VegaMantillaXimenaRoxanne2018

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UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA MECATRÓNICA
DISEÑO DE UNA PRÓTESIS DE MIEMBRO INFERIOR POR MEDIO DE UN
MECANISMO PLANO E IMPLEMENTANDO COMPUTO BIO-INSPIRADO.
TRABAJO DE GRADO
para obtener el t́ıtulo en ingenieŕıa mecatrónica.
PRESENTA
Ximena Roxanne Vega Mantilla.
DIRECTORES
Dr. Mauricio Felipe Mauledoux Monroy
Dr. Edgar Alfredo Portilla Flores.
Bogotá, Colombia.
Junio de 2018
2
Dedicatoria
Dedicado a
Mi amado esposo, el amor de mi vida quien siempre estuvo presente
para darme todo su apoyo, cariño y comprensión durante este proceso
y con quien deseo compartir el resto de mis logros.
Mi pequeño Mat́ıas, por quien doy lo mejor de mi cada d́ıa y me motiva
a seguir luchando en todo momento.
3
Agradecimientos
En primer lugar siempre estará Él, por darme su amor de padre y ponerme en el lugar correcto,
darme la valent́ıa y la fuerza suficiente para culminar cada logro que me propongo.
A mi hermosa mamá quien siempre me daba palabras de apoyo y amor para continuar en este
camino cuando sent́ıa que no lo lograŕıa, a ella por todo su esfuerzo y dedicación para mantener
un hogar lleno de amor.
Gracias a mis abuelos por todo su apoyo en mi formación profesional, son mis ángeles en la
tierra y los amo profundamente. A cada uno de mis t́ıos que se alegran por mis logros y me apoyan
siempre, Nelson, Javier, Claudia y Fabián los quiero mucho.
A mi querido esposo por su paciencia infinita y por alentarme a ser mejor. Mi querido bebé,
con quien pasé momentos dif́ıciles durante el desarrollo de este proyecto y a quien muchas veces
no pude dedicarle el tiempo suficiente, mi pequeño niño gracias por tu paciencia.
A mis directores Mauricio Mauledoux y Edgar Portilla por guiarme correctamente en este pro-
ceso y ayudarme en la culminación de mi tesis y creer en mi.
A Jorge Alexander Aponte por su colaboración en el diseño de la prótesis y por convertirse en
mi familia junto con Claudia Gaona y sus hermosas hijas.
A mis queridos docentes de la Universidad Militar Nueva Granada por cada una de sus enseñanzas,
por cada aprendizaje que recib́ı, los recordaré con cariño.
Por último, pero no menos importante a cada uno de mis amigos que me acompañaron en el
proceso de mi formación profesional, que se convirtieron en la familia que eleǵı. Los quiero pro-
fundamente.
A todos ellos ¡Gracias! porque nada de esto seŕıa posible sin cada una de las personas que formaron
parte de mi vida en los últimos años.
4
Resumen
El avance en los algoritmos computacionales permite hallar soluciones a problemas complejos en
el campo de la ingenieŕıa. El presente trabajo de grado realiza un aporte en la solución eficiente
de śıntesis de mecanismos planos para el seguimiento de una trayectoria, utilizando dos algorit-
mos bio-inpirados estos son evolución diferencial (ED) basado en la evolución de las especies de
charles darwin y algoritmo artificial de abejas por sus siglas en inglés ABC (artificial bee colony)
basado en la búsqueda y recolección de polen por parte de las abejas meĺıferas. La aplicación
de estos algoritmos va enfocada al diseño de una prótesis de miembro inferior para amputados
transfemorales, con el objetivo de seguir la trayectoria de la marcha, de tal forma que el usuario
pueda tener un mejor desempeño en su caminata. Además se comparan los resultados obtenidos
con los dos algoritmos bio-inpirados concluyendo con cuál se pueden obtener mejores resultados
5
Contenido
Lista de Figuras 7
Lista de Tablas 8
1 Introducción 10
1.1 Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Justificación a nivel social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Justificación a nivel ingenieril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Planteamiento del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Formulación de la pregunta de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Métodos para la śıntesis de mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Técnicas de cómputo inteligentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Optimización en la śıntesis de mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5 Mecanismos utilizados en prótesis de miembro inferior . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.6 Optimización de mecanismos aplicados a prótesis de miembro inferior . . . . 22
1.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Espećıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Organización del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Marco Teórico 26
2.1 Antropometŕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Anatomı́a y biomecánica de la rodilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Trayectoria de la marcha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Mecanismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Clasificación de mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1.1 Mecanismo plano de 4 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1.2 Mecanismo plano de 6 barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Ley de Grashoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3 Ecuaciones de Freudenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Componentes de un algoritmo bio-inspirado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2 Función objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3 Vector de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.4 Restricciones de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.5 Plantemiento de un problema de optimización: . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Algoritmo de evolución diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.1 Representación de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.2 Mecanismos de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.3 Operadores de variación para ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.4 Variantes de Evolución Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.5 Pseudocódigo del algoritmo ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Algoritmo colonia artificial de abejas modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.1 Representación de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.2 Mecanismos de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.3 Mecanismos de reemplazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.4 Operadores de variación para MABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.5 Pseudocódigo del algoritmo MABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Conceptos básicos para el diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.1 Esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.1.1 Esfuerzo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7.1.2 Esfuerzo cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7.2 Teoŕıa de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 44
3 Desarrollo 46
3.1 Cinemática de un mecanismo de seis barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Planteamiento del problema de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Cálculos para esfuerzos del mecanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Resultados 60
4.1 Resultados del algoritmo Evolución Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Resultados del algoritmo Colonia Artificial de abejas modificado . . . . . . . . . . . 71
4.3 Comparación de los algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Diseño de la prótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4.1 Seguimiento de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.2 Análisis de la resistencia del material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Conclusiones 85
A Propiedades mecánicas de la aleación de aluminio 7075 T6 92
B Planos del mecanismo 94
7
Lista de Figuras
1.1 Cifra de discapacitados en Colombia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Representación de los ligamentos cruzados de la rodilla con un mecanismo de cuatro
barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Diseñó de prótesis con actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 centro instantáneo de rotación de la rodilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Mecanismo de cuatro barras con un par de estas intermedias y tres topes . . . . . . 19
1.6 Mecanismos tipo Watt y Stephenson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Configuraciones a b c y d de un mecanismo de seis barras para prótesis de rodilla . 20
1.8 Mecanismos policéntricos para prótesis de rodilla. (a) CIR en la pierna de hombre
y mujer (b) Ĺınea de carga y área para centros de la rodilla . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Puntos de precisión definidos para el acoplador C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10 Comparación entre la trayectoria objetivo del centroide y la trayectoria de la ICR
de el mecanismo optimizado con el algoritmo taboo search . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Ligamentos de la rodilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Enlace superpuesto de cuatro barras: para seguir la flexión de la articulación . . . . 27
2.3 Poloides tibial y femoral de O’Connor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Mecanismo mavinela, biela, balanćın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Mecanismo de 4 barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Esquema general de un algoritmo bio-inspirado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Clasificación de problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8 Proceso de generación y sustitución de fuentes en el algoritmo ABC . . . . . . . . . 38
2.9 Diagrama de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10 Esfuerzo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.11 Flexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.12 Esfuerzo cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.13 Esfuerzo cortante en un perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1 Mecanismo de seis barras tipo watt-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Geometŕıa de las barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Vista posterior del mecanismo realizado en SolidWorks . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Vista posterior del mecanismo para detallar el eje que se encuentra a cortante . . . 58
3.5 Sección transversal de un eslabón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Gráfica de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Convergencia de las primeras 2000 generaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Gráfica de factibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4 Factibilidad primeras 100 generaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Trayectoria del mecanismo, dado por el mejor individuo . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6 Trayectoria del mecanismo, dado por el segundo mejor individuo . . . . . . . . . . . 71
4.7 Gráfica de convergencia para MABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.8 Gráfica de factibilidad para MABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.9 Trayectoria del mecanismo, dado por el Mejor individuo del algoritmo MABC . . . 79
4.10 Gráficas de convergencia de ED y MABC respectivamente . . . . . . . . . . . . . . 80
4.11 Gráficas de factibilidad de ED y MABC respectivamente . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.12 Trayectoria del diseño del mecanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.13 Análisis estático de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.14 Análisis estático de desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.15 Distribución de factor de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9
Lista de Tablas
1.1 Tipos de śıntesis mecanismos más comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Tipos de prótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 Parametros de ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Parámetros del MABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Parametros de ejecución de ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Resultados del algoritmo ED variables x1 a x7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Resultados del algoritmo ED variables x8 a x14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Resultados del algoritmo ED variables x15 a x21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Resultados del algoritmo ED variable x22, error, SVR y evaluación de la función
objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Parámetros de MABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.7 Resultados MABC variables x1 a x7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.8 Resultados MABC variables x8 a x14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.9 Resultados MABC variables x15 a x21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.10 Resultados del algoritmo MABC variable x22, error y evaluación de la función objetivo. 75
4.11 Resultados estad́ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10
Caṕıtulo 1
Introducción
1.1 Justificación
1.1.1 Justificación a nivel social
En la actualidad el número de discapacitados en Colombia es alrededor del 6.3% cifra relativamente
alta en comparación con otros páıses como Perú o Paraguay que solo reportan 1 o 2% de la población
con discapacidad. De este porcentaje alrededor de 400.000 personas padecen de una discapacidad
del cuerpo en manos, brazos o piernas [1], como se muestra en la ilustración 1.1 extráıda de [2]
Figura 1.1: Cifra de discapacitados en Colombia.
Estos datos pueden darse debido a que en la actualidad Colombia está viviendo la etapa del
postconflicto, en la cual existe un gran número de personas, tanto civiles como militares, afec-
tadas por la guerra. Tales damnificaciones de las que se hace mención obedecen a la perdida de
extremidades a causa de la detonación de un artefacto explosivo, impactos de bala, metralla, entre
otros. Es por lo anterior que se ve la necesidad de llevar a cabo el diseño de una prótesis para
personas con discapacidadde pierna o miembro inferior, en espećıfico se quiere ayudar a personas
con amputación arriba de la rodilla o transfemoral. Muchas otras razones son las que llevan a
una persona a perder su extremidad como puede ser por enfermedades, accidentes o en muchas
ocasiones deformidades congénitas.
1.1.2 Justificación a nivel ingenieril
En particular el diseñar una prótesis de rodilla es un reto de ingenieŕıa debido a que requiere
de la integración de aspectos tanto estructurales como de desempeño funcional. Como resultado
de esta combinación se han propuesto metodoloǵıas alternas de diseño, las cuales consideran el
uso de modelos descriptivos de los sistemas en estudio junto con un conjunto de restricciones
estructurales y de funcionamiento para producir el mejor rendimiento posible en el producto final.
En este contexto es frecuente que se propongan problemas de optimización numérica para producir
sistemas que satisfagan de forma concurrente el rendimiento, las premisas y restricciones deseadas
en las parte inicial del proceso de diseño, esto es; el diseño de sistemas dentro del marco de la
ingenieŕıa mecatrónica considera trasladar el problema de diseño en ingenieŕıa a un problema de
optimización matemática. Por otro lado, es frecuente que ese tipo de planteamiento mecatrónico de
diseño produzca problemas denominados “problemas duros de optimización” los cuales se definen
como “aquellos problemas que no pueden resolverse óptimamente, o hasta un ĺımite garantizado,
por medio de un método exacto (determińıstico) en un tiempo razonable y/o con un conjunto
de recursos reales, por lo que es necesario desarrollar métodos alternativos para su solución. En
décadas recientes, el Cómputo Bioinspirado ofrece un conjunto de propuestas de algoritmos de
búsqueda inspirados en la naturaleza los cuales representan una buena opción para resolver esta
clase de problemas de optimización. Algunas caracteŕısticas de dichos algoritmos se presentan a
continuación:
• Son algoritmos inspirados en la naturaleza, basados en principios de f́ısica, bioloǵıa o etoloǵıa,
entre otras.
• No utilizan información adicional de las funciones matemáticas que describen al sistemas aśı
como sus restricciones, esto es; el gradiente o la matriz Hessiana de la funciones.
• Tienen una serie de parámetros que requieren ajustarse al problema en turno (sintońıa o
tuning).
• Hacen uso de componentes estocásticos, incluyendo variables aleatorias.
• Si el problema a resolver lo permite, este tipo de algoritmos son relativamente fácil de par-
alelizar.
Si bien es cierto que a diario se proponen nuevos algoritmos dentro de la comunidad cient́ıfica,
existen algunos de ellos que han probado su efectividad y robustez en la solución de problemas de
ingenieŕıa.
Finalmente se puede decir que la integración de diferentes técnicas, tecnoloǵıas o algoritmos y con
usos diferentes para los que fueron creados permite obtener nuevos sistemas con caracteŕısticas
sin precedentes. Por lo tanto, para la academia resulta muy importante obtener productos con
los cuales se puedan realizar solicitudes de patentes, art́ıculos, registros de software entre otros
productos, con la finalidad de que estas producciones entren a las estad́ısticas de la universidad
con lo cual derivará en visibilidad y proyección nacional e internacional. Para la industria el trabajo
sirve como base para el desarrollo de elementos protésicos de fabricación nacional, para suplir las
necesidades locales y aśı disminuir los costos para la adquisición de prótesis y el mantenimiento de
estas.
1.2 Planteamiento del problema.
La śıntesis de mecanismos es la base para la construcción de cualquier máquina. Las aplicaciones
son numerosas y cada una de ellas responde a ciertos requisitos concretos y espećıficos que hacen que
no sea posible crear pautas de diseño generales en las posibles soluciones para un mismo problema
de śıntesis de mecanismos, ya que existen diversos tipos de topoloǵıas que pueden cambiar según
el caso. Esta falta de homogeneidad ha servido para la creación de varios métodos para resolver
problemas de śıntesis, entre los que se encuentran los métodos que involucran la optimización.
La etapa de śıntesis dimensional es la más estudiada y existen numerosos métodos de resolución,
sin embargo y pese a que han existido varios planteamientos en los problemas, ninguno ha sido
concluyente porque todos presentan algún tipo de inconveniente. En el caso de los métodos exactos,
se tienen problemas como la exigencia de cumplir con los requisitos, que pueden ser los puntos
de precisión con total exactitud. Sin embargo, esta exigencia no es tan práctica porque no es
posible reproducir exactamente los modelos diseñados debido a factores como las tolerancias de
fabricación. El número de puntos de precisión es limitado y depende del tipo de mecanismo que
se utilice.
El sugerimiento de los métodos de śıntesis aproximados que tiene dos objetivos principales: dar
al planteamiento una orientación hacia la resolución mediante herramientas de programación y
plantear estrategias de búsqueda del óptimo global dentro del espacio de diseño, también busca
una solución que usualmente no es única y el número de requerimientos de diseño no es una
limitación. Por dicha problemática se plantea el desarrollo de una herramienta de optimización
basada en computo inteligente y en la śıntesis aproximada de un mecanismo, buscando consumir
poco tiempo de cómputo y desarrollar la función objetivo óptima.
Sintetizando un mecanismo,el objetivo es controlar el movimiento realizado durante el balanceo y la
fase de reposo para dar un movimiento de cadencia óptimo, además de ofrecer un mayor estabilidad
al caminar con un mecanismo policéntrico, el cual posee una biomecánica de desplazamiento y
cadencia de paso distinda de la marcha normal de un individuo con sus extremidades naturales,
pero que se tendrá que mejorar para conseguir la comodidad y funcionalidad de dicha prótesis.
1.2.1 Formulación de la pregunta de investigación
¿De qué forma, por medio de técnicas de cómputo bio-inspirado se puede sintetizar un mecanismo
plano óptimo para lograr el movimiento poli céntrico de una prótesis de rodilla?
1.3 Estado del arte
En la presente sección se desea contextualizar los desarrollos que se han trabajado en el área de
prótesis de miembro inferior alrededor del mundo y la aplicación de algoritmos bioinspirados en la
optimización de mecanismos.
1.3.1 Generalidades
La śıntesis de mecanismos es la base para la construcción de cualquier máquina. Tiene numerosas
aplicaciones respondiendo a diferentes requisitos concretos y espećıficos de tal forma que no sea
posible crear pautas de diseño generales en las posibles soluciones para un mismo problema en
śıntesis de mecanismos, ya que existen diferentes tipoloǵıas cambiantes según el caso. La falta de
homogeneidad ha servido para la creación de varios métodos para resolver problemas de śıntesis y
ah́ı es donde se encuentran los distintos tipos de optimización [3].
1.3.2 Métodos para la śıntesis de mecanismos
El análisis de los mecanismos incluye análisis cinemáticos para estudiar el movimiento de los
mecanismos y los métodos para crearlos. En el diseño de un mecanismo se identifican 3 tareas
puntuales que se denominan áreas de la śıntesis.
• Śıntesis de tipo.
• Śıntesis anaĺıtica o cuantitativa (de número).
• Śıntesis dimensional
La śıntesis de tipo se refiere a la clase de mecanismos seleccionado y constituye el primer paso
del diseño. La śıntesis cuantitativa se ocupa del número de eslabones y articulaciones, pares o
juntas que se requieren para obtener una movilidad determinada, esta etapa constituye el segundo
paso de diseño. La śıntesis dimensional se constituye en el tercer paso de diseño y consiste en
determinar las dimensiones de los eslabones [4]. En la tabla 1.1 se presenta un resumen de las
distintas clasesde śıntesis para mecanismos.
Tabla 1.1: Tipos de śıntesis mecanismos más comunes
Tipo de śıntesis Definición
Gráfica
Usa elementos puramente gráficos, está limitada a sistemas śımples,
tiende a ser demasiado espećıfico y dif́ıcil de usar.
De tanteo gráfico
Es una śıntesis aproximada que se realiza por tanteo con la ayuda de la
superposición de gráficos. Como desventaja tiene que su convergencia
es mala en la mayoŕıa de las veces.
Por gráficos de diseño
Se obtienen a través de tablas o nomogramas a través del análisis de otros
sistemas del mismo tipo.
Anaĺıtica
Son puramente anaĺıticos, entre los más conocidos están los de chebychev,
el álgebra de numero complejos, Grashof, de Bloch.
Óptima
Con base en técnicas de programación matemática en la que se trata de
optimizar el valor de una función objetivo cuyas variables están sujetas
a una determinada restricción.
Heuŕıstica
Con base en algoritmos que pretenden alcanzar valores satisfactorios
para una función objetivo.
Conceptual
En una temprana fase de diseño establece el tipo de solución correspondiente
a un tema en concreto a partir de un método sistemático de generación de
conceptos.
Grafoanaĺıtica Combinación de métodos anaĺıticos gráficos.
1.3.3 Técnicas de cómputo inteligentes
La computación inteligente tiene su origen en la teoŕıa de la inteligencia artificial, ésta engloba
un conjunto de técnicas que tienen en común la robustez en el manejo de información imprecisa
e incierta. En algunos casos estas técnicas pueden ser combinadas para aprovechar sus venta-
jas individuales, entre estas se encuentran la lógica difusa, las redes neuronales y los algoritmos
genéticos. El algoritmo de evolución diferencial (ED) está adaptado para resolver el problema
de optimización al agregar un mecanismo de manejo de restricciones adecuado que sea capaz de
incorporar las restricciones cinemáticas y dinámicas del sistema. Diferentes documentos utilizan
el algoritmo ED para resolver problemas y realizar una adecuada optimización por ejemplo los
autores de [5] presentan un enfoque dinámico para la śıntesis de un mecanismo de cuatro barras
de balanćın, que se obtiene mediante un problema de optimización y su solución utilizando el algo-
ritmo Bioinspirado de ED. El enfoque dinámico propuesto establece un problema de optimización
dinámica mono-objetivo (MODOP), para obtener un conjunto de parámetros óptimos del sistema.
A partir del análisis de la simulación y sus resultados, se muestra que las soluciones para el algo-
ritmo propuesto conducen a un diseño más adecuado basado en el enfoque dinámico.
En el caso presentado en [6] el objetivo es lograr un movimiento del dedo previamente mode-
lado para poder realizar tareas de agarre debido a que las manos robóticas han sido enfoque de
estudio de muchos investigadores debido a su complejidad, los espacios pequeños entre juntas es
una limitación de diseño cŕıtico para incluir actuadores durante las tareas de diseño y, por lo tanto,
a menudo se implementan mecanismos de transmisión en estos robots. En este art́ıculo, los algo-
ritmos bioinspirados de optimización de enjambre de part́ıculas (PSO) y Evolución diferencial se
han aplicado a un mecanismo de transmisión de un dedo robótico. Otro trabajo en donde utilizan
ED para realizar una śıntesis óptima de un mecanismo para la marcha b́ıpeda es en [7]. En este
trabajo se propone un mecanismo planar de ocho eslabones con un grado de libertad como ex-
tremidad b́ıpeda y se analiza su comportamiento en el seguimiento de una trayectoria similar a la
marcha. Para el diseño del mecanismo propuesto se establece formalmente la śıntesis dimensional
como un problema de optimización numérica. Con el propósito de obtener diseños viables dentro
del espacio de las soluciones reales en el problema de optimización, se incorpora un mecanismo de
manejo de restricciones en el algoritmo de evolución diferencial.
En [8] utilizan ED aplicado a un mecanismo de cinco barras para minimizar el error de seguimiento
en una tarea de alta velocidad. En [9] presentan la śıntesis dimensional óptima de un mecanismo
de cinco barras utilizando ED para minimizar la fuerza en el eslabón de salida y asegurar el
seguimiento de trayectorias en un espacio de trabajo predeterminado. Dicha śıntesis se lleva a
cabo al proponer un problema de optimización numérica con restricciones considerando aspectos
estructurales y de fuerzas del mecanismo en estudio. En [10] se presenta la śıntesis de un mecan-
ismo de cuatro barras para seguimiento de una trayectoria lineal de seis puntos. Para resolver el
problema de optimización numérica con restricciones asociado al mecanismo se utiliza el algoritmo
de evolución diferencial.
Los autores de [11] aplican el algoritmo artificial de colonia de abejas para generar una trayectoria
exacta utilizando un mecanismo de cuatro barras. El objetivo principal es extraer la dimensión
optimizada de los enlaces del mecanismo para transmitir un punto de acoplamiento en la ruta
deseada con un error mı́nimo. El objetivo de [12] es realizar una śıntesis dimensional de un grip-
per con la finalidad de minimizar el error de fuerza que se ejerce en los extremos, dicha śıntesis
se realiza utilizando el algoritmo modificado de colonia artificial de abejas (MABC), se dice que
el algoritmo es modificado debido a que el algoritmo original tiene único parámetro de control
ĺımite. La versión básica del algoritmo ABC es muy eficiente para funciones básicas multimodales
y multidimensionales. Sin embargo, la tasa de convergencia del algoritmo es peor cuando se tra-
baja con problemas limitados, funciones compuestas y algunas funciones no separables [13]. El
algoritmo MABC en resultados generales muestra que su rendimiento es mejorado principalmente
en problemas con regiones pequeñas factibles debido a la presencia de restricciones de igualdad
[14].
1.3.4 Optimización en la śıntesis de mecanismos
En [15] los autores mencionan que la śıntesis de mecanismos planos representa un problema atrac-
tivo para ser resuelto mediante técnicas de computación evolutiva, ya que plantea un sistema
indeterminado de ecuaciones no lineales cuyo tamaño es directamente dependiente del número de
puntos de precisión definidos para describir la trayectoria deseada del acoplador. Este art́ıculo pre-
senta la optimización en el proceso de śıntesis de mecanismos basado en algoritmos genéticos (AG)
para el caso de un mecanismo plano de seis barras tipo Watt utilizado como base para el diseño de
una prótesis policéntrica de rodilla. La trayectoria deseada a ser descrita por el acoplador corre-
sponde a la descrita por la rodilla durante un ciclo normal de marcha. La metodoloǵıa propuesta
ilustra claramente como, por la aplicación de AG’s, la trayectoria generada evoluciona de manera
natural desde una solución errática hasta una curva que se ajusta suavemente a la trayectoria
deseada.
La referencia [16] es una tesis que presenta como herramienta principal, el análisis de mecanis-
mos planos, la técnica de los algoritmos genéticos, que por sus caracteŕısticas, han sido utilizados
como métodos de búsqueda y optimización en el que basta con encontrar la representación ade-
cuada para las soluciones y la función principal a optimizar. El objetivo de la investigación fue
encontrar las longitudes de los eslabones y la medida de los ángulos para un mecanimos óptimo con
el que se reproduzca el proceso de marcha humana como caso de aplicación, pero que también se
pueda generar cualquier trayectoria especifica, indicando solo las restricciones mas significativas.La
metodoloǵıa empleada comprende etapas como la cinemática, el análisis y la sintesis para diversas
configuraciones de mecanismo, mostrando los fundamentos teóricos, el desarrollo de los algoritmos
genéticos, la aplicación de estos en la śıntesis y la simulación en algunos programas especializados
para desarrollardicho fin. Se presenta el diseño de un mecanismo policéntrico especifico para
cubrir la trayectoria generada por el humano en la fase de postura y en la marcha. Para esto se
tomó como base la antropometŕıa de la población mexicana y las caracteŕısticas impuestas como
las dimensiones de los eslabones, los ángulos permitidos para el movimiento de los mecanismo y
todas las consideraciones de marcha.
En [3] los autores presenta un procedimiento para diseñar un sistema de entrenamiento mecánico
y un sistema de marcha de rehabilitación centrado en las trayectorias del tobillo para niños con
parálisis cerebral o cualquier otra limitación psicomotora. Con el objetivo de desarrollar un dis-
positivo reconfigurable y ajustable a las caracteŕısticas antropométricas del usuario, se elaboró un
modelo anaĺıtico para la generación de trayectorias de tobillo, tomando como base los datos exper-
imentales reportados en la literatura. Una śıntesis dimensional de un mecanismo para seguir las
trayectorias de tipo gota se llevó a cabo como un problema de optimización numérica restringida
que se resolvió con el método de programación matemática y un algoritmo evolutivo, programación
cuadrática secuencial (SQP) y evolución diferencial (ED), respectivamente. El análisis compara-
tivo de los resultados de ambos métodos para este estudio de caso muestra que ED supera el SQP
debido al espacio de factibilidad limitado derivado de las restricciones y ĺımites del problema. El
mejor resultado de ED se simuló con un paquete de diseño asistido por computadora utilizando
un modelo de tamaño real para la fabricación.
En el documento [17] los autores estudian el diseño óptimo de śıntesis de un mecanismo de seis
barras utilizado para sistemas de fundición a presión en un molde de metal. El proceso de śıntesis
es extremadamente complejo debido al mayor orden de estructura, la restricción en la que debe
estar libre de colisiones y las múltiples soluciones en el espacio. Por lo tanto se utilizó un algoritmo
genético de aglomeración de espacio gemelo para resolver el problema de diseño de la multiplici-
dad de soluciones. Para verificar la efectividad del enfoque propuesto, este documento en primera
instancia estudió los problemas de generación de funciones para un mecanismo de cuatro barras en
la literatura y posteriormente lo comparó con un método de optimización local numérico. A partir
del resultado de la comparación, se pueden obtener soluciones de diseño múltiples y más precisas
con el enfoque propuesto. El algoritmo utilizado en este art́ıculo es el atlas del genoma del cáncer
(TCGA) para resolver el problema de diseño.
Los autores presentan una propuesta novedosa de un algoritmo h́ıbrido modular, como herramienta
para resolver problemas de ingenieŕıa del mundo reaqe implementa y aplica un algoritmo memético,
MemMABC, para la solución de dos casos de diseño de mecanismos, con el fin de evaluar su efi-
ciencia y rendimiento. El algoritmo propuesto es simple y flexible debido a su modularidad; estas
caracteŕısticas lo vuelven altamente reutilizable para ser aplicado en una amplia gama de problemas
de optimización. Las soluciones de los casos de estudio también son modulares, siguiendo un es-
quema de programación estructurada que incluye el uso de variables globales para la configuración,
y de subrutinas para la función objetivo y el manejo de las restricciones. Los algoritmos meméticos
son una buena opción para resolver problemas duros de optimización, debido a la sinergia derivada
de la combinación de sus componentes: una metaheuŕıstica poblacional para búsqueda global y
un método de refinamiento local. La calidad en los resultados de las simulaciones sugiere que el
MemMABC puede aplicarse con éxito para la solución de problemas duros de diseño en ingenieŕıa
[18].
1.3.5 Mecanismos utilizados en prótesis de miembro inferior
Desde que se inició el diseño de las prótesis en el mundo se han utilizado dos tipos de mecanismos,
las de un único eje y las policéntricas en las de un solo eje de rotación se encuentran las de bisagras
sencilla, de las cuales son las opciones más económicas y ligeras. Como limitaciones presentan
poca estabilidad mecánica no es posible tener buena postura, aqúı debe hacerse uso de la fuerza
muscular para mantenerla lo mas estable posible. Normalmente se agrega un un control de fricción
constante y un bloqueo manual, ya que la fricción no permite que la pierna avance con rapidez
al dar el siguiente paso. Se han utilizado desde 1970, pero los problemas con el diseño fueron:
infección, aflojamiento, volumen excesivo de los implantes, teniendo malos resultados del 80% a
los 10 años de seguimiento [19].
Las prótesis de un solo centro o tipo bisagra se reemplazaron principalmente por el aflojamiento
aséptico, debido a la falta de rotación de estas. Para resolver los problemas mencionados anteri-
ormente se desarrollaron las rodillas policéntricas.
Las rodillas policéntricas poseen un centro de rotación que varia con el ángulo de flexión de
la rodilla [20]. Pueden ser mecanismos de cuatro o seis barras principalmente. Son muy estables
durante la fase de apoyo, al momento de flexionar o al sentarse. Son ideales para los amputados que
no pueden andar de forma segura con otro tipo de rodillas, para los que tienen una desarticulación
de la rodilla, amputación bilateral o para los que tienen muñones largos. Como limitaciones tiene
que la amplitud de la rodilla puede quedar limitada a un cierto grado. El tipo de prótesis que
emplea estos mecanismos, cuenta con dos ventajas: mayor estabilidad en la fase de postura y
flexión de rodilla [21]. Sin embargo como desventaja tiene que el rango de movimiento sobre la
rodilla puede ser restringido a algunos grados, también el incremento en el peso debido al mayor
numero de piezas en el mantenimiento de la misma, que es mayor si se compara con un mecanismo
de una barra. En [22] los ligamentos cruzados son sustituidos (ver imágen 1.2 extraida de [23]) por
cuatro barras que están dirigidas a dos estructuras que simulan el femur y la tibia. Este mecanismo
que sustituye a la rodilla consiste en un sistema articulado con un cuadrilátero cruzado.
Figura 1.2: Representación de los ligamentos cruzados de la rodilla con un mecanismo de cuatro
barras
En [23] los autores describen el diseño y la construcción de un mecanismo protésico externo de
cuatro barras para amputación transfemoral. El Proceso de diseño y cálculos del software toman
parámetros biomecánicos de una rodilla saludable; verifican y comparan las curvas obtenidas con
trabajos existentes. Para realizar el diseño (fig. 1.3 extraida de [23]) utilizan el centro de rotación
de los ligamentos vista en la figura 1.4. El mecanismo obtenido fue establecido para soportar el
peso de una persona a un rango de entre cien kilogramos utilizando un análisis de elementos finitos
fue posible obtener un factor de seguridad. La construcción utilizó tres materiales: aluminio 6063,
acero inoxidable 304 y bronce, por tanto no excede el peso de la prótesis y la hace al nivel de la
más comercial. En base a lo anterior, se desarrolló una prótesis que imita el movimiento de la
rodilla, con gran estabilidad y tiene un bajo costo.
Figura 1.3: Diseñó de prótesis con actuador
Figura 1.4: centro instantáneo de rotación de la rodilla
Los proyectos de [24] presentan un mecanismo de cuatro barras, con un par de éstas inter-
medias (fig. 1.5 extraida de [24]) e incluye microprocesadores, sensores, cilindros neumáticos e
hidráulicos, como principales componentes para el control de la prótesis, que ayudan a exami-
nar los parámetros biomecánicos de su prototipo tales como la duración de la postura, el ángulo
máximo de la flexión de la rodilla, el ángulo máximo de la flexión de la cadera y de los momentos
máximos de la extensión de la cadera, que permiten mantener a la rodilla en una posición cerraday prevén que la rodilla colapse. El proyecto realizado en México [25] presenta un mecanismo de
cuatro barras policéntrico con actuador mecánico para prótesis modulares. El objetivo es imitar
el comportamiento y funcionamiento de la rodilla; además de cubrir las necesidades básicas de las
personas que tengan amputación de esta articulación y la necesidad de usar una prótesis externa
modular con un bajo costo de producción. Fue construido de acero inoxidable 304 y aluminio 6061,
ambos de alta confiabilidad, resistentes a la corrosión, de maquinado relativamente sencillo. En
[26] diseñan y construyen una prótesis basando su diseño en las presentadas en la empresa Otto
Bock y utilizan materiales como el titanio, aleaciones de acero, carburo de silicio, aluminio, zinc y
aleaciones de aluminio.
Figura 1.5: Mecanismo de cuatro barras con un par de estas intermedias y tres topes
En [27] se analiza la prótesis de OTTO BOCK 3R60 que es una rodilla policéntrica de cinco
barras, con dos grados de libertad. Tiene dos centros mecánicos de rotación: el centro instantáneo
de rotación (ICR), que se presenta durante fase de oscilación, y el eje anterodistal, que es el centro
de la fase de la postura en la rotación.
Yuanxi Sun [27] presenta un prototipo de una articulación de rodilla protésica utilizando un
mecanismo plano de cinco barras (GFB), que proporciona a los pacientes un mejor rendimiento
biónico y realizando un análisis de trayectoria de una rodilla protésica utilizando el mecanismo de
cinco barras engranado. En comparación con los mecanismos tradicionales de cuatro o seis barras,
el mecanismo de cinco barras engranado es mejor para realizar movimientos diversos y es fácil de
controlar. Esta articulación de rodilla protésica con el mecanismo de engranaje de cinco barras es
capaz de ajustar su centro de rotación instantáneo relativo y la trayectoria del tobillo. El centro
de esta articulación de rodilla protésica, que se optimiza mecánicamente de acuerdo con el centro
de la articulación de rodilla humana, es mejor en el rendimiento biónico que el de una articulación
de rodilla protésica utilizando el mecanismo de cuatro barras. Además, el control de estabilidad
de esta articulación de rodilla protésica durante la fase de balanceo y posición se logra mediante
un motor. La optimización de las barras la realizan mediante la función fmincon de MATLAB.
Por otro lado los mecanismos de seis barras también han sido utilizados en uniones de rodillas,
como la “Total Knee” y “3R60 Knee” fabricados por Otto Bock Company [28]. Chakraborty diseñó
un mecanismo pierna-rodilla de seis barras para ofrecer un movimiento de coordinación entre la
unión de pierna rodilla durante la fase de avance y postura. Los tipos de mecanismos de seis barras
son te tipo Watt y tipo Stephenson como se observa en la figura 1.6. Basado en estos dos tipos, se
pueden realizar las configuraciones mostradas en la figura (donde hay 4 tipos de configuraciones).
El diseño de parámetros de estas configuraciones son los mismos (ver figuras 1.6 y 1.7 extraida de
[28]) [29] [30].
Figura 1.6: Mecanismos tipo Watt y Stephenson
Figura 1.7: Configuraciones a b c y d de un mecanismo de seis barras para prótesis de rodilla
En la referencia [31] aseguran que los mecanismos de cuatro barras utilizados por muchos
diseñadores hasta la fecha pueden proporcionar rotación de la rodilla para permitir caminar so-
lamente. En el año de 1994, los autores desean mejorar la calidad de vida de los afroasiáticos
amputados, debido a que la mayoŕıa de labores diarias que ellos realizan lo hacen en cuclillas y
muchos de ellos tienen prótesis de rodilla completa que no les deja realizar dichas labores. Ellos
comparan el patrón de un mecanismo de seis barras utilizado en el diseño de la prótesis que alĺı se
plantea, con los patrones de movimiento obtenidos para sujetos normales. La cercańıa entre ambos
patrones establece la idoneidad de la nueva prótesis transfemoral modular para producir patrones
de movimiento casi normales al caminar y en cuclillas. La facilidad adicional de sentarse con las
piernas cruzadas proporcionada en la prótesis lo hace funcionalmente adecuado para amputados
afroasiáticos.
Finalmente recopilando toda la información acerca de los mecanismos utilizados en las prótesis
de rodillas se tiene que en [28] utilizan un mecanismo de seis barras (ver 1.8 extraido de [28]) para
realizar el diseño de una prótesis de rodilla ya que la trayectoria que describe el acoplador de éste
se ajusta mejor a la deseada del centro instantáneo de rotación (CIR).
En la tabla 1.2 se reunen los tipos de prótesis de rodilla incluyendo ventajas y desventajas [32]
Figura 1.8: Mecanismos policéntricos para prótesis de rodilla. (a) CIR en la pierna de hombre y
mujer (b) Ĺınea de carga y área para centros de la rodilla
Tabla 1.2: Tipos de prótesis
Clase-tipo Función Básica
Indicación
primaria
Ventajas Limitaciones
Monoaxial Simplicidad
Una sola
velocidad
para pacientes
entre 18 y
50 años.
Barata durable y
mayoritaria en
Colombia.
Cadena fija y baja
estabilidad. Mayor
gasto de enerǵıa en
la que marcha
modificación de la
marcha normal
y antinatural
Control a la
descarga
Incrementa la
estabilidad en
la marcha
Debilidad
generalizada,
caminata
despaciosa,
para personas
de la
edad de más
de 60 años.
Mejora la
estabilidad
de la rodilla
Retraso en la fase de
oscilación debe
descargarse
completamente para
flexionarse.
Modificación de la
cadencia. Mayor gasto
energético.
Bloqueo
manual
Rodilla de último
recurso.
Mucha
necesidad
de estabilidad
de rodilla
final
musculatura
muy débil.
Elimina la
flexión de
rodilla.
Anormal caminata.
Incomoda al sentarse.
Incrementa el
esfuerzo al caminar
y la enerǵıa
utilizada.
Policéntricas
Estabilidad positiva
y facilidad de
flexión. En la fase
de oscilación.
Diseño especial
disponible para
proporcionar un
sentado estético
para muñones
largos.
Mejora la
estabilidad
de la rodilla,
diseño especial
para rodilla
desarticulada
y amputación
por encima de
la rodilla.
La totalidad de la
pierna se acorta
estable al iniciar
cada paso sin
interrumpir
la fase de
oscilación.
El riesgo de
tropiezo es
mı́nimo. Diseño
especial
para estética de
muñones largos.
Incremento del peso
y mantenimiento y
costos amplitud del
movimiento de la
rodilla puede quedar
limitada.
Control fluido
Permite un cambio
en la cadena
microprocesador.
Ofrece un patrón
de marcha normal.
Disponible
para variar
la velocidad
de la marcha
recomendada
en personas
con alta
actividad.
Variable cadencia,
marcha natural. El
control del apoyo
hidraúlico añade
más estabilidad.
Incremento en el costo,
peso y mantenimiento.
Electrónica
Permite un cambio
en la cadencia.
Microprocesador
ofrece un patrón
de marcha nomal
y control sobre
cualquier tipo
de terreno,
subir escaleras,
terrenos,
pendientes.
Disponible
para variar
la velocidad
de la marcha
recomendada
en atletas y
personas con
alta actividad.
Variable cadencia,
marchas más natural.
El control le añade
más estabilidad
cuando sube y
baja escaleras.
Mucho incremento en
el costo, peso y
mantenimiento.
1.3.6 Optimización de mecanismos aplicados a prótesis de miembro
inferior
E. A. Merchán-Cruz et al. [15] realizan la optimización en el proceso de śıntesis de mecanismos uti-
lizando un algoritmo bio-inspirado espećıficamente evolución diferencial. Tomando al mecanismo
de 6 eslabones como base, este trabajo se enfoca en la śıntesis de uno tipo Watt I, que está confor-
mado por dos mecanismos unidos de cuatro barras. Para este estudio, se utilizan como puntos de
precisión los definidos en el estudio reportado por Campos-Padilla (2009) y que corresponden a la
investigación de la biomecánica de la trayectoria descrita por la rodilla durante la marcha para el
caso de la antropometŕıa mexicana (figura 1.9).
Figura 1.9: Puntos de precisión definidos para el acoplador C
En [33] dicen que cualquiermétodo de optimización, como el método de rotación de coorde-
nadas de Rosenbrook y el método de Powell o el método de Fletcher y Reeves, se puede utilizar
para encontrar el mejor enlace. Se puede usar cualquier número de funciones de criterio depen-
diendo de los requisitos del problema. En este art́ıculo, utilizan un método de optimización de
los anteriormente nombrados para un mecanismo de cuatro barras aplicado en una prótesis de
rodilla policéntrica. La trayectoria utilizada es el centroide de una rodilla. En este libro [34], se
informa sobre la optimización del diseño de un mecanismo de cuatro barras utilizado en prótesis
policéntricas con control voluntario. Uno de los objetivos de esta optimización fue cumplir los
requisitos de las caracteŕısticas antropométricas de un hombre de 34 años con un peso de 75 Kg
cuya amputación se le realizó a la pierna izquiera. El algoritmo de taboo seach se utilizó para
este propósito. En este caso, se determinaron las longitudes de los enlaces, siguiendo un análisis
inverso. La función objetivo era la minimización del error entre la trayectoria objetivo del centro
de rotación instantáneo (ICR) ver figura 1.10 y la ruta seguida por ICR del mecanismo de cuatro
barras. Esta curva es muy importante porque está relacionada con la cinemática y las fuerzas que
se desarrollan en el ciclo de la marcha. Por lo tanto, se espera que el individuo amputado desarrolle
un ciclo de marcha natural con esta prótesis.
Figura 1.10: Comparación entre la trayectoria objetivo del centroide y la trayectoria de la ICR de
el mecanismo optimizado con el algoritmo taboo search
Por otra parte se tiene que en el año 2012 J. Afshari et. al [30], utilizan un mecanismo de
seis barras para prótesis de rodilla y afirman que solo se han escrito algunas publicaciones sobre
las funciones especiales del mecanismo utilizado en las prótesis transfemorales. En dicho art́ıculo
se investiga las ventajas del mecanismo utilizado en la prótesis de rodilla desde el punto de vista
cinemático e instantáneo de las articulaciones inactivas. La simulación por computadora y un
método de optimización (algoritmo genético), se usaron en la investigación. Los resultados mues-
tran que el mecanismo de seis barras, en comparación con el mecanismo de cuatro barras, se puede
diseñar para lograr mejor la trayectoria esperada de la articulación del tobillo en la fase de os-
cilación. Además, un enlace de seis barras puede diseñarse para tener más articulaciones inactivas
instantáneas que una articulación de cuatro barras, lo que hace que la prótesis de rodilla sea más
estable en la fase de reposo. Además comparan el error con un mecanismo de cuatro barras el cual
es de 6,71% mientras que el mecanismo de seis barras tiene un error de 1,92%.
De acuerdo a los art́ıculos recopilados se puede concluir que las prótesis de rodilla han evolucionado
a través del tiempo con el objetivo de lograr una mayor similitud en el desempeño comparado con
el de una rodilla humana y aśı mejorar la calidad de vida del paciente. Dichas mejoras han sido el
cambio del material para una mayor resistencia y durabilidad, desarrollo de mecanismos complejos
para igualar el movimiento de una rodilla humana de tal forma que el paciente no se sienta limitado
para realizar ningún tipo de actividad, como es el caso de ponerse en cuclillas o bajar escaleras.
La mayoŕıa de los mecanismos que se encuentran reportados en la literatura que logran un com-
portamiento similar al de la rodilla humana son de tipo policéntrico y de cuatro barras. Dicho
sistema tiene como desventaja una baja estabilidad al desarrollar el periodo de marcha. Por lo
tanto, los investigadores proponen un mecanismo de seis barras para dar solución a la estabilidad
y lograr la trayectoria deseada. En cuanto a la śıntesis dimensional de estos mecanismos se han
utilizado herramientas de optimización, la cual permite realizar evaluaciones de funciones objetivo.
Los algoritmos más utilizados para la śıntesis dimensional son el algoritmo Colonia Artificial de
Abejas que por sus siglas en inglés ABC (Artificial Bee Colony), algoritmo genético, el atlas del
genoma del cáncer (TCGA), evolución diferencial y taboo search. Teniendo en cuenta toda la
información recopilada, se logra identificar que el mecanismo más adecuado a implementar es el
de seis barras tipo watt I y para la śıntesis dimensional por medio de algoritmos bioinspirados, se
usará evolución diferencial y el algoritmo artificial de colonia de abejas.
1.4 Objetivos
1.4.1 General
Diseñar una prótesis de miembro inferior por medio de un mecanismo plano e implementando
cómputo bio-inspirado.
1.4.2 Espećıficos
• Realizar el modelado cinemático de un mecanismo plano que cumpla con el movimiento de
trayectoria de la marcha humana.
• Realizar la śıntesis dimensional del mecanismo plano por medio de técnicas de cómputo
bio-inspirado.
• Implementar dos técnicas de cómputo bio-inspirado para comparar los resultados obtenidos
de la śıntesis dimensional.
• Validar la viabilidad de construcción del mecanismo plano como prótesis de miembro inferior.
• Realizar el diseño en CAD de la prótesis de miembro inferior para soportar personas de edad
adulta.
1.5 Organización del documento
En el primer caṕıtulo se justifica a nivel ingenieril y social este proyecto de tesis, se realiza el
planteamiento del problema y la investigación pertinente acerca del estado del arte en el área de
diseño de prótesis utilizando algoritmos bio-inspirados, al final del caṕıtulo se plantean los objetivos
a desarrollar. El caṕıtulo 2 consta del marco teórico de todos los temas que son necesarios entender
para el desarrollo del proyecto incluida la anatomı́a de la rodilla, conceptos de los algoritmos de
optimización y finalmente los conocimientos básicos para el diseño de la prótesis en el área de la
mecánica. En el caṕıtulo 3 se muestra el desarrollo de los objetivos planteados, primero se desarrolla
toda la cinemática necesaria, posteriormente se plantea el problema de optimización y finalmente
se realizan los cálculos para el diseño de la prótesis. El caṕıtulo 4 presenta los resultados obtenidos
mediante los algoritmos bio-inspirados comparando cual tiene mejor desempeño. Igualmente se
presenta el diseño de la prótesis con sus respectivos análisis mediante el método de los elementos
finitos utilizando la herramienta de grafiación 3D solidworks. Finalmente se realizan las respectivas
conclusiones que este trabajo de grado deja durante el desarrollo del mismo.
26
Caṕıtulo 2
Marco Teórico
En este caṕıtulo se presentan fundamentos teóricos para el análisis y śıntesis de mecanismos indi-
cando métodos de optimización. Además de ello se habla acerca de conceptos básicos necesarios
para el desarrollo de este proyecto.
2.1 Antropometŕıa
El termino antropometŕıa viene del griego Anthropos que significa hombre o humano y metrikos que
significa medida o medición, es el encargado del estudio cuantitativo de las dimensiones corporales
del humano. Estas mediciones se han venido utilizado desde tiempos atrás, primero fue usada por la
civilización egipcia, alĺı se aplicaba un patrón fijo para la medición corporal, de esta manera teńıan
la posibilidad de dimensionar aspectos sociales como habitáculos de transporte, vestimentas, entre
otros. Posteriormente fue usada por los griegos, ellos definieron un patrón llamado canon romano
el cual divid́ıa el cuerpo en ocho porciones del tamaño de la cabeza, con este método se realizaron
correcciones dimensionales que luego seŕıan aplicadas a la ciencia y arte. Leonardo da Vı́nci plasmó
una figura de un hombre circunscrita dentro de un cuadrado y circulo, esto es conocido como el
hombre de vitruvio o Canon de las proporciones humanas, este trabajo describe las porciones del
cuerpo, realizando combinaciones de posiciones corporales todas dentro del ćırculo.
Acualmente todos los estudiosde antropometŕıa que se realizan a nivel mundial se clasifican por
género, raza, ubicación territorial,edad entre otros. Esto se hace mediante muestreo estad́ıstico
y se expone en gráficos tabulados de todas las porciones del cuerpo. En el anexo 1 se muestran
las dimensiones antropométricas de la población colombiana, utilizadas para la parte de diseño de
este trabajo.
2.2 Anatomı́a y biomecánica de la rodilla
La biomecánica es una disciplina cient́ıfica que realiza el estudio del movimiento o la actividad en
nuestro cuerpo en distintas condiciones, realizando diferentes actividades. Estudia la cinemática y
la mecánica de los seres vivos con sistemas cerrados de tejidos y cuerpos [35].
Realizando las respectivas investigaciones de la anatomı́a y biomecánica de la rodilla se encontró
que los principales elementos que actúan están compuestos por cuatro ligamentos en la estabilidad
y la movilidad, el ligamento colateral del peroné y el tibial, los ligamentos cruzados anterior y
posterior, vistos en la figura 2.1 imágen extraida de [36].
Figura 2.1: Ligamentos de la rodilla
En el movimiento de flexión y extensión, se acompaña de un movimiento de deslizamiento
del fémur sobre la tibia. Debido a esto, el eje de rotación cambia constantemente, con lo que se
presentan varios CIR que describen una trayectoria semicircular sobre el cóndilo femoral. Existen
distintos modelos de cinemática, los cuales han ido evolucionando desde el movimiento en dos
planos (o dos grados de libertad) hasta los más recientes en seis planos (o seis grados de libertad).
Modelo de bisagra: la movilidad se caracteriza por la rotación sobre un eje único situado entre
el miembro fijo; esta rotación es la flexión de la rodilla. El modelo se basa en sólo dos planos.
Mecanismo de unión cruzada de cuatro barras: dos eslabones óseos (inserciones de los
ligamentos cruzados en tibia y fémur unidas por una ĺınea cada una de ellas) y dos eslabones
ligamentosos, el ligamento cruzado anterior y el ligamento cruzado posterior. Se considera la
flexo-extensión en el plano sagital. Los ligamentos cruzados se consideran como una barra ŕıgida
con un centro de rotación situado en el punto donde se cruzan (ver figura 2.2 imágen extraida de
[36]).
Figura 2.2: Enlace superpuesto de cuatro barras: para seguir la flexión de la articulación
2.2.1 Trayectoria de la marcha
La figura 2.2 muestra una rodilla que ha retirado el cóndilo lateral, exponiendo los ligamentos
cruzados. Cruzado con los dos elementos óseos formando los ligamentos de la cadena cinemática
BCD. El segmento AD se llama conexión tibial o varilla tibial y es la ĺınea que conecta los puntos
de inserción de ligamentos a la tibia, mientras que el segmento CB es la barra femoral.La barra
tibial es aproximadamente paralela al plato tibial y la parte femoral es paralela a la pared superior
de la muesca intercondilar. Las varillas tibiales y femorales están aseguradas al fémur y la tibia y
se mueven con ellos, de modo que cualquier cambio del ángulo relativo entre ellos corresponde al
mismo cambio en el ángulo entre los huesos. Los segmentos AB y CD representan los ligamentos
cruzados anterior y posterior, respectivamente [23]. La curva que describe el centro instantáneo
de la ruta se llama poloide. Esta curva se puede definir suponiendo que la tibia está fija o el fémur
está fijo. En el caso de considerar la tibia fija, el poloide adopta una forma plana, mientras que si
se supone que la curva del fémur fija tiene una forma más eĺıptica (fig. 2.3 referencia de [23]).
Figura 2.3: Poloides tibial y femoral de O’Connor
2.3 Mecanismos.
Reuleauxt define una máquina como una combinación de cuerpos resistentes de tal manera que, por
med́ıo de ellos, las fueras mecánicas de la naturaleza se pueden encauzar para realizar un trabajo
acompañado de movimientos determinados. También define mecanismo como una combinación
de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones móviles para formar una cadena
cinemática cerrada con un eslabón fijo, y cuyo propósito es transformar el movimiento. Aqúı
se usará la palabra eslabón para designar una pieza de una máquina o un componente de un
mecanismo [37].
2.3.1 Clasificación de mecanismos
Los mecanismos por sus similitudes y diferencias pueden ser planos, esféricos y espaciales. En
los planos todas las part́ıculas describen curvas planas en el espacio y se encuentran en planos
paralelos, esto hace posible que el lugar geométrico de cualquier punto seleccionado se represente
con su verdadero tamaño y forma real en un solo dibujo. Debido a las caracteŕısticas del objeto
de estudio, lo más adecuado es trabajar con mecanismos planos.
2.3.1.1 Mecanismo plano de 4 barras.
Para el análisis cinemático de un mecanismo plano de cuatro barras, se tiene que determinar ciertas
restricciones:
• Determinación del número de grados de libertad: Éste se puede calcular a partir del número
de coordenadas dependientes y del número de ecuaciones de restricción independientes.
2.3.1.2 Mecanismo plano de 6 barras
Existen diferentes mecanismos de seis barras que satisface con la generación de trayectorias, pero
la mayoŕıa tiene pivotes fijo en localizaciones desfavorables.
En la śıntesis de mecanismos de seis barras es usada para cubrir con ciertos requerimientos que
no se pueden cumplir con los mecanismos de cuatro barras. Los de seis barras son utilizados
cuando se tiene un requerimiento de detención (periodo inmóvil del acoplamiento de la salida para
el movimiento diferente a cero del acoplamiento de la entrada). Aplicados la prótesis de miembro
inferior, ofrecen movimientos con mejor coordinación en la fase de postura y avance.
2.3.2 Ley de Grashoff
Esta ley afirma que para un eslabonamiento plano de cuatro barras, la suma de las longitudes
más corta y más larga de los eslabones no puede ser mayor que la suma de las longitudes de los
eslabones restantes, si se desea que exista una rotación relativa continua entre dos elementos. Para
el tipo de problema a resolver, el mecanismo con cambio de punto es el más adecuado. [37].
Para lograr el correcto funcionamiento del mecanismo de cuatro barras inferior manivela, biela
y balanćın 2.4, se hace necesario el uso de la ley de Grashof. Por lo tanto, se debe cumplir que:
LL=Longitud de la barra más larga
LC=Longitud de la barra más corta
L1 + L2=Suma de las longitudes de las barras restantes
LL + LC < L1 + L2 (2.1)
Figura 2.4: Mecanismo mavinela, biela, balanćın
2.3.3 Ecuaciones de Freudenstein
La ecuación de Freudenstein es una herramienta muy empleada en las śıntesis de mecanismos
de cuatro barras. Esta ecuación se utiliza para estudiar el caso que consiste en: determinar las
dimensiones de las barras en un mecanismo de seis barras, para establecer las relaciones entre sus
longitudes y los ángulos que se forman entre las barras [37].
Figura 2.5: Mecanismo de 4 barras
En la figura 2.5 reemplácense los eslabones de un eslabonamiento de cuatro barras por vectores
de posición y escŕıbase la ecuación vectorial
r1 + r2 + r3 + r4 = 0 (2.2)
En notación compleja polar, la ecuación 2.2 se escribe:
r1e
jθ1 + r2e
jθ2 + r3e
jθ3 + r4e
jθ4 = 0 (2.3)
Si la ecuación 2.3 se lleva a la forma compleja rectangular, y si se separan las componentes real
e imaginaria, se obtienen las dos ecuaciones algebraicas:
r1cosθ1 + r2cosθ2 + r3cosθ3 + r4cosθ4 = 0 (2.4)
r1sinθ1 + r2 sinθ2 + r3sinθ3 + r4sinθ4 = 0 (2.5)
2.4 Optimización
Dentro del quehacer humano se encuentran la resolución de problemáticas complejas. Entre ellas,
se encuentran los problemas de optimización, que consisten en buscar, en un conjunto de solu-
ciones posibles para el problema en cuestión, aquella que satisfaga de mejor manera una serie de
condiciones planteadas. Los problemas de optimización se pueden clasificar en dos tipos:
• Problemas de optimización numérica: Se busca un conjunto de valores para las variables del
problema de maneraque al sustituirse en la función objetivo se maximice o minimice el valor
de esta función.
• Problemas de optimización combinatoria: Se busca encontrar el ordenamiento de un conjunto
de elementos de manera que se maximice o minimice el valor de la función objetivo
En el proceso de diseño se pueden plantear diversas soluciones validas a un problema, entonces se
debe tomar la decisión de cual implementar. Es en ese momento en que se debe plantear algún(os)
criterio(s) que permitan hacer la mejor elección y para esto se puede recurrir al planteamiento
del diseño como un proceso de optimización. La optimización consiste en encontrar los mejores
resultados, bajo unas condiciones dadas, particularmente en ingenieŕıa se busca minimizar algún
tipo de esfuerzo requerido o maximizar un beneficio deseado. La optimización puede ser definida
como el proceso de encontrar las condiciones que dan el máximo o mı́nimo valor a una función.
Para la śıntesis del mecanismo de seis barras, el planteamiento del problema de optimización se
formula como la minimización de error en las ángulos correlacionados en la entrada y salida. Es
decir la posición del error que presenta entre la trayectoria obtenida y la trayectoria deseada [38],
[39].
2.4.1 Componentes de un algoritmo bio-inspirado
Los algoritmos evolutivos y de inteligencia colectiva, de manera general, trabajan de la siguiente
manera, veáse Figura 2.6
1 Generar un conjunto (población) de soluciones (individuos) al problema.
2 Evaluar cada solución en la función objetivo a optimizar.
3 Seleccionar las mejores soluciones de la población con base en su valor en la función objetivo.
4 Generar nuevas soluciones a partir de las mejores soluciones utilizando operadores de variación.
5 Evaluar las nuevas soluciones.
6 Escoger las soluciones que formarán parte de la siguiente iteración (generación)
Aunque existen diferencias espećıficas en los diversos algoritmos evolutivos y aquellos de in-
teligencia colectiva,tienen componentes comunes los cuales se encuentran a continuación.
• Representación de soluciones: Las soluciones se pueden representar de diferentes formas
(cadenas binarias, números enteros. Para el caso de la optimización numérica, la repre-
sentación más adecuada es utilizar números reales, puesto que las variables en este tipo de
problemas suelen tomar precisamente este tipo de valores. Por ende, cada solución consistirá
en un vector de números reales.
• Mecanismo de selección: La gúıa de la búsqueda se realiza mediante este mecanismo o en
el reemplazo. La intención es escoger subconjunto de soluciones de la población que tengan
caracteŕısticas sobresalientes, de manera que puedan generar nuevas soluciones aún mejores.
El criterio para escoger depende del valor de la función objetivo 2.8 de cada solución.
• Operadores de variación: Son los que permiten generar nuevas soluciones a partir de
las soluciones existentes (aquellas escogidas con los mecanismos de selección). Los oper-
adores emulan comportamientos como a reproducción (cruzas), variaciones aleatorias a nivel
genético (mutaciones) o movimientos cooperativos (giros, nados, vuelos).
• Mecanismo de reemplazo: Una vez que se tienen, tanto al conjunto de soluciones actuales
además de las recién generadas, se utilizan mecanismos para escoger aquellas que formarán
parte de la población para la siguiente generación [40].
Figura 2.6: Esquema general de un algoritmo bio-inspirado
2.4.2 Función objetivo
En el diseño convencional se buscan soluciones que se ajusten aceptablemente a unos requerimientos
establecidos, lo cual facilita generalmente la obtención de más de un diseño aceptable, entonces
se deben establecer uno o varios criterios para que permitan comparar las diferentes alternativas
para poder seleccionar la mejor. Si este o estos criterios se expresan en términos de las variables
de diseño a la función resultante se le denomina función objetivo. En aplicaciones de ingenieŕıa
aeronáutica usualmente se busca minimizar el peso como se muestra en [41]. La minimización de
costos en estructura metálicas es presentada en [42] y la optimización del peso y diseño de estas
es resuelta en [43], siendo apenas dos ejemplos de aplicaciones en ingenieŕıa civil. En ingenieŕıa
mecánica con frecuencia se desea maximizar la eficiencia del sistema como proponen Pitarch et al.
en el diseño de un sistema de evaporación [44] o [45] en el diseño y optimización de generadores
termoeléctricos. En la actualidad se encuentran documentadas numerosos desarrollos basados en
optimización con aplicación a todas las áreas de la ingenieŕıa. En algunos casos se debe satisfacer
de manera simultánea dos o más criterios para la solución de un problema, por ejemplo, en el diseño
de una transmisión de engranes que debe ser diseñada para transmitir una potencia determinada,
minimizando el peso y las deformaciones, maximizando además su eficiencia. Existen diversos
criterios para clasificar los problemas de optimización, en la ilustración 2.7 se resume lo dicho
anteriormente.
2.4.3 Vector de diseño
Cualquier sistema o componente se diseña con base a unas caracteŕısticas que son determinadas
durante el proceso de diseño, algunas de estas son establecidas como parámetros pre-asignados
(fijos) y otras son tratadas como variables de diseño (vaŕıan al evolucionar el diseño) Xi, i =
1, 2, . . . , n. Estas variables son representadas usualmente como el vector de diseño:
X = [X1, X2, X3, . . . , XN ]T (2.6)
2.4.4 Restricciones de diseño
Al espacio de n dimensiones definido por el vector de diseño X se le denomina espacio de diseño.
Al conjunto de restricciones que acotan un entorno en el espacio de diseño, garantizando que se
logren soluciones aceptables, se les denomina genéricamente restricciones de diseño. Cuando se
realiza análisis estructural las restricciones de igualdad se asocian a las relaciones que fijan el
comportamiento del sistema, como las condiciones de equilibrio, compatibilidad, etc. En algunos
casos estas relacionan variables, garantizando por ejemplo simetŕıa o curvatura, entre otras. Las
restricciones de desigualdad están asociadas con limitaciones que se imponen a la respuesta del
sistema, tales como deformaciones máximas, frecuencias de vibración, etc. También se plantean
para delimitar el rango de valores posibles para las variables de diseño. Un conjunto de variables
de diseño define un punto en el espacio de diseño, el cual puede cumplir con todas las restricciones
o solo con algunas de estas. En el primer caso el punto está asociado a un diseño factible o válido,
mientras que el segundo define un diseño no factible o no válido.
En este trabajo se realiza el manejo de las restricciones a partir de funciones de penalización. Para
ejecutar dicho proceso, se realiza la suma de violación de restricciones (SVR) basadas en factibilidad
(cantidad de individuos por generación que cumplen con las restricciones.) representada con la
ecuación 2.7.
SV R =
p∑
i=1
max(0, gi(x))+
q∑
i=1
max(|hi(x)| , 0) (2.7)
Donde p y q hace referencia al número de restricciones de desigualdad e igualdad respectivamente,
gi(x) son las restricciones de desigualdad y |hi(x)| son las restricciones de igualdad. A partir de la
ecuación anteriormente planteada, Kalyanmoy Deb [46] propone un método que corresponde a las
siguientes reglas.
• Entre dos soluciones factibles aquellas con el mejor valor de la función objetivo, es selec-
cionada.
• Entre una solución factible y una no factible, la factible es seleccionada.
• Entre dos soluciones no factibles, aquella con la menor suma de violación de restricciones es
seleccionada y se calcula con la ecuación 2.7.
2.4.5 Plantemiento de un problema de optimización:
Un problema de optimización puede ser planteado como se muestra en 2.9 que minimice 2.8 y
sujeto a 2.10 o 2.11
f(x) (2.8)
~x =

x1
x2
.
.
xn
 (2.9)
gi (X)≤ 0; i = 1, 2, . . . , m (2.10)
hj (X) = 0; j = 1, 2, . . . , p (2.11)
Donde x es un vector n-dimensional denominado vector de diseño, f(x) se denomina función
objetivo, gi(x) y hj(x) son conocidas como restricciones de desigualdad e igualdad respectivamente.
El número de variables n y de restricciones m o p, no están relacionadas. Cuando el problema
se plantea de la manera anterior se denomina problema de optimización restringido. En el caso
de no tener restricciones de igualdad o desigualdad se denominará problema de optimización no
restringido.
Figura 2.7: Clasificación de problemas de optimización
2.5 Algoritmo de evolución diferencial
Dicho algoritmo basan su funcionamiento en el proceso de selección natural propuesto por Charles
Darwin. Estos algoritmos clasificados como heuŕısticos no aseguran obtener el óptimo global, sin
embargo, producen una muy buena solución en un tiempo de computo razonable, además que no
se requiere del conocimiento espećıfico del problema a resolver [170].
La principal ventaja al utilizar ED es que éstos se basan en un conjunto de puntos iniciales o
conjunto de vectores de las variables de diseño (llamada población) los cuales son generados en
forma aleatoria. De esta forma se evita la sensibilidad al punto inicial de búsqueda que pudiera
presentar el método de programación matemática. Debido a que se pretende que el método de
solución no tenga una alta sensitividad a las condiciones iniciales para la búsqueda de soluciones,
se eligió que las estrategias del ED utilizado en el presente trabajo fueran las siguientes: gen-
eración aleatoria de una población inicial, creación de nuevas direcciones de búsqueda basada en
la distribución de las soluciones (individuos) de la población actual. Que conforme el proceso de
optimización avance, la selección de las direcciones de búsqueda (las cuales en un principio son
altamente aleatorias) está basada en las mejores soluciones encontradas a partir de la población
actual. Un algoritmo que satisface lo establecido anteriormente es el denominado Evolución Difer-
encial (ED).
En los algoritmos evolutivos (AE), una población está compuesta por varios individuos; un in-
dividuo es una solución al problema la cual está codificada según las necesidades del problema
(generalmente es una codificación binaria). El espacio Euclidiano que definen las funciones obje-
tivo, aśı como la región factible determinada por las restricciones es en donde los individuos se
desenvuelven para determinar qué tan “aptos” son para sobrevivir. La aptitud de cada individuo
está relacionada con el valor que se obtiene al evaluar las funciones objetivo con dicho individuo,
en el caso de minimización; un individuo es mejor que otro cuando el primero logra un menor
valor en las funciones objetivo que el segundo. La evolución se realiza cuando a un conjunto de
individuos (denominados padres) de la población se les aplica operadores probabiĺısticos (cruza y
mutación) para obtener nuevos individuos (llamados hijos) que mantienen algunas propiedades de
los antecesores los cuales se eliminan mediante una selección (determinista o probabiĺıstica). Este
proceso se repite para cada uno de los individuos de la población hasta formar una nueva población
con nuevos individuos. Este proceso se repite cierto número de iteraciones llamadas generaciones.
La ED es un AE en el cual las variables se representan mediante números reales, la población
inicial (conjunto de vectores de las variables) se genera de forma aleatoria y se utiliza un operador
especial de recombinación para generar una combinación lineal entre un número de individuos
(generalmente tres) y otro individuo de la población denominado “padre” (el cual está sujeto a
ser reemplazado) para producir un hijo. Una vez que se tiene al nuevo individuo, se realiza una
selección entre el padre y el hijo de forma determinista, el mejor de ellos permanece en la siguiente
población. Además, la ED no utiliza una codificación binaria como un simple algoritmo genético y
no utiliza una densidad de probabilidad para ajustar sus parámetros como una estrategia evolutiva.
2.5.1 Representación de soluciones
Las soluciones son representadas mediante inidividuos dentro de un vector con las N-variables,con
números reales. La población de vectores de cada variable, está dentro de un rango (cotas, ver
ecuaciones 3.136 y 3.137) dentro del cuál el algoritmo generará las posibles soluciones [40].
2.5.2 Mecanismos de selección
Se genera una nueva solución candidata (hijo) ui,j,G+1, en donde xr3,j,G es el individuo 3 por
generación, xr1,j,G y xr2,j,G representan el individuo 1 y 2 respectivamente y FM es el factor de
mutación. Estos son generados aleatoriamente.
ui,j,G+1 = xr3,j,G + FM(xr1,j,G − xr2,j,G) (2.12)
2.5.3 Operadores de variación para ED
Su principal función es realizar cambios a la población en cada generación para darle convergencia
al algoritmo. Los dos operadores son el factor de cruza el cual no cambia por generación y está
dentro del rango [0.8-1], la mutación es el segundo operador el cual cambia en cada generación y se
encuentra en el intervalo [0.3-0.9]. Los operadores anteriormente nombrados son aleatorios dentro
de los rangos dados.
2.5.4 Variantes de Evolución Diferencial
La nomenclatura usada para identificar las variantes de la ED se encuentra dada por ”DE/a/b/c”.
’DE’ se refiere a Evolución Diferencial, ’a’ es el criterio de selección de uno de los individuos a usar
en el vector de mutación (llamado vector base), ’b’ se refiere al número de diferencias calculadas
en el vector de mutación y ’c’ al operador de recombinación elegido [40].
La variante usada en este trabajo de tesis es DE/rand/1/bin, donde ’rand’ indica que el vector
base usado en la mutación se obtiene aleatoriamente. El ’1’ indica que solo un par de vectores
serán usados en la mutación diferencial y ’bin’ indica que se utilizará recombinación binomial. En
la tabla 2.1 se muestran los parámetros que utiliza ED para su ejecución.
Tabla 2.1: Parametros de ED
Nombre Simbolo Descripción
Número de individuos NI
Cantidad de individuos o vectores en
cada generación
Número de generaciones NG
Número de ciclos necesarios para mejorar la
población inicial
Factor de mutación FM Contstrucción de número de padres aleatorios
Factor de cruza CR Controla la tasa de recombinación
2.5.5 Pseudocódigo del algoritmo ED
El principal objetivo del siguiente pseudocódigo es representar el algoritmo de evolución diferencial
de forma detallada.
Algoritmo 1 Pseudocódigo ”DE / rand / 1 / bin”
1: G=0;
2: Crear aleatoriamente una población inicial xi,G ∀i = 1, . . . , NI;
3: Evaluar f(xi,G), g(xi,G), h(xi,G) ∀i = 1, . . . , NI;
4: for G=1 hasta NG do
5: for i=1 hasta NI do
6: Seleccionar aleatoriamente r1 6= r2 6= r3 6= i ∈ xG;
7: jrand=randint(1, NV );
8: for j=1 hasta NV do
9: if (randj[0, 1) < FC o j = jrand) then
10: ui,j,G+1=xr3,j,G + FM(xr1,j,G − xr2,j,G)
11: else
12: ui,j,G+1=xi,j,G
13: end if
14: end for
15: Evaluar f(ui,G+1), g(ui,G+1), h(ui,G+1);
16: if (f(ui,G+1) ≤ f(xi,G)) (Se determina el mejor individuo con las reglas de Deb si existen
restricciones) then
17: xi,G+1 = ui,G+1;
18: else
19: xi,G+1 = xi,G;
20: end if
21: end for
22: G = G+ 1;
23: end for
2.6 Algoritmo colonia artificial de abejas modificado
El algoritmo de colonia artificial de abejas está basado en modelos sobre la manera en que se
organizan diferentes sociedades de organismos vivos. La colonia artificial de abejas (Artificial Bee
Colony, ABC) es un algoritmo de inteligencia de cúmulos, propuesto por Karaboga en 2005 [47]
que se basa en la conducta de los enjambres durante dos procesos naturales: el reclutamiento de
abejas para la explotación de fuentes de alimento y el abandono de las fuentes agotadas. En el
algoritmo ABC, las abejas en una colonia se dividen en tres grupos: empleadas, observadoras y
exploradoras. El número de empleadas es igual