Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-21

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Sección	7.7	números	complejos	 477
Para escribir la raíz cuadrada de un número negativo en términos de i, se usa la siguiente propiedad. 
Por lo tanto, podemos escribir
 1-7 = 1-1 17 = i17
 1-9 = 1-1 19 = i3 or 3i
 1-4 = 1-1 14 = i2 or 2i
Por lo general, en este libro escribiremos i17 en vez de 17i para evitar confusiones con 17i . También 315i se escribirá como 3i15. 
Ejemplos
 1-10 = i1101-49 = 7i
 1-6 = i161-81 = 9i
El sistema de números reales es parte de un sistema de números más grande, denomi-
nado sistema de números complejos. A continuación analizaremos los números complejos. 
Raíz cuadrada de un número negativo
Para cualquier número real positivo n,1-n = 1-1 # n = 1-1 1n = i1n
Número complejo
Todo número de la forma
a + bi
donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria, es un número complejo.
Hemos dicho que todos los números reales e imaginarios son también números com-
plejos. En la Figura 7.7 se muestra la relación entre los diversos conjuntos de números.
Números complejos
Números reales Números no reales
Números
imaginarios puros
Números
racionales
Números
irracionales
Enteros
��7, p
Números
naturales
0, 4, 12
�2 � i�3
2 � 3i
6 � 4i
�3i
i�5
6i
�4, �9
�2, �3
1
2
, 3
5
, 9
4
FiguRa	 7.7
Todos los números reales y todos los números imaginarios son también números com-
plejos. Un número complejo tiene dos partes: una parte real, a, y una parte imaginaria, b.
							Parte real Parte imaginaria
a  b i
Si b  0, el número complejo es un número real. Si a  0, el número complejo es un 
número imaginario puro. 
Ejemplos	de	números	complejos
(número real, b  0)
(número imaginario, a  0)
(número imaginario, a  0)
3 + 2i a = 3, b = 2
5 - i16 a = 5, b = -16
4 a = 4, b = 0
8i a = 0, b = 8
- i17 a = 0, b = -17
o
o
Comprendiendo 
el álgebra
La	raíz	cuadrada	de	cualquier	
número	negativo	es	un	nú-
mero	imaginario.	Por	ejem-
plo,	1-25 	es	un	número	
imaginario	que	escribimos	del	
modo	siguiente:
	
	
or 5i= i # 5
= 1-1 # 125
1-25 = 1-1 # 25
1-3	es	un	número	imagi-
nario	que	escribimos	como	
sigue:
	
= i13
= 1-1 # 13
1-3 = 1-1 # 3
o
478	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
EJEMPLO  1  Escribe cada uno de los siguientes números complejos 
en la forma a  bi.
 a) 7 + 1-36 b) 4 - 1-12 c) 19 d) 1-50 e) 6 + 110
Solución    
 a) 
 
 b) 
 
 
 c) 
 d) 
 
 
 e) Tanto 6 como 110 son números reales. Si escribimos la expresión como un nú-
mero complejo, la respuesta es 16 + 1102 + 0i. 
Resuelve ahora el ejercicio 23 
Los números complejos pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Para reali-
zar estas operaciones, utilizaremos las definiciones que nos indican que i = 1-1 e i2 = -1. 
Definición de i 2 
Si i = 1-1, entonces 
i 2  1
	2 	Sumar	y	restar	números	complejos
A continuación se explica cómo sumar y restar números complejos. 
EJEMPLO  2  Suma 19 + 15i2 + 1-6 - 2i2 + 18.
Solución   
 
 = 21 + 13i
 = 9 - 6 + 18 + 15i - 2i
 19 + 15i2 + 1-6 - 2i2 + 18 = 9 + 15i - 6 - 2i + 18
Resuelve ahora el ejercicio 27 
EJEMPLO  3  Resta 18 - 1-272 - 1-3 + 1-482.
Solución   
 = 11 - 7i13
 = 8 + 3 - 3i13 - 4i13
 = 8 - 3i13 + 3 - 4i13
 = 18 - 3i132 - 1-3 + 4i132
 = 18 -1-1 19 132 - 1-3 +1-1 116 132
 18 -1-272 - 1-3 + 1-482 = 18 - 1-1 1272 - 1-3 + 1-1 1482
Resuelve ahora el ejercicio 35 
Para sumar y restar números complejos
 1. Cambia todos los números imaginarios a la forma bi. 
 2. Suma (o resta) las partes reales de los números complejos. 
 3. Suma (o resta) las partes imaginarias de los números complejos. 
 4. Escribe la respuesta en la forma a  bi 
 = 0 + i15212 o 0 + 5i12
 = 0 + 1-1 125 12
 1-50 = 0 + 1-50
19 = 19 + 0i
 = 4 - i122 13 o 4 - 2i13
 = 4 - 1-1 14 13
 4 - 1-12 = 4 - 1-1112
 = 7 + i6 o 7 + 6i
 7 + 1-36 = 7 + 1-1 136
	 Sección	7.7	números	complejos	 479
	3 	Multiplicar	números	complejos
Veamos ahora cómo multiplicar números complejos. 
EJEMPLO  4  Multiplica.
 a) 5i16 - 2i2 b) 1-911-3 + 82 c) 2 - 1-18  1-2 + 52
Solución   
 a) Propiedad distributiva
 Reemplaza i2 por 1.
 = 30i + 10 o 10 + 30i
 = 30i - 101-12
 = 30i - 10i2
 5i16 - 2i2 = 5i162 + 5i1-2i2
 b) 1-9 1 1-3 + 82 = 3i1i13 + 82 Cambia los números imaginarios a la 
forma bi.
 Propiedad distributiva
 = 3i213 + 24i
 = 3i1i132 + 3i182
 Reemplaza i2 por 1.
 = -313 + 24i
 = 31-1213 + 24i
 c) 
 = 12 - 3i1221i12 + 52
 = 12 - 1-1 19 1221 1-1 12 + 52
 12 - 1-1821 1-2 + 52 = 12 - 1-1 11821 1-1 12 + 52
 
Utiliza ahora el método PIES para multiplicar.
 = 16 - 13i12
 = 2i12 + 10 + 6 - 15i12
 = 2i12 + 10 - 31-12122 - 15i12
 = 2i12 + 10 - 3i2122 - 15i12
 12 - 3i1221i12 + 52 = 1221i122 + 122152 + 1-3i1221i122 + 1-3i122152
Resuelve ahora el ejercicio 45 
Para multiplicar números complejos
 1. Cambia todos los números imaginarios a la forma bi. 
 2. Multiplica los números complejos como si multiplicaras polinomios. 
 3. Sustituye cada aparición de i2 por 1. 
 4. Reduce las partes reales e imaginarias. Escribe la respuesta en la forma a  bi. 
	4 	Dividir	números	complejos
El conjugado de un número complejo a  bi es a  bi. Por ejemplo, 
Recuerda que 1a # 1b = 1ab solo si a y b son números reales no negativos.
Prevención de errores comunes
¿Qué es 1-4 # 1-2 ?
CORRECTO	
 
 = -212
 = 21-1212
 = 2i212
1-4 # 1-2 = 2i # i12
inCORRECTO	
 = 212
 = 14 # 12
 1-4 # 1-2 = 18
número	complejo Conjugado
3 + 7i
1 - i13
2i 1o 0 + 2i2
3 - 7i
1 + i13
-2i 1o 0 - 2i2
480	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
Cuando un número complejo se multiplica por su conjugado utilizando el método 
PIES, los productos interno y externo suman cero y el resultado es un número real. Por 
ejemplo,
 = 25 + 9 = 34
 = 25 - 91-12
 = 25 - 9i2
 15 + 3i215 - 3i2 = 25 - 15i + 15i - 9i2
Veamos ahora cómo dividir números complejos. 
Para dividir números complejos
 1. Cambia todos los números imaginarios a la forma bi. 
 2. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. 
 3. Escribe la respuesta en la forma a  bi. 
EJEMPLO  5  Divide 
9 + i
i
.
Solución    Comienza multiplicando el numerador y el denominador por i, el 
conjugado de i.
 Propiedad distributiva
 Reemplaza i2 por 1.
 
 = 1 - 9i
 =
-9i + 1
1
 =
-9i - 1-12
-1-12
 =
-9i - i2
- i2
 
9 + i
i
# 
 
 
- i
- i
 =
19 + i21- i2
- i2
 
Resuelve ahora el ejercicio 59 
EJEMPLO  6  Divide 
3 + 2i
4 - i
.
Solución    Multiplica el numerador y el denominador por 4  i, el conjugado de 
4  i.
 
 
 =
10 + 11i
17
=
10
17
+
11
17
 i
 =
12 + 11i + 21-12
16 - 1-12
 
3 + 2i
4 - i
# 
 
 
4 + i
4 + i
=
12 + 3i + 8i + 2i2
16 - i2
Resuelve ahora el ejercicio 65 
EJEMPLO  7  Impedancia Un concepto necesario en el estudio de la electrónica 
es la impedancia. La impedancia afecta la corriente en un circuito. La impedancia, Z, 
en un circuito se determina mediante la fórmula Z =
V
I
, donde V es el voltaje e I 
es la corriente. Determina Z cuando V  1.6  0.3i e I  0.2i, donde i = 1-1.
	 Sección	7.7	números	complejos	 481
Solución    Z =
V
I
=
1.6 - 0.3i
-0.2i
. Multiplica ahora el numerador y el denomina-
dor por el conjugado del denominador, 0.2i.
 
 
 = 8i + 1.5 = 1.5 + 8i
 =
0.32i
0.04
+
0.06
0.04
 =
0.32i + 0.06
0.04
Z =
1.6 - 0.3i
-0.2i
# 
 
 
0.2i
0.2i
=
0.32i - 0.06i2
-0.04i2
Resuelve ahora el ejercicio 121 
	5 	Determinar	potencias	de	i
Utilizando i = -11 e i2 = -1, podemos determinar otras potencias de i. Por ejemplo, 
 i3 = i2 # i = -1 # i = - i i6 = i4 # i2 = 11-12 = -1
 i4 = i2 # i2 = 1-121-12 = 1 i7 = i4 # i3 = 11- i2 = - i
 i5 = i4 # i1 = 1 # i = i i8 = i4 # i4 = 112112 = 1
Observa que las potencias sucesivas de i rotan por los cuatro valores i, 1, i y 1 (ver 
Figura 7.8).
i n � i Si
n � 1, 5, 9, . . .
i n � �i Si
n � 3, 7, 11, . . .
i n � 1 Si
n � 4, 8, 12, . . .
i n � �1 Si
n � 2, 6, 10, . . .
FiguRa	 7.8		
EJEMPLO  8  Evalúa. a) i35 b) i101
Solución    Escribimoscada expresión como un producto de factores tales que el 
exponente de un factor sea el máximo múltiplo de 4 menor o igual que el exponente 
dado. Después escribimos este factor como i 4 elevado a alguna potencia. Como i 4 tie-
ne un valor de 1, la expresión i 4 elevada a una potencia también tendrá un valor de 1.
 a) 
 b) i101 = i100 # i1 = 1i4225 # i = 1 # i = i
i35 = i32 # i3 = 1i428 # i3 = 1 # i3 = 11- i2 = - i
 
Resuelve ahora el ejercicio 101 
Consejo útil
Una forma rápida para evaluar i n consiste en dividir el exponente entre 4 y analizar el residuo.
Si el residuo es 0, el valor es 1. Si el residuo es 2, el valor es 1.
Si el residuo es 1, el valor es i. Si el residuo es 3, el valor es i.
Para el ejemplo 8 a) Para el ejemplo 8 b)
 
8
4 35
32
3 La respuesta es i. 
i35 = 1i428 # i3 = 1128 # i3 = 1 # i3 = i3 = - i 
25
4 101
8
21
20
1 La respuesta es i.
482	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
EJEMPLO  9  Sea f (x)  x2. Determina a) f (6i) b) f (3 + 7i).
Solución    
 a) 
 b) 
 
 
 
 = -40 + 42i
 = 9 + 42i - 49
 = 9 + 42i + 491-12
 = 9 + 42i + 49i2
 f13 + 7i2 = 13 + 7i22 = 1322 + 213217i2 + 17i22
f1x2 = x2
 f16i2 = 16i22 = 36i2 = 361-12 = -36
 f1x2 = x2
Resuelve ahora el ejercicio 111 
CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.7 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
1 puro real complejo número i
unidad parte 1 conjugado imaginario racional
 1. La raíz cuadrada de cualquier número negativo es un núme-
ro .
 2. La imaginaria se denota con la letra i.
 3. Todo número de la forma a  bi donde a y b son números reales 
e i es la unidad imaginaria, es un número .
 4. En un número complejo a  bi, a se conoce como la parte 
.
 5. En un número complejo a  bi, b se conoce como la 
 imaginaria.
 6. Si a  0, el número complejo a  bi es un número imagi-
nario .
 7. Si b  0, el número complejo a  bi es un 
real.
 8. Para un número complejo a  bi el es 
a  bi.
 9. Si i es la unidad imaginaria, entonces i2  .
 10. Si i es la unidad imaginaria, entonces i3  .
Practica tus habilidades
Escribe cada expresión como un número complejo en la forma a  bi.
 11. 12. 13. 14. 
 15. 16. 17. 18. 
 19. 20. 21. 22. 
 23. 24. 25. 26. 
Suma o resta.
 27. 28. 
 29. 30. 
 31. 32. 
 33. 34. 
 35. 36. 
 37. 38. 
Multiplica.
 39. 40. 41. 
 42. 43. 44. 
 45. 46. 47. 
4 2i
 1144 + 1-967i - 1-45 10 + 1-3212 - 1-25
 1-9 + 7i 3 + 1-98 1-9 + 1-81 8 - 1-12
 149 - 1-49 1-2413 + 1-321 - 1-36
 1-100125
1 120 - 1-12 + 1215 + 1-752 1 14 - 1-452 + 1-125 + 1-52
 129 + 1-752 + 1 1-147215 - 1-722 + 16 + 1-82
18 - 122 - 15 + 1-1521 13 + 122 + 1312 - 1-82
 116 - i132 + 117 - 1-32 11 + 1-12 + 1-18 - 1-1692
 17 - 1-42 - 1-1 - 1-16213 + 7i2 - 11 - 3i2
1-4 + 5i2 + 12 - 4i213 + 7i2 + 11 - 3i2
 1-27 1 13 - 1-32 -1-24 1 16 - 1-32 1-16 1 13 - 7i2
 
1
2
 ia1
3
- 18ib 1-9 16 + 11i2 3i16 - i2
i14 + 9i2-21-3 + i2312 - 4i2
	 Sección	7.7	números	complejos	 483
 48. 49. 50. 
 51. 52. 53. 
 54. 55. 56. 
Divide.
 57. 58. 59. 60. 
 61. 62. 63. 64. 
 65. 66. 67. 68. 
 69. 70. 71. 72. 
 73. 74. 75. 76. 
Realiza las operaciones indicadas. Estos ejercicios son una combinación de los que se presentaron antes en esta sección.
 77. 78. 
 79. 80. 
 81. 82. 
 83. 84. 
 85. 86. 
 87. 88. 
 89. 90. 
 91. 92. 
 93. 94. 
 95. 96. 
Indica si el valor de cada número imaginario es i, 1, i o 1.
 97. 98. 99. 100. 
 101. 102. 103. 104. 
Resolución de problemas
 105. Considera el número complejo 2  3i.
 a) Determina su inverso aditivo.
 b) Determina su inverso multiplicativo. Escribe la respuesta 
en forma simplificada.
 106. Considera el número complejo 4  5i.
 a) Determina su inverso aditivo.
 b) Determina su inverso multiplicativo. Escribe la respuesta 
en forma simplificada.
 107. Si f (x)  x2, determina f (2i).
 108. Si f (x)  x2, determina f (4i).
 109. Si f (x)  x4  2x, determina f (2i).
 110. Si f (x)  x3  4x2, determina f (5i).
 111. Si f (x)  x2  2x, determina f (3  i).
 112. Si f1x2 =
x2
x - 2
, determina f14 - i2.
Evalúa cada expresión para el valor dado de x.
 113. 
 114. 
 115. 
 116. x2 + 2x + 9, x = -1 - i15
x2 + 2x + 7, x = -1 + i15
x2 - 2x + 5, x = 1 - 2i
x2 - 2x + 5, x = 1 + 2i
 
En los ejercicios 117-120, determina si el valor dado de x es una 
solución a la ecuación.
 117. 
 118. 
 119. 
 120. x2 - 6x + 15 = 0, x = 3 - i113x2 - 6x + 11 = 0, x = -3 + i 3
x2 - 4x + 5 = 0, x = 2 + i
x2 - 4x + 5 = 0, x = 2 - i
 
a3
5
-
1
4
 ib a 2
3
+
2
5
 ib a1
2
-
1
3
 ib a 1
4
+
2
3
 ib1 14 - 3i214 + 1-42
17 + 1-2215 - 1-82 1-4 + 3i212 - 5i2110 - 3i2110 + 3i2
16 - 2i213 + i2 13 + 2i211 + i2 1-32 1 12 + 1-82
 
1-40 1-201-4
 
1-321-18 18
 
1-301-2
1-751-3
2 + 1-25
4 - 1-9
5 + 1-4
4 - 1-16
1613 - 1-9
12
5 + 1-12
2
3 + 1-5
4
6 - 1-4
4 - 3i
4 + 3i
6 - 3i
4 + 2i
13
-3 - 4i
3
1 - 2i
9
5 + i
6
2 - i
7 - 3i
2i
2 + 3i
2i
-3
4i
2
3i
17 + 1-92 14 - 1-42 15.23 - 6.41i2 2- 19.56 + 4.5i
2 - 2-9
4 + 2-49
1-481-12
A4
9
 a A25
36
- A -  
4
25
ba2
3
-
1
5
 ib a 3
5
-
3
4
 ib
 
8
7
 a4 -
2
5
 ib a11 -
5
9
 ib - a4 -
3
5
 ib
5 - 2i
3 + 2i
613 - 1-4
1
4 + 3i
11 + 4i
2i
 1 13 + 2i21 16 - 1-8219 + 2i213 - 5i2
1-6 1 13 - 1-102 5.214 - 3.2i2
 18 - 1-62 - 12 - 1-242 1 150 - 122 - 1 1-12 - 1-482
a4
3
+
1
2
 ib - a1
3
-
1
2
 ib1-5 + 7i2 + 15 - 7i2
i1213i811i103i93
 i231i160i63i6
484	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
 121. Impedancia Determina la impedancia, Z, mediante la fórmu-
 la Z =
V
I
 cuando V  1.8  0.5i e I  0.6i. Ver ejemplo 7.
 122. Impedancia Consulta el ejercicio 121. Determina la impe-
dancia cuando V  2.4  0.6i e I  0.4i.
 123. Impedancia En determinadas condiciones, la impedancia 
total, ZT, de un circuito se determina mediante la fórmula
ZT =
Z1 Z2
Z1 + Z2
Determina ZT cuando Z1  2  i y Z2  4  i.
 124. Impedancia Consulta el ejercicio 129. Determina ZT cuan-
do Z1  3  i y Z2  5  i.
 125. Determina si i1 es igual a i, 1, i o 1. Demuestra cómo 
llegaste al resultado.
 126. Determina si i5 es igual a i, 1, i o 1. Demuestra cómo 
llegaste al resultado.
En el capítulo 8 utilizaremos la fórmula cuadrática x =
-b ; 2b2 - 4ac
2a
 para resolver ecuaciones de la forma ax2  bx  c  0. 
(a) Utiliza la fórmula cuadrática para resolver las ecuaciones cuadráticas siguientes. (b) Comprueba cada una de las soluciones sustituyendo 
los valores encontrados para x (uno a la vez) en la ecuación original. En estos ejercicios, el símbolo 6 (se lee "más, menos") genera dos 
respuestas complejas distintas.
 128. x2 - 4x + 6 = 0 127. x2 - 2x + 6 = 0 
 131. ab 132. 
a
b
 129. a  b 130. a  b
 135. ¿Son todos los números complejos números reales? 
 136. a) ¿Es i  i un número real? Explica.
 b) ¿Es i  i  i un número real? Explica.
 133. En las expresiones siguientes, ¿son todas números comple-
jos? Si alguna no es, explica por qué.
 a) b) c) 
 d) 
9
7 - 3i e) 4.2i
-  
1
2
 f) 11 + 13
4 - 1-2
 134. ¿Son todos los números reales y todos los números imagi-
narios números complejos? 
Dados los números complejos a = 5 + 2i13, b = 1 + i13, evalúa cada expresión.
Ejercicios de conceptos y escritura
En los ejercicios 137-140, responde verdadero o falso. Apoya tu respuesta con un ejemplo.
 137. El producto de dos números imaginarios puros siempre es 
un número real.
 138. La suma de dos números imaginarios puros siempre es un 
número imaginario.
 139. El producto de dos números complejos siempre es un 
número real.
 140. La suma de dos números complejos siempre es un número 
complejo.
 141. ¿Qué valores de n hacen que in sea un númeroreal? Ex-
plica.
 142. ¿Qué valores de n hacen que i2n sea un número real? Ex-
plica.
Ejercicios de repaso acumulados
[4.3] 143. Mezcla Berreda Coughlin, un abarrotero de Dallas, 
tiene dos tipos de café, uno lo vende a $5.50 por li-
bra y el otro en $6.30 por libra. ¿Cuántas libras de 
cada tipo debe mezclar para producir 40 libras de café 
para vender a $6.00 por libra?
[5.3] 144. Divide 
8c2 + 6c - 35
4c + 9
. 
[6.2] 145. Suma 
b
a - b
+
a + b
b
. 
[6.4] 146. Resuelve 
x
4
+
1
2
=
x - 1
2
. 
©
 A
nd
re
y 
Ar
m
ya
go
v/
Sh
ut
te
rs
to
ck
	 Resumen	 485
Resumen del capítulo 7
HECHos y CoNCEPtos imPoRtaNtEs EJEmPLos
sección 7.1 
Una expresión radical tiene la forma 1n x , donde n es el índice y 
x es el radicando.
En la expresión radical 13 x , 3 es el índice y x es el radicando. 
La raíz cuadrada principal de un número positivo a, escrita 1a , es 
el número positivo b, tal que b2  a. 
 181 = 9, ya que 92 = 81 10.36 = 0.6 ya que 10.622 = 0.36 
La función raíz cuadrada es f1x2 = 1x . Su dominio es [0, q2 y 
su rango es [0, q2. 
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
5 1098764321�2 �1 x
y
 
La raíz cúbica de un número a, escrita 13 a , es el número b, tal 
que b3  a.
13 27 = 3 ya que 33 = 27 13 -125 = -5 ya que 1-523 = -125 
La función raíz cúbica es f1x2 = 13 x . Su dominio es 1- q , q2 o 
 y su rango es 1- q , q2 o  .
 
*
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
5 8 9764321�4�5�9 �8 �7 �6 �3 �2 �1 x
f (x) � √x3
 
La raíz enésima de a, 1n a , donde n es un índice par y a es un núme-
ro real no negativo, se llama raíz par, y es el número no nega-
tivo b, tal que bn  a.
La raíz enésima de a, 1n a , donde n es un índice impar y a es un 
número real, se llama raíz impar, y es el número real b, tal que 
bn  a.
14 = 2 ya que 22 = 2 # 2 = 4 14 81 = 3 ya que 34 = 3 # 3 # 3 # 3 = 81 13 27 = 3 ya que 33 = 3 # 3 # 3 = 27 15 -32 = -2 ya que 	1-225 = 1-221-221-221-221-22 = -32
Para cualquier número real a, a, 2a2 = ƒa ƒ . 21y + 822 = ƒy + 8 ƒ
21-622 = ƒ -6 ƒ = 6
sección 7.2 
Exponente racional 1n a = a1>n
Cuando a es no negativo, n puede ser cualquier índice.
Cuando a es negativo, n debe ser impar. 
24 21x3
 y2 = 121x3
 y221>4
117 = 171>2
Para cualquier número no negativo a y enteros m y n,
Potencia
Índice2n am = A2n a Bm = am>n
24 z9 = 1 14 z29 = z9>4
Para cualquier número real no negativo a,2n an = 1 1n a2n = an>n = a 28 148 = 1424 y4 = y,
486	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
HECHos y CoNCEPtos imPoRtaNtEs EJEmPLos
sección 7.2 (cont.)
Reglas de los exponentes
Para todos los números reales a y b y todos los números racionales 
m y n,
Regla del producto 
Regla del cociente 
Regla del exponente negativo 
Regla del exponente cero 
Elevar una potencia a una potencia 
Elevar un producto a una potencia 
Elevar un cociente a una potencia 
81
49
b
-1>2
= aa
49
81
b
1>2
=
491>2
811>2
=
7
9
 1p3
 q42
1>8 = p3>8
 q1>2
 1c1>82
16 = c11>82
#16 = c2
 m0 = 1
 x-1>7 =
1
x1>7
 
x4>5
x1>2
= x14>52- 11>22 = x18>102- 15>102 = x3>10
 x1>3 # x4>3 = x11>32+ 14>32 = x5>3
sección 7.3 
Un número o expresión es un cuadrado perfecto si es el cuadrado 
de una expresión.
Un número o expresión es un cubo perfecto si es el cubo de una 
expresión. 
Cuadrados perfectos 
Cuadrado de un número o expresión 
Cubos perfectos 
 
Cubo de un número o expresión 
Regla del producto para radicales
Para números reales no negativos a y b,1n a # 1n b = 1n ab 12 # 18 = 116 = 4, 23 2x3 = 23 x3 # 13 2 = x13 2
Para simplificar radicales mediante la regla del producto
 1. Si el radicando tiene un coeficiente diferente de 1, escríbelo 
como un producto de dos números, uno de los cuales sea la 
mayor potencia perfecta para el índice.
 2. Escribe cada factor variable como un producto de dos factores, 
uno de los cuales sea la mayor potencia perfecta de la variable 
para el índice.
 3. Utiliza la regla del producto para escribir la expresión radi-
cal como un producto de radicales. Coloca todas las potencias 
perfectas (números y variables) bajo el mismo radical.
 4. Simplifica el radical que tiene las potencias perfectas. 
 = 2xy323 2x2
 = 23 8x3
 y9 23 2x2
23 16x5
 y9 = 23 8x3
 y9 # 2x2 
 124 = 14 # 6 = 14 16 = 216
 
Regla del cociente para radicales
Para números reales no negativos a y b,
b Z 0
1n a1n b
= An a
b
,
13212
= A32
2
= 116 = 4, A3  
x6
y12 =
23 x623 y12
=
x2
y4
sección 7.4 
Radicales semejantes son radicales con el mismo radicando y el 
mismo índice.
Radicales diferentes son radicales con un radicando o el índice 
diferente.
 
Para sumar o restar radicales
 1. Simplifica cada expresión radical.
 2. Combina los radicales semejantes (si los hay). = -313
 = 313 + 413 - 1013
 127 + 148 - 2175 = 19 # 13 + 116 # 13 - 2 # 125 # 13
 
a a
b
b
-n
= ab
a
b
n
=
bn
an , a Z 0, b Z 0
 a a
b
b
m
=
am
bm , b Z 0
 1ab2m = am
 bm
 1am2n = am#n
 a0 = 1, a Z 0
 a-m =
1
am , a Z 0
 
am
an = am - n, a Z 0
 am # an = am + n
1z10231y62333 1-323
pppp
z30y18-2727
1y25221x6229272
pppp
y50x128149
Radicales	semejantes	 Radicales	no	semejantes	
 
 
13, 1213 13, 714 3
224 xy3 , -324 xy3 25 xy3 , x25 y3