Gráficas y Funciones

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184	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Prueba de mitad de capítulo: 3.1-3.4
Para determinar tu comprensión del material que se ha abordado hasta este momento, resuelve esta pequeña prueba. Las respuestas, y la sec-
ción en la que se trató el tema por primera vez, se proporcionan al final del libro. Revisa las preguntas que respondiste de manera incorrecta.
y = 5
x = -4x + 3y = -3
{11, 52, 12, -32, 17, -12, 1-5, 62}
y = 2x - 4y = ƒx ƒ - 4
y = -x2 + 3y = 3x + 2
m =
y - y1
x - x1
 12. Escribe la ecuación 7(x + 3) + 2y = 3(y – 1) + 18 en forma 
estándar.
Grafica cada ecuación de los ejercicios 13-15.
 13. 14. 
 15. 
 16. Utilidad La utilidad diaria, en dólares, de una compañía de 
zapatos es p(x)  30x  660, donde x es el número de pares 
de zapatos producidos y vendidos.
 a) Elabora una gráfica de utilidad contra el número de pa-
res de zapatos vendidos (hasta 40 pares).
 b) Determina el número de pares de zapatos que deben 
venderse para que la compañía recupere los gastos.
 c) Determina el número de pares de zapatos que deben 
venderse para que la compañía tenga una utilidad diaria 
de $360.
 17. Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos 
(9,2) y (7, 8).
 18. Escribe la ecuación de la recta dada en la siguiente gráfica.
3
2
1
4
5
6
3
2
y
x1
1
2 3 43 2 1
 19. Escribe la ecuación 3x  2y  18 en la forma pendiente-
intersección. Determina la pendiente y el valor que inter-
secta el eje y.
 20. Si la gráfica de y  5x  3 se desplaza 4 unidades hacia 
arriba, determina
 a) la pendiente de la gráfica desplazada.
 b) el valor que intersecta el eje y de la gráfica desplazada.
 c) la ecuación de la gráfica desplazada.
 1. ¿En qué cuadrante se encuentra localizado el punto (3.5, 
4.2)?
Grafica cada ecuación de los ejercicios 2-5.
 2. 3. 
 4. 5. 
 6. a) ¿Qué es una relación?
 b) ¿Qué es una función?
 c) ¿Toda relación es una función? Explica.
 d) ¿Toda función es una relación? Explica.
En los ejercicios 7-9, determina cuáles de las siguientes relacio-
nes son también funciones. Escribe el dominio y el rango de 
cada relación o función.
 7. 
 8. 
3
2
1
4
3
2
y
x
4
1
1
2 3 434 2 1
 
 
 
 9. 
3
2
1
4
3
2
y
x
4
1
1
2 3 434 2 1
 
 
 10. Si g(x)  2x2  8x  13, determina g(2).
 11. La altura, h, en pies de una manzana que es lanzada desde 
el techo de un edificio es
h(t)  6t2  3t  150
 donde t es el tiempo en segundos. Determina la altura de la 
manzana 3 segundos después de que se lanzó.
	1 	Entender	la	forma	punto-pendiente	
de	una	ecuación	lineal
La forma punto-pendiente de una recta se utiliza para deter-
minar la ecuación de una recta cuando se conoce la pendiente y 
un punto de la recta. La forma punto-pendiente puede desarro-
llarse a partir de la ecuación para la pendiente entre dos puntos 
(x, y) y (x1, y1) en la recta, como se muestra en la Figura 3.58.
	FiGura	 3.58
y
y1
xx1
x
y
y � y1
x � x1
(x1, y1)
(x, y1)
(x, y)
3.5 La forma punto-pendiente de una ecuación lineal
	 1 	 Entender	la	forma	punto-
pendiente	de	una	ecua-
ción	lineal.
	 2 	 Utilizar	la	forma	punto-
pendiente	para	construir	
modelos	a	partir	de	
gráficas.
	 3 	 Reconocer	rectas	paralelas	
y	perpendiculares.
	 Sección	3.5	La	forma	punto-pendiente	de	una	ecuación	lineal	 185
Forma punto-pendiente
La forma punto-pendiente de una ecuación lineal es
y – y1 = m(x  x1)
donde m es la pendiente de la recta y (x1, y1) es un punto específico de la recta.
EJEMPLO  1  Escribe, en la forma pendiente-intersección, la ecuación de la recta 
que pasa por el punto (1, 4) y cuya pendiente es 3.
Solución  Al conocer un punto específico y la pendiente de la recta, podemos 
escribir la ecuación en la forma punto-pendiente. Entonces podemos despejar y de la 
ecuación para escribir la ecuación de la forma pendiente-intersección. La pendiente 
es 3 y el punto de la recta es (1, 4), por lo que tenemos m  3, x1  1 y y1  4.
y-y
1
=m(x-x
1
)
y-4=–3(x-1)
y-4=–3x+3
y=–3x+7
Forma punto-pendiente
Propiedad distributiva
Forma pendiente-intersección
La gráfica de y  3x  7 tiene una pendiente de 3 y pasa por el punto (1, 4).
Resuelve ahora el ejercicio 5
La forma punto-pendiente puede ser utilizada para determinar la ecuación de una 
recta cuando se nos dan dos puntos en ella. En el ejemplo 2 mostramos cómo hacer esto.
EJEMPLO  2  Escribe, en la forma pendiente-intersección, la ecuación de la recta 
que pasa por los puntos (2, 3) y (1, 4). 
Solución Aunque no se nos dio la pendiente de la recta, podemos usar los dos 
puntos dados para determinarla. Después podemos proceder como lo hicimos en el 
ejemplo 1. Hacemos que (2, 3) sea (x1, y1) y (1, 4) sea (x2, y2).
La pendiente, m, es 1. Ahora elegimos uno de los dos puntos dados para utilizar 
como (x1, y1) en la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta. Selecciona-
mos (2, 3). Tenemos que m  1, x1  2 y y1  3.
y-y
1
=m(x-x
1
)
y-3=–1(x-2)
y-3=–x+2
y=–x+5
Forma punto-pendiente
Propiedad distributiva
Forma pendiente-intersección
La gráfica de y  x  5 se muestra en la Figura 3.59. Observa que la intersección 
con el eje y de esta recta es en 5, la pendiente es 1 y la recta pasa por los puntos 
(2, 3) y (1, 4).
Resuelve ahora el ejercicio 11
Comprendiendo 
el álgebra
Formas	de	una	ecuación	lineal:
	 1.	 Forma	estándar
ax		by		c 
	 2.	 Forma	pendiente-inter-
sección
y		mx		b 
	 3.	 Forma	punto-pendiente
y  y1		m(x		x1)	
Multiplicando ambos lados de la ecuación por x  x1, obtenemos
y  y1  m(x  x1) 
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	usamos	la	fórmula	
punto-pendiente	y	debemos	
escoger	alguno	de	los	puntos,	
podemos	escoger	cualquiera	
de	los	puntos	dados.	Intenta-
mos	escoger	aquel	punto	que	
facilite	realizar	los	cálculos.	
FiGura	 3.59
(1, 4)
(2, 3)
y � �x � 5
765431 2�3�2�1
�3
�2
�1
6
7
5
4
3
2
1
x
y
m =
y2 - y1
x2 - x1
=
4 - 3
1 - 2
=
1
-1
= -1
186	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
	2 	Utilizar	la	forma	punto-pendiente	para	construir	
	modelos	a	partir	de	gráficas
Ahora veamos una aplicación en la cual utilizamos la forma punto-pendiente para deter-
minar una función que modele una situación dada.
EJEMPLO  3  Quema de calorías El número de calorías quemadas en 1 hora de 
conducir bicicleta es una función lineal de la velocidad de la bicicleta. Una persona 
que conduce a 12 mph quemará alrededor de 564 calorías en 1 hora y si conduce a 18 
mph quemará alrededor de 846 calorías en 1 hora. Esta información se muestra en la 
Figura 3.60.
Fuente: Asociación Americana del Corazón
0
200
400
600
800
1000
1200
0 3 6 9 12 15 18 21 24
Millas por hora
C
al
or
ía
s 
qu
em
ad
as
po
r 
ho
ra
Calorías quemadas mientras
se conduce una bicicleta
r
C
(12, 564)
(18, 846)
FiGura	 3.60
 a) Determina una función lineal que pueda utilizarse para estimar el número de 
calorías, C, quemadas en 1 hora cuando una bicicleta se conduce a r mph, para 
6  r  24.
 b) Utiliza la función determinada en el inciso a) para estimar el número de calorías 
quemadas en 1 hora cuando se conduce una bicicleta a 20 mph.
 c) Utiliza la función determinada en el inciso a) para estimar a qué velocidad debe 
conducirse una bicicleta para quemar 800 calorías en 1 hora.
Solución   
 a) Entiende	y	traduce Usaremos las variables r (para velocidad) y C (para calo-
rías) en lugar de x y y, respectivamente. Para determinar la función necesaria 
utilizaremos los puntos (12 564) y (18 846), y procedemos como en el ejemplo 
anterior. Primero se debe calcular la pendiente y después utilizaremos la forma 
punto-pendiente para determinar la ecuación de la recta.
 realiza	los	cálculos
Ahora escribimos la ecuación por medio de la forma punto-pendiente. Seleccio-
namos el punto (12 564) para (r1, C1).
 C  C1  m(r  r1) 
 C  564  47(r  12) Forma punto-pendiente
 C  564  47r  564 
 C  47r Forma pendiente-intersección
responde	 Como el número de calorías quemadas, C, es una función de la ve-
locidad, r, la función que buscamos esC(r)  47r 
 b) Para estimar el número de calorías quemadas en 1 hora mientras se conduce a 
20 mph, sustituimos 20 por r en la función.
 C(r)  47r 
 C(20)  47(20)  940 
Por lo tanto, cuando se conduce a 20 mph durante 1 hora se queman 940 calorías.
=
846 - 564
18 - 12
=
282
6
= 47
m =
C2 - C1
r2 - r1
	 Sección	3.5	La	forma	punto-pendiente	de	una	ecuación	lineal	 187
Comprendiendo 
el álgebra
El	producto	de	un	número	
diferente	de	cero,	a,	y	su	
recíproco	negativo,	 	es	
siempre	1.
800
47
= r
800 = 47r
m1
# m2 =
2
3
# a -  
3
2
b = -1
-  
3
2
.
m2 =
-2 - 4
2 - 1-22 =
-6
4
= -  
3
2
2
3
.
m1 =
4 - 2
3 - 0
=
2
3
-  
1
2
.
-1
2
-  
1
a
.
-1
a
aa -  
1
a
b = -1
-  
1
a
 c) Para estimar la velocidad a la que debe conducirse una bicicleta para quemar 800 
calorías en 1 hora, sustituimos 800 por C(r) en la función.
C(r)  47r 
r  17.02 
Para que la persona que conduce una bicicleta queme 800 calorías en 1 hora, se 
requiere una velocidad de 17.02 mph.
Resuelve ahora el ejercicio 53
En el ejemplo 3, la función que se obtuvo fue C(r) = 47r. La gráfica de esta función 
tiene una pendiente de 47 e intersecta el eje y en (0, 0). Si la gráfica en la Figura 3.60 de la 
página 186 se extendiera a la izquierda, intersectaría el origen. Esto tiene sentido ya que una 
velocidad de 0 millas por hora tendría como resultado que se quemasen 0 calorías.
	3 	Reconocer	rectas	paralelas	y	perpendiculares
La Figura 3.61 ilustra dos rectas paralelas.
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Cualquiera de las dos rectas 
verticales son paralelas entre sí.
Todas las rectas verticales son paralelas aunque su pendiente es indefinida. 
La Figura 3.62 ilustra rectas perpendiculares. Dos rectas son perpendiculares cuando 
se intersectan en ángulos rectos (90°).
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocos negativos. Cualquier 
recta vertical es perpendicular a cualquier recta horizontal.
Para cualquier número a diferente de cero, su recíproco negativo es o Por 
ejemplo, el recíproco negativo de 2 es o El producto de cualquier número diferen-
te de cero y su recíproco negativo es 1.
EJEMPLO  4  Dos puntos en la recta l1 son (0, 2) y (3, 4). Dos puntos en la recta 
l2 son (2, 4) y (2, 2). Por comparación de las pendientes, determina si l1 y l2 son 
rectas paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas.
Solución  Primero, determinamos la pendiente m1 de l1.
Por lo tanto, la pendiente de la primera recta es Ahora, determina la pendiente 
m2 de l2.
Por lo tanto, la pendiente de la segunda recta es Como las pendientes no son 
iguales, las rectas no son paralelas. Las pendientes son recíprocos negativos entre sí. 
Observa que
Como las pendientes son recíprocos negativos entre sí, las rectas son perpendiculares.
Resuelve ahora el ejercicio 15
Comprendiendo 
el álgebra
	 •	 Las	rectas	paralelas	nunca	
se	intersectan	y	tienen	la	
misma	pendiente.
	 •	 Las	rectas	perpendicu-
lares	se	intersectan	en	
ángulos	rectos	y	tienen	
pendientes	que	son	
recíprocos	negativos.
x
y
l1
l2
 Rectas paralelas
FiGura	 3.61
FiGura	 3.62
x
y
l2
l1
 Rectas perpendiculares
188	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
 b) Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocos negativos. 
Sabemos que la pendiente de la recta es Por lo tanto, la pendiente de la 
recta perpendicular deber ser o 2. La recta perpendicular a la línea dada 
tiene una intersección con el eje y en 5. Por lo tanto, la ecuación es
y  2x  5. 
La Figura 3.63 también muestra la gráfica de y = 2x + 5 (en gris).
Resuelve ahora el ejercicio 35
EJEMPLO  6  Considera la ecuación 5y  10x  7.
 a) Determina la ecuación de la recta que pasa por que es perpendicular a la 
gráfica de la ecuación dada. Escribe la ecuación en forma estándar.
 b) Escribe la ecuación que se determinó en el inciso a) mediante el uso de la nota-
ción de función.
EJEMPLO  5  Considera la ecuación 2x  4y  8. Determina la ecuación de la 
recta que intersecta al eje y en 5 y si es a) paralela a la recta dada y b) perpendicular 
a la recta dada.
Solución
 a) Si conocemos la pendiente, m, de una recta y su intersección con el eje y, (0, b) 
podemos utilizar la forma pendiente-intersección, y  mx  b, para escribir la 
ecuación. Empezamos despejando y de la ecuación dada.
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Por lo tanto, la pen-
diente de la recta paralela a la línea dada deber ser Como su pendiente es 
y su intersección con el eje y es 5, la ecuación de la recta es
Las gráficas de 2x + 4y  8 (en azul) y (en azul claro) se mues-
tran en la Figura 3.63.
�3
�2
�1
5
7
6
3
2
1
1211109876432
2
1
1
�4 �3 �2 �1 x
y
y � � x � 5
y � 2x � 5
2x � 4y � 8
FiGura	 3.63
a4,
1
3
b
-1
-  
1
2
-  
1
2
.
y = -  
1
2
 x + 5
y = -  
1
2
 x + 5.
-  
1
2
-  
1
2
.
y = -  
1
2
 x + 2
y =
-2x + 8
4
 4y = -2x + 8
 2x + 4y = 8
	 Sección	3.5	La	forma	punto-pendiente	de	una	ecuación	lineal	 189
Solución 
 a) Determina la pendiente de la recta dada despejando y de la ecuación.
Como la pendiente de la recta dada es 2, la pendiente de una recta perpen-
dicular a ella debe ser el recíproco negativo de 2, que es La recta cuya ecua-
ción buscamos debe pasar por el punto , y su pendiente es . Por medio de 
la forma punto-pendiente, obtenemos
 Forma punto-pendiente
Ahora multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denomi-
nador, 6, para eliminar las fracciones.
Escribimos la ecuación en forma estándar.
 Forma estándar
Observa que 3x  6y  10 también es una respuesta aceptable. La Figura 3.64 mues-
tra la gráfica de la ecuación dada, 5y  10x  7 (en azul) y la gráfica de la ecuación 
de la recta perpendicular, -3x  6y  10 (en gris).
 b) Para escribir la ecuación utilizando la notación de función, despejamos y de la 
ecuación determinada en el inciso a) y luego remplazamos y con ƒ(x).
Te dejaremos demostrar que la función es 
Resuelve ahora el ejercicio 39
La tabla siguiente resume las tres formas de una ecuación lineal que hemos estudia-
do y menciona cuándo puede ser útil cada una.
�4
�3
�1
4
3
2
1
1
5 643
3
�2 �1 x
y
5y � �10x � 7
�3x � 6y � �10
(4, )
FiGura	 3.64
Formas	de	las	ecuaciones	lineales	
Forma	general: Se utiliza para graficar una ecuación lineal al encontrar las 
intersecciones de una gráfica.
Forma	pendiente-
intersección:
Se utiliza para determinar la pendiente e intersección con el eje y.
Se utiliza para determinar la ecuación de una recta dada su 
pendiente y la intersección con el eje y.
Se utiliza para determinar si dos rectas son paralelas o per-
pendiculares.
Se utiliza para graficar la ecuación lineal usando la pendiente 
y la intersección con el eje y.
Forma	punto-	
pendiente:
Se utiliza para determinar la ecuación de una recta cuando se 
da la pendiente y un punto (x1, y1) en la recta. 
 Se utiliza para determinar la ecuación de una recta cuando se 
dan dos puntos de ella.
f1x2 =
1
2
 x -
5
3
.
-3x + 6y = -10
-3x + 6y - 2 = -12
 6y - 2 = 3x - 12
 6y - 2 = 31x - 42
 6 ay -
1
3
b = 6 c1
2
1x - 42 d
y -
1
3
=
1
2
1x - 42
y - y1 = m1x - x12
1
2
a4,
1
3
b
1
2
.
y = -2x +
7
5
y =
-10x + 7
5
 5y = -10x + 7
ax + by = c
y = mx + b
y - y1 = m1x - x12