Impostos e Velocidade

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118	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades	
 79.	Impuestos	sobre	la	renta	 Consulta el Ejemplo 7 de la pági­
na 110. Su­hua y Ting­Fang Zheng presentaron una declara­
ción de impuestos conjunta. Determina la aportación tribu­
taria que en 2008 Su­hua y Ting­Fang deberán si su ingreso 
gravable es de
 a)	 $78,221. b)	 $301,233. 
 80.	Impuesto	sobre	la	renta	 Ve el ejemplo 7 de la página 110. José 
y Mildred Battiste presentaron una declaración de impuestos 
conjunta. Determina la aportación tributaria que en 2008 José 
y Mildred Battiste deberán si su impuesto sobre la renta es de
 a)	 $128,479. b)	 $275,248. 
Velocidad En física, un objeto que desplaza hacia arriba tiene una 
velocidad positiva (v  0) y un objeto que se desplaza hacia abajo 
tiene una velocidad negativa (v  0). En los ejercicios 81-86, la velo-
cidad, v, esta dada por un objeto t segundos después que se proyecta 
hacia arriba. Usando la notación de intervalo, determina los interva-
los de tiempo cuando el objeto viaja a) hacia arriba o b) hacia abajo.
 81.	v  32t  96, 0  t  10 84.	v  9.8t  31.36, 0  t  6
 82.	v  32t  172.8, 0  t  12 85.	v  32t  320, 0  t  8
 83.	v  9.8t  49, 0  t  13 86.	v  9.8t  68.6, 0  t  5
 87.	Acidez	del	agua	 Thomas Hayward está midiendo la acidez 
del agua en una alberca. La acidez del agua se considera 
normal cuando la lectura del pH promedio de tres medicio­
nes diarias es mayor que 7.2 y menor que 7.8. Si las dos pri­
meras lecturas del pH son 7.48 y 7.15, encuentra el rango de 
valores del pH para la tercera lectura para que la acidez del 
agua resulte normal.
 88.	¿Si a  b, será a2 siempre mayor que b2? Explica y da un 
ejemplo que sustente tu respuesta.
 89.	Póliza	 de	 seguros	 Una póliza de seguro Blue Cross/Blue 
Shield tiene un deducible de $100, a partir del cual cubre 
80% de los gastos médicos, c. El cliente paga 20% hasta que 
ha pagado un total de $500, después del cual la póliza paga 
el 100% de los gastos médicos. Podemos describir la póliza 
como sigue:
Blue	Cross	Paga
0,
0.801c - 1002,
c - 500,
 c … $100
6 c … $2100
c 7 $2100
si 
si $100
si 
 Explica por este conjunto de desigualdades describe el plan 
de pago de Blue Cross/Blue Shield.
 90.	Explica por qué la desigualdad a  bx  c  d no puede ser re­
suelta para x a menos que se proporcione mayor información.
Gráficas	de	crecimiento Los ejercicios 91 y 92 muestran las grá-
ficas de crecimiento para niños entre 0 y 36 meses de edad. En 
general, el percentil enésimo significa que el valor está por arriba 
de n% y por debajo de (100  n)% de los niños medidos. Por 
ejemplo, un niño de 24 meses de edad en el percentil 60 de peso 
pesa más que 60% y menos que 40% que los niños con 24 meses 
de edad.
 91.	La siguiente gráfica muestra los percentiles de peso por edad 
desde el nacimiento hasta 36 meses de edad. La curva gris es 
el percentil 50. La región sombreada se encuentra entre el per­
centil 10 (curva azul oscuro) y el percentil 90 (curva azul claro). 
Esto es, 80% de los pesos se encuentran entre los valores re­
presentados por la curva azul oscuro y la curva azul claro. Usa 
esta gráfica para determinar, en notación de intervalo, dónde 
se encuentra el 80% de los pesos para niños de
 a)	 9 meses. b)	 21 meses. 
 c)	 36 meses. 
Fuente: Centro Nacional de Estadísticas de Salud
3
4
6
8
10
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14
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lb
Edad (meses)
lb
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lb lb
6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
90
50
10
Percentiles de peso por edad:
Niños, de 0 a 36 meses
 92.	La siguiente gráfica muestra los percentiles de peso por edad 
desde el nacimiento hasta los 36 meses de edad. La región 
sombreada se encuentra entre el percentil 10 (curva azul os­
curo) y el percentil 90 (curva azul claro), y 80% de los pesos 
se encuentra en esta región. Usa esta gráfica para determinar, 
en notación de intervalo, dónde se encuentra el 80% de los 
pesos para niñas de
 a)	 9 meses. b)	 21 meses. 
 c)	 36 meses. 
Fuente: Centro Nacional de Estadísticas de Salud
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lb lb
6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
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50
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Percentiles de peso por edad:
Niñas, de 0 a 36 meses
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el
	 Sección	2.6	Solución	de	ecuaciones	y	desigualdades	con	valor	absoluto	 119
Problemas de desafío
 93.	Calculando	calificaciones	 Las primeras cinco notas de Ste­
phen Heasley en Historia Europea fueron 82, 90, 74, 76 y 68. 
El examen final cuenta un tercio para calcular el promedio 
final. El promedio final mayor que o igual a 80 y menor que 
90 resultará en una calificación de B. ¿Qué rango de valo­
res de las notas finales darían por resultado que Stephen 
recibiera una calificación de B en el curso? Asume que una 
máxima puntuación de 100 es posible. 
Ejercicios de repaso acumulados
[1.2] 97.	 Para A  {1,2,6,8,9} y B  {1,3,4,5,8}, encuentra 
 a)	 A  B 
 b)	 A  B 
 98.	 	Para A = e -3, 4, 
5
2
, 27, 0, -
13
29
f indica los ele­
mentos que son
 a)	 números naturales
 b)	 números enteros
 c)	 números racionales
 d)	 números reales
[1.3] Nombre cada propiedad ilustrada.
 99.	 	(3x  8)  4y  3x  (8  4y)
 100. 5x  y  y  5x
[2.2]	 101.	 Despeja la V de la fórmula R  L  (V  D)r.
En los ejercicios 94-96, a) explica cómo resolver la desigualdad, y b) resuelve la desigualdad y da la solución en notación de intervalo.
 94.	x  3x  10  2x 
 95.	x  2x  3  2x  5 
 96.	x  5  x  3  2x  2 
2.6 Solución de ecuaciones y desigualdades con 
valor absoluto
	1 	 Entender	la	interpretación	
geométrica	del	valor	
absoluto.
	2 	 Resolver	ecuaciones	de	la	
forma	|x|		a,	a		0.
	3 	 Resolver	desigualdades	de	
la	forma	|x|		a,	a		0.
	4 	 Resolver	desigualdades	de	
la	forma	|x|		a,	a		0.
	5 	 Resolver	desigualdades	de	
la	forma	|x|		a	o	|x|		a,	
a		0.
	6 	 Resolver	desigualdades	de	
la	forma	|x|		0,	|x|		0,	
|x|		0,	o	|x|		0.
	7 	 Resolver	ecuaciones	de	la	
forma	|x|		|y|.
	1 	Entender	la	interpretación	geométrica	del	valor	absoluto
Valor absoluto
El valor	absoluto de un número x, representado como |x|, es la distancia x con respecto al 
número 0 en la recta numérica.
|3|  3 porque el número 3 está a 3 unidades del 0 en la recta numérica.
|3|  3 porque el número 3 está a 3 unidades del 0 en la recta numérica.
Ahora considera la ecuación |x|  3. Queremos encontrar los valores de x que están 
exactamente a 3 unidades del 0 en la recta numérica. Entonces, las soluciones para |x|  3 
son x  3 y x  3 (ver Figura	2.14a).
Ahora considera la desigualdad |x|  3. Queremos encontrar los valores para x que 
sean menores que 3 unidades con respecto al 0 en la recta numérica. Entonces, las solu­
ciones para |x|  3 son los valores entre 3 y 3 sobre la recta numérica (ver Figura	2.14b). 
Por último, considera la desigualdad |x|  3. Queremos encontrar los valores de x 
que sean mayores que 3 unidades con respecto al 0 en la recta numérica. Entonces, las 
soluciones para |x|  3 son los valores menores que 3 o mayores que 3 sobre la recta 
numérica (ver Figura	2.14c). 
3210�3 �2 �1 3210�3 �2 �13210�3 �2 �1
3
unidades
3
unidades
�x� � 3 �x� � 3 �x� � 3
menor a
3
unidades
menor a
3
unidades
mayor a
3 unidades
mayor a
3 unidades
(a) (b) (c)
FiGura	 2.14
120	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades	
EJEMPLO  1  Resuelve cada ecuación.
 a)	 b)	 c)	 
Solución   
 a)	 Al usar el procedimiento obtenemos x = 2 o x = -2. El conjunto solución es 
 b)	 El único número real cuyo valor absoluto es igual a cero es 0. Por lo tanto, el 
conjunto solución para ƒx ƒ = 0 es 0}. 
 c)	 El valor absoluto de un número nunca es negativo, así que no existen soluciones 
para esta ecuación. El conjunto solución es .
Resuelve ahora el ejercicio 13
EJEMPLO  2  Resuelve la ecuaciónƒ2w - 1 ƒ = 5.
Solución    Buscamos los valores de w tales que 2w  1 esté exactamente a 5 
unidades del 0 en la recta numérica. Por lo tanto, la cantidad 2w  1 debe ser igual 
a 5 o 5.
Verifica
 
 
 
 Verdadero Verdadero
Cada una de las soluciones, 3 y 2, hacen que 2w  1 esté a 5 unidades del 0 en la 
recta numérica. El conjunto solución es {2, 3}.
Resuelve ahora el ejercicio 19
Considera la ecuación ƒ2w - 1 ƒ - 3 = 2. El primer paso en la resolución de esta 
ecuación es aislar el término con el valor absoluto. Hacemos esto sumando 3 a ambos lados 
de la ecuación; esto resulta en la ecuación ƒ2w - 1 ƒ = 5, que resolvimos en el Ejemplo 2.
	3 	Resolver	desigualdades	de	la	forma	x	<	a,	a	>	0
Recordemos nuestra discusión anterior sobre ƒx ƒ 6 3. La solución para ƒx ƒ 6 3 son los va­
lores entre 3 y 3 en la recta numérica (ver figura	2.14b	de la página 119). De forma simi­
lar, las soluciones para x < a son los valores que están entre a y a en la recta numérica.
Utilizaremos los siguientes ejemplos y sus ilustraciones en la recta numérica para desarro­
llar métodos que sirven para resolver ecuaciones y desigualdades que contienen valor absoluto.
	2 	Resolver	ecuaciones	de	la	forma	 x 		a,	a	>	0
Cuando resolvemos una ecuación de la forma x = a, a > 0, encontramos los valores que 
abarcan exactamente a unidades desde el 0 en la recta numérica.
Para	resolver	ecuaciones	de	la	forma  x  = a
Si x  a y a  0, entonces x  a o x  a.
Comprendiendo 
el álgebra
El	valor	absoluto	de	un	núme-
ro	nunca	es	negativo.
o
ƒx ƒ = -2ƒx ƒ = 0ƒx ƒ = 2
 5 = 5 5 = 5
 ƒ -5 ƒ 5 ƒ5 ƒ 5
 ƒ -4 - 1 ƒ 5 ƒ6 - 1 ƒ 5
 ƒ21-22 - 1 ƒ 5 ƒ2132 - 1 ƒ 5
 ƒ2w - 1 ƒ = 5 ƒ2w - 1 ƒ = 5
 w = 3  w = -2
 2w = 6  2w = -4
 2w - 1 = 5 2w - 1 = -5
w = 3	 w = 2
	 Sección	2.6	Solución	de	ecuaciones	y	desigualdades	con	valor	absoluto	 121
Para	resolver	desigualdades	de	la	forma	x < a
Si x  a y a  0, entonces a  x  a.
Para resolver desigualdades de la forma ƒx ƒ 6 a, podemos usar el siguiente 
 procedimiento.
5 643210�4�5�6 �3 �2 �1
2x � 3
FiGura	 2.15
EJEMPLO  3  Resuelve la desigualdad ƒ2x - 3 ƒ 6 5.
Solución    La solución de esta desigualdad será el conjunto de valores tales que la 
distancia entre 2x  3 y 0 en la recta numérica sea menor que 5 unidades (ver Figura	
2.15). Utilizando la Figura	2.15, podemos ver que -5 6 2x - 3 6 5.
EJEMPLO  4  Resuelve la desigualdad ƒ2x + 1 ƒ … 9 y grafica la solución en la 
recta numérica.
Solución    Como esta desigualdad es de la forma ƒx ƒ … a, escribimos
 -9 … 2x + 1 … 9
-10 … 2x … 8
 -5 … x … 4
543210�4�5
4�5
�6 �3 �2 �1
Resuelve ahora el ejercicio 75
EJEMPLO  5  Resuelve la desigualdad ƒ7.8 - 4x ƒ - 5.3 6 14.1 y grafica la solu­
ción en la recta numérica.
Solución    Primero aísla el valor absoluto sumando 5.3 a ambos lados de la des­
igualdad. Después resuelve como en los ejemplos anteriores.
 ƒ7.8 - 4x ƒ - 5.3 6 14.1
 ƒ7.8 - 4x ƒ 6 19.4
 -19.4 6 7.8 - 4x 6 19.4
 -27.2 6 -4x 6 11.6
 
-27.2
-4
7
-4x
-4
7
11.6
-4
 6.8 7 x 7 -2.9 o -2.9 6 x 6 6.8
54 6 7 83210�4
6.8�2.9
�3 �2 �1
El conjunto solución es {x ƒ -2.9 6 x 6 6.8}.
Resuelve ahora el ejercicio 43
	4 	Resolver	desigualdades	de	la	forma	x	>	a,	a	>	0
Recordemos nuestra discusión anterior sobre x  3. las soluciones para x  3 son los va­
lores menores que 3 y mayores que 3 en la recta numérica (ver Figura	2.14c de la página 
119). De forma similar, las soluciones para x  a son los valores que sean menores que 
a o mayores que a en la recta numérica.
Comprendiendo 
el álgebra
En	el	Ejemplo	5,	la	solución
2.9		x		6.8
escrita	en	notación	de	inter-
valo	es
(2.9,	6.8).
Resolviendo, obtenemos -5 6 2x - 3 6 5
 -2 6 2x 6 8
 -1 6 x 6 4
El conjunto solución es {x ƒ -1 6 x 6 4}.
Resuelve ahora el ejercicio 33
122	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades	
Para resolver desigualdades de la forma ƒx ƒ 7 a, podemos usar el siguiente proce­
dimiento.
EJEMPLO  6  Resuelve la desigualdad ƒ2x - 3 ƒ 7 5 y grafica la solución en la 
recta numérica.
Solución    La solución a ƒ2x - 3 ƒ 7 5 es el conjunto de valores tales que la distancia 
entre 2x  3 y 0 en la recta numérica sea mayor que 5 unidades. La cantidad 2x  3 
debe ser menor que 5 o mayor que 5 (ver Figura	2.16).
5 6 7 843210�4�5�6�7�8 �3 �2 �1
2x � 3 2x � 3
FiGura	 2.16
Para	resolver	desigualdades	de	la	forma x > a
Si x > a y a  0, entonces x  a o x  a.
Como	2x  3 debe ser menor que 5 o mayor que 5, establecemos y resolvemos la 
siguiente desigualdad compuesta:
5 7643210�4�5 �3 �2 �1
El conjunto solución para ƒ2x - 3 ƒ 7 5 es {x ƒx 6 -1 o x 7 4}.
Resuelve ahora el ejercicio 51
EJEMPLO  7  Resuelve la desigualdad ƒ2x - 1 ƒ Ú 7 y grafica la solución en la 
recta numérica.
Solución    Como esta desigualdad es de la forma ƒx ƒ Ú a, utilizamos el procedi­
miento dado anteriormente.
5 643210�4�5�6 �3 �2 �1
Resuelve ahora el ejercicio 53
EJEMPLO  8  Resuelve la desigualdad ` 3x - 4
2
` Ú 9 y grafica la solución en la 
recta numérica.
Solución    Como esta desigualdad es de la forma ƒx ƒ Ú a, escribimos
3x - 4
2
… -9 
3x - 4
2
Ú 9
Ahora multiplica ambos lados de cada desigualdad por el mínimo común denomina­
dor, 2. Después resuelve cada desigualdad.
5 10987643210�4�5�7 �6 �3 �2 �1
22
3
14
3�
Resuelve ahora el ejercicio 57
Comprendiendo 
el álgebra
En	el	Ejemplo	7,	cualquier	va-
lor	de	x	menor	que	o	igual	a	
3,	o	mayor	que	o	igual	que	
4,	daría	lugar	a	2x		1,	que	
representa	un	número	que	es	
mayor	que	o	igual	a	7	unida-
des	del	0	en	la	recta	numéri-
ca.	El	conjunto	solución	es		
{xx		3	o	x		4}.	En	nota-
ción	de	intervalo,	la	solución	
es	(q,3][4,q).
o
o
o
o
 x 6 -1 x 7 4
 2x 6 -2  2x 7 8
 2x - 3 6 -5 2x - 3 7 5
 x … -
14
3
 x Ú
22
3
 3x … -14   3x Ú 22
 3x - 4 … -18   3x - 4 Ú 18
  2 a3x - 4
 2 
b … -9 # 2  2 a3x - 4
 2 
b Ú 9 # 2
 x … -3 x Ú 4
 2x … -6 2x Ú 8
 2x - 1 … -7 2 x - 1 Ú 7