2 1 Anexo sistemas de ecuaciones

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CAPÍTULO2
Sistemas de ecuaciones
lineales
2.1. Primeros conceptos
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Un sistema de ecuaciones lineales es un con-
junto de ecuaciones de la forma:
a11x1+ a12x2+ a13x3+ · · ·+ a1nxn = b1 ,
a21x1+ a22x2+ a23x3+ · · ·+ a2nxn = b2 ,
a31x1+ a32x2+ a33x3+ · · ·+ a3nxn = b3 ,
...
...
am1x1+ am2x2+ am3x3+ · · ·+ amnxn = bm .
En este sistema observamos:
• m ecuaciones lineales.
• n incógnitas (x1, x2, x3, . . . , xn).
• aij es el coeficiente de la incógnita j en la ecuación i.
• bi es el término independiente de la ecuación i.
EJEMPLO
2x+ y − z = 1 ,
y − 3z = 3 ,
x− 3y + z = 0 .︸ ︷︷ ︸
tres ecuaciones, tres incógnitas
x1 − 2x2 + 2x3 = 3 ,
2x1 + x2 + 3x3 = 1 .︸ ︷︷ ︸
dos ecuaciones, tres incógnitas
x+ y = 2 ,
2x− y = −1 ,
3x+ 2y = 1 .︸ ︷︷ ︸
tres ecuaciones, dos incógnitas
38 ÁLGEBRA LINEAL PARA INGENIEROS
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA. Todo sistema lineal de ecuaciones puede ex-
presarse en la forma matricial:
A ·X = b ,
donde
A =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
a31 a32 a33 · · · a3n
...
...
...
. . .
...
am1 am2 am3 · · · amn
 , X =

x1
x2
x3
...
xn
 , b =

b1
b2
b3
...
bm
 .
EJEMPLO
Los sistemas del anterior ejemplo se expresarán em forma matricial como sigue: 2 1 −1
0 1 −3
1 −3 1
 x
y
z
 =
 1
3
0
 ,
(
1 −2 2
2 1 3
) x1
x2
x3
 =
(
3
1
)
,
 1 1
2 −1
3 2
( x
y
)
=
 2
−1
1
 .
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA. Diremos que
{x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn}
es una solución de un sistema de ecuaciones lineales si satisface simultáneamente
las m ecuaciones del sistema. Atendiendo al número de soluciones, los sistemas se
clasifican de la siguiente forma:
• Sistema incompatible: si el sistema no tiene ninguna solución.
• Sistema compatible: cuando tiene al menos una solución:
– Sistema compatible determinado: si la solución es única.
– Sistema compatible indeterminado: si tiene infinitas soluciones.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 39
Esquemáticamente:
Sistemas
de ecuaciones
lineales
→

Compatible →
Incompatible (ninguna solución)

Determinado (una solución)
Indeterminado (infinitas soluciones)
SISTEMAS EQUIVALENTES. Se dice que dos sistemas de ecuaciones son equivalen-
tes si ambos tienen el mismo conjunto de soluciones.
2.2. Discusión de un sistema de ecuaciones
MATRIZ AMPLIADA. Consideremos el sistema de ecuaciones AX = b. Llamaremos
matriz ampliada del sistema a la matriz
(A|b) =

a11 a12 a13 · · · a1n b1
a21 a22 a23 · · · a2n b2
a31 a32 a33 · · · a3n b3
...
...
...
. . .
...
...
am1 am2 am3 · · · amn bm
 .
Nota. La matriz ampliada es la matriz de los coeficientes agrandada con una columna
más, que corresponde a la matriz de los términos independientes.
Número de soluciones de un sistema (Teorema de Rouché-Fröbenius).
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales AX = b.
• Si rg(A) = rg(A|b), el sistema tiene al menos una solución, es decir, el sistema
es compatible. Dentro de este caso podemos distinguir:
– Si rg(A) = rg(A|b) = n (siendo n el número de incógnitas) la solución
es única, es decir, es un sistema compatible determinado.
– Si rg(A) = rg(A|b) < n existen infinitas soluciones, es decir, es un
sistema compatible indeterminado.
• Si rg(A) ̸= rg(A|b) el sistema es incompatible.
40 ÁLGEBRA LINEAL PARA INGENIEROS
Podemos sintetizar el teorema de Rouché-Fröbenius en el siguiente esquema:

rg(A) = rg(A|b) ⇒Compatible →
rg(A) ̸= rg(A|b) ⇒Incompatible

rg(A) = rg(A|b) =n ⇒ Determinado
rg(A) = rg(A|b) <n ⇒ Indeterminado
EJEMPLO
Veamos el número de soluciones que tiene el siguiente sistema:
x+ y + z = 4 ,
−x+ 2z = 1 ,
x− 2y + 3z = 0 ,
2x+ y = 4 .
Construimos la matriz ampliada
(A|b) =

1 1 1 4
−1 0 2 1
1 −2 3 0
2 1 0 4
 .
Llevamos la matriz ampliada a forma escalonada:
1 1 1 4
−1 0 2 1
1 −2 3 0
2 1 0 4
 F2 + F1, F3 − F1−−−−−−−−−−−−−→
F4 − 2F1

1 1 1 4
0 1 3 5
0 −3 2 −4
0 −1 −2 −4

F3 + 3F2−−−−−−−→
F4 + F2

1 1 1 4
0 1 3 5
0 0 11 11
0 0 1 1
 F4 ↔ F3−−−−−−−→

1 1 1 4
0 1 3 5
0 0 1 1
0 0 11 11

F4 − 11F3−−−−−−−−→

1 1 1 4
0 1 3 5
0 0 1 1
0 0 0 0
 .
El sistema es compatible determinado ya que rg(A) = 3 = rg(A|b) =número de incógnitas.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 41
EJEMPLO
Veamos el número de soluciones que tiene el siguiente sistema:
x+ y + t = 2 ,
2x+ 2y − z + 3t = 7 ,
−x− y − 2z + t = 4 .
Construimos la matriz ampliada
(A|b) =
 1 1 0 1 2
2 2 −1 3 7
−1 −1 −2 1 4
 .
Llevamos la matriz ampliada a forma escalonada: 1 1 0 1 2
2 2 −1 3 7
−1 −1 −2 1 4
 F2 − 2F1−−−−−−−→
F3 + F1
 1 1 0 1 2
0 0 −1 1 3
0 0 −2 2 6

F3 − 2F2−−−−−−−→
 1 1 0 1 2
0 0 −1 1 3
0 0 0 0 0
 .
El sistema es compatible indeterminado ya que rg(A) = 2 = rg(A|b) < 4 =número de
incógnitas.
EJEMPLO
Veamos el número de soluciones que tiene el siguiente sistema:
x+ y + 2z = 1 ,
2x+ 3y + 3z = 2 ,
−x− y − 2z = −2 .
Construimos la matriz ampliada
(A|b) =
 1 1 2 1
2 3 3 2
−1 −1 −2 −2
 .
Llevamos la matriz ampliada a forma escalonada: 1 1 2 1
2 3 3 2
−1 −1 −2 −2
 F2 − 2F1−−−−−−−→
F3 + F1
 1 1 2 1
0 1 −1 0
0 0 0 −1
 .
El sistema es incompatible ya que rg(A) = 2 ̸= rg(A|b) = 3. El sistema no tiene solución.
42 ÁLGEBRA LINEAL PARA INGENIEROS
2.3. Resolución de un sistema de ecuaciones
Resolución mediante la matriz inversa. Consideremos el sistema de ecuaciones
AX = b. Si la matriz A es regular, podemos multiplicar por la inversa de A los dos
miembros de la ecuación, con lo cual:
A ·X = b =⇒ A−1·A ·X = A−1 · b =⇒X = A−1 · b .
EJEMPLO
Resolvamos el siguiente sistema:
3x+ 4y + z = 1 ,
2x+ 3y = 0 ,
4x+ 3y − z = −2 .
→
 3 4 1
2 3 0
4 3 −1
 x
y
z
 =
 1
0
−2
 .
Entonces:  x
y
z
 =
 3 4 1
2 3 0
4 3 −1
−1 1
0
2

=
 3/7 −1 3/7
−2/7 1 −2/7
6/7 −1 −1/7
 1
0
2

=
 −3/7
2/7
8/7
 .
Es decir, la solución del sistema es
x = −3/7, y = 2/7, z = 8/7 .
Nota. Hay que tener en cuenta que la aplicación de este sencillo método tiene dos
serias restricciones:
• Sólo se puede aplicar a sistemas con el mismo número de ecuaciones que de
incógnitas.
• Es necesario que la matriz de los coeficientes, A, tenga inversa.
Esto implica, según acabamos de ver, que el sistema es compatible determinado, es
decir, con solución única. Resumiendo, el método de la inversa sólo es aplicable a
sistemas determinados que tengan el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
Nota. Además, este forma de resolver sistemas requiere calcular la matriz inversa y
esto supone muchas operaciones.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 43
Proposición. Si realizamos una serie de operaciones elementales por filas sobre la
matriz ampliada de un sistema, el sistema resultante es equivalente al primero, es decir,
ambos tienen el mismo conjunto de soluciones.
Resolución mediante el método de Gauss. Consideremos el sistema de ecua-
ciones AX = b. Para resolverlo se sigue el siguiente proceso:
1. Construimos la matriz ampliada del sistema, (A|b)
2. Mediante operaciones elementales por filas llevamos la matriz ampliada a forma
escalonada.
3. Estudiamos los rangos de A y de (A|b) para saber si el sistema es compatible.
• Si el sistema es compatible determinado, despejamos las incógnitas co-
menzando por la última ecuación.
• Si el sistema es compatible indeterminado, asignamos el valor de un pará-
metro a cada una de las incógnitas que se corresponden con las columnas
que no tienen pivote y despejamos el resto de incógnitas comenzando por
la última ecuación. El número de parámetros será igual a la diferencia
entre el número de incógnitas y el rango de la matriz.
Nota. El método de Gauss se puede aplicar a cualquier sistema de ecuaciones. Ade-
más requiere de muchas menos operaciones que el método de la inversa.
EJEMPLO
Volviendo al ejemplo de la página 40, vamos a calcular las soluciones del sistema
x+ y + z = 4 ,
−x+ 2z = 1 ,
x− 2y + 3z = 0 ,
2x+ y = 4 .
Ya vimos que era compatible determinadoy habíamos llegado a la siguiente forma escalonada:
1 1 1 4
0 1 3 5
0 0 1 1
0 0 0 0

Es decir, el sistema es equivalente a
x+ y + z = 4 ,
y + 3z = 5 ,
z = 1 .
44 ÁLGEBRA LINEAL PARA INGENIEROS
Despejamos comenzando por la última ecuación:
z = 1 =⇒ y + 3 = 5 =⇒ y = 2 =⇒ x+ 2 + 1 = 4 =⇒ x = 1 .
Luego la solución es
x = 1 ,
y = 2 ,
z = 1 .
EJEMPLO
Tomemos ahora el ejemplo de la página 41:
x+ y + t = 2 ,
2x+ 2y − z + 3t = 7 ,
−x− y − 2z + t = 4 .
Vimos que era compatible indeterminado y habíamos llegado a la siguiente forma escalonada: 1 1 0 1 2
0 0 −1 1 3
0 0 0 0 0
 .
Es decir, el sistema es equivalente a
x+ y + t = 2 ,
−z + t = 3 .
Asignamos el valor de un parámetro a las incógnitas que se corresponden con columnas que
no contienen pivote:
y = α , t = β .
Despejamos comenzando por la última ecuación:
−z + β = 3 =⇒ z = β − 3 ,
x+ α+ β = 2 =⇒ x = 2− α− β .
Luego la solución es
x = 2− α− β ,
y = α ,
z = β − 3 ,
t = β ,
α, β ∈ IR .
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 45
Resolución mediante el método de la traspuesta. Consideremos el sistema
de ecuaciones AX = b, donde A es una matriz m × n. Para resolverlo se sigue el
siguiente proceso:
1. Construimos la siguiente matriz:(
At In
−bt 0
)
,
donde In es la matriz identidad de orden n y 0 es una fila de n ceros.
2. Mediante operaciones elementales por filas llevamos la parte izquierda de esta
matriz a forma escalonada con la única restricción de que la última fila no se
puede cambiar de lugar.
3. Tenemos cuatro posibilidades:
• Si es imposible llevar la parte izquierda a forma escalonada, debido a la
restricción, entonces el sistema es incompatible.
• Si la última fila de la izquierda no es nula, el sistema es incompatible.
• Si la última fila de la izquierda es la única fila nula de esta parte, el sis-
tema es compatible determinado y la solución es la última fila de la parte
derecha.
• Si hay más de una fila nula en la parte izquierda, el sistema es compatible
indeterminado y las soluciones se obtienen sumando a la última fila de la
parte derecha una combinación lineal del resto de filas de la parte derecha
que se corresponden con las filas nulas de la izquierda.
EJEMPLO
Vamos a resolver el siguiente sistema:
x+ y + 2z = 1 ,
2x+ 3y + 3z = 2 ,
−x− y − 2z = −2 .
Construimos la matriz y llevamos la parte izquierda a forma escalonada:
(
At In
−bt 0
)
=

1 2 −1 1 0 0
1 3 −1 0 1 0
2 3 −2 0 0 1
−1 −2 2 0 0 0
 F2 − F1, F3 − 2F1−−−−−−−−−−−−−−→
F4 + F1
1 2 −1 1 0 0
0 1 0 −1 1 0
0 −1 0 −2 0 1
0 0 1 1 0 0
 F3 + F2−−−−−−→

1 2 −1 1 0 0
0 1 0 −1 1 0
0 0 0 −3 1 1
0 0 1 1 0 0
 .
Vemos que es imposible llevar la parte izquierda a forma escalonada. Por tanto, el sistema es
incompatible.
46 ÁLGEBRA LINEAL PARA INGENIEROS
EJEMPLO
Vamos a resolver el sistema
x+ y + z = 4 ,
−x+ 2z = 1 ,
x− 2y + 3z = 0 ,
2x+ y = 4 .
Construimos la matriz y llevamos la parte izquierda a forma escalonada:
(
At In
−bt 0
)
=

1 −1 1 2 1 0 0
1 0 −2 1 0 1 0
1 2 3 0 0 0 1
−4 −1 0 −4 0 0 0

F2 − F1, F3 − F1−−−−−−−−−−−−−→
F4 + 4F1

1 −1 1 2 1 0 0
0 1 −3 −1 −1 1 0
0 3 2 −2 −1 0 1
0 −5 4 4 4 0 0

F3 − 3F2−−−−−−−→
F4 + 5F2

1 −1 1 2 1 0 0
0 1 −3 −1 −1 1 0
0 0 11 1 2 −3 1
0 0 −11 −1 −1 5 0

F4 + F3−−−−−−→

1 −1 1 2 1 0 0
0 1 −3 −1 −1 1 0
0 0 11 1 2 −3 1
0 0 0 0 1 2 1
 .
La única fila nula de la parte izquierda es la última. Por tanto, la solución es la última fila de
la parte derecha:
(x, y, z) = (1, 2, 1),
es decir,
x = 1 ,
y = 2 ,
z = 1 .
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 47
EJEMPLO
Vamos a resolver el sistema
x+ y + t = 2 ,
2x+ 2y − z + 3t = 7 ,
−x− y − 2z + t = 4 .
Construimos la matriz y llevamos la parte izquierda a forma escalonada:
(
At In
−bt 0
)
=

1 2 −1 1 0 0 0
1 2 −1 0 1 0 0
0 −1 −2 0 0 1 0
1 3 1 0 0 0 1
−2 −7 −4 0 0 0 0

F2 − F1, F4 − F1−−−−−−−−−−−−−→
F5 + 2F1

1 2 −1 1 0 0 0
0 0 0 −1 1 0 0
0 −1 −2 0 0 1 0
0 1 2 −1 0 0 1
0 −3 −6 2 0 0 0

F2 ↔ F4−−−−−−−→

1 2 −1 1 0 0 0
0 1 2 −1 0 0 1
0 −1 −2 0 0 1 0
0 0 0 −1 1 0 0
0 −3 −6 2 0 0 0

F3 + F2−−−−−−−→
F5 + 3F2

1 2 −1 1 0 0 0
0 1 2 −1 0 0 1
0 0 0 −1 0 1 1
0 0 0 −1 1 0 0
0 0 0 −1 0 0 3
 .
Hay más de una fila nula en la parte izquierda, luego el sistema es compatible indeterminado y
las soluciones se obtienen sumando a la última fila de la parte derecha una combinación lineal
del resto de filas de la parte derecha que se corresponden con las filas nulas de la izquierda:
(x, y, z, t) = (−1, 0, 0, 3) + α(−1, 0, 1, 1) + β(−1, 1, 0, 0), α, β ∈ IR ,
es decir,
x = −1− α− β ,
y = β ,
z = α ,
t = 3 + α .
48 ÁLGEBRA LINEAL PARA INGENIEROS
EJEMPLO
Vamos a resolver el siguiente sistema:
2x+ 2y + 2z = 0 ,
2x+ 3y + 2z = 1 ,
x+ 2y = 1 ,
2x+ y + 2z = 2 .
Construimos la matriz y llevamos la parte izquierda a forma escalonada:
(
At In
−bt 0
)
=

2 2 1 2 1 0 0
2 3 2 1 0 1 0
2 2 0 2 0 0 1
0 −1 −1 −2 0 0 0

F2 − F1−−−−−−→
F3 − F1

2 2 1 2 1 0 0
0 1 1 −1 −1 1 0
0 0 −1 0 −1 0 1
0 −1 −1 −2 0 0 0

F4 + F2−−−−−−→

2 2 1 2 1 0 0
0 1 1 −1 −1 1 0
0 0 −1 0 −1 0 1
0 0 0 −3 −1 1 0
 .
La parte izquierda está en forma escalonada, pero la última fila no es nula. Por tanto, el sistema
es incompatible.
2.4. Sistemas homogéneos
SISTEMA LINEAL HOMOGÉNEO. Se dice que un sistema lineal es homogéneo cuando
todos los términos independientes son iguales a cero:
a11x1+ a12x2+ a13x3+ · · ·+ a1nxn = 0 ,
a21x1+ a22x2+ a23x3+ · · ·+ a2nxn = 0 ,
a31x1+ a32x2+ a33x3+ · · ·+ a3nxn = 0 ,
...
...
am1x1+ am2x2+ am3x3+ · · ·+ amnxn = 0 .
Es decir, son sistemas en los que el vector b es el vector nulo: A ·X = 0. Constituyen
un caso particular de los sistemas lineales.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 49
Soluciones de un sistema homogéneo. En estos sistemas siempre se verifica
que rg(A) = rg(A|b), con lo cual serán siempre compatibles. Por el teorema de
Rouché-Fröbenius tendremos únicamente dos casos:
1. Si rg(A) = n, el sistema será compatible determinado, y la sólución única será
X = 0 → x1 = x2 = . . . = xn = 0 ,
que se llama solución trivial.
2. Si rg(A) < n, el sistema será compatible indeterminado.
Resolución de un sistema homogéneo mediante el método de Gauss.
Para resolver un sistema homogéneo mediante el método de Gauss no es necesario
tomar la matriz ampliada del sistema, ya que sabemos que el término independiente
es cero. Entonces consideraremos solo la matriz del sistema y la llevaremos a forma
escalonada.
• Si el sistema es compatible determinado, la solución es la trivial.
• Si el sistema es compatible indeterminado, asignamos el valor de un parámetro
a cada una de las incógnitas que se corresponden con las columnas que no tienen
pivote y despejamos el resto de incógnitas comenzando por la última ecuación.
EJEMPLO
Vamos a resolver el sistema
−x+ 2y + 2z = 0 ,
x− 2y − z = 0 ,
2x− 3y − 6z = 0 .
Llevamos a forma escalonada la matriz:
A =
 −1 2 2
1 −2 −1
2 −3 −6
 F2 + F1−−−−−−−→
F3 + 2F1
 −1 2 2
0 0 1
0 1 −2
 F3 ↔ F2−−−−−−−→
 −1 2 2
0 1 −2
0 0 1
 .
Tenemos que rg(A) =3 =número de incógnitas. Luego es un sistema compatible determi-
nado, y la única solución es la solución trivial:
x = y = z = 0 .
50 ÁLGEBRA LINEAL PARA INGENIEROS
EJEMPLO
Vamos a resolver el sistema
2x1 + x2 + x3 − x4 + x5 = 0 ,
−2x1 − x2 + 2x3 + 2x4 − 2x5 = 0 ,
6x1 + 3x2 − 4x4 + 4x5 = 0 .
Llevamos a forma escalonada la matriz:
A =
 2 1 1 −1 1
−2 −1 2 2 −2
6 3 0 −4 4
 F2 + F1−−−−−−−→
F3 − 3F1
 2 1 1 −1 1
0 0 3 1 −1
0 0 −3 −1 1

F3 + F2−−−−−−→
 2 1 1 −1 1
0 0 3 1 −1
0 0 0 0 0
 .
Es un sistema compatible indeterminado, ya que
rg(A) = 2 < 5 = número de incógnitas.
Asignamos el valor de un parámetro a las incógnitas que se corresponden con columnas que
no contienen pivote:
x2 = α1 , x4 = α2 , x5 = α3 .
Despejamos comenzando por la última ecuación:
3x3 + α2 − α3 = 0 =⇒ x3 = −1
3
α2 +
1
3
α3 ,
2x1 + α1 +
(
−1
3
α2 +
1
3
α3
)
− α2 + α3 = 0 =⇒ x1 = −1
2
α1 +
4
6
α2 −
4
6
α3 .
Luegola solución es
x1 = −1
2
α1 +
4
6
α2 −
4
6
α3 ,
x2 = α1 ,
x3 = −1
3
α2 +
1
3
α3 ,
x4 = α2 ,
x5 = α3 ,
α1, α2, α3 ∈ IR .
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 51
Resolución de un sistema homogéneo mediante el método de la tras-
puesta. Para resolver un sistema homogéneo mediante el método de la traspuesta
tomaremos la siguiente matriz: (
At|In
)
.
Mediante operaciones elementales por filas llevamos la parte izquierda de esta matriz
a forma escalonada. Tenemos dos posibilidades:
• Si en el bloque de la izquierda no hay ninguna fila nula, la única solución es la
trivial.
• Si hay filas nulas en la parte izquierda, el sistema es compatible indeterminado
y las soluciones son las combinaciones lineales de las filas de la parte derecha
que se corresponden con las filas nulas de la izquierda.
EJEMPLO
Vamos a resolver el sistema
x+ y + z + 2t = 0 ,
−x+ 2z + 2t = 0 ,
6x+ 5y + 3z + 8t = 0 .
Construimos la matriz y llevamos la parte izquierda a forma escalonada:
(
At|In
)
=

1 −1 6 1 0 0 0
1 0 5 0 1 0 0
1 2 3 0 0 1 0
2 2 8 0 0 0 1

F2 − F1, F3 − F1−−−−−−−−−−−−−→
F4 − 2F1

1 −1 6 1 0 0 0
0 1 −1 −1 1 0 0
0 3 −3 −1 0 1 0
0 4 −4 −2 0 0 1

F3 − 3F2−−−−−−−→
F4 − 4F2

1 −1 6 1 0 0 0
0 1 −1 −1 1 0 0
0 0 0 2 −3 1 0
0 0 0 2 −4 0 1
 .
Luego las soluciones son
(x, y, z, t) = α(2,−3, 1, 0) + β(2,−4, 0, 1) , α, β ∈ IR .
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 59
PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 2.1. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
−2y − 5z = −6 ,
2x+ 6y − 6z = 1 ,
−x− 6y − 5z = −10 ,
2x+ 10y + 5z = 14 .
PROBLEMA 2.2. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
24x+ 12y = 20 ,
4x+ 2y = 6 ,
−4x− 2y = 0 ,
−16x− 8y = −16 .
PROBLEMA 2.3. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2x+ 3y + z + 2t = 10 ,
2x− z + 4t = 18 ,
x+ y + z + t = 8 ,
3x+ y − z − 2t = −13 .
PROBLEMA 2.4. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
39x1 + 65x2 − 11x3 + 28x4 − 3x5 = 33 ,
−15x1 − 25x2 + 4x3 − 11x4 + x5 = −13 .
PROBLEMA 2.5. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x− 3y + 5z = 0 ,
2x+ 6y − 6z = 0 ,
−x− 6y − 5z = 0 ,
3x+ 7y + 5z = 0 .
60 ÁLGEBRA LINEAL PARA INGENIEROS
PROBLEMA 2.6. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2x+ 12y + 3z − t = 0 ,
x− 5y + 2t = 0 .
PROBLEMA 2.7. Determínense los valores de a para los que el siguiente sistema
es compatible determinado:
9x1 + 5x2 − ax3 + 28x4 − 32x5 = 3 ,
17x1 + 6x2 − 21x3 + 13x4 − 3x5 = 0 ,
12x1 + ax2 − 2x3 + 7x4 − 9x5 = 12 ,
−5x1 − 12x2 + 12x3 − 11x4 + x5 = −8 .