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El Algebra
JPP-HdM – p. 1/76
Qué es el álgebra?
JPP-HdM – p. 2/76
Qué es el álgebra?
Todo lo que sea objeto de estudio matemático (curvas
y superficies, funciones, simetrías, cristales, mecánica
cuántica y demás) puede ser ’coordenatizado’ o ’me-
dido’. Sin embargo, para esta coordinatización los
números ’ordinarios’ no siempre son lo adecuado. A
la inversa, cuando encontramos un nuevo tipo de ob-
jeto, estamos forzados a construir o descubrir nuevas
’cantidades’ para coordenatizarlos. La construcción y
el estudio de estas cantidades es lo que caracteriza el
lugar del álgebra en las matemáticas (por supuesto,
muy aproximadamente).
Kostrikin y Shafarevich, Algebra I, EMS Springer
(1987)
JPP-HdM – p. 3/76
ETAPAS
JPP-HdM – p. 4/76
Etapas del Algebra
(Primaria,· · · - 1550) Números: simbolismo para los
propios números. Reglas para las operaciones enN
(estrictamente, con los naturales, racionales positivos,
y algunos reales); representación geométrica de los
números. Máximos responsables: Euclides, Diofanto.
JPP-HdM – p. 5/76
Etapas del Algebra
(Primaria,· · · - 1550) Números
(Secundaria, 1550 - 1840) Polinomios:Z[x], se
profundiza el estudio deN y Z (apareceC, luegoo
C[x]). Máximos responsables: Viete, Descartes,
Gauss.
JPP-HdM – p. 6/76
Etapas del Algebra
(Primaria,· · · - 1550) Números
(Secundaria, 1550 - 1840) Polinomios
(Universitaria, 1840 - 1930) Estructuras: grupos,
anillos, cuerpos, espacios vectoriales, módulos...
Máximos responsables: Cauchy, Hamilton, Dedekind,
Noether.
JPP-HdM – p. 7/76
Etapas del Algebra
(Primaria,· · · - 1550) Números
(Secundaria,1550 - 1840) Polinomios
(Universitaria, 1840 - 1930) Estructuras
(Pos-grado, 1930 -· · · ) Meta-estructuras:
sistematización, categorías y functores;... Máximos
responsables: Bourbaki, Groethendiek.
JPP-HdM – p. 8/76
Clasificación (arbitraria)
Euclides, Diofanto, Gauss, Noether, Bourbaki.
Descartes, Cauchy, Hamilton, Dedekind,
Groethendiek
JPP-HdM – p. 9/76
Francois Viete (1540-1603)
Introduce tres tipos de análisis:
JPP-HdM – p. 10/76
Francois Viete (1540-1603)
Introduce tres tipos de análisis:
• Zetético: transformación de un problema en una
ecuación.
JPP-HdM – p. 11/76
Francois Viete (1540-1603)
Introduce tres tipos de análisis:
• Zetético: transformación de un problema en una
ecuación.
• Porístico: explorar una conjetura manipulando
símbolos.
JPP-HdM – p. 12/76
Francois Viete (1540-1603)
Introduce tres tipos de análisis:
• Zetético: transformación de un problema en una
ecuación.
• Porístico: explorar una conjetura manipulando
símbolos.
• Exegético: el arte de resolver una ecuación
hallada por el análisis zetético.
JPP-HdM – p. 13/76
Origen del Algebra
JPP-HdM – p. 14/76
Origen del Algebra
• Solución de ecuaciones polinomiales
JPP-HdM – p. 15/76
Origen del Algebra
• Solución de ecuaciones polinomiales
• Teoría de números
JPP-HdM – p. 16/76
Origen del Algebra
• Solución de ecuaciones polinomiales
• Teoría de números
• Problemas físicos y geométricos
JPP-HdM – p. 17/76
Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Algebra babilónica, los hindúes, los árabes, Fiore,
Cardano, Ferrari, Tartaglia, Viete, Descartes
JPP-HdM – p. 18/76
Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Algebra babilónica, los hindúes, los árabes, Fiore,
Cardano, Ferrari, Tartaglia, Viete, Descartes
• Babilonia: libro de problemas ’prácticos’
JPP-HdM – p. 19/76
Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Algebra babilónica, los hindúes, los árabes, Fiore,
Cardano, Ferrari, Tartaglia, Viete, Descartes
• Babilonia: libro de problemas ’prácticos’
• Solución de cuadráticas y cúbicas de Omar
Khayyam
JPP-HdM – p. 20/76
Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Algebra babilónica, los hindúes, los árabes, Fiore,
Cardano, Ferrari, Tartaglia, Viete, Descartes
• Babilonia: libro de problemas ’prácticos’
• Solución de cuadráticas y cúbicas de Omar
Khayyam
• Los italianos y la ecuación de 3er grado
JPP-HdM – p. 21/76
Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Algebra babilónica, los hindúes, los árabes, Fiore,
Cardano, Ferrari, Tartaglia, Viete, Descartes
• Babilonia: libro de problemas ’prácticos’
• Solución de cuadráticas y cúbicas de Omar
Khayyam
• Los italianos y la ecuación de 3er grado
• La Geometría de Descartes
JPP-HdM – p. 22/76
Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss
JPP-HdM – p. 23/76
Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss
• Los números complejos
JPP-HdM – p. 24/76
Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss
• Los números complejos
• Relaciones entre las raíces
JPP-HdM – p. 25/76
Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss
• Los números complejos
• Relaciones entre las raíces
• El TFA
JPP-HdM – p. 26/76
Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Ruffini, Abel, Galois (los " idiotas")
• Solución por radicales
JPP-HdM – p. 27/76
Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Ruffini, Abel, Galois (los " idiotas")
• Solución por radicales
Lagrange, Cauchy, Cayley
• Permutaciones de raíces
• Teoría de grupos
JPP-HdM – p. 28/76
Teoría de números
Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,
Dedekind...
JPP-HdM – p. 29/76
Teoría de números
Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,
Dedekind...
• Puntos racionales en el círculo
JPP-HdM – p. 30/76
Teoría de números
Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,
Dedekind...
• Puntos racionales en el círculo
• Escribir un número como suma de 2 o 4
cuadrados
JPP-HdM – p. 31/76
Teoría de números
Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,
Dedekind...
• Puntos racionales en el círculo
• Escribir un número como suma de 2 o 4
cuadrados
• Zp, enteros gaussianos, factorización única
JPP-HdM – p. 32/76
Teoría de números
Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,
Dedekind...
• Puntos racionales en el círculo
• Escribir un número como suma de 2 o 4
cuadrados
• Zp, enteros gaussianos, factorización única
• Fermat
JPP-HdM – p. 33/76
Teoría de números
Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,
Dedekind...
• Puntos racionales en el círculo
• Escribir un número como suma de 2 o 4
cuadrados
• Zp, enteros gaussianos, factorización única
(Kummer, ideales)
• Fermat
–Andrew Wiles
–Serre - Ribet - Dieulefait - Khare-Wintenberger
JPP-HdM – p. 34/76
Problemas físico-geométricos
JPP-HdM – p. 35/76
Problemas físico-geométricos
• Latitud y longitud (Oresme)
JPP-HdM – p. 36/76
Problemas físico-geométricos
• Latitud y longitud (Oresme)
• Coordenadas y geometría analítica (Fermat,
Descartes)
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Problemas físico-geométricos
• Latitud y longitud (Oresme)
• Coordenadas y geometría analítica (Fermat,
Descartes)
• Curvas algebraicas (Newton, Descartes, Euler,
Bezout)
JPP-HdM – p. 38/76
Problemas físico-geométricos
Problemas clásicos
• Duplicación del cubo
• Trisección del ángulo
• Cuadratura del círculo
(Mucha gente involucrada)
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Problemas físico-geométricos
• Espacios vectoriales (Grassman, Hamilton
-quiere liberar a los complejos de la geometría!)
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Problemas físico-geométricos
• Espacios vectoriales (Grassman, Hamilton
-quiere liberar a los complejos de la geometría!)
• Rotaciones, Ecuaciones diferenciales, Simetrías
de las leyes físicas (Euler, Lagrange, Cauchy, Lie,
Noether)
JPP-HdM – p. 41/76
Problemas físico-geométricos
• Espacios vectoriales (Grassman, Hamilton
-quiere liberar a los complejos de la geometría!)
• Rotaciones, Ecuaciones diferenciales, Simetrías
de las leyes físicas (Euler, Lagrange, Cauchy, Lie,
Noether)
• Cálculo vectorial, leyes físicas (Gibbs, Heaviside
y Stokes, "los vulgarizadores que toman de
Hamilton yGrassman lo que se ha llamado
cálculo vectorial"
JPP-HdM – p. 42/76
Problemas físico-geométricos
• Espacios vectoriales (Grassman, Hamilton
-quiere liberar a los complejos de la geometría!)
• Rotaciones, Ecuaciones diferenciales, Simetrías
de las leyes físicas (Euler, Lagrange, Cauchy, Lie,
Noether)
• Cálculo vectorial, leyes físicas (Gibbs, Heaviside
y Stokes, "los vulgarizadores que toman de
Hamilton y Grassman lo que se ha llamado
cálculo vectorial", y Thompson -lord Kelvin-,
Green, Tait, y Maxwell, "los cuaternonistas
fanáticos")
JPP-HdM – p. 43/76
Física y Geometría
Maxwell quedó impresionado por los trabajos de Tait
sobre aplicaciones físicas de los cuaterniones y
escribió a Thomson in 1871:
"You should let the world know that the true source of
mathematical methods as applicable to physics is to
be found in the Proceedings of the Royal Society of
Edinburgh. The volume- surface- and line- integrals
of vectors and quaternions and their properties as in
the course of being worked out by Tait is worth all
that is going on in other seats of learning."
JPP-HdM – p. 44/76
Física y Geometría
Tait empezó a estudiar la teoría de nudos, y empezó
con la mezcla de física y cuaterniones re-escribiendo
resultados de Helmholz sobre mecánica de fluídos.
JPP-HdM – p. 45/76
Física y Geometría
Tait empezó a estudiar la teoría de nudos, y empezó
con la mezcla de física y cuaterniones re-escribiendo
resultados de Helmholz sobre mecánica de fluídos.
En particular, mostró cómo se podía describir el fluído
separando su movimiento, su rotación y su dilatación.
JPP-HdM – p. 46/76
Física y Geometría
Tait empezó a estudiar la teoría de nudos, y empezó
con la mezcla de física y cuaterniones re-escribiendo
resultados de Helmholz sobre mecánica de fluídos.
En particular, mostró cómo se podía describir el fluído
separando su movimiento, su rotación y su dilatación.
Reescribió las ecuaciones de Maxwell para el
electromagnetismo vectorialmente:
JPP-HdM – p. 47/76
Ley de Ampere





∂H3
∂y
−
∂H2
∂z
= 4π
(
j1 + ∂D1
∂t
)
∂H1
∂z
−
∂H3
∂x
= 4π
(
j2 + ∂D2
∂t
)
∂H2
∂x
−
∂H1
∂y
= 4π
(
j3 + ∂D3
∂t
)
∇× H = j +
∂D
∂t
H campo magnético
D densidad de campo eléctrico
j densidad de corriente
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Ley de Faraday





∂E3
∂y
−
∂E2
∂z
= −
∂B1
∂t
∂E1
∂z
−
∂E3
∂x
= −
∂B1
∂t
∂E2
∂x
−
∂E1
∂y
= −
∂B1
∂t
∇× E = −
∂B
∂t
E campo eléctrico
B campo magnético
JPP-HdM – p. 49/76
Leyes de Gauss
∂D1
∂x
+
∂D1
∂y
+
∂D1
∂z
= ρ
∂B1
∂x
+
∂B1
∂y
+
∂B1
∂z
= 0
∇ · D = ρ ∇ · B = 0
ρ densidad de carga eléctrica
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Los operadores∇., ∇× también tienen unidades
cuáles?
JPP-HdM – p. 51/76
El Algebra
1844 − 1931
JPP-HdM – p. 52/76
1844
• Hamilton, álgebras:On a new Species of
Imaginary Quantities connected with a theory of
Quaternions, Proc. of the Royal Irish Acad. 2
(1844), 424-434, y otros tres papers.
JPP-HdM – p. 53/76
1844
• Hamilton, álgebras.
• Grassman, espacios vectoriales:Die Lineale
Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der
Mathematik(Teoría de la Extensión Lineal, una
nueva rama de las matemáticas) (1844).
JPP-HdM – p. 54/76
1844
• Hamilton, álgebras.
• Grassman, espacios vectoriales.
• Cauchy, grupos de permutaciones:Exercise
d’analyse et de physique mathmatique, 3, Paris
(1844) 151-252. (al año siguiente, C. R., t. XXI,
277-496!)
JPP-HdM – p. 55/76
1844
• Hamilton, álgebras.
• Grassman, espacios vectoriales.
• Cauchy, grupos de permutaciones.
• Kummer, ideales:De numeris complexis, qui
radicibus unitatis et numeris integris realibus
constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur
Jubelfeier der Univ. Königsberg, (1844).
JPP-HdM – p. 56/76
1844
• Hamilton, álgebras.
• Grassman, espacios vectoriales.
• Cauchy, grupos de permutaciones.
• Kummer, ideales.
1931
Van der Waerden,Moderne Algebra, 2 vol., 1er ed.
Springer, Berlin.
JPP-HdM – p. 57/76
Cuál fue la mayor influencia para el álgebra a
principios del s. XX?
JPP-HdM – p. 58/76
Cuál fue la mayor influencia para el álgebra a
principios del s. XX?
La Primera Guerra Mundial
JPP-HdM – p. 59/76
1914-1918
• Marne 1914: comienza la guerra de trincheras
2, 6.105 - 2, 5.105 (2, 5.105 franceses)
JPP-HdM – p. 60/76
1914-1918
• Marne 1914: comienza la guerra de trincheras
2, 6.105 - 2, 5.105 (2, 5.105 franceses)
• Verdun 1916: uso del gas difosgeno (cloro
-alemán, líquido- y fosgeno -francés, gas a8◦ C)
3, 8.105 Francia -3, 2.105
JPP-HdM – p. 61/76
1914-1918
• Marne 1914: comienza la guerra de trincheras
2, 6.105 - 2, 5.105 (2, 5.105 franceses)
• Verdun 1916: uso del gas difosgeno (cloro
-alemán, líquido- y fosgeno -francés, gas a8◦ C)
3, 8.105 Francia -3, 2.105
• Somme 1916: debut de los tanques, a 3.2 km/h
4.105 ingleses,2.105 franceses,4.105 alemanes
(para distraer a los alemanes de Verdún)
JPP-HdM – p. 62/76
Matemáticos Franceses I
1903 − 1909
Delsarte, Dubreil, Cartan, Ehressman, Possel,
Dubreil-Jacotin, Weil, Dieudonné, Leray, Chevalley
[Kolmogorov, Segre, Church, Hodge, Mahler, Stone,
Wintner, Orlicz, van der Waerden, Littlewood, de
Rham, Sobolev, Lewy, Whitehead, Mac Lane, Quine,
Landau, Feller, Taussky, Tikhonov, Paley, Whitney,
Coxeter, Alfhors, Krein, Carlitz, Keller, Godel,
Mazur, Young, Shnirelmann, Borsuk]
JPP-HdM – p. 63/76
Matemáticos Franceses II
1910 − 1915 : 0
[Erdos, Kac, Eilenberg, Levinson, Kakutani, Doob,
Bers, Dantzig, Gelfand, Kantorovich, Witt, Chern,
Turing, Birkhoff, Jacobson, Turán, Fritz John, S.
Schwarz, Teischmuller, Zuse, Zassenhaus]
1915 − 1919 : Laurent Schwartz
[Hamming, Kodaira, Tukey, Ito, Halmos, Shannon,
Kaplansky, Tutte, Selberg, Kato, Iwasawa, Nicolson,
Fomin, Robinson (x2), Smullyan]
JPP-HdM – p. 64/76
La postguerra
Bourbaki ∼ 1933
JPP-HdM – p. 65/76
Era posible otra matematica?
JPP-HdM – p. 66/76
Era posible otra matematica?
Si
JPP-HdM – p. 67/76
Era posible otra matematica?
Si
• A.-L. Cholesky (1875-31/08/1918)
• Jean Cavailles (1903-1944)
• Albert Lautman (1908-1944)
• René Gateaux (1889-1914)
• Simone Weil (1909-1943)
JPP-HdM – p. 68/76
Dieudonné (I)
" (...) el cálculo, una de cuyas repercusiones fue la de
permitir la determinación, en un número finito de
pasos, de las raíces de cualquier ecuación con tantos
decimales como se quiera (pongamos 20). Es un
método estándar que se conoce bien desde Newton y
que, en un ordenador, proporciona el resultado muy
rápidamente, en pocos segundos, cuando antes eran
necesarios tres o cuatro días de trabajo duro. No hay
dudas de que el método era perfecto para los usuarios
y los técnicos. Por qué esos idiotas de los matemáticos
siguieron buscando soluciones por radicales?"
Pensar las mateḿaticas, Tusquets, 185-186 (1988)
JPP-HdM – p. 69/76
Bourbaki (II)
" (...) la singularidad de este ejemplo (...) restringe
algo su alcance, a pesar, o más bien a causa, de la
formación de una escuela de " cuaternonistas"
fanáticos, extraño fenómeno que se reproduce más
tarde alrededor de la obra de Grassman, y después en
los vulgarizadores que toman de Hamilton y
Grassman lo que se ha llamado " cálculo vectorial"."
Algebra lineal y Algebra multilineal, Elementos de
Historia de las matemáticas, Alianza Ed. (1976) p.93
JPP-HdM – p. 70/76
Elementos de Historia de las
matemáticas, N. Bourbaki
Contras:
• Anacronismos y valoraciones a posteriori:
Dieudonné menciona también las computadoras
al calificar de ’tonto’ al problema de calcular el
área y la longitud de arco de la elipse; grandes
resultados son apenas ’ejemplos’ de teorías
abstractas posteriores; " Peano, uno de los
creadores del método axiomático..."
JPP-HdM – p. 71/76
Elementos de Historia de las
matemáticas, N. Bourbaki
Contras:
• Anacronismos y valoraciones a posteriori
• Excesivamente centrado en el álgebra:
son notas de sus Capítulos, los cuales son
mayoritariamente algebraicos; pero se nota
además un desprecio continuo por otras áreas -la
mecánica y la astronomía no se mencionan, se
ignoran las probabilidades, el análisises un
’método’, etc.
JPP-HdM – p. 72/76
Elementos de Historia de las
matemáticas, N. Bourbaki
Contras:
• Anacronismos y valoraciones a posteriori
• Excesivamente centrado en el álgebra
• Motivación errónea:
excesiva presunción de platonismo en las
motivaciones de los demás; querer entender,
mayor abstracción..., deja de lado todo problema
práctico, aplicación, casualidad,... Error
involuntario o ideológico?
JPP-HdM – p. 73/76
Elementos de Historia de las
matemáticas, N. Bourbaki
Contras:
• Anacronismos y valoraciones a posteriori
• Excesivamente centrado en el álgebra
• Motivación errónea
Pro: cubre completamente los resultados teóricos del
álgebra a partir del 1800;
JPP-HdM – p. 74/76
Elementos de Historia de las
matemáticas, N. Bourbaki
Contras:
• Anacronismos y valoraciones a posteriori
• Excesivamente centrado en el álgebra
• Motivación errónea
Pro: cubre completamente los resultados teóricos del
álgebra a partir del 1800; muy buena bibliografía;
JPP-HdM – p. 75/76
Elementos de Historia de las
matemáticas, N. Bourbaki
Contras:
• Anacronismos y valoraciones a posteriori
• Excesivamente centrado en el álgebra
• Motivación errónea
Pro: cubre completamente los resultados teóricos del
álgebra a partir del 1800; muy buena bibliografía;
excelente color de la tapa y buen tamaño de letra.
JPP-HdM – p. 76/76
	Qué es el álgebra?
	Qué es el álgebra?
	Etapas del Algebra
	Etapas del Algebra
	Etapas del Algebra
	Etapas del Algebra
	Clasificación (arbitraria)
	Francois Viete (1540-1603)
	Francois Viete (1540-1603)
	Francois Viete (1540-1603)
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	Origen del Algebra
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	Problemas físico-geométricos
	Problemas físico-geométricos
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	Física y Geometría
	Física y Geometría
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	1914-1918 
	1914-1918 
	1914-1918 
	Matemáticos Franceses I 
	Matemáticos Franceses II
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	Era posible otra matematica?
	Era posible otra matematica?
	Era posible otra matematica?
	Dieudonné (I)
	Bourbaki (II)
	Elementos de Historia de las matemáticas, N. Bourbaki
	Elementos de Historia de las matemáticas, N. Bourbaki
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	Elementos de Historia de las matemáticas, N. Bourbaki
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