Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-2

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Sección	6.2	Suma	y	resta	de	expresiones	racionales		 375
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	multiplicamos	el	
numerador	y	el	denominador	
de	una	expresión	racional	por	
un	mismo	factor,	estamos	
multiplicando	por	1.	Enton-
ces,	se	obtiene	una	fracción	
equivalente	pero	el	valor	de	la	
fracción	no	cambia.	Observa	
el	ejemplo	5	inciso	a),
y
a) b)
 =
35b3 + 6a
28a2
 b3
 =
35b3
28a2
 b3
+
6a
28a2
 b3
 
5
4a2
+
3
14ab3
= 
 
 
7b3
7b3
# 5
4a2
+
3
14ab3
# 
 
 
2a
2a
2
x
+
9
y
=
9x + 2y
xy
.
2y
xy
+
9x
xy
=
2y + 9x
xy
 o 
9x + 2y
xy
2
x
+
9
y
=
 
 
y
y
# 2
x
+
9
y
# 
 
x
x
=
2y
xy
+
9x
xy
MCD = xy
5
4a2
+
3
14ab3
2
x
+
9
y
9
y
es equivalente a
9x
xy
2
x
 es equivalente a 
2y
xy
3 	Sumar	y	restar	expresiones	sin	denominadores	comunes
El procedimiento que se usa para sumar o restar expresiones racionales sin denominado-
res comunes se explica a continuación.
Para sumar o restar expresiones racionales con denominadores distintos
 1. Determina el mínimo común denominador (MCD).
 2. Reescribe cada fracción como una fracción equivalente con el MCD. Esto se hace mul-
tiplicando el numerador y el denominador de cada fracción por los factores necesarios 
para obtener el MCD.
 3. Conserva el denominador en forma factorizada, pero multiplica el numerador.
 4. Suma o resta los numeradores conservando el MCD.
 5. Cuando sea posible, reduce la fracción factorizando el numerador.
EJEMPLO 5 Suma. 
Solución   
 a) Primero determinamos el MCD.
A continuación escribimos cada fracción con el MCD. Para esto, multiplicamos 
tanto el numerador como el denominador de cada fracción por los factores ne-
cesarios para obtener el MCD.
En este problema, la primera fracción debe multiplicarse por 
y
y
 y la segun-
da por 
x
x
.
Ahora sumamos los numeradores y dejamos solo al MCD.
Por lo tanto, 
 b) El MCD de 4 y 14 es 28. El MCD de las dos fracciones es 28a2b3. Primero, escribimos 
cada fracción con el denominador 28a2b3. Para esto, multiplicamos la primera fracción 
por 
7b3
7b3
 y la segunda por 
2a
2a
.
 Multiplica para obtener el MCD.
 
 Suma numeradores.
Resuelve ahora el ejercicio 39
376	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
3x + 4
2x2 - 5x - 12
-
2x - 3
5x2 - 18x - 8
=
3x + 4
(2x + 3)(x - 4)
-
2x - 3
(5x + 2)(x - 4)
3x + 4
2x2 - 5x - 12
-
2x - 3
5x2 - 18x - 8
.
-x - 3
x - 3
 =
-x - 3
x - 3
 =
2 - x - 5
x - 3
 =
2
x - 3
+
-x - 5
x - 3
 
2
x - 3
+
x + 5
3 - x
=
2
x - 3
+
 
 
-1
-1
# (x + 5)
(3 - x)
2
x - 3
+
x + 5
3 - x
.
 =
5x + 28
(x + 4)(x - 4)
 =
x2 + 6x + 8 - x2 - x + 20
(x + 4)(x - 4)
 =
x2 + 6x + 8 - (x2 + x - 20)
(x + 4)(x - 4)
 =
x2 + 6x + 8
(x + 4)(x - 4)
-
x2 + x - 20
(x + 4)(x - 4)
 =
(x + 4)(x + 2)
(x + 4)(x - 4)
-
(x + 5)(x - 4)
(x + 4)(x - 4)
 
x + 2
x - 4
-
x + 5
x + 4
= 
 
 
x + 4
x + 4
# x + 2
x - 4
-
x + 5
x + 4
# 
 
 
x - 4
x - 4
x + 2
x - 4
-
x + 5
x + 4
.EJEMPLO 6 Resta 
Solución    El MCD es (x ] 4)(x + 4). Escribe cada fracción con el denominador 
(x ] 4)(x + 4).
 Multiplica para obtener
 el MCD.
 
 
Multiplica los binomios 
en los numeradores.
 Resta numeradores.
 Propiedad distributiva.
 Reduce términos semejantes. 
Resuelve ahora el ejercicio 45
EJEMPLO 7 Suma 
Solución    Observa que cada denominador es el opuesto, o inverso aditivo, del 
otro. Podemos multiplicar el numerador y el denominador de cualquiera de las 
fracciones por ]1 para obtener el MCD.
 Multiplica para obtener el MCD.
 Propiedad distributiva.
 Suma los numeradores.
 Reduce los términos semejantes.
Ya que no hay factores comunes en el numerador y en el denominador, 
 
no puede simplificarse más.
Resuelve ahora el ejercicio 43
EJEMPLO 8 Resta 
Solución    Factoriza ambos denominadores.
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	dos	expresiones	
racionales	tienen	denomina-
dores	que	son	opuestos	entre	
sí,	el	MCD	puede	obtenerse	
multiplicando	el	numerador	y	
el	denominador	de	cualquiera	
de	las	fracciones	por	]1.
	 Sección	6.2	Suma	y	resta	de	expresiones	racionales		 377
 =
3
x + 2
 =
3 (x - 2) 
(x + 2) (x - 2) 
 =
3x - 6
(x + 2)(x - 2)
 =
x2 + x - 2 - x2 + x + 2 + x - 6
(x + 2)(x - 2)
 =
x2 + x - 2 - (x2 - x - 2) + (x - 6)
(x + 2)(x - 2)
 =
x2 + x - 2
(x + 2)(x - 2)
-
x2 - x - 2
(x + 2)(x - 2)
+
x - 6
(x + 2)(x - 2)
 =
 
 
x + 2
x + 2
# x - 1
x - 2
-
x + 1
x + 2
# 
 
x - 2
x - 2
+
x - 6
(x + 2)(x - 2)
 =
x - 1
x - 2
-
x + 1
x + 2
+
x - 6
(x + 2)(x - 2)
 
x - 1
x - 2
-
x + 1
x + 2
+
x - 6
x2 - 4
x - 1
x - 2
-
x + 1
x + 2
+
x - 6
x2 - 4
=
11x2 + 26x + 17
(5x + 2)(2x + 3)(x - 4)
=
15x2 + 26x + 8 - 4x2 + 9
(5x + 2)(2x + 3)(x - 4)
=
15x2 + 26x + 8 - (4x2 - 9)
(5x + 2)(2x + 3)(x - 4)
=
15x2 + 26x + 8
(5x + 2)(2x + 3)(x - 4)
-
4x2 - 9
(5x + 2)(2x + 3)(x - 4)
=
 
 
5x + 2
5x + 2
# 3x + 4
(2x + 3)(x - 4)
-
2x - 3
(5x + 2)(x - 4)
# 
 
2x + 3
2x + 3
 
3x + 4
(2x + 3)(x - 4)
-
2x - 3
(5x + 2)(x - 4)
(2x + 3)(x - 4)(5x + 2).El MCD es 
 
 Multiplica para 
obtener el MCD.
 Multiplica los 
numeradores.
 Resta los numeradores.
 Propiedad distributiva
 Reduce los términos semejantes.
Resuelve ahora el ejercicio 49
EJEMPLO 9 Realiza las operaciones indicadas.
Solución  Primero, factorizamos x2 ] 4. El MCD de las tres fracciones es (x + 2)(x  2)
 
 Multiplica para obtener 
el MCD.
 Multiplica los 
numeradores.
 
Resta y suma los 
numeradores.
 Propiedad distributiva.
 Reduce los términos 
semejantes.
 
Factoriza, divide los 
factores comunes.
 
Resuelve ahora el ejercicio 67
Consejo útil 
Consejo de estudio
Ahora que hemos analizado las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de 
expresiones racionales, hagamos un resumen rápido de los procedimientos.
Para sumar o restar expresiones racionales, obtén el MCD. Expresa cada fracción con el 
MCD. Luego suma o resta los numeradores y escribe el resultado sobre el MCD.
Para multiplicar expresiones racionales, factoriza cada expresión completamente, divide 
entre los factores comunes, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores.
Para dividir expresiones racionales, multiplica la primera fracción (la superior) por el re-
cíproco de la segunda fracción (la inferior). Luego factoriza cada expresión por completo, di-
vide entre los factores comunes, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores.
378	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
P(x) =
2x2 + 16x + 5
(x + 3)(x + 2)
.
(x + 2)(x + 3).
 P(x) =
6x - 7
x + 2
-
4x - 13
x + 3
 P(x) = R(x) - C(x)
R(x) =
6x - 7
x + 2
 y C(x) =
4x - 13
x + 3
P(x) = R(x) - C(x)
5(x + 1)15(x + 1)2
y
1
15(x + 1)
3
5(x + 1)2
 =
2x2 + 16x + 5
(x + 3)(x + 2)
 =
6x2 + 11x - 21 - 4x2 + 5x + 26
(x + 3)(x + 2)
 =
(6x2 + 11x - 21) - (4x2 - 5x - 26)
(x + 3)(x + 2)
 =
6x2 + 11x - 21
(x + 3)(x + 2)
-
4x2 - 5x - 26
(x + 3)(x + 2)
 =
 
 
x + 3
x + 3
# 6x - 7
x + 2
-
4x - 13
x + 3
# 
 
x + 2
x + 2
	4 	Analizar	una	aplicación	de	expresiones	racionales
En economía se estudian conceptos como el ingreso, el costo y la utilidad. Si R(x) es una 
función del ingreso y C(x) es una función del costo, entonces la función de la utilidad, 
P(x), es
donde x es el número de artículos fabricados y vendidos por una compañía.
EJEMPLO 10 Botes de vela La compañía de botes de vela Don Perrione 
fabrica y vende al menos seis botes cada semana.
Considera que
donde x es el número de botes de vela vendidos. Determina la función de la utilidad.
Solución    Entiende	y	traduce Para determinar la función de la utilidad, resta-
mos la función del costo de la función del ingreso.
El MCD es 
Realiza	los	cálculos Multiplica para obtener 
el MCD.
 Multiplica los 
numeradores.
 Resta los numeradores.
 Propiedad distributiva.
 Reduce los términos semejantes.
Responde La función de utilidad es 
Resuelve ahora el ejercicio 77
CONJUNTO DE EJERCICIOS 6.2 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blancocon la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
 mínimo común denominador opuestos máximo común divisor más alto más bajo
 1. Para sumar o restar dos fracciones con diferentes denomina-
dores, obtenemos primero el .
 2. El mínimo común denominador de
es .
	
©
 F
ue
nt
e:
 E
le
na
 E
lis
se
ev
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
 
 3. El MCD de las expresiones racionales tendrá la 
 potencia de los factores comunes encon-
trados en los denominadores
 4. Cuando dos expresiones racionales tienen denominadores 
que son entre sí, el MCD puede obtener-
se multiplicando el numerador y el denominador de cada 
expresión racional por ]1.
	 Sección	6.2	Suma	y	resta	de	expresiones	racionales		 379
.6.5
.8.7
.01.9
11. 12.
13. 14.
.61.51
.81.71
.12.02.91
.42.32.22
.72.62.52
28. 29. 30.
31. 32.
.43.33
.73.63.53
38. 39. 40.
.24.14 43.
44. 45. 46.
.84.74
49. 50.
.25.15
.45.35
.65.55
.85.75
x + 2y
x2 - xy - 2y2 -
y
x2 - 3xy + 2y2
x - y
x2 - 4xy + 4y2 +
x - 3y
x2 - 4y2
7
3q2 + q - 4
+
9q + 2
3q2 - 2q - 8
3a + 2
4a + 1
-
3a + 6
4a2 + 9a + 2
3x
2x - 3
+
3x + 6
2x2 + x - 6
4 -
x - 1
x2 + 3x - 10
2
(2p - 3)(p + 4)
-
3
(p + 4)(p - 4)
5x
x2 - 9x + 8
-
3(x + 2)
x2 - 6x - 16
-x2 + 5x
(x - 5)2 +
x + 8
x - 5
x
x2 + 2x - 8
+
x + 1
x2 - 3x + 2
2m + 9
m - 5
-
4
m2 - 3m - 10
3
a + 2
+
3a + 1
a2 + 4a + 4
x
x2 - 9
-
4(x - 3)
x + 3
4x
x - 4
+
x + 3
x + 1
9
b - 2
+
3b
2 - b
a
a - b
-
a
b - a
4x
3xy
+ 11
b
a - b
-
a + b
b
7
4xy3 +
1
6x2
 y
3
8x4
 y
+
1
5x2
 y3
5x
4y
+
7
6xy
5
12x
-
1
4x2
9
x2 +
3
2x
3
2x
 + 
5
x
3
x2 + 3x - 4
-
4
4x2 + 5x - 9
+
x + 2
4x2 + 25x + 36
x
2x2 - 7x + 3
+
x - 3
4x2 + 4x - 3
-
x2 + 1
2x2 - 3x - 9
3x - 5
6x2 + 13xy + 6y2 +
3
3x2 + 5xy + 2y2
a - 2
a2 - 5a - 24
+
3
a2 + 11a + 24
x + 2
(x - 3)3(x + 4)2 +
x - 7
(x + 4)4(x - 9)
x
x4(x - 2)
-
x + 9
x2(x - 2)3
b2 + 3
18b
-
b - 7
12(b + 8)
5z2 +
9z
z - 6
4
(r - 7)(r + 2)
-
r + 8
r - 7
4x
x + 3
+
6
x + 9
1
x - 1
-
x
x - 3
2
3a4
 b2 +
7
2a3
 b5
x + 12
16x2
 y
-
x2
3x3
-4
8x2
 y2 +
7
5x4
 y6
1
9x2 -
8
6x5
7
6a2 +
3
4a
2x2 + 9x - 15
2x2 - 13x + 20
-
3x + 10
2x2 - 13x + 20
-
3x - 5
2x2 - 13x + 20
3x2 - x
2x2 - x - 21
+
2x - 8
2x2 - x - 21
-
x2 - 2x + 27
2x2 - x - 21
3r2 + 15r
r3 + 2r2 - 8r
+
2r2 + 5r
r3 + 2r2 - 8r
x3 - 12x2 + 45x
x(x - 8)
-
x2 + 5x
x(x - 8)
-x2
x2 + 5xy - 14y2 +
x2 + xy - 2y2
x2 + 5xy - 14y2
x2 - 2
x2 + 6x - 7
-
-4x + 19
x2 + 6x - 7
-4x + 6
x2 + x - 6
+
5x - 3
x2 + x - 6
5x - 6
x - 8
+
2x - 5
x - 8
2x
x + 7
+
17
x + 7
-
3
x + 7
x
x + 3
+
9
x + 3
-
2
x + 3
10x
x - 6
-
60
x - 6
7x
x - 5
-
2
x - 5
3x
x + 4
+
12
x + 4
4x
x + 7
+
1
x + 7
Practica tus habilidades
Suma o resta.
Encuentra el mínimo común denominador.
Suma o resta.
380	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
.06.95
61. 62.
.46.36
.66.56
67. 68.
.07.96
71. 72.
.47.37
4
4x - 5y
-
3x2 + 2y2
64x3 - 125y3
2
2x + 3y
-
4x2 - 6xy + 9y2
8x3 + 27y3
6
(2r - 1)2 +
2
2r - 1
- 3
5r - 2s
25r2 - 4s2 -
2r - s
10r2 - rs - 2s2
(x - y)2
x3 - y3 +
2
x2 + xy + y2
3m
6m2 + 13mn + 6n2 +
2m
4m2 + 8mn + 3n2
3
x2 - 13x + 36
+
4
2x2 - 7x - 4
+
1
2x2 - 17x - 9
3
5x + 6
+
x2 - x
5x2 - 4x - 12
-
4
x - 2
x
x2 - 10x + 24
-
3
x - 6
+ 12 -
1
8r2 + 2r - 15
+
r + 2
4r - 5
x
3x + 4
+
3x + 2
x - 5
-
7x2 + 24x + 28
3x2 - 11x - 20
3
3x - 2
-
1
x - 4
+ 5
2
x2 - 16
+
x + 1
x2 + 8x + 16
+
3
x - 4
-4
x2 + 2x - 3
-
1
x + 3
+
1
x - 1
4
p + 1
+
3
p - 1
+
p + 4
p2 - 1
2r
r - 4
-
2r
r + 4
+
64
r2 - 16
(f + g)(x) = f(x) + g(x).
75. Si y determina
Determina que
g(x) =
x
x + 4
,f(x) =
x + 2
x - 3
76. Si y determina g(x) =
x
x - 3
,f(x) =
x + 1
x2 - 9
77. y 78. y
79. y 80. y
.28.18
.48.38
85. 86. Determina que x-1 + y-1 =
x + y
xy
.
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
.
(f ⁄g)(x)(f # g)(x)
(f - g)(x)(f + g)(x)
g(x) =
2
x2 + x - 6
.f(x) =
x
x2 - 4
C(x) =
5x - 8
x + 4
R(x) =
7x - 10
x + 3
C(x) =
5x - 8
x + 3
R(x) =
8x - 3
x + 2
C(x) =
3x - 4
x + 1
R(x) =
5x - 2
x + 2
C(x) =
2x - 7
x + 2
R(x) =
4x - 5
x + 1
87. a b
a
a b
a
88.
a 2b
b
a 2b
b
.09.98
r2 - 6
r2 - 5r + 6
-
........ 
r2 - 5r + 6
=
1
r - 2
5x2 - 6
x2 - x - 1
-
....... 
x2 - x - 1
=
-2x2 + 6x - 12
x2 - x - 1
Resolución de problemas
Para los ejercicios 75-76, recuerda que 
 
 a) el dominio de f(x).
 b) el dominio de g(x).
 c) (f + g)(x).
 d) el dominio de (f + x).
 
 a) el dominio de f(x). 
 b) el dominio de g(x). 
 c) (f + g)(x).
 d) el dominio de (f + g)(x). 
Utilidad En los ejercicios 77-80, determina la función de utilidad, P(x). (Ver ejemplo 10.)
En los ejercicios 81-84, utiliza y Determina lo siguiente.
Determina el polinomio que se debe colocar en el área sombreada para dar una proposición verdadera.
Área y perímetro Considera los siguientes rectángulos. Determina a) el perímetro y b) el área.
	 Sección	6.2	Suma	y	resta	de	expresiones	racionales		 381
91.
92.
93.
94.
95.
96. ( x + 5
x2 - 25
+
1
x + 5 )( 2x2 - 13x + 15
4x2 - 6x )
( x + 5
x - 3
- x) ,
1
x - 3
( x2 + 4x - 5
2x2 + x - 3
# 2x + 3
x + 1 ) -
2
x + 2
( 5
a - 5
-
2
a + 3 ) , (3a + 25)
( 3
r + 1
-
4
r - 2 )( r - 2
r + 10 )
( 3 +
1
x + 3 )( x + 3
x - 2 )
97.
98. Demuestra que 
99.
100. ( a - b
a ) -1
- ( a + b
a ) -1
(a - b)-1 + (a - b)-2
( x
y )
-1
+ ( y
x )
-1
+ (xy)-1 =
x2 + y2 + 1
xy
.
n - x
n
x
n
a( x
n ) + b( n - x
n ) ,
101.
102.
x - 5
(x + 4)(x - 3)
-
x2 - 6x + 5
(x + 4)(x - 3)
Z
x - 5 - x2 - 6x + 5
(x + 4)(x - 3)
x2 - 4x
(x + 3)(x - 2)
-
x2 + x - 2
(x + 3)(x - 2)
Z
x2 - 4x - x2 + x - 2
(x + 3)(x - 2)
104. y
105. y
x - 8
x - 3
8 - x
3 - x
- 
x - 3
x - 4
x - 3
4 - x
107. Expresa cada suma como una sola fracción.
a)
b)
c) 1 +
1
x
+
1
x2 +
1
x3 +
1
x4
1 +
1
x
+
1
x2
1 +
1
x
d)
108. Dada Encuentra 
109. Dada Encuentra g(a + h) - g(a).g(x) =
1
x + 1
.
f(a + h) - f(a).f(x) =
1
x
.
1 +
1
x
+
1
x2 + Á +
1
xn
y 
ƒ -1 3
5 -4 ƒ .
(7, -3).( -2, 3)
ƒx - 3 ƒ - 6 6 -1
114. Divide 
115. Resuelve 3p2 = 22p - 7.
6x2 - 5x + 6
2x + 3
.
Realiza las operaciones indicadas. El promedio ponderado de dos valores a y b está dado por 
 donde es el valor ponderado dado a a y
 el valor ponderado dado a b.
 a) Expresa esta suma como una sola fracción. 
 b) En un examen a recibiste una calificación de 60 y en un 
examen b obtuviste 92. Si el examen a vale de tu cali-
ficación final y el examen b vale , determina tu califi-
cación promedio ponderado.
 
En los ejercicios 99 y 100, realiza la operación indicada.
Ejercicios de conceptos y escritura
En los ejercicios 101 y 102, a) explica por qué la resta no es correcta y b) realiza la resta correcta.
 103. Cuando dos expresiones racionales se suman o se restan, 
¿los numeradores de las expresiones que se van a sumar o 
restar, deberían ser factorizados? Explica.
 ¿Son equivalentes las fracciones ? Explica.
 ¿Son equivalentes las fracciones ? Explica.
 106. Si f (x) y g (x) son funciones racionales, ¿será (f + g)(x) siem-
pre una función racional?
Problemas de desafío
Ejercicios de repaso acumulados
Ver	ejercicio	110.
[2.4] 110. Llenado de cajas Una máquina llena cajas de cereal a
 una velocidad de 80 por minuto. Después, la máquina 
baja su velocidad a 60 cajas por minuto. Si la suma 
de los dos periodos es de 14 minutos y el número de 
cajas llenadas a alta velocidad es el mismo que el nú- 
mero resultante a baja velocidad, determina a) el 
tiempo que trabajó la máquina a alta velocidad, y b) 
cuántas cajas llenó durante los 14 minutos.
[2.6] 111. Resuelve para x y proporciona la solución en notación 
de conjuntos.
[3.4] 112. Determina la pendiente de la recta que pasa por
 los puntos
[4.5] 113. Evalúa el determinante
[5.3]
 
[5.8] 
©
 W
av
eb
re
ak
 M
ed
ia 
LT
D/
Gl
ow
im
ag
es