des olimpiadas 2019-84

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18. Sangakus. 
En templos budistas de Japón, colgadas en sus aleros, se hallan tablillas 
de madera con exquisitos dibujos que hacían referencias a los logros 
artísticos alcanzados, ofrecidos por sus fieles. Entre ellos existen 
algunos con figuras geométricas que llamaron Sangakus, que significa 
“tablilla matemática” y en los que se plantean diversos retos 
matemáticos. 
Sabiendo que el lado de cuadrado mayor mide 80 mm, ¿cuánto medirá 
el radio de ambos círculos y el lado del cuadrado? 
 
––––––––– RESOLUCIÓN ––––––––– 
Consideremos la configuración de la Figura 1, donde M es el punto 
medio del lado AB, E y F son los vértices del cuadrado sobre el lado 
AB. Llamando 𝑙 a la medida del lado del cuadrado interior, se tiene 
que 
𝐴𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝐵 = 80. 
Además, como 𝐴𝐸 = 𝐹𝐵 debido a la simetría de la figura, 
deducimos que 
𝐴𝐸 + 𝑙 + 𝐴𝐸 = 80 ⇒ 𝐴𝐸 =
80 − 𝑙
2
= 40 −
𝑙
2
. 
Ahora, aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo Δ𝐸𝐵𝐻: 
𝐸𝐵2 + 𝐸𝐻2 = 𝐵𝐻2 
⇒ (𝑙 + 40 −
𝑙
2
)
2
+ 𝑙2 = 802 
donde hemos utilizado que 𝐸𝐵 = 𝐸𝐹 + 𝐹𝐵. 
(
𝑙
2
+ 40)
2
+ 𝑙2 = 802 ⇒⇒
𝑙2
4
+ 40𝑙 + 1600 + 𝑙2 = 640 ⇒ 
𝑙2 + 160𝑙 + 6400 + 4𝑙2 = 25600 
⇒ 5𝑙2 + 160𝑙 − 19200 = 0 
⇒ 𝑙2 + 32𝑙 − 3840 = 0 
Resolviendo esta ecuación de segundo grado 
𝑙 =
−(32) ± √322 − 4 · 1 · (−3840)
2 · 1
=
−32 ± √1024 + 15360
2
=
−32 ± 128
2
 
Obteniendo que 𝑙 puede ser, o bien -80 o bien 48. Desechando la solución negativa tenemos 
que 𝒍 = 𝟒𝟖 𝒎𝒎.