Funções Exponenciais e Logarítmicas

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586	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
 33. Interés compuesto Si Don Gacewicz invierte $5000 a 6% de 
interés compuesto, capitalizable cada trimestre, determina el 
monto que tendrá después de 4 años (ver ejemplo 5).
 34. Interés compuesto Si Don Treadwell invierte $8000 a 4% 
de interés compuesto, capitalizable cada trimestre, determina 
el monto que tendrá después de 5 años.
 35. Certificado de depósito Joni Burnette recibe un bono de 
$5000 por cumplir con su cuota anual de ventas. Ella invierte 
el bono en un certificado de depósito (CD) que paga 4.2% 
de interés compuesto, capitalizable cada mes. Determina el 
valor del CD después de 5 años.
 36. Cuenta del mercado financiero Martha Goshaw invierte 
$2500 en una cuenta del mercado financiero que paga 3.6% 
de interés compuesto, capitalizable cada trimestre. Determi-
na el monto acumulado después de 2 años.
 37. Cuenta de ahorro Byron Dyce deposita $3000 en una cuen-
ta de ahorro que paga 2.4% de interés compuesto, capitaliza-
ble cada trimestre. Determina el monto acumulado después 
de 2 años.
 38. Cuenta de retiro Para invertir en su retiro, John Salak in-
vierte $10,000 en una cuenta que paga 6% de interés com-
puesto, capitalizable cada semestre. Determina el monto acu-
mulado después de 25 años.
 39. Datación con carbono 14 Si en el hueso de cierto animal 
había originalmente 12 gramos de carbono 14, ¿cuánto 
quedará de este elemento al cabo de 1000 años? Utiliza 
A 5 A0  2
2t/5600 (ver ejemplo 6).
 40. Datación con carbono 14 Tim Jonas encontró un fósil en 
un sitio arqueológico. Si originalmente en este fósil había 60 
gramos de carbono 14, ¿cuánto quedará del elemento al cabo 
de 10,000 años?
 41. Sustancia radiactiva La cantidad de una sustancia radiacti-
va presente, en gramos, en el tiempo t, en años, está dada por 
la fórmula y 5 80(2)20.4t. Determina el número de gramos 
presentes después de a) 10 y b) 100 años.
 42. Sustancia radiactiva La cantidad de una sustancia radiacti-
va presente, en gramos, en el tiempo t, en años, está dada por 
la fórmula y 5 20(3)20.6t. Determina el número de gramos 
presentes después de 4 años.
 43. Población La población esperada de Ackworth, que ahora 
tiene 2000 residentes, puede aproximarse mediante la fórmu-
la y 5 2000(1.2)0.1t, donde t es el número de años en el futuro. 
Determina la población esperada en la ciudad dentro de a) 10 
y b) 50 años.
 44. Población La población esperada en Antwerp, que actual-
mente tiene 6800 residentes, puede aproximarse mediante la 
fórmula y 5 6800(1.4)20.2t, donde t es el número de años en el 
futuro. Determina la población esperada en la ciudad dentro 
de 30 años.
 45. Valor de un automóvil deportivo El costo de un automóvil 
deportivo nuevo es de $24,000. Si se deprecia a una tasa de 
18% anual, su valor dentro de t años puede aproximarse me-
diante la fórmula
V(t) 5 24,000(0.82)t 
Determina el valor que tendrá el automóvil deportivo dentro 
de 4 años.
 46. Valor de un vehículo todoterreno El costo de un vehículo 
todoterreno nuevo es de $6200. Si se deprecia a una tasa de 
15% por año, su valor dentro de t años puede aproximarse 
mediante la fórmula
V(t) 5 6200(0.85)t 
 Determina el valor que tendrá el vehículo todoterreno dentro 
de 10 años.
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el
Ver	ejercicio	46.
 47. Presión atmosférica La presión atmosférica varía según la 
altitud. Cuanto mayor sea la altitud menor será la presión, 
como se muestra en la gráfica siguiente.
0
5
10
15
20
25
40
35
40
45
0 200 400 600 800
A
lt
it
ud
 (
km
)
Presión (mb)
1000
Monte Everest
50% del aire
se encuentra 
por debajo
de esta altitud
La ecuación A 5 41.97(0.996)x puede utilizarse para estimar 
la altitud, A, en kilómetros, para una presión dada, x, en mi-
libares (mb). Si la presión atmosférica en la cima del monte 
Everest es de aproximadamente 389 mb, estima la altura de 
la cima del monte Everest.
 48. Centenarios Basado en las proyecciones del U.S. Census 
Bureau, el número de centenarios (personas de 100 años o 
mayores) aumentó de manera exponencial a partir del año 
1995 (ver gráfica siguiente). La función
f (t) 5 71.24(1.045)t 
puede utilizarse para calcular el número de estas personas, 
en miles, donde t es el tiempo, en años, a partir del año 1995. 
Utiliza esta función para cualcular el número de centenarios 
en el año a) 2060 y b) 2070.
1,000
800
600
400
200
0
C
en
te
na
ri
os
 (
m
ile
s)
Año
Número de centenarios en Estados Unidos
Fuente: Oficina de Censo de Estados Unidos
1995 2010 2020 2030 2040 2050
	 Sección	9.2	Funciones	exponenciales	 587
 49. Tienda de bicicletas Spokes for Folks, una tienda de bici-
cletas, tuvo ventas anuales en los años 2006 - 2010 (en miles 
de dólares) como se muestra en la gráfica siguiente.
Ventas de Spokes for Folks
0
2006 2007 2008 2009 2010 2011
Año
V
en
ta
s 
(m
ile
s 
de
 d
ól
ar
es
)
100
200
300
400
500
600
700
Fuente: Departamento de Comercio de Estados Unidos
Las ventas anuales pueden estimarse mediante la función 
S(t) 5 51.4(1.85)t, donde S(t) son las ventas anuales, en 
miles de dólares, y t es el número de años después del año 
2006. Supongamos que esta tendencia continúa; determina 
las ventas anuales para los años siguientes. Redondea tu res-
puesta con una aproximación de miles de dólares.
a) 2015 b) 2020
 50. Venta de anuncios Signs 2 Go, una imprenta, tuvo ventas 
anuales en los años 200622010 (en miles de dólares) como 
se muestra en la gráfica de abajo.
Ventas de Signs 2 Go
0
2006 2007 2008 2009 2010 2011
Año
V
en
ta
s 
(m
ile
s 
de
 d
ól
ar
es
)
10
20
30
40
50
60
Las ventas anuales pueden estimarse mediante la función 
S(t) 5 23.1(1.19)t, donde S(t) son las ventas anuales, en 
miles de dólares, y t es el número de años después del año 
2006. Supongamos que esta tendencia continúa; determina 
las ventas anuales para los años siguientes. Redondea tu res-
puesta con una aproximación de miles de dólares.
 a) 2015 b) 2020
 51. Interés simple y compuesto La gráfica siguiente muestra el 
crecimiento lineal de $100 invertidos a 7% de interés simple, 
y el crecimiento exponencial de la misma cantidad invertida 
a 7% de interés compuesto, capitalizable cada año. En las 
fórmulas, A representa la cantidad en dólares y t representa 
el tiempo, en años.
Tiempo (años)
M
on
to
 (
dó
la
re
s)
100
125
150
175
200
225
250
2 4 6 8 10 12 14
Crecimiento exponencial
A  100(1.07)t
Crecimiento lineal
A  100  100(0.07)t
 a) Utiliza la gráfica para calcular el tiempo de duplicación 
para $100 invertidos a 7% de interés simple.
 b) Calcula el tiempo de duplicación para $100 invertidos a 
7% de interés compuesto, capitalizable cada año.
 c) Calcula la diferencia entre los montos resultantes después 
de 10 años sobre una cantidad de $100 invertida en cada 
método.
 d) En Estados Unidos, casi todos los bancos capitalizan el 
interés diariamente en lugar de hacerlo cada año. ¿Qué 
efecto tiene esto sobre el monto total? Explica.
 52. En el ejercicio 51, graficamos la cantidad de varios años 
cuando se invierten $100 a 7% de interés simple y a 7% de 
interés compuesto, capitalizable cada año.
 a) Utiliza la fórmula del interés compuesto para determinar 
el monto si $100 se capitalizan cada día a 7% por 10 años 
(supón 365 días por año).
 b) Calcula la diferencia en el monto en 10 años por los $100 
invertidos a 7% de interés simple contra 7% de interés 
compuesto, capitalizable cada día.
Ejercicios de conceptos y escritura
 56. Considera las ecuaciones y = a1
2
b
x
 y y = a 1
3
b
x
.
 a) ¿Sus gráficas tienen la misma intersección con el eje y o 
es distinta en cada caso? Determina la intersección con el 
eje y en cada caso.
 b) Compara las gráficas de las dos funciones, ¿cómo son?
 57. Ya antes establecimos que, para funciones exponenciales 
f (x) 5 ax, el valor de a no puede ser igual a 1.
 a) Cuando a 5 1, ¿cómo se ve la gráfica de f (x) 5 ax?
 b) Cuando a 5 1, ¿f (x) 5 ax es una función?c) Cuando a 5 1, ¿f (x) 5 ax tiene función inversa? Explica 
tu respuesta.
 53. Considera la función exponencial y = a1
2
b
x
.
 a) ¿Qué le sucede a y conforme x crece?
 b) ¿El valor de y puede ser 0? Explica.
 c) ¿El valor de y puede ser negativo? Explica.
 54. Considera la función exponencial y 5 2x.
 a) ¿Qué le sucede a y conforme x crece?
 b) ¿El valor de y puede ser 0? Explica.
 c) ¿El valor de y puede ser negativo? Explica.
 55. Considera las ecuaciones y 5 2x y y 5 3x.
 a) ¿Sus gráficas tienen la misma intersección con el eje y o 
es distinta en cada caso? Determina la intersección con el 
eje y en cada caso.
 b) Compara las gráficas de las dos funciones. ¿Cómo son?
588	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
 58. Compara las gráficas de y 5 ax y y 5 ax 1 k, cuando k . 0, 
¿cómo son?
 59. Compara las gráficas de y 5 ax y y 5 ax 2 k, cuando k . 0, 
¿cómo son?
 60. Compara las gráficas de y 5 ax y y 5 ax11, cuando a . 1, 
¿cómo son?
 61. Compara las gráficas de y 5 ax y y 5 ax	1	2, cuando a . 1 
¿cómo son?
 62. a) ¿y 5 xp es una función exponencial? Explica.
 b) ¿y 5 px es una función exponencial? Explica.
Problemas de desafío
 63. Supongamos que Bob Jenkins le da a Carol Dantuma $1 en 
el día 1, $2 en el día 2, $4 en el día 3, $8 en el día 4, y continúa 
este proceso de duplicación durante 30 días.
 a) Determina cuánto le dará Bob a Carol en el día 15.
 b) Determina cuánto le dará Bob a Carol en el día 20.
 c) Usando la forma exponencial, expresa el monto que Bob 
le da a Carol en el día n.
 d) ¿Cuánto le dará Bob a Carol, en dólares, en el día 30? 
Escribe el monto en forma exponencial. Luego utiliza tu 
calculadora para evaluar.
 e) Expresa el monto total que Bob le da a Carol durante los 
30 días como una suma de términos exponenciales (no 
determines el valor real).
Actividad de grupo
 64. Las funciones exponenciales o aproximadamente exponen-
ciales son muy comunes.
 a) Que cada miembro del grupo determine, de manera indi-
vidual, una función que no haya sido dada en esta sección y 
que pueda aproximarse a una función exponencial. Pueden 
utilizar periódicos, libros y otras fuentes.
 b) Analicen en grupo las funciones de todos los miembros. 
Determinen si cada función presentada es una función ex-
ponencial.
 c) Escriban en grupo un ensayo en el que analicen cada una 
de las funciones y establezcan por qué creen que cada una de 
ellas es exponencial.
Ejercicios de repaso acumulados
	[5.1] 65. Considera el polinomio 
2.3x4y 2 6.2x6y2 1 9.2x5y2
 a) Escribe el polinomio en orden descendente de la 
variable x.
 b) ¿Cuál es el grado del polinomio?
 c) ¿Cuál es el coeficiente principal?
	[5.2] 66. Si f (x) 5 x 1 5 y g(x) 5 x2 2 2x 1 4, determina (f	 g)
(x).
	[7.1] 67. Escribe "a2 - 8a + 16 como un valor absoluto.
	[7.3] 68. Simplifica Ä4  
32x5
 y9
2y3
 z
.
9.3 Funciones logarítmicas
	 1 	 Definir	un	logaritmo.
	2 	 Convertir	de	forma	
exponencial	a	forma	
logarítmica.
	3 	 Graficar	funciones	
logarítmicas.
	4 	 Comparar	gráficas	de	
funciones	exponenciales	y	
logarítmicas.
	5 	 Resolver	problemas	de	
aplicación	con	funciones	
logarítmicas.
	1 	Definir	un	logaritmo
Considera la función exponencial y 5 2x. En la Figura 9.13 de la página 581, observamos 
que la gráfica de esta función cumple el criterio de la recta horizontal y, por lo tanto, 
esta función es una función uno a uno y tiene una inversa. Para determinar la inversa 
de y 5 2x intercambiamos x y y para obtener la ecuación x 5 2y. Para despejar y de esta 
ecuación, introducimos una nueva definición.
Para x . 0 y a . 0, a  1
y 5 loga x significa x 5 ay
La expresión loga x se lee como “el logaritmo de x en la base a”, o simplemente “log, base 
a, de x”.
Logaritmo