Gráficos e Análises Matemáticas

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Sección	3.1	Gráficas	 145
 65. a) Traza los puntos A(2, 7), B(2, 3) y C(6, 3) y después di-
buja AB, AC, y BC. (AB representa el segmento de recta 
de A a B).
 b) Determina el área de la figura.
 66. a)	 Traza los puntos A(4, 5), B(2, 5), C(2, 3) y D(4, 3), y 
después dibuja AB, BC, CD y DA.	
 b) Determina el área de la figura.
 67. Viaje de Inglaterra a Estados Unidos La siguiente gráfica 
muestra el número de pasajeros que viajaron en barco de 
Inglaterra a Estados Unidos en periodos de 5 años desde 
1890 hasta 1959.
 c) ¿Durante qué periodo de 5 años el número de pasajeros 
fue mayor a 1,000,000?
 d) ¿Esta gráfica parece ser lineal?
 68. Temperatura en Scotland La siguiente gráfica muestra la 
temperatura promedio por mes en grados Celsius en Glas-
gow, Scotland.
Relaciona los ejercicios 69-72 con la gráfica correspondiente de altura sobre el nivel del mar en función del tiempo, rotuladas como a-d.
Fuente: Lista de pasajeros BT27 de findmypast.com
Viaje en barco de Inglaterra a Estados Unidos, 1890-1959
N
úm
er
o 
de
 p
as
aj
er
os
Periodos de 5 años
0
200,000
1890-
1894
400,000
600,000
800,000
1,000,000
1,200,000
1,400,000
1,600,000
1895-
1899
1900-
1904
1905-
1909
1910-
1914
1915-
1919
1920-
1924
1925-
1929
1930-
1934
1935-
1939
1940-
1944
1945-
1949
1950-
1954
1955-
1959
 71. Mary Beth Headlee caminó por 5 minutos a nivel de suelo. 
Los siguientes 5 minutos escaló una pequeña colina. Luego 
caminó a nivel de suelo por 5 minutos. Los 5 minutos si-
guientes escaló una colina empinada. Durante los últimos 
10 minutos descendió uniformemente hasta que alcanzó la 
altura a la que comenzó.
 72. Don Ransford caminó a nivel de suelo por 5 minutos. Des-
pués descendió una colina empinada por 10 minutos. Los si-
guientes 5 minutos caminó a nivel de suelo. Después caminó 
5 minutos de regreso a su altura inicial. Los últimos 5 minutos 
caminó a nivel de suelo.
 69. Nancy Johnson comenzó subiendo una colina empinada por 
5 minutos. Los siguientes 5 minutos descendió de la colina 
hasta una altura menor que su punto inicial. Los siguientes 
10 minutos caminó a nivel de suelo y los últimos 10 minutos 
subió una pequeña colina hasta llegar a la altura inicial.
 70. James Condor comenzó subiendo una colina por 5 minutos. 
Los siguientes 10 minutos descendió de la colina hasta una 
altura igual a la altura inicial. Los siguientes 10 minutos ca-
minó a nivel de suelo y los últimos 5 minutos descendió una 
colina.
 a) Estima la temperatura promedio en Febrero.
 b) Estima la temperatura promedio en Julio.
 c) ¿Durante qué meses la temperatura promedio fue mayor 
a 10 °C?
 d) ¿Esta gráfica parece ser lineal?
 a) Estima el número de pasajeros durante 1895-1899.
 b) Estima el número de pasajeros durante 1955-1959.
Tiempo (min.)
(a)
A
lt
ur
a 
(p
ie
s)
300
250
200
150
100
50
5 10 15 20 3025
0
0
Tiempo (min.)
(b)
A
lt
ur
a 
(p
ie
s)
300
250
200
150
100
50
5 10 15 20 3025
0
0
Tiempo (min.)
(c)
A
lt
ur
a 
(p
ie
s)
300
250
200
150
100
50
5 10 15 20 3025
0
0
Tiempo (min.)
(d)
A
lt
ur
a 
(p
ie
s)
300
250
200
150
100
50
5 10 15 20 3025
0
0
Fuente: www.wunderground.com
Temperaturas medias mensuales registradas en Glasgow, Scotland
G
ra
do
s 
C
el
si
us
Mes
0
Ene. Feb. Mar. Abr. May Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
5�C
10�C
15�C
146	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Relaciona los ejercicios 77-80 con la gráfica correspondiente de velocidad contra tiempo, rotuladas como a-d.
 73. Para ir al trabajo, Donna Clark conduce 10 minutos por un 
camino rural, después conduce por una carretera durante 12 
minutos y por último conduce en el tráfico de la ciudad por 
8 minutos.
 74. Para ir al trabajo, Bob Plough conduce 5 minutos en el trá-
fico de la ciudad, después conduce por la autopista durante 
20 minutos y por último conduce en el tráfico de la ciudad 
por 5 minutos.
Tiempo desde el inicio (min.)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
)
50
60
70
40
30
20
10
5 10 15 20 3025
0
0
(a)
Tiempo desde el inicio (min.)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
)
50
60
70
40
30
20
10
5 10 15 20 3025
0
0
(b)
 75. Para ir al trabajo, Ron Breitfelder camina 3 minutos, espera 
5 minutos el tren, viaja en él por 15 minutos y por último 
camina 7 minutos.
 76. Para ir al trabajo, Kim Ghiselin conduce su bicicleta colina 
arriba por 10 minutos, después conduce 15 minutos colina 
abajo y por último conduce a nivel de calle por 5 minutos.
Tiempo desde el inicio (min.)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
)
50
60
70
40
30
20
10
5 10 15 20 3025
0
0
(c)
Tiempo desde el inicio (min.)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
)
50
60
70
40
30
20
10
5 10 15 20 3025
0
0
(d)
Relaciona los ejercicios 73-76 con la gráfica correspondiente de velocidad contra tiempo, rotuladas como a-d.
 77. Christina Dwyer camina 5 minutos para calentar, trota 20 
minutos y después camina 5 minutos para enfriarse.
 78. Annie Droullard fue a dar un paseo en bicicleta a una velo-
cidad constante durante 30 minutos.
Tiempo (min.)
(a)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
) 5
3
4
2
1
5 10 15 20 3025
0
0
Tiempo (min.)
(b)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
) 5
3
4
2
1
5 10 15 20 3025
0
0
 79. Michael Odu fue a caminar 30 minutos por su vecindario. Se 
detuvo brevemente en 7 ocasiones para levantar basura.
 80. Richard Dai caminó por su vecindario y se detuvo 3 veces 
para conversar con sus vecinos. En total estuvo fuera de su 
casa 30 minutos.
Tiempo (min.)
(c)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
) 5
3
4
2
1
5 10 15 20 3025
0
0
Tiempo (min.)
(d)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
) 5
3
4
2
1
5 10 15 20 3025
0
0
	 Sección	3.1	Gráficas	 147
y = 2x3 - 6x2 - 1y = x3 - 2x + 4y = -x2 + 16
y = x2 - 2x - 8y =
1
3
x + 2y = 2x - 3
y =
1
2
 x - 4y =
1
2
 x, y =
1
2
 x + 3,
y =
1
2
 x.
Relaciona los ejercicios 81-84 con la gráfica correspondiente de distancia recorrida contra tiempo, rotuladas como a-d. Recuerda del 
capítulo 2 que distancia  velocidad  tiempo. Las distancias seleccionadas están indicadas en las gráficas.
 81. El tren A viaja a una velocidad de 40 mph durante 1 hora, 
después a 80 mph durante 2 horas y por último a 60 mph 
durante 3 horas.
 82. El tren C viaja a una velocidad de 80 mph durante 2 horas, 
después permanece en una estación durante 1 hora y luego 
viaja a 40 mph durante 3 horas.
Tiempo (horas)
D
is
ta
nc
ia
 (
m
ill
as
)
250
300
350
400
200
150
100
50
2 4 61 3 5
160
160
280
0
0
(a)
Tiempo (horas)
D
is
ta
nc
ia
 (
m
ill
as
)
250
300
350
400
200
150
100
50
2 4 61 3 5
40
200
380
0
0
(b)
 83. El tren B viaja a una velocidad de 20 mph durante 2 horas, 
después a 60 mph durante 3 horas y por último a 80 mph 
durante 1 hora.
 84. El tren D viaja a 30 mph durante 1 hora, después a 65 mph 
durante 2 horas y por último a 30 mph durante 3 horas.
Tiempo (horas)
D
is
ta
nc
ia
 (
m
ill
as
)
250
300
350
400
200
150
100
50
2 4 61 3
250
30
160
5
0
0
(c)
Tiempo (horas)
D
is
ta
nc
ia
 (
m
ill
as
)
250
300
350
400
200
150
100
50
2 4 61 3 5
40
300
220
0
0
(d)
 Usa una calculadora graficadora para graficar cada función. Asegúrate de seleccionar valores para la ventana que mostrará la curvatu-
ra de la gráfica. Después, si tu calculadora puede elaborar tablas, realiza una tabla en donde los valores de x vayan de 0 a 6.
 85. 86. 87. 
 88. 89. 90. 
Problemas de desafío
Discutiremos muchos de los conceptos introducidos en los ejercicios 91-98 de la sección 3.4.
 91. Grafica y  x  1, y  x  3, y y  x  1 en el mismo plano 
cartesiano.
 a) ¿Qué es lo que observas en las gráficas de las ecuaciones 
y en los valores donde la gráfica intersecta el eje y?
 b) ¿Todas las gráficas parecen tener la misma inclinación (o 
pendiente)?
 92. Grafica y en el mismo 
plano cartesiano.
 a) ¿Qué es lo que observas en las gráficas de las ecuaciones 
y en los valores donde la gráfica intersecta el eje y?
 b) ¿Todas las gráficas parecen tener la misma inclinación(o 
pendiente)?
 93. Grafica y  2x. Determina la razón de cambio de y con res-
pecto a x. Es decir, por cuantas unidades cambia y compara-
da con cada unidad que cambia x.
 94. Grafica y  4x. Determina la razón de cambio de y con res-
pecto a x.
 95. Grafica y  3x  2. Determina la razón de cambio de y con 
respecto a x.
 96. Grafica Determina la razón de cambio de y con 
respecto a x.
 97. El par ordenado (3, 7) representa un punto en la gráfica 
de una ecuación lineal. Si y aumenta 4 unidades por cada 
unidad aumentada en x en la gráfica, determina otras dos 
soluciones para la ecuación.
 98. El par ordenado (1, 4) representa un punto en la gráfica 
de una ecuación lineal. Si y aumenta 3 unidades por cada 
unidad aumentada en x en la gráfica, determina otras dos 
soluciones para la ecuación.
148	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
-b + 3b2 - 4ac
2a
3x + 2 ƒƒ 7 7.
-1 …
4 - 3x
2
6 5.
x = y2 + 2y = ƒx - 2 ƒ
Ahora considera la ecuación y  2x  3. Algunos pares ordenados que satisfacen 
esta ecuación son (2, 1), (1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), etcétera.
Actividad de grupo
Discute y trabaja los ejercicios 101-102 con tu grupo.
 101. a) Integrante 1 del grupo: traza los puntos (2, 4) y (6, 8). 
Determina el punto medio del segmento de línea que co-
necta a estos puntos.
 Integrante 2 del grupo: sigue las instrucciones anteriores 
para los puntos (3, 2) y (5, 6).
 Integrante 3 del grupo: sigue las instrucciones anteriores 
para los puntos (4, 1) y (2, 4).
 b) En grupo, determinen una fórmula para el punto medio 
del segmento de línea que conecta a los puntos (x1, y1) y 
(x2, y2). (Nota: se discutirá la fórmula para el punto medio 
en el capítulo 10).
 102. Los tres puntos en un paralelogramo son A(3, 5), B(8, 5), y 
C(1, 3).
 a) De manera individual determinen un cuarto punto D que 
complete el paralelogramo.
 b) De manera individual calculen el área de su paralelogramo.
 c) Comparen sus respuestas. ¿Todos obtuvieron la misma 
respuesta? Si no es así, ¿cuál fue la razón?
 d) ¿Existe más de un punto que pueda ser usado para com-
pletar el paralelogramo? Si es así, den los puntos y deter-
minen las áreas correspondientes de cada paralelogramo.
Ejercicios de repaso acumulados
[2.2] 103. Evalúa para a  2, b  7, y 
 c  15.
[2.3]	 104. Renta de un automóvil Automóviles en renta Hertz 
cobra una cuota diaria de $60 más 10¢ por milla. La 
Agencia Nacional de Renta de Automóviles cobra 
una cuota diaria de $50 más 24¢ por milla por el mis-
mo auto. ¿Qué distancia tendrías que conducir en 
un día para hacer el costo de renta de Hertz igual al 
costo de renta de la Agencia Nacional?
[2.5]	 105. Resuelve la desigualdad Escribe 
la solución en notación constructiva de conjuntos. 
[2.6] 106. Determina el conjunto solución para la desigualdad 
Grafica cada ecuación.
 99. 100. 
3.2 Funciones
	 1 	 Entender	las	relaciones.
	2 	 Reconocer	funciones.
	3 	 Uso	de	la	prueba	de	la	
línea	recta	vertical.
	 4 	 Entender	notación	de	
funciones.
	5 	 Aplicación	de	las	
	funciones	en	la	vida	
diaria.
	1 	Entender	las	relaciones
Con frecuencia encontramos que una cantidad está relacionada con otra cantidad. Por 
ejemplo, la cantidad que gastas en naranjas está relacionada con el número de naranjas 
que compras.
Supón que las naranjas cuestan 30 centavos cada una. Entonces una naranja cuesta 
30 centavos, dos naranjas cuestan 60 centavos, tres naranjas cuestan 90 centavos, etc. Los 
pares ordenados que representan esta situación son (1, 30), (2, 60), (3, 90), etc. Una ecua-
ción que representa esta situación es
C=30n
El costo de las naranjas 
depende del número 
de naranjas compradas. 
Por lo tanto, el costo 
es la variable dependiente.
El número de naranjas 
es la variable 
independiente.
	 Sección	3.2	Funciones	 149
Comprendiendo 
el álgebra
En	una	relación	(o	función),	
el	conjunto	de	valores	para	
la	variable	independiente	se	
llama	dominio.	El	conjunto	
de	valores	para	la	variable	
dependiente	se	llama	rango.
Como la ecuación y  2x  3 se puede representar como un conjunto de pares ordenados, 
es una relación.
	2 	Reconocer	funciones
Ahora trabajaremos con funciones, uno de los conceptos más importantes en matemáticas.
Variable dependiente e independiente
Para una ecuación con las variables x y y, si el valor de y depende del valor de x, entonces 
y es la variable dependiente y x es la variable independiente.
Debido a que las cantidades relacionadas se pueden representar como pares ordenados, el 
concepto de relación se puede definir de la siguiente manera.
y=2x+3
El valor de y 
depende del valor 
de x. Por lo tanto, y 
es la variable dependiente.
x es la 
variable 
independiente
Relación, dominio, rango
Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados de la forma (x, y). El conjunto de 
coordenadas x se llama el dominio de la relación. El conjunto de coordenadas y se llama el 
rango de la relación.
Función
Una función es una relación en la que cada elemento del dominio corresponde exactamen-
te a un elemento del rango.
Considera las naranjas que cuestan 30 centavos cada una que discutimos anteriormen-
te. Podemos ilustrar el número de naranjas y el costo de las naranjas usando la Figura 3.21.
1
2
3
4
5
30
60
90
120
150
Número de
naranjas, n
El dominio es el conjunto 
{1, 2, 3, 4, 5, ...}
El rango es el conjunto 
{30, 60, 90, 120, 150, ...}
Correspondencia
c � 30n
Costo de las naranjas, 
C (centavos)
… …
FiGura	 3.21	 	
Observa que cada número en el conjunto de número de naranjas, n, corresponde a 
(o se asocia con) exactamente un número en el conjunto de costo de las naranjas, C. Por lo 
tanto, esta correspondencia es una función.
EJEMPLO  1  Determina si cada correspondencia es una función.
 a) b) c) 
Correspondencia
Dominio Rango
1 1
2 4
3 9
catarina
grillo insecto
águila pájaro
halcón
JCPenney Dallas
Milwaukee
Sears Chicago
150	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Recuerda la ecuación y  2x  3 que vimos en la página 148. Algunos pares orde-
nados que satisfacen esta ecuación son (2, 1), (1, 1), (0, 3), (1, 5) y (2, 7). Observa que 
cada valor de x proporciona un valor único de y. Por lo tanto, la ecuación y  2x  3 no es 
solo una relación sino que también es una función.
	3 	Uso	de	la	prueba	de	la	línea	recta	vertical
Función
Una función es un conjunto de pares ordenados en los cuales no se repite la primera 
coordenada.
Los dos conjuntos de pares ordenados en el ejemplo 2 incisos a) y b) se grafican en las Figu-
ras 3.22a y 3.22b, respectivamente. Observa que en la función de la Figura 3.22a no es posible 
dibujar una línea recta vertical que intersecte dos puntos. En la Figura 3.22b podemos dibu-
jar una línea recta vertical que pase por los puntos (3, 1) y (3, 5). Esto muestra que cada valor 
x no corresponde a exactamente un valor y, y la gráfica no representa una función.
Gráfica de una función o una relación
La gráfica de una función o una relación es la gráfica de su conjunto de pares ordenados.
�1
5
7
6
4
3
2
1
5421�3 �2 �1
y
x
(b) Segundo conjunto de pares
ordenados
No es una función
�1
5
7
6
4
3
2
1
54321�3 �2 �1
y
x
(a) Primer conjunto de pares
ordenados
Función
FiGura	 3.22	 	
Solución
 a) Para que una correspondencia sea función, cada elemento del dominio debe co-
rresponder exactamente con un elemento del rango. Aquí el dominio es {1, 2, 3} 
y el rango es {1, 4, 9}. Como cada elemento del dominio corresponde exacta-
mente a un elemento del rango, esta correspondencia es una función.
 b)	Aquí el dominio es {catarina, grillo, águila, halcón} y el rango es {insecto, pája-
ro}. Aunque el dominio tiene cuatro elementos y el rango tiene dos elementos, 
cada elemento en el dominio corresponde exactamente a un elemento en el ran-
go. Entonces, esta correspondencia es una función.
 c)	Aquí el dominio es {JCPenney, Sears} y el rango es {Dallas, Milwaukee, Chica-
go}. Observa que JCPenney corresponde a Dallas y a Milwaukee. Entonces, 
cadaelemento del dominio no corresponde a exactamente un elemento del ran-
go. Por lo tanto, esta correspondencia es una relación pero no una función.
Resuelve ahora el ejercicio 17
EJEMPLO  2  Indica el dominio y el rango, después determina si la relación es 
una función.
 a) {(1, 4), (2, 3), (3, 5), (1, 3), (0, 6)} 
 b) {(1, 3), (4, 2), (3, 1), (2, 6), (3, 5)} 
Solución
 a) El dominio es {1, 2, 3, 1, 0} y el rango es {4, 3, 5, 6}. Observa que cuando es-
cribimos el rango solo incluimos el número 3 una vez, aunque aparece en ambos, 
(2, 3) y (1, 3). Cada número del dominio corresponde exactamente a un núme-
ro del rango. Por ejemplo, el 1 en el dominio corresponde únicamente al 4 en el 
rango, etc. Debido a que ningún valor de x corresponde a más de un valor de y, 
esta relación es una función.
 b) El dominio es {1, 4, 3, 2} y el rango es {3, 2, 1, 6, 5}. Como los pares ordenados 
(3, 1) y (3, 5) tienen la misma primera coordenada y diferente segunda coordena-
da, cada valor en el dominio no corresponde exactamente a un valor en el rango. 
Por lo tanto, esta relación no es una función.
Resuelve ahora el ejercicio 23
El ejemplo 2 nos lleva a una definición alternativa de función.