Funções Exponenciais e Logarítmicas

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614	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
	 82.	En	el	siguiente	procedimiento	empezamos	con	una	proposi-
ción	verdadera	y	terminamos	con	una	falsa.	¿Puedes	encon-
trar	el	error?
	 Verdadero
	 Multiplica	ambos	lados	por	log	(0.1).
	 Propiedad	3
	 Propiedad	6d
	 Falso
	 83.	Resuelve	8x	5	16x22.
	 84.	Resuelve	27x	5	81x23.
	 85.	Utiliza	 ecuaciones	 de	 forma	 cuadrática	 para	 resolver	 la	
ecuación	22x	2	6(2x)	1	8	5	0
	 86.	Utiliza	 ecuaciones	 de	 forma	 cuadrática	 para	 resolver	 la	
ecuación	22x	2	18(2x)	1	32	5	0
Cambia la ecuación exponencial o logarítmica a la forma ax 1 by = c, y luego resuelve el sistema de ecuaciones.
 Utiliza tu calculadora para determinar las soluciones a la décima más cercana. Si no existe solución real, indícalo.
	 95.	¿Cómo	puedes	determinar	rápidamente	que	
log	(x	1	4)	5	log	(22)	no	tiene	una	solución	real?
	 96.	En	las	propiedades	6c	y	6d,	especificamos	que	tanto	x	como	
y	deben	ser	positivas.	Explica	por	qué.
Ejercicios de repaso acumulados
[2.2]	 97.	 Considera	las	dos	figuras	siguientes.	¿Cuál	tiene	ma-
yor	volumen	y	por	cuánto	es	mayor?
3	pies
3	pies
3	pies
4	pies 4	pies
[3.6]	 98.	 Sea	f (x)	5	x2	2	x	y	g(x)	5	x	2	1.	Determina	(g	2	f )(3).
[4.6]	 99.	 Determina	el	 conjunto	 solución	del	 sistema	de	des-
igualdades.
	
	 	 	
[7.5]	 100.	 Simplifica	
21xy - 1xy1x + 1y
.
[8.3]	 101.	 Despeja	c	en	E	5	mc2
[8.5]	 102.	 Determina	 la	 función	para	 la	parábola	que	 tiene	 la	
forma	de	f (x)	5	2x2	y	vértice	en	(3,25).
	1 	Identificar	la	función	exponencial	natural
En	la	sección	9.2	analizamos	las	funciones	exponenciales.	Recordemos	que	las	funciones	
exponenciales	son	de	la	forma	f (x)	5	ax,	a	.	0	y	a		1.	A	continuación	se	define	la	fun-
ción	exponencial	natural.
9.7 Función exponencial natural y función 
 logaritmo natural
	1 	 Identificar	la	función	
exponencial	natural.
	2 	 Identificar	la	función	
logaritmo	natural.
	3 	 Aproximar	logaritmos	
naturales	y	potencias	de	e	
en	una	calculadora.
	4 	 Utilizar	la	fórmula	de	
cambio	de	base.
	5 	 Resolver	ecuaciones	
logarítmicas	naturales	y	
exponenciales	naturales.
	6 	 Resolver	problemas	de	
aplicaciones.
En	esta	sección	analizaremos	la	función exponencial natural	y	su	inversa,	la función loga-
ritmo natural.	Estas	funciones	con	frecuencia	se	usan	para	describir	sucesos	que	ocurren	
naturalmente,	de	ahí	su	adjetivo	de	natural.	Ambas	funciones	se	basan	en	un	número	irra-
cional	designado	por	la	letra	e.
La base natural, e
La	base	natural, e,	es	un	número	irracional	que	sirve	como	base	para	la función exponen-
cial natural	y	la	función logaritmo natural.
e L 2.7183
Ejercicios de conceptos y escritura
y 7 -x + 4
3x - 4y … 6
91. 2.8 92. 3.3
93. 94. 5.6 log 1x + 12.22 - 1.6 log 1x - 42 = 20.3 log 12x - 625.6 log 15x - 122 = 2.3 log 1x - 5.42
log 13x + 52 = 2.3x - 6.4log 1x + 32 + log x = log 16
87. 88. 89. 90.
2x - y = 5
log 1x + y2 = 3
x - y = 8
log 1x + y2 = 2
x - 2y = -3
32x = 9y + 1
x + y = 4
2x = 8y
10.0 6 0.001
 10.122 6 10.123
 gol 10.122 6 log 10.123
 gol 2 10.12 6 3 log 10.12
 2 6 3
	 Sección	9.7	Función	exponencial	natural	y	función		logaritmo	natural	 615
La función exponencial natural
La función exponencial natural es
f (x) 5 ex
donde e es la base natural.
Logaritmos naturales
Los logaritmos naturales son logaritmos de base e, la base natural. Se indica que son loga-
ritmos naturales mediante la notación ln.
loge	x 5 ln x (x . 0)
ln x se lee como el “logaritmo natural de x”.
Función logaritmo natural
La función logaritmo natural es
f (x) 5 ln x (x . 0)
donde ln x 5 loge	x y e es la base natural.
Logaritmo natural en forma exponencial
Para x . 0, si y 5 ln x, entonces ey 5 x. 
	2 	Identificar	la	función	logaritmo	natural
Comencemos definiendo los logaritmos naturales. 
En la sección 9.3, analizamos las funciones logarítmicas. Recordemos que las funciones 
logarítmicas son de la forma f(x) 5 loga	x, a . 0, a  1, x . 0. A continuación se define la 
función	logaritmo	natural. 
Cuando cambiamos un logaritmo natural a la forma exponencial, la base de la expresión 
exponencial es la base natural, e. 
EJEMPLO  1  Determina el valor de la expresión mediante el cambio de la forma 
logarítmica natural a la forma exponencial.
 a) ln 1 b) ln e
Solución 
 a) Sea y 5 ln 1; entonces ey 5 1. Ya que cualquier valor diferente de cero elevado 
a la potencia cero es igual a 1, y debe ser igual a 0. Por lo tanto, ln 1 5 0
 b) Sea y 5 ln e; entonces ey 5 e, Para ey 5 e, y debe ser igual a 1. Por lo tanto, 
ln e 5 1. 
Resuelve ahora el ejercicio 1
Recordemos de la sección 9.3 que las funciones y 5 ax y y 5 loga	x son funciones 
inversas. De manera análoga, y 5 ex y y 5 ln x son funciones inversas. Las gráficas se 
muestran en la Figura 9.22. Observa que las gráficas son simétricas respecto de la recta 
y 5 x. Observa también que la gráfica de y 5 ex es similar a la gráfica y 5 ax, donde a . 1, 
y que la gráfica de y 5 ln x es similar a la gráfica de y 5 loga	x donde a . 1.
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
4321�4 �3 �2 �1
y � x
y � ex
y � ln x
x
y
FIGURA	 9.22
Comprendiendo 
el álgebra
Existen	dos	tipos	importantes	
de	logaritmos	cuya	notación	
difiere	de	otros	logaritmos.
	 •	 Los	logaritmos	comunes	
tienen	una	base	10	y	se	
escriben	utilizando	la	
notación	log	x.	De	este	
modo	tenemos	que
log10	x	5	log	x
	 •	 Los	logaritmos	naturales	
tienen	una	base	e,	la	base	
natural,	y	se	escriben	
utilizando	la	notación	
ln	x.	Por	consiguiente,	
tenemos	que
loge x	5	ln	x
616	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
Recuerda que un logaritmo es	 un	 exponente, es decir, el logaritmo natural de un 
número es el exponente al que debe elevarse la base natural e para obtener ese número. 
Por ejemplo:
 ln 242 L 5.488937726 por lo tanto, e5.488937726 L 242
 ln 0.85 L 20.1625189295 por lo tanto, e20.1625189295 L 0.85
EJEMPLO  2  Aproxima las siguientes potencias de la base natural e. Redondea 
tus respuestas a cuatro decimales.
 a) e1.394 b) e2.827 c) e-0.356
Solución Utiliza la calculadora para aproximar cada potencia de e.
 a) e1.394 L 4.0309 b) e2.827 L 16.8947 c) e-0.356 L 0.7005
Resuelve ahora el ejercicio 15
EJEMPLO  3  Despeja x en cada una de las siguientes ecuaciones. Redondea tus 
respuestas a cuatro decimales.
 a) ln x 5 0.132 b) ln x 5 21.203
Solución 
 a) Utilizando la definición de logaritmo, sabemos que 
 ln x 5 0.132 significa que x 5 e0.132 L 1.1411
 b) ln x 5 21.203 significa que x 5 e21.203 L 0.3002 
Resuelve ahora el ejercicio 21
Cómo utilizar tu calculadora 
Aproximando	potencias	de	e
Para evaluar potencias de la base natural e en tu calculadora, utilizamos la función ex, la cual está localizada encima de la tecla 
 LN . Para accesar esta función, presiona  2ND  ,  INV , o  SHIFT  antes de pulsar la tecla  LN  .
Cómo utilizar tu calculadora 
Aproximando	logaritmos	naturales
Calculadora científica
Para aproximar logaritmos naturales, en la mayoría de las calculadoras científicas se introduce el argumento y después se 
presiona la tecla  LN .
 EJEMPLO TECLAS A PRESIONAR RESPUESTA MOSTRADA
 Aproximar ln 31 31  LN  3.433987204
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Para determinar logaritmos naturales, en las calculadoras graficadoras, y en muchas calculadoras científicas, primero presio-
namos la tecla  LN  y luego introducimos el número. Por ejemplo, en la TI-84 Plus se haría lo siguiente:
 EJEMPLO TECLAS A PRESIONAR RESPUESTA MOSTRADA
 Aproximar ln 31  LN  (31)  ENTER  3.433987204
 c
 Generado por la calculadora
	3 	Aproximar	logaritmos	naturales	y	potencias	
de	e	en	una	calculadora
De manera similar a como hemos aproximado logaritmos comunes y potencias de 10 en 
la sección 9.5, podemos usar una calculadora científica o una graficadora para aproximar 
logaritmos naturales y potencias de e. 
	 Sección	9.7	Función	exponencial	natural	y	función		logaritmo	natural	 617
Fórmula de cambio de base
Para cualesquiera bases de logaritmos a y b, y cualquier número positivox,
loga x =
logb x
logb a
En la fórmula de cambio de base, con frecuencia se utiliza 10 como valor de b, ya 
que podemos aproximar más fácilmente los logaritmos comunes en una calculadora. Al 
reemplazar b con 10, obtenemos
loga x =
log10 x
log10 a
 o loga x =
log x
log a
EJEMPLO  4  Utiliza el cambio de base para aproximar log3 24.
Solución Si sustituimos a por 3 y x por 24 en loga x =
log x
log a
, obtenemos
log3 24 =
log 24
log 3
L 2.8928
Observa que 32.8928 L 24
Resuelve ahora el ejercicio 27
	5 	Resolver	ecuaciones	logarítmicas	naturales	
y	exponenciales	naturales
Las propiedades de los logaritmos que analizamos en la sección 9.4 son válidas tam-
bién para los logaritmos naturales. 
	4 	Utilizar	la	fórmula	de	cambio	de	base
Si te dan un logaritmo en una base diferente a 10 o e, no podrás evaluarlo directamente en 
tu calculadora. Cuando esto ocurra, puedes utilizar la fórmula de cambio de base. 
Propiedades para logaritmos naturales
 ln xy 1 ln x 1 ln y (x . 0 y y . 0) Regla del producto
 ln x
y
	5 ln x 2 ln y (x . 0 y y . 0) Regla del cociente
 ln xn 5 n ln x (x . 0) Regla de la potencia
Las propiedades 4 y 5 de la página 598 pueden también escribirse utilizando logaritmos 
naturales. Por consiguiente, ln ex 5 x y eln x 5 x. Nos referiremos a estas propiedades como 
propiedades 7 y 8, respectivamente. 
Propiedades adicionales para los logaritmos naturales y expresiones 
exponenciales naturales
 ln ex 5 x Propiedad 7
 eln x 5 x, x . 0 Propiedad 8
Utilizando la propiedad 7, ln ex 5 x podemos establecer, por ejemplo, que ln ekt 5 
kt, y ln e22.06t 5 22.06t. Usando la propiedad 8, eln x 5 x, podemos establecer, por ejemplo, 
que eln (t 1 2) 5 t 1 2 y eln kt 5 kt.
Comprendiendo 
el álgebra
La	fórmula	de	cambio	de		
base	nos	permite	aproximar		
logaritmos	utilizando		
la		calculadora.	
618	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
EJEMPLO  5  Despeja y de la ecuación ln y 2 ln (x 1 9) 5 t.
Solución 
 
 Regla del cociente
 Escribe en la forma exponencial
 y = et1x + 92
 
y
x + 9
= et
nl   
y
x + 9
= t
 nl y - ln 1x + 92 = t
 Despeja y.
Resuelve ahora el ejercicio 63
EJEMPLO  6  Despeja t de la ecuación 225 5 450e20.4t.
Solución Comienza dividiendo ambos lados de la ecuación entre 450 para aislar e20.4t.
5.0 = e-0.4t
 
225
450
=
 450 e-0.4t
 450 
Ahora tomamos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la 
expresión exponencial del lado derecho.
 
 Propiedad 7
 
 
 868237.1 = t
 
-0.6931472
-0.4
= t
 -0.6931472 = -0.4t
5.0 nl = -0.4t
5.0 nl = ln e-0.4t
Resuelve ahora el ejercicio 49
EJEMPLO  7  Despeja t de la ecuación P 5 P0e
kt.
Solución Podemos seguir el mismo procedimiento que se utilizó en el ejemplo 6.
 Divide ambos lados entre P0.
 
 Toma el logaritmo natural de ambos lados.
 Regla del cociente
 Propiedad 7
 
ln P - ln P0
k
= t
 nl P - ln P0 = kt
 nl P - ln P0 = ln ekt
 nl 
P
P0
= ln ekt
 
P
P0
= ekt
 
P
P0
=
 P0  e
kt
 P0 
 P = P0 ekt
 Despeja t.
Resuelve ahora el ejercicio 59
	6 	Resolver	problemas	de	aplicaciones
Veamos algunas aplicaciones que incluyen el uso de la base natural y de los logaritmos 
naturales. Comenzaremos con una fórmula utilizada cuando una cantidad aumenta o dis-
minuye a una tasa	exponencial.
	 Sección	9.7	Función	exponencial	natural	y	función		logaritmo	natural	 619
Crecimiento exponencial o fórmula de decaimiento
Cuando una cantidad P aumenta (crece) o disminuye (decae) a una tasa exponencial, el 
valor de P después del tiempo t puede encontrarse utilizando la fórmula
P 5 P0e
kt	,
donde P0 es el valor inicial de la cantidad P, y k es la constante de crecimiento o disminu-
ción de la tasa.
 Cuando k . 0, P aumenta conforme t aumenta.
Cuando k ,	0, P disminuye y se acerca más a 0 conforme t aumenta.
EJEMPLO  8  Interés capitalizable de forma continua Cuando el interés se capi-
taliza de forma continua, el balance, P, en la cuenta a lo largo del tiempo, t, puede 
calcularse mediante la fórmula de crecimiento exponencial P 5 P0e
kt, donde P0 es el 
capital inicial que se invirtió y k es la tasa de interés.
 a) Considera que la tasa de interés es 6% capitalizable de manera continua e inicial-
mente se invirtieron $1000. Determina el saldo que tendrá la cuenta al cabo de 3 
años.
 b) ¿Cuánto tiempo pasará para que la cuenta duplique el saldo inicial?
Solución 
 a) Entiende	y	traduce Se nos ha dicho que el capital inicial que se invirtió, P0, es de 
$1000. También se dice que el tiempo, t, es de 3 años y que la tasa de interés, k, es 
de 6% o 0.06. Sustituimos estos valores en la fórmula dada y despejamos P.
 
 
Realiza	los	cálculos 
obtenido con 
una calculadora
 L 1197.22
 = 1000e0.18 = 100011.19721742
 P = 1000e10.062132
 P = P0 ekt
Responde Al cabo de 3 años, el saldo de la cuenta es de L $1197.22.
 b) Entiende	y	traduce Para que el valor de la cuenta se duplique, el saldo tendría 
que llegar a ser de $2000. Por lo tanto, sustituimos P por 2000 y despejamos t.
 
 
 Divide ambos lados entre 1000.
Realiza	los	cálculos	 Toma el logaritmo natural de ambos lados.
 Propiedad 7
 
 
 354255.11 L t
 
0.6931472
0.06
= t
 
ln 2
0.06
= t
2 nl = 0.06t
2 nl = ln e0.06t
 2 = e0.06t
 2000 = 1000e0.06t
 P = P0 ekt
Responde Así, con una tasa de interés de 6% capitalizable de manera continua, 
la cuenta se duplicará en aproximadamente 11.6 años.
Resuelve ahora el ejercicio 69
EJEMPLO  9  Decaimiento radiactivo El estroncio 90 es un isótopo radiacti-
vo que decae exponencialmente 2.8% cada año. Considera que al inicio hay 1000 
gramos de estroncio 90 en una sustancia.
 a) Determina el número de gramos de estroncio 90 que quedarán después de 50 años. 
 b) Determina la vida media del estroncio 90. 
620	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
Solución 
 a) Entiende Como el estroncio 90 decae al paso del tiempo, el valor de k en la 
fórmula P 5 P0e
kt es negativo. Como la tasa de decaimiento es de 2.8% anual, 
usamos k 5 20.028. Por lo tanto, la fórmula que usaremos es P 5 P0e
20.028t.
Traduce 
 
Realiza	los	cálculos	 = 1000e-1.4 = 100010.2465972 = 246.597
 = 1000e-0.0281502
 P = P0 e-0.028t
Responde Por lo tanto, al cabo de 50 años quedarán 246.597 gramos de estroncio 90.
 b) Para encontrar la vida media, necesitamos determinar cuándo quedarán 500 gramos 
de estroncio 90.
 
 Divide ambos lados entre 1000.
 Toma el logaritmo natural de ambos lados.
 Propiedad 7
 
 752557.42 L t
 
-0.6931472
-0.028
= t
 -0.6931472 = -0.028t
5.0 nl = ln e-0.028t
5.0 = e-0.028t
 500 = 1000e-0.028t
 P = P0 e-0.028t
Por lo tanto, la vida media del estroncio 90 es de aproximadamente 24.8 años.
Resuelve ahora el ejercicio 71
EJEMPLO  10  Venta de juguetes La fórmula para calcular la cantidad de dine-
ro, A, que se gasta en la publicidad de ciertos juguetes es A 5 350 1 650 ln n, en 
donde n es el número estimado de juguetes que se venderán.
 a) Si la compañía desea vender 2200 juguetes, ¿cuánto dinero deberá gastar en pu-
blicidad? 
 b) ¿Cuántos juguetes puede vender si destina $6000 a la publicidad? 
Solución 
 a) 
 Sustituye n por 2200.
 = 5352.54
 = 350 + 65017.69621262
 = 350 + 650 ln 2200
 A = 350 + 650 ln n
 Por lo tanto, la compañía gastará $5352.54 en publicidad.
b) Entiende	 y	 traduce Nos piden determinar el número de juguetes, n, que la 
compañía puede vender si destina $6000 en publicidad. Sustituimos los valores 
dados en la ecuación y despejemos n.
 
	 Realiza	los	cálculos	 Sustituye A por 6000.
 Resta 350 en ambos lados.
 
Divide ambos lados entre 650.
 Cambia a forma exponencial.
 Obtén la respuesta con una 
calculadora.
 Responde Por lo tanto, si se destinan $6000 a publicidad, la compañía puede 
esperar vender alrededor de 5957 juguetes.
Resuelve ahora el ejercicio 75
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el
 
 
5650
650
= ln n
0565 = 650 ln n
 6000 = 350 + 650 ln n
 A = 350 + 650 ln n
7595 L n
 e8.69231 L n
13296.8L ln n
	 Sección	9.7	Función	exponencial	natural	y	función		logaritmo	natural	 621
CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.7 
Ejercicios de práctica
Llena	los	espacios	en	blanco	con	la	palabra,	frase	o	símbolo(s)	apropiados	de	la	siguiente	lista.
escribe natural inversas trimestral exponencial compuesto
logaritmo continua base cambio comunes crecimiento
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Para aproximar las soluciones de la ecuación 4e0.3x 2 5 5 x 1 3 utilizando la TI-84 Plus, podemos graficar
 Y2 = x + 3
 Y1 = 4e^10.3x2 - 5
FIGURA	 9.23 FIGURA	 9.24
Los puntos de intersección en estas gráficas pueden encontrarse usando la función intersect del menú CALC. La Figura 9.23 
muestra que la coordenada del eje x en un punto de intersección, x L 27.5896, es una solución. La Figura 9.24 muestra que la 
coordenada del eje x en el otro punto de intersección, x L 3.5284, es la otra solución.
 1. La natural, e, es un número irracional 
que sirve como la base para la función exponencial natural y 
la función logaritmo natural.
 2. La función exponencial natural y la función logaritmo natu-
ral son funciones .
 3. La función natural es f (x) 5 ex, donde e 
es la base natural.
 4. La función natural es f (x) 5 ln x, con 
x . 0, donde e es la base natural.
 5. La fórmula loga x =
logb x
logb a
 es la fórmula de 
de base.
 6. En la fórmula de cambio de base, con frecuencia se coloca 
10 como valor de b, ya que podemos aproximar logaritmos 
 en una calculadora.
 7. Para resolver la ecuación 5.7 5 ex tomamos el logaritmo 
 de ambos lados de la ecuación.
 8. Para resolver la ecuación ln x 5 1.239, la 
ecuación en forma exponencial.
 9. El exponencial, o fórmula de decaimien-
to, establece que cuando una cantidad P aumenta o dismi-
nuye a una tasa exponencial, el valor de P después de cierto 
tiempo t puede encontrarse utilizando la fórmula P 5 P0e
kt.
 10. Cuando el interés se capitaliza de forma , 
el saldo en la cuenta puede calcularse mediante la fórmula 
de crecimiento exponencial.
Practica tus habilidades
Aproxima	los	siguientes	valores.	Redondea	tus	respuestas	a	cuatro	decimales.
 11. ln 27 12. ln 810 13. ln 0.415 14. ln 0.000176 
Aproxima	los	siguientes	valores.	Redondea	tus	respuestas	a	cuatro	decimales.
 15. e1.2 16. e4.8 17. e20.56 18. e22.6
Aproxima	el	valor	de	x.	Redondea	tus	respuestas	a	cuatro	decimales.
 19. ln x 5 1.6 20. ln x 5 5.2 21. ln x 5 22.85 22. ln x 5 20.674
Aproxima	el	valor	de	x.	Redondea	tus	respuestas	a	cuatro	decimales.
 23. ex 5 98 24. ex 5 2010 25. ex 5 0.0574 26. ex 5 0.000231
Utiliza	la	fórmula	de	cambio	de	base	para	aproximar	el	valor	de	los	siguientes	logaritmos.	Redondea	tus	respuestas	a	cuatro	decimales.
 27. log2 21 28. log2 89 29. log4 11 30. log4 316
Intersección
X 5 27.589583
Intersección
X 5 3.5282962
Intersección
Y 5 6.5283962
Intersección
Y 5 24.589583