f 21 + f )(0) 5 f 21[ f (0)] 5 f 21(2) 5 0
( f 21 + f )(2) 5 f 21[ f (2)] 5 f 21(10) 5 2
Observa que el resultado de la composición de una función y su inversa es siempre igual 
al valor dado. De manera similar, evaluaremos la composición de f (x) y f 21(x) a partir del 
ejemplo 5 para los valores de x 5 26, x 5 2 y x 5 10.
( f + f 21)(26) 5 f [ f 21(26)] 5 f (22) 5 26
( f + f 21)(2) 5 f [ f 21(2)] 5 f (0) 5 2
( f + f 21)(10) 5 f [ f 21(10)] 5 f (2) 5 10
Observa de nuevo, que el resultado siempre es igual al valor dado. Esta relación se resume 
del modo siguiente.
x y = f(x)
22 	 26 
21 	 1 
0 	 2 
1 	 3 
2 10 
x y = f –1(x)
26 	 22 
1 	 21 
2 	 0 
3 	 1 
10 	 2 
FIGURA	 9.10	 	
10 128642�8�10�12 �6 �4
y
x
y � x
f (x)
f�1(x)
�10
�12
�8
�4
�2
10
12
8
6
4
�6
 b) A continuación se muestran las tablas de valores para f (x) y f 21(x).
Para cualquier función uno a uno f (x) y su inversa f 21(x),
( f + f 21)(x) 5 x y ( f 21 + f )(x) 5 x.
La composición de una función y su inversa
576	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
EJEMPLO  7  En el ejemplo 5, determinamos que f (x) 5 x3 1 2 y 
f -1 1x2 = !3 x - 2 son funciones inversas. Demuestra que
 a) ( f + f 21)(x) 5 x b) ( f 21 + f )(x) 5 x
Solución
 a) Para determinar ( f + f 21)(x), sustituye cada x de f (x) por f 21(x).
= x - 2 + 2 = x
1 f f -12 1x2 = 1 !3 x - 2 2 3 + 2
f 1x2 = x 3 + 2
 b) Para determinar ( f 21 + f )(x), sustituye cada x de f 21(x) por f (x).
= "3 x3 = x
1 f -1 f 2 1x2 = "3 1 x3 + 2 2 - 2
f -1 1x2 = "3 x - 2
Por lo tanto, ( f + f 21)(x) 5 ( f 21 + f )(x) 5 x
Resuelve ahora el ejercicio 79
EJEMPLO  6  En el ejemplo 4, determinamos que para f (x) 5 4x 1 2, 
f -1 1x2 =
x - 2
4
. Demuestra que
 a) ( f + f 21)(x) 5 x b) ( f 21 + f )(x) 5 x
Solución
 a) Para determinar ( f + f 21)(x), sustituye cada x de f (x) por f 21(x).
= x - 2 + 2 = x
1 f f -12 1x2 = 4a x - 2
4
b + 2
f 1x2 = 4 x + 2
 b) Para determinar ( f + f 21)(x), sustituye cada x de f 21(x) por f (x)
=
4x
4
= x
1 f -1 f 2 1x2 =
4x + 2 - 2
4
f -1 1x2 =
x - 2
4
Por lo tanto, ( f + f 21)(x) 5 ( f 21 + f )(x) 5 x
Resuelve ahora el ejercicio 77
Como una función y su inversa “se anulan” entre ellas, la función compuesta de una 
función con su inversa tiene como resultado el valor dado en el dominio. Por ejemplo, para 
cualquier función f (x) y su inversa f -1 1x2 , 1 f -1 f 2 132 = 3, y 1 f f -12 a-
1
2
b = -
1
2
.
	 Sección	9.1	Funciones	compuestas	e	inversas	 577
CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.1 
Ejercicios de práctica
Llena	los	espacios	en	blanco	con	la	palabra,	frase	o	símbolo(s)	apropiados	de	la	siguiente	lista.
inversa	 dominio	 horizontal	 x	 f(x)
vertical rango uno a uno composición y
 1. Cuando una variable es una función de otra variable, que a 
su vez es una función de una tercera variable, describimos la 
relación entre tales funciones como una 
de funciones.
 2. Una función es una función si a cada elemen-
to del rango le corresponde un único elemento del dominio.
 3. La prueba de la recta establece que si se 
traza una recta de modo que interseque 
una gráfica en más de un punto, entonces la gráfica no es la 
gráfica de una función.
 4. La prueba de la recta establece que si se 
traza una recta de modo que interseque 
la gráfica de una función en más de un punto, la función no 
es una función uno a uno.
 5. Si una función uno a uno tiene pares ordenados de la forma 
(x,	 y), la función es una función uno a 
uno con pares ordenados de la forma (y,	x).
 6. Para una función uno a uno f (x) y su función inversa f 21(x), 
el dominio de f (x) es el de f 21(x).
 7. Para una función uno a uno f (x) y su función inversa f 21(x), 
el rango de f (x) es el de f 21(x).
 8. Para cualquier función uno a uno f (x) y su inversa 
f 21(x), ( f + f 21)(x) 5 y ( f 21 + f )(x) 5 
.
Practica tus habilidades
Para	cada	par	de	funciones,	determina	a) ( f 	+ g)(x), b) ( f 	+ g)(4), c)	(g	+ f)(x) y	d)	(g	+ f)(4).
 
 
 
9. 10. 11.
.41.31.21
.71.61.51
18. 19. 20. f 1 x 2 = !x + 6, x Ú -6, g1 x 2 = x + 7f 1 x 2 = x - 4, g1 x 2 = !x + 5, x Ú -5f 1 x 2 = x2 - 4, g1 x 2 = x2 + 3
f 1 x 2 = x2 + 1, g1 x 2 = x2 + 5f 1 x 2 = x2 - 5, g1 x 2 =
4
x
f 1 x 2 = 3x + 1, g1 x 2 =
3
x
f 1 x 2 =
2
x
, g1 x 2 = x2 + 1f 1 x 2 =
1
x
, g1 x 2 = 2x + 3f 1 x 2 = x + 2, g1 x 2 = x2 + 4x - 2
f 1 x 2 = x + 3, g1 x 2 = x2 + x - 4f 1 x 2 = 3x - 2, g1 x 2 = x + 1f 1 x 2 = x + 4, g1 x 2 = 2x - 3
En	los	ejercicios	21–42,	determina	si	cada	función	es	una	función	uno	a	uno.
 .42.32.22.12
25. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} 26. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 27.
28. 29. 30.
31. 32. 33.
34. 35. 36.
37. 38. 39.
40. 41. 42. y = x3y = !3 xy = - ƒx ƒ
y = ƒx ƒy = -!xy = !x
y = x2 - 9, x … 0y = x2 - 9, x Ú 0y = x2 - 2x + 6, x Ú 1
y = x2 - 2x + 5y = -x2 + 3y = x2 - 1
y = 3x - 8y = 2x + 5{1 0, 52 , 1 1, 42 , 1 -3, 52 , 1 4, 22 }
{1 -4, 22 , 1 5, 32 , 1 0, 22 , 1 4, 82 }
x
y
x
y
x
y
x
y
En	los	ejercicios	43-48,	para	la	función	dada,	determina	el	dominio	y	el	rango	tanto	de	f (x)	como	de	f 21(x).
 
43. {1 4, 02 , 1 8, 92 , 1 2, 72 , 1 -1, 62 , 1 -2, 42 } 44. e 1 -2, -32 , 1 -4, 02 , 1 5, 32 , 1 6, 22 , a2, 
1
2
b f
578	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
 45. 
4
2
1
4
2
3
3
1
4214 2 33 1
y
x
 46. 
4
2
1
4
2
3
3
1
4214 2 33 1
y
x
 47. 
x
y
2
 48. 
x
y
Para	cada	función,	a)	determina	si	es	uno	a	uno;	b)	si	es	uno	a	uno,	determina	su	función	inversa.
49. 50.
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.
63. 64.
65. 66. h1 x 2 = ƒx ƒh1 x 2 = x2 - 4, x Ú 0
f 1 x 2 = x2 - 3, x Ú 0g1 x 2 = !x+ 2, x Ú -2
f 1 x 2 = !x , x Ú 0g1 x 2 = x3 - 6
g1 x 2 = x3 + 9f 1 x 2 = x2 + 10
h1 x 2 =
5
x
g1 x 2 =
1
x
m1 x 2 = -x2 + x + 8t1 x 2 = x2 + 3
r1 x 2 = ƒx ƒp1 x 2 = 3x2
k1 x 2 = 2x - 7h1 x 2 = 4x
f 1 x 2 = x - 4f 1 x 2 = x + 3
Para	cada	función	uno	a	uno,	a)	determina	f 21(x)	y	b)	grafica	f (x)	y	f 21(x)	en	los	mismos	ejes.
67. 68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. 76. f 1 x 2 =
1
x
f 1 x 2 =
1
x
, x 7 0
f 1 x 2 = !3 x + 3f 1 x 2 = !3 x
f 1 x 2 = !x + 4, x Ú -4f 1 x 2 = !x - 1, x Ú 1
f 1 x 2 = -!x , x Ú 0f 1 x 2 = !x , x Ú 0
f 1 x 2 = -3x + 6f 1 x 2 = 2x + 8
Para	cada	par	de	funciones	inversas,	demuestra	que	( f 	+ f 21)(x)	5	x	y	( f 21	+ f )(x)	5	x.
77. 78.
79. 80.
.28.18
.48.38 f 1 x 2 = !x + 5, f -11 x 2 = x2 - 5, x Ú 0f 1 x 2 =
3
x
, f -11 x2 =
3
x
f 1 x 2 = !3 x + 9, f -11 x 2 = x3 - 9f 1 x 2 = !3 x - 2, f -11 x 2 = x3 + 2
f 1 x 2 = -  
1
3
 x + 2, f -11 x 2 = -3x + 6f 1 x 2 =
1
2
 x + 3, f -11 x 2 = 2x - 6
f -11 x2 =
x
3
f 1 x 2 = 3x,f -11 x 2 = x - 5f 1 x 2 = x + 5,
Resolución de problemas
 85. La función f (x) 5 3x convierte yardas, x, en pies. Determina 
la función inversa para convertir pies en yardas. ¿Qué repre-
sentan x y f 21(x) en la función inversa?
 86. La función f (x) 5 12x convierte pies, x, en pulgadas. De-
termina la función inversa para convertir pulgadas en pies. 
¿Qué representan x y f 21(x) en la función inversa?
 87. La función f 1 x 2 =
5
9
  1x - 322 convierte grados Fahrenheit, 
x, en grados Celsius. Determina la función inversa para con-
vertir grados Celsius en grados Fahrenheit.
 88. La función f 1 x 2 =
22
15
 x convierte millas por hora, x, en pies 
por segundo. Determina la función inversa para convertir 
pies por segundo en millas por hora.
 40
20
0
�20
�40
�60
60
80
100
120
140
160
180
200
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
�10
�20
�30
�40
�50
C F
Ver	ejercicio	87.
	 Sección	9.1	Funciones	compuestas	e	inversas	 579
En	los	ejercicios	89	-	92,	se	dan	las	funciones	f (x)	y	g(x).	Determina	la	composición	( f 	+ g)(x).	Para	la	función	composición,	¿qué	repre-
sentan	x	y	( f 	+ g)(x)?
 89. f (x) 5 16x convierte libras, x, en onzas. g(x) 5 28.35x con-
vierte onzas, x, en gramos.
 90. f (x) 5 2000x convierte toneladas, x, en libras. g(x) 5 16x 
convierte libras, x, en onzas.
 91. f (x) 5 3x convierte yardas, x, en pies. g(x) 5 0.305x con-
vierte pies, x, en metros.
 92. f (x) 5 1760x convierte millas, x, en yardas. g(x) 5 0.915x 
convierte yardas, x, en metros.
Ejercicios de conceptos y escritura
 93. ¿Es ( f + g)(x) 5 (g + f )(x) para todos los valores de x? Ex-
plica y proporciona un ejemplo que apoye tu respuesta.
 94. Considera las funciones f 1 x 2 = !x + 5, x Ú -5, y 
g(x) 5 x2 2 5, x  0.
 a) Demuestra que ( f + g)(x) 5 (g + f )(x) para x  0.
 b) Explica por qué es necesario estipular que x  0 para 
que el inciso a) sea verdadero.
 95. Considera las funciones f (x) 5 x³ 1 2 y g1 x 2 = !3 x - 2.
 a) Demuestra que ( f + g)(x) 5 (g + f )(x).
 b) ¿Cuáles son los dominios de f (x), g(x),( f + g)(x) y (g + f )
(x)? Explica.
 96. Para la función f (x) 5 x³, f (2) 5 2³ 5 8. Explica por qué 
f 21(8) 5 2.
 97. Para la función f (x) 5 x4, x . 0, f (2) 5 16. Explica por qué 
f 21(16) 5 2.
 98. a) ¿La función f (x) 5 ƒx ƒ tiene inversa? Explica.
 b) Si el dominio está limitado a x  0, ¿La función tiene 
inversa? Explica.
 c) Determina la función inversa de f (x) 5 ƒx ƒ, x  0.
Problemas de desafío
 99. Área Cuando se arroja una piedra a un estanque, el círcu-
lo (onda) que se forma con el golpe de la piedra en el agua 
se expande con el tiempo. El área del círculo en expansión 
puede determinarse mediante la fórmula A 5 pr2. El radio 
del círculo, r, en pies, es una función del tiempo, t, en segun-
dos. Supón que la función es r(t) 5 2t.
©
 D
an
ie
l R
yb
kin
/S
hu
tte
rs
to
ck
 a) Determina el radio del círculo 3 segundos después de 
que la piedra golpea el agua.
 b) Determina el área del círculo 3 segundos después de 
que la piedra golpea el agua.
 c) Expresa el área como una función del tiempo, deter-
mina A + r.
 d) Mediante la función que encontraste en el inciso c), de-
termina el área del círculo 3 segundos después de que la 
piedra golpea el agua.
 e) ¿Las respuestas a los incisos b) y d) coinciden? Si no es 
así, explica por qué.
 100. Área de la superficie El área de la superficie, S, de un 
globo esférico de radio, r, en pulgadas, se determina me-
diante S(r) 5 4pr2. Si el globo se está inflando con una 
máquina a una velocidad constante, entonces el radio del 
globo es una función del tiempo. Supongamos que esta 
función es r(t) 5 1.2t, donde t está en segundos.
 a) Determina el radio del globo a los 2 segundos.
 b) Determina el área de la superficie a los 2 segundos.
 c) Expresa el área de la superficie como una función del 
tiempo, determina S + r.
 d) Mediante la función que encontraste en el inciso c), de-
termina el área de la superficie después de 2 segundos.
 e) ¿Las respuestas a los incisos b) y d) coinciden? Si no es 
así, explica por qué.
Actividad de grupo
Analicen	y	respondan	en	grupo	el	ejercicio	101.
 101. Consideren la función f (x) 5 2x. Éste es un ejemplo de una 
función	exponencial, de la cual hablaremos en la sección si-
guiente.
 a) Grafiquen esta función sustituyendo valores para x y 
determinando los valores correspondientes de f (x).
 b) ¿Ustedes creen que esta función tenga inversa? Expli-
quen su respuesta.
 c) Con la gráfica obtenida en el inciso a), tracen la función 
inversa, f 21(x) en los mismos ejes.
 d) Expliquen cómo obtuvieron la gráfica f 21(x).
Ejercicios de repaso acumulados
 [1.3] 102. Divide ` -9
4
` , ` -4
9
`.
 [3.5] 103. Determina, en la forma general, la ecuación de una 
recta que pase por a1
2
, 3b y que sea paralela a la grá-
fica de 2x 1 3y 2 9 5 0.
	[6.3] 104. Simplifica 
3
x2 -
2
x
x
6
.
 [6.4] 105. Despeja p de 
1
f
=
1
p
+
1
q
.
 [8.1] 106. Resuelve la ecuación x² 1 2x 2 10 5 0 completando 
el cuadrado.
580	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
9.2 Funciones exponenciales
	 1 	 Graficar	funciones	
exponenciales.
	 2 	 Resolver	problemas	de	
aplicación	con	funciones	
exponenciales.
1 	Graficar	funciones	exponenciales
Existen muchas aplicaciones para las funciones exponenciales. Algunos ejemplos incluyen 
el crecimiento de poblaciones, la duplicación de una bacteria en un experimento biológi-
co, el valor del dinero en una cuenta de banco con interés compuesto, el decaimiento de la 
cantidad de carbono 14 en los restos de un fósil y muchos otros. Las gráficas que se mues-
tran en la Figura 9.11 y la Figura 9.12 muestran dos ejemplos de funciones exponenciales.
N
úm
er
o 
de
 b
ac
te
ri
as
Crecimiento de bacterias
1000
0
50 10 15
2000
3000
4000
5000
Horas
FIGURA	 9.11	 	
Crecimientos de $1000
$0
0 10
$12,000
$14,000
$10,000
$8,000
$6,000
$4,000
$2,000
Años
20 30 40 50 60
D
ól
ar
es
FIGURA	 9.12	 	
Como se ve en la definición siguiente, una función exponencial siempre tendrá a la 
variable como exponente.
Una función exponencial es una función de la forma f (x) 5 ax o y 5 ax, donde a es un nú-
mero real positivo distinto de 1. Observa que la variable está en el exponente.
Ejemplos	de	funciones	exponenciales
f 1x 2 = 2x, y = 5x, g 1x 2 = a1
2
b
x
Las funciones exponenciales pueden graficarse seleccionando valores para x, deter-
minando los correspondientes valores de y [o f (x)], y trazando los puntos.
Antes de graficar funciones exponenciales, analizaremos algunas de sus características.
Comprendiendo 
el álgebra
¿Cuál	es	la	diferencia		
entre	las	dos	funciones		
f (x)	5	2x	y	g(x)	5	x²?
Función	exponencial
f 1x 2 = 2x
S
la variable es
el exponente
Observa	la	localización	de	
la	variable	x.	En	una	función	
exponencial,	la	variable	está	en	
la	posición	del	exponente.
Función	polinomial	
(cuadrática)
g 1x 2 = x2 S
 la variable
es la base
En	una	función	polinomial	
(en	este	caso	cuadrática),	la	
variable	está	en	la	posición	de	
la	base.Para cualquier número real a . 0 y a  1,
f (x) 5 ax o y 5 ax
es una función exponencial.
Función exponencial
Para toda función exponencial de la forma y 5 ax o f (x) 5 ax, donde a . 0 y a  1,
 1. El dominio de la función es (2q, q).
 2. El rango de la función es (0, q).
 3. La gráfica pasa por los puntos a -1, 
1
a
b , 1 0, 12 , y (1, a).
Gráficas de funciones exponenciales
	 Sección	9.2	Funciones	exponenciales	 581
EJEMPLO  1  Grafica la función exponencial y 5 2x. Establece el dominio y el 
rango de la función.
Solución La función es de la forma y 5 ax, donde a 5 2. Primero construimos una 
tabla de valores. En ella, los tres puntos del paso 3 en el recuadro de la página 580 se 
muestran en azul.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
1
16
1
8
1
4
1
2
1 2 4 8 16
Ahora trazamos estos puntos y los conectamos mediante una curva suave (Figura 9.13). 
Los tres pares ordenados en azul en la tabla están marcados en azul en la gráfica.
5
9
8
7
6
4
3
2
4321�4 �3 �2 �1
y � 2x
x
y
FIGURA	 9.13		
El dominio de esta función es el conjunto de los números reales ℝ. El rango es 
{y ƒ y 7 0}.
Resuelve ahora el ejercicio 7
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	graficamos	funciones	
de	la	forma	y	5	ax	o	f (x)	5	ax,	
podemos	predecir	la	forma	de	
la	gráfica	al	observar	los	tres	
puntos
a-1, 
1
a
b ,	(0,	1)	y	(1,	a)
	 •	 Cuando	a	>	1,	la	gráfica	
se	vuelve	casi	horizontal	a	
la	izquierda	de	a-1, 
1
a
b ,	
y	casi	vertical	a	la	derecha	
de	(1,	a);	ver	ejemplo	1.
	 •	 Cuando	0	<	a	<	1,	la	
gráfica	es	casi	horizontal	a	
la	derecha	de	(1,	a)	y	casi	
vertical	a	la	izquierda	de	
a-1, 
1
a
b;	ver	ejemplo	2.
Consejo útil
Cuando graficamos funciones exponenciales de la forma y 5 ax donde x . 0, si
	 •	 a . 1, la grafica ascenderá de izquierda a derecha. Ve la gráfica de y 5 2x en la Figura 9.13.
	 •	 0 , a , 1, la gráfica descenderá de izquierda a derecha. Ve la gráfica de y = a1
2
b
x
 en la 
Figura 9.14.
EJEMPLO  2  Grafica y = a1
2
b
x
. Establece el dominio y el rango de la función.
Solución Esta función es de la forma y 5 ax, donde a =
1
2
. Construimos una tabla 
de valores para trazar la curva ( F igura 9.14).
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 16 8 4 2 1
1
2
1
4
1
8
1
16
5
9
8
7
6
4
3
2
4321�4 �3 �2 �1
y � �q�x
x
y
FIGURA	 9.14	 	
 
El dominio es el conjunto de los números reales ℝ. El rango es {y ƒ y 7 0}.
Resuelve ahora el ejercicio 13
Observa que las gráficas en las Figuras 9.13 y 9.14 representan funciones uno a uno, 
ya que cada gráfica cumple el criterio de la recta horizontal.