Dibujo_Técnico

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BILSON TAPIA

19/6/2024

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UNIDADES DIDACTICAS
DE BACHILLERATO A
DISTANCIA

DIBUJO TÉCNICO I
1º de Bachillerato

REALIZADO POR: Ana M. Lamilla Puente
I.E.S. ALTAIR Getafe

BASADO EN EL LIBRO:
DIBUJO TÉCNICO I-EDITORIAL SM
J.ÀLVAREZ /J.L.CASADO / Mª. D. GÓMEZ

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UNIDAD 1: INTODUCCIÓN AL DIBUJO TÉCNICO

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

El Dibujo Técnico requiere el uso de unos materiales e instrumentos para poder
ejecutarlo luego debemos conocerlos así como sus características y manejo.

De su correcta utilización del compás, la escuadra y el cartabón, la regla y los
diferentes lápices y estilógrafos, depende la calidad, limpieza y perfección del acabado
evaluable en esta asignatura.

CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD

Indicarte el mínimo material necesario de dibujo:
Lápiz, en principio se necesitan dos: uno de dureza HB(semiblando) para
repasar las soluciones y para la croquización y otro de dureza 2H o
3H(semiduro) para el trazado con instrumental. El uso de portaminas de
diferentes grosores es práctico pero acuérdate de usar las diferentes durezas.
Compás, mejor que tenga el husillo que sirve para abrir o cerrar los brazos y
nos da mayor precisión en el trazado y el manejo es más fácil.
Regla milimetrada, el tamaño más conveniente es de unos 30 o 50 cm.
Escuadra y cartabón, mejor no milimetradas y sin escalón, marca
recomendada Faber-Castell de unos 21 cm.
Papel para dibujo lineal satinado, tamaño DIN-A4
Transportador de ángulos y plantilla de curvas es un material opcional
Otros como sacapuntas, mejor metálico y goma blanca para mina blanda y
dura para mina dura

CRITERIO DE EVALUACIÓN

• Distingue las propiedades y características de los materiales descritos.
• Utiliza de forma correcta; especialmente los lápices el compás, la escuadra y el
cartabón.
• Demuestra, mediante ejercicios prácticos, agilidad y destreza en su manejo.

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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. En una construcción grafica cualquiera ¿qué tipo de mina utilizarías, de la serie H
o de la serie B? Explica la respuesta.
2. Los formatos de papel A3 y A4, son los más utilizados en este curso,
especialmente el último. ¿Cuáles son sus medidas?
3. Clasifica los tipos de soportes que se utilizan en dibujo técnico

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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. En una construcción grafica cualquiera ¿qué tipo de mina utilizarías, de la serie H
o de la serie B? Explica la respuesta.

Las minas de la serie H son duras, y las de la serie B blandas.
El trazado general debe hacerse siempre con mina dura, incluyendo líneas y
construcciones auxiliares; sólo el resultado debe repasarse con mina blanda.

Las minas duras generan un trazado más fino, proporcionando a los dibujos mayor
precisión y limpieza, además dejan menos restos de grafito sobre el papel, por lo que hay
menos riesgo de que el dibujo se ensucie.

2. Los formatos de papel A3 y A4, son los más utilizados en este curso,
especialmente el último. ¿Cuáles son sus medidas?

Las medidas del formato A4 son 210 por 297 mm.
Las del formato A3 son 297 por 420 mm.

3. Clasifica los tipos de soportes que se utilizan en dibujo técnico.

Opacos: alisados, texturados, satinados, brillantes
Semi-opacos: vegetal, poliéster
Transparentes: acetato
Pautados: milimetrado, isométrico

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UNIDAD 2: TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL
PLANO

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

En esta unidad se estudian trazados geométricos fundamentales en el plano necesario
como base para iniciar el estudio de esta asignatura y poder conocer sus fundamentos
teóricos para luego poder aplicarlos en trabajos más complejos.

Importancia en la identificación de los diferentes lugares geométricos. De la realización
de trazados geométricos de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, así como de
resolver operaciones con segmentos, ángulos de la circunferencia y potencia.

CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD

APARTADO 1- PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO

Concepto de lugar geométrico: es el conjunto de puntos que gozan de una propiedad
común.
Mediatriz de un segmento: es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los
extremos definidores del segmento son iguales o se define también, como la recta
perpendicular que divide al segmento en otros dos iguales.

Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando ángulos rectos (90º) y son
paralelas cuando no se cortan en un punto propio, es decir, el punto de intersección se
encuentra en el infinito.

QUE TENEMOS QUE APRENDER
A) Rectas perpendiculares y paralelas con ayuda de escuela y cartabón.
B) Rectas perpendiculares y paralelas con ayuda del compás.
- Perpendicular a una recta por un punto M perteneciente a ella.
- Perpendicular una recta por un punto P exterior a ella.
- Perpendicular a una semirrecta por su extremo.
- Paralela a una recta r a una instancia dada d.
- Paralela a una recta r por un punto dado P exterior.
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AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Observa que todos los ejercicios están basados en el concepto de mediatriz, así si
queremos hacer una perpendicular por un punto P que pertenece a la recta r o es exterior a
ella, pinchamos en el punto y con un radio auxiliar cortamos a r, en dos puntos AB. La
solución es la mediatriz de AB. La perpendicular a una semirrecta por su extremo es igual si
prolongamos r.

APARTADO 2 - ÁNGULOS

Bisectriz de un ángulo: es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los lados
del ángulo son iguales o también, recta que divide a un ángulo en otros dos iguales.

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Tipos de ángulos
- Construcción de algunos iguales
- Suma diferencia de ángulos.
- Bisectriz con el vértice fuera del papel.
- Trisección de un ángulo recto.
- Construcción de algunos usuales con el compás

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Bisectriz con el vértice fuera del papel tiene otro método (ver unidad de tangencia)

APARTADO 3 - SEGMENTOS

- Media geométrica o proporcional de dos segmentos dados es un segmento que es igual
a la raíz cuadrada del producto. X=√ a x b, o también X x X = a x b
Teorema de la Altura: la altura de un triángulo es media proporcional entre dos
segmentos en que divide la hipotenusa.
Teorema del Cateto: el cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección
sobre ella. (Ver actividades de autoevaluación)
- Tercera proporcional de dos segmentos dados, es el cuadrado de uno de ellos dividido
por el otro. X= a x a/b
- Cuarta proporcional de tres segmentos dados, es el producto de dos de ellos dividido
por el otro. X= a x b/c
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QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Suma y diferencia de dos segmentos
- Producto de un segmento por un número.
- División en partes iguales o proporcionales.
- Operaciones: Raíz cuadrada de un segmento.
Producto de dos segmentos
División de dos segmentos
- Media proporcional, tercera proporcional y cuarta proporcional

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
- Observa que la raíz cuadrada de un segmento se halla igual que media proporcional si
tomamos como valor de un segmento la unidad o también podríamos descomponerlo en
otros dos, por ejemplo la raíz cuadrada de 12 es igual a media proporcional de dos
segmentos de 3 y 4 (3 x 4=12), de 2 y 6, de 1 y 12.
- Observa que producto y división de dos segmentos se halla igual que cuarta
proporcional tomando para el tercer segmento el valor de la unidad.
- En la resolución de producto de dos segmentos, división de dos segmentos, tercera y /o
cuarta proporcional los segmentos sobre las rectas auxiliares se pueden llevar uno a
continuación del otro o podemos partir del vértice del ángulo los dos y por lo tanto la
solución también de dará a partir de ese punto.

APARTADO 4 – CIRCINFERENCIAUna circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de otro llamado centro. Se llama radio a dicha distancia.
Otras líneas: diámetro, cuerda, secante, tangente y arco.

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.
- División de la circunferencia en “n” partes iguales.

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
- Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados esta relacionado con el concepto
de mediatriz.
- División de la circunferencia en “n” partes iguales. El método general está basado en el
Teorema de Tales y es igual para realizar polígonos regulares.
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APARTADO 5 – ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA, ARCO CAPAZ

Los ángulos respecto a una circunferencia pueden ocupar distintas posiciones:
- ángulo central, vértice centro de la circunferencia y sus lados la cortan
- ángulo inscrito, vértice en la circunferencia y sus lados la cortan
- ángulo semiinscrito, vértice en la circunferencia y sus lados la cortan
- ángulo interior, vértice dentro de la circunferencia, un lado y otro la cortan
- ángulo exterior, vértice fuera de la circunferencia y sus lados la cortan
- ángulo semiexterior vértice fuera de la circunferencia, un lado y otro la cortan
- ángulo circunscrito vértice fuera de la circunferencia y sus lados tangentes

Relaciones de ángulos:
- El ángulo inscrito α y seminscrito β si abarcan el mismo arco que el central
correspondiente su valor es la mitad, es decir, α = β/2
- El valor del ángulo interior α es la semisuma de los centrales correspondientes β1 y
β2 es decir, α = β1 - β2 /2
- El valor del ángulo que tienen el vértice en el exterior α es la semidiferencia de los
centrales correspondientes β1 y β2 es decir, α = β1 + β2 /2. Se cumple la misma
formula, por lo tanto, en los caso de ángulo semiexterior y en el ángulo
circunscrito.
Arco capaz de un segmento bajo un ángulo dado: es el lugar geométrico de los
puntos del plano bajo ese ángulo.

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Calcular valor ángulos de formas geométricas
- Calcular arco capaz y entender la aplicación de este concepto

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
En el arco capaz:
- Si el ángulo es menor de 90º sale un arco peraltado
- Si el ángulo es mayor de 90º sale un arco rebajado
- Si el ángulo es igual a 90º entonces media circunferencia
Observa que todo arco capaz que abarca al mismo segmento AB tiene el mismo
ángulo α y su valor será la mitad del ángulo central correspondiente pues serán
ángulos inscritos en la circunferencia si completamos el arco.
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APARTADO 6 – POTENCIA, EJE RADICAL Y CENTRO RADICAL

- Potencia de un punto P respecto de una circunferencia: es el producto de las
distancias PA y PB, siendo A y B los puntos de corte con la circunferencia de una
secante que pasa por P. Es una constante, y se cumple en el caso de la tangente.
PA x PB = PT x PT, también √ PA x PB = PT.

- Relación de potencia con media proporcional. Observa que si PA = b, PB = a y
PT=x, entonces X=√ a x b

Casos de potencia:
1. Si el punto P es exterior la potencia es positiva
2. Si el punto P es interior la potencia es negativa
3. Si el punto P está en la circunferencia la potencia es nula.

- Eje radical de dos circunferencias: es el lugar geométrico de los puntos del plano
que tienen igual potencia respecto ambas. Se demuestra que es perpendicular a la
unión de centros.
- ¡Cuidado! no coincide con la mediatriz de los centros, solo cuando tienen el
mismo radio. (Ver actividades de autoevaluación)

- Centro radical de tres circunferencias: es el punto del plano que tienen igual
potencia, donde se cortan los ejes radicales.

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- La resolución gráfica de los diferentes ejes radicales según casos de
circunferencias: secantes, tangentes, exteriores, interiores y concéntricas.
- La resolución gráfica del centro radical cuando tengamos tres circunferencias.
(Ver actividades de autoevaluación)
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AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Si me piden hallar una circunferencia ortogonal a tres dadas tiene por centro el
centro radical y por radio las longitudes de tangencia que son todas iguales.

CRITERIO DE EVALUACIÓN

• Conoce las características de los trazados geométricos fundamentales.
• Realiza construcciones gráficas relacionadas con el concepto de arco capaz.
• Comprende las características de los trazados geométricos sobre potencia.
• Identifica cómo y cuándo se aplica concepto de lugar geométrico a casos reales.
• Ejecuta con exactitud los distintos trazados geométricos.

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. Dividir un segmento AB, de 5 cm., en 6 partes iguales
2. Construir el arco capaz de un ángulo de 60º respecto al segmento AB=40mm y
otro para un ángulo de135º.
3. Bisectriz de un ángulo con el vértice fuera del papel
4. División de la circunferencia en “n” partes iguales.
5. Media proporcional de dos segmentos dados. Comprueba que la solución es la
misma por los dos métodos.
6. Hallar el centro radical de tres circunferencias dadas.

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ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR

1. Trazar la perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella, utilizando el
compás.
2. Trazar la perpendicular a una semirrecta por su extremo, utilizando el compás.
3. Construye con regla y compás ángulos de 60º, 75º, 15º, 120º, 135º, 45º, 22’5º.
4. Dividir un ángulo de 180º en doce partes iguales
5. Hallar la raíz cuadrada de un segmento AB = 45mm
6. Deducir el valor de un ángulo interior de un decágono estrellado. Razonar
adecuadamente la respuesta.
7. Dadas dos circunferencias de centros 0 y 0´ y con radios de 40mm y 25mm
respectivamente, hallar los puntos del eje radical, desde los cuales se ve el
segmento 00´ desde un ángulo de 90º.
8. Hallar el centro radical de tres circunferencias exteriores y de diferentes radios.
Utiliza los dos métodos que conoces.

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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. Dividir un segmento AB, de 5 cm., en 6 partes iguales

1º Por un extremo que queramos, A, trazamos una línea auxiliar formando el ángulo que
deseemos ≈ 30º.
2º Llevamos el número de divisiones, n = 6.
3º Unimos la última división con el otro extremo B.
4º Las paralelas a la recta 6B nos dan las divisiones en nuestro segmento

2. Construir el arco capaz de un ángulo de 60º respecto al segmento AB=40mm y
otro para un ángulo de135º.

1º Sobre el segmento AC, se dibuja el ángulo que nos piden, 60º o 135º.
2º Mediatriz de AB
3º Perpendicular a la prolongación del ángulo que hemos llevado sobre el extremo A
4º Se cortan en O que es el centro del arco solución

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3. Bisectriz de un ángulo con el vértice fuera del papel

1º Se dibuja una secante auxiliar a ambas rectas
2º Se dibujan las bisectrices de los ángulos que se forman y se cortan a su vez en dos puntos
3º La bisectriz es la recta que pasa por esos puntos

4. División de la circunferencia en “n” partes iguales.

1º Se divide el diámetro en tantas partes como n.
2º Con radio el diámetro y pinchando en los extremos AL, se trazan dos arcos que se cortan en
el punto M.
3º Unimos M con la segunda división del diámetro, punto 2, y corta a la circunferencia en B.
4º Se transporta la distancia AB a través de la circunferencia y comprobamos el nº de
divisiones.
NOTA: observa que este método sirve para hacer polígonos regulares, en este caso
tendríamos un endecágono.

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5. Media proporcional de dos segmentos dados. Comprueba que la solución es la
misma por los dos métodos.

Teorema de la altura
1º Colocamos los segmentos AB + CD y dibujamos arco capaz de 90º
2º Por el extremo común BC, perpendicular y corta al arco en G
3º X= (BC) G. Observa que es la altura del triángulo rectángulo

Teoremadel cateto
1º Colocamos los segmentos AB - CD y dibujamos arco capaz de 90º
2º Por el extremo interior D, perpendicular y corta al arco en G
3º X= (AC) G. Observa que es el cateto del triángulo rectángulo

6. Hallar eje radical de dos circunferencias exteriores y de diferente radio.

1º Tangente común a ambas saco T y T’
2º Mediatriz de TT’ saco M
3º Por M perpendicular a la unión de centros O1O2

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7. Hallar el centro radical de tres circunferencias exteriores y de diferentes radios.

Será el punto intersección de los ejes radicales de las circunferencias dos a dos.
1º Sacamos e’ que es la ⊥ a la unión de centros por el punto de tangencia, F
2º Trazamos una circunferencia auxiliar de centro O, secantes con la O1O2. Los ejes radicales
serán las rectas AB y CD, respectivamente y ambos se cortan en el punto E.
Sacamos e que es la ⊥ a la unión de centros O1O2, por el punto E.
3º La solución es el punto intersección de e’ y e, punto G, en nuestro dibujo.

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UNIDAD 3: IGUALDAD, SEMEJANZA Y ESCALAS.

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

En esta unidad se presentan las relaciones métricas entre elementos geométricos que nos
permitirán definir la semejanza, siendo las escalas para la construcción de planos en dibujo
técnico, la aplicación más importante de la semejanza.
Experimentando el uso y la construcción de escalas volantes.

CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD

APARTADO 1- IGUALDAD

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Dos figuras son iguales cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados que se corresponden
también iguales, es decir se pueden superponer uno encima del otro.
Construcción de una figura igual a otra por distintos métodos:
- por copia de ángulos
- por coordenadas
- por radiación
- por triangulación
- por traslación (ver unidad 5)
- por cuadricula (utilizado en dibujo artístico)

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
- Para copiar un polígono regular o inscrito en una circunferencia igual a otro primero
dibujaríamos la circunferencia y llevamos luego las medidas.
- Elige el método más adecuado para cada caso.

APARTADO 2 - SEMEJANZA

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos ordenadamente iguales y sus lados
proporcionales e inversamente semejantes cuando sus ángulos son iguales tomados en
sentido inverso y sus lados proporcionales.
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La proporcionalidad entre lados se llama razón de semejanza, Κ, así tenemos:
- Proporcionalidad directa razón de semejanza positiva, ejemplo Κ= 2/3
- Proporcionalidad inversa razón de semejanza negativa, ejemplo Κ= -2/3

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
La construcción de una figura directamente semejante a otra se puede hacer por
coordenadas o tomando un punto arbitrario O, (centro de homotecia, caso particular de
semejanza que se estudiará mas adelante). Este punto también puede ser uno cualquiera
de nuestra figura.

APARTADO 3 - ESCALAS

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Es la relación numérica entre el tamaño de un objeto real y su representación, ya sea en
el plano o en el espacio.
ESCALA = DIBUJO / REALIDAD
- Tipos de escalas:
Escala de reducción, Si ese cociente es menor de uno, ejemplo E= 2/3
Escala de ampliación Si el cociente es mayor de uno, ejemplo E= 5/3
Escala natural el cociente es igual de uno, ejemplo E=1
- Manejo y construcción de las escalas volantes o gráficas, la escala
transversal y el triángulo universal de escalas
- Ejecutar dibujos técnicos a distinta escala, utilizando la escala gráfica
establecida previamente y las escalas normalizadas

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
La mas utilizada es la escala volante con su contra escala

CRITERIO DE EVALUACIÓN

• Construye figuras iguales y figuras directa o inversamente semejante a otra.
• Resuelve y aplica problemas gráficos relacionados con la semejanza.
• Trabaja y utiliza adecuadamente con las distintas escalas.
• Ejecuta dibujos técnicos a distinta escala, utilizando la escala gráfica establecida
previamente y las escalas normalizadas.
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. En un dibujo, hecho a escala E: 3/2, medimos un ángulo de 60º. ¿Cuánto mide en
realidad?
2. La distancia en línea recta entre dos ciudades es de 496 Km., pero en el plano
mide 248 mm. ¿A qué escala está dibujado el plano? Razona la respuesta.
3. Construye un triángulo semejante al formado por el cartabón.
4. Dibuja la recta que pasa por el punto P y concurre con las rectas r y s

1. Traza la escala volante 7/5 con su contraescala; debe tener 9 unidades (contando
la contraescala). La unidad considerada es el milímetro; las unidades de la escala
serán de 10 mm. excepto la contraescala.

ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR

1. Construir dos segmentos a y b cuya suma sea 70mm y cuya razón de semejanza
sea a/b=3/4
2. Calcula la magnitud real de un segmento que a escala 1/6, mide en el dibujo
45mm.
3. En un mapa, la distancia entre Madrid y Zaragoza es de 60mm. Si la distancia real
entre ambas ciudades es de 300Km. ¿A qué escala está dibujado el mapa?
4. En un dibujo a escala 3/8 se ha tomado una longitud de 120mm. ¿A qué longitud
real corresponde?
5. ¿Qué escala elegirías para dibujar en una lámina de formato DIN A-4 (210mm x
290mm), un campo de fútbol cuyas medidas son 100 x 80mm?
6. En una lámina DIN A-4 construir unas reglas con las siguientes escalas; 1:125,
1;10.000 Y 1;500.000 y su contra escala
7. Construir una escala decimal de transversales 1:500 y medir en el a una distancia
63, 45mm.

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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. En un dibujo, hecho a escala E: 3/2, medimos un ángulo de 60º. ¿Cuánto mide en
realidad?

Los ángulos no varían con la escala, solo lo hacen las magnitudes lineales. Las figuras
semejantes tienen ángulos iguales lados proporcionales.

2. La distancia en línea recta entre dos ciudades es de 496 Km., pero en el plano
mide 248 mm. ¿A qué escala está dibujado el plano? Razona la respuesta.

La escala es E: 1:2.000.000, que sale como resultado de aplicar la formula.

3. Construye un triángulo semejante al formado por el cartabón.

1º Arco capaz de 90º
2º Introducimos ángulo de 30º en vértice B´ y corta al arco en A´
3º Unimos A´ con C´ (el ángulo A´C´B´ forma 60º)

4. Dibuja la recta que pasa por el punto P y concurre con las rectas r y s

1º Triángulo auxiliar con vértices P, A y B
2º A partir de otro punto auxiliar A´ dibujamos un triángulo por paralelas, obtenemos B´
y luego P´
3º La recta solución es PP´, por ser figuras semejantes y donde se corten las rectas r y
s sería centro de homotecia.

5. Traza la escala volante 7/5 con su contraescala; debe tener 9 unidades (contando
la contraescala). La unidad considerada es el milímetro; las unidades de la escala
serán de 10 mm. excepto la contraescala.

1º Aplicamos el teorema de Tales y dividimos la que mide 7 en 5 partes iguales.
2º Conseguimos más unidades de la escala prolongando las dos rectas.
3º Para trazar la contraescala dividimos la primera unidad en 10 partes iguales.
Otro procedimiento, consiste en dividir numerador entre denominador para hallar la medida
de la unidad de escala 7/5= 1,4; 10 centímetros de l a escala 7/5 son 14 cm. Y se divide en diez
partes iguales.
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UNIDAD 4: POLÍGONOS.

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

Esta unidad comprende el estudio de polígonos. Se comienza con la definición, propiedades,
clasificación para finalmente saber construirlos. Es de suma importancia saber identificar las
características y diferencias entre los diferentes polígonos así como conocer los fundamentos
teóricos de dichos trazados para aplicarlos después en la realización de trabajos más complejos.

Los polígonos regulares, dentrode la geometría, adquiere un protagonismo, no sólo como entes
geométricos, sino como figuras que se pueden encontrar con suma facilidad la vida cotidiana, en
diseños industriales, constructivos, el mundo animal, etc.

CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD

APARTADO 1- TRIÁNGULOS

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Construcción de triángulos a partir de unos datos y conociendo sus propiedades y
clasificación.

EQUILÁTEROS Lados =y ángulos = 60º
ISÓSCELES Dos lados y ángulos = y el otro ≠

SEGÚN SUS LADOS
ESCALENOS Lados y ángulos ≠
ACUTÁNGULO Ángulos < 90º
RECTÁNGULO Un ángulos = 90º

CLASIFICACIÓN

TRIÁNGULOS
SEGÚN SUS ÁNGULOS
OBTUSÁNGULO Un ángulos > 90º

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
- Siempre hacer una figura auxiliar para observar los datos.
- Recordar todos los triángulos son semejantes.
- Si entre los datos hay un lado y el ángulo opuesto normalmente se resuelve por arco
capaz.
- Si entre los datos hay una altura el vértice estará en una paralela a ese lado.
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APARTADO 2 - CUADRILATEROS

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Construcción de cuadriláteros los a partir de unos datos y conociendo sus propiedades y
clasificación

CUADRADO Diagonales = , ⊥ y lados =
RECTÁNGULO Diagonales =,NO⊥ y lados = 2 a 2
ROMBO Diagonales ≠ ,⊥ y lados =

PARALELOGRAMOS
Lados ⁄⁄ 2 a 2
ROMBOIDE Diagonales ≠ ,NO ⊥ y lados = 2 a 2
T. ISÓSCELES Simétrico, lados NO ⁄⁄ =
T. RECTÁNGULO 2 ángulos = 90º
TRAPECIOS
2 lados ⁄⁄(bases) y 2 NO ⁄⁄
T. OBLICUO Trapecio puro

CLASIFICACIÓN

CUADRIÁTEROS
TRAPEZOIDES Trapezoide puro, solo condición de 4 lados

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
- Hacer una figura auxiliar para observar los datos
- No todos los cuadriláteros son semejantes
- Se pueden descomponer en triángulos y aplicar sus propiedades

APARTADO 3 – POLÍGONOS REGULARES

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Definición de polígonos, clasificaciones y propiedades.
- Construcción de polígonos regulares a partir de unos datos y conociendo sus
propiedades y clasificación
- Podemos utilizar distintos métodos según el dato que nos den:
- Radio de la circunferencia circunscrita
- Apotema desde el centro al punto medio de uno cualquiera de sus lados que
coincide con el radio de la circunferencia inscrita en el polígono
- Lado o perímetro que es la suma de todos ellos

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
- Si conocemos el radio método general: División de la circunferencia en “n” partes
iguales, pero hay casos más rápidos si conocemos los métodos particulares así el
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hexágono coincide el radio con la medida del lado. (Ver actividades de autoevaluación)
- Todos los polígonos regulares son semejantes y este puede ser un método general si
me dan conocido el lado o la apotema pues primero divido la circunferencia en “n”
partes iguales con un radio auxiliar y luego aplico semejanza (vista en el tema anterior)

APARTADO 4 – POLÍGONOS ESTRELLADOS

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Son cóncavos. Se obtienen de unir convenientemente los vértices de polígonos
regulares convexos.
- Regla para obtener todos los polígonos regulares estrellados de “n” lados basta
con tomar para valor del paso (forma de unir las divisiones) los números primos con “n”
e inferiores a “n” medios.

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
¡Cuidado! Tengo que empezar en un vértice y terminar en él sin levantar el lápiz, así por
ejemplo, el hexágono no tiene ningún estrellado pues no se cumple la regla y lo que
obtenemos son dos triángulos equiláteros girados 180º. (Ver más casos en actividades de
autoevaluación)

CRITERIO DE EVALUACIÓN

• Identifica las características y diferencias entre los diferentes polígonos
• Realiza las construcciones de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares y
estrellados.
• Conocer los fundamentos teóricos de dichos trazados.
• Aplicar dichos trazados a la realización de trabajos más complejos.

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

Se pide dibujar
1. Un triángulo equilátero conocido la altura
2. Un triángulo isósceles dado el lado desigual y el ángulo opuesto
3. Un rectángulo conocida la diagonal y la suma de los lados
4. Un trapecio ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=30,
CD= 26 Y BC=27
5. Pentágono regular conocido el lado
6. Obtener los estrellados posibles del heptágono y del eneágono. ¿Cuántos
salen?

ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR

1. Un triángulo dados los tres lados: a=50, b=48 y c=35
2. Un triángulo isósceles dado el lado desigual y el ángulo opuesto
3. Un triángulo dados dos lados y el ángulo comprendido: a=50, c=30 y B=75º
4. Un rectángulo conocidos el lado mayor y la diagonal
5. Un romboide ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=35 Y
A=35º
6. Un romboide sabiendo que su lado mayor mide 70 y su diagonal mayor mide 100.
El ángulo que forman las dos diagonales mide 100º
7. Un trapecio sabiendo que sus dos bases miden 70 y 50 respectivamente y sus
diagonales 80 y 60
8. Un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo tres lados y la diagonal AB=30,
BC=20, CD=40 y AC=45
9. Un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos, Indicar cuantas soluciones tiene el problema y de todas ellas dibujar la
del perímetro mayor
10. Un octógono regular y todos sus estrellados. ¿Cuántos se pueden trazar y por
qué?
11. Un decágono regular conocida la apotema.

24
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

Dibuja:
1. Un triángulo equilátero conocido la altura

Se dibuja un triángulo equilátero 123 auxiliar y sobre la altura se lleva la que nos dan NA, se
resuelve por paralelas. (Basado en semejanza)

2. Un triángulo conocido AC = 50mm, ángulo opuesto B = 45º y ángulo C= 60º.

1º Sobre el segmento AC, se traza arco capaz de 45º, con centro donde corta la mediatriz y la
perpendicular a la prolongación del ángulo que hemos llevado sobre el extremo A
2º Con vértice C introducimos el ángulo de 60º y corta al arco capaz en B, que unimos con A,
teniendo así nuestra solución.

3. Un rectángulo conocida la diagonal y la suma de los lados

25
1º Dibuja un triángulo auxiliar para observar los datos
2º Se construye un triángulo de base AE, ángulo de 45º (pues es la mitad del ángulo de 90º) y
el otro lado la diagonal.
3º Desde el vértice C trazo perpendicular que corta a AE en el punto B.
4º Completo mi rectángulo.
Observa: Este método es igual para un triángulo rectángulo si me dan la suma de los catetos y
la diagonal

4. Un trapecio ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=30, CD=
26 Y BC=27

1º Dibuja un trapecio auxiliar para observar los datos
Observa que al igual que en el ejercicio anterior podemos construir un triángulo ya que DE=BC
y AE= AB menos CD
2º Dibújalo aplicando lo expuesto.

5. Pentágono regular conocido el lado

1º Mediatriz de OM, punto L
2º Pincho en L y con radio LA trazo arco que corta en P

Observa: que con está sencilla construcción sacamos:
El lado del pentágono = AP
El lado del decágono = PO
El lado del heptágono = LN siendo N donde corta la mediatriz a la circunferencia.

6. Obtener los estrellados posibles del heptágono y del eneágono. ¿Cuántos salen?

1º El heptágono tiene dos: uno de orden 2 y otro de orden 3.
Porque son los únicos números enteros menor de 7/2 y primos con 7.
2º El eneágono también tiene dos: uno de orden 2 y otro de orden 4.
Porque son los únicos números enteros menor de 9/2 y primos con 9.

27
UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS.

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

Tras comenzar con las series lineales, se trata de movimientos sencillos en el plano:
translación, giro y simetría donde la figura resultante es igual que de la que partimos.

También analizaremos un caso particularde la semejanza: la homotecia y
aprenderemos a aplicar dichas transformaciones a otro tipo de problemas.

CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD

Una transformaciones una operación o conjunto de operaciones geométricas que
permite obtener una figura plana F´ a partir de otra dada F. Se caracteriza por ser
transformaciones biunívocas.
Pueden ser:
A) Según sentido en el plano
- directas aquellas que conservan el sentido de puntos u orientación de puntos en el
plano: traslación, giro, simetría central
- inversas cuando no lo conservan: simetría axial
B) Según punto comparativo entre F y F´
- Isométricas conservan las medidas tanto de ángulos como longitudinales:
traslación, giros, simetrías
- Isomórficas conservan las formas, los ángulos pero no longitudes: figuras
homotéticas, semejantes
- Anamórficas no mantienen las formas pero conservan los ángulos: inversión (se ve
en 2º de Bachillerato)

APARTADO 1- HOMOTECIA

Se define homotecia de centro O y razón K, siendo esta distinta de cero, a la transformación
que hace corresponder a todo punto A del plano otro A´, alineado con O y con A, de tal
forma que se verifica: OA =OA x K siendo K= constante
1. Homotético de un punto: se resuelva por el teorema de Tales, así si k = m/n, divido la
distancia del centro 0A en n partes y el punto A’ estará en la paralela por el número m.
28
2. La homotética de una recta se demuestra que es otra paralela a ella.
3. La homotética de una figura se resuelve como consecuencia de lo anterior

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Casos de homotecia:
-Homotecia directa. Si K > 0, K es positiva y por tanto A y A´ tienen el mismo sentido (están
al mismo lado de O). Además si K < 1, A´ estará entre 0 y A
-Homotecia inversa. Si K < 0, K es negativa y por tanto A y A´ tienen distinto sentido (A´ está
al otro lado de O), aquí si K < 1, A´ estará al otro lado pero una distancia menor que OA
- Transformada de identidad. Cuando K=1, cualquier punto se transforma en si mismo.
- Simetría central. Cuando K= -1

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Desde el centro de homotecia, dibujamos rectas por cada uno de los puntos y teniendo en
cuenta los casos anteriores lo más fácil es sacar el homotético de un punto y el resto por
paralelas como en la figura con K= 1/2

En la circunferencia podemos utilizar dos radios homotéticos directos o inversos o también
utilizar las tangentes comunes:
- Las tangentes exteriores se cortan en un punto que es centro de homotecia directa.
- Las tangentes interiores se cortan en un punto que es el centro de homotecia
inverso.

APARTADO 2 -TRASLACIÓN

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F´ aplicando a todos
sus puntos un desplazamiento igual, es decir, la misma magnitud, dirección y sentido

29
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
- Por cada punto se traza paralelas a la dirección dada y tomando la magnitud con el
compás se lleva sobre cada una de ellas en el sentido pedido uniendo finalmente cada
punto como corresponde. ( Ver actividades de autoevaluación)
- Recuerda que la figura solución es igual, siendo suficiente con trasladar un punto y
luego lados paralelos. En la circunferencia sería el centro y otro punto cualquiera, ten
esto en cuenta si nuestro polígono es regular y nos ahorraremos trabajo y mejoraremos
la precisión

APARTADO 3 - GIRO

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F´ girando cada
punto un ángulo dado en un sentido establecido alrededor de un punto O fijo, llamado
centro de giro.

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Al igual que en los casos anteriores giro punto a punto o giro uno solo uno de ellos y dibujo
una figura igual a partir de ese punto. (Ver actividades de autoevaluación)

APARTADO 4 - SIMETRÍA

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Hay dos tipos de simetría:
- Simetría axial o respecto de una recta r. Es aquella transformación que nos permite pasar
de una figura F a otra F´ de tal forma que a cada punto A de F le corresponde otro A´ de F´
situado al otro lado de r a la misma distancia y de tal manera que el segmento AA´ es
perpendicular a r.
- Simetría central o respecto de un punto O. Es aquella transformación que nos permite
pasar de una figura F a otra F´ de tal forma que a cada punto A de F le corresponde otro A´
de F´ situado al otro lado de O y a la misma distancia.

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
- Basta con aplicar la definición dada. Tener en cuenta que las figuras son iguales y esto
puede ahorrarnos trazados, así, si tengo un polígono inscrito en una circunferencia lo
más práctico es simétrico del centro de la circunferencia y de otro vértice cualquiera de
dicho polígono y luego hacer la figura igual (ver diferentes métodos en la unidad 3)
30
- ¡Cuidado! en simetría axial cambia el sentido de los puntos, en este caso para que no
te confundas mejor saca el simétrico de dos para observar el movimiento.

APARTADO 5- PRODUCTOS DE MOVIMIENTOS

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Tienen lugar cuando se aplican dos o más movimientos o transformaciones sobre la
misma figura.
- El producto de dos traslaciones dan por resultado otra traslación
- El producto de dos giros de centro O´ y O´´ y ángulos A y B es otro giro que tiene
por centro O y ángulo C. Su centro O se determina por la intersección de las
mediatrices de los segmentos limitados por las parejas de puntos correspondientes
inicial y final.
- El producto de un giro y una traslación se resuelve igual que el de dos giros, no
olvidar que la traslación es un giro de centro impropio.
- El producto de dos simetrías axiales es un giro cuyo centro es el punto
intersección de los ejes de simetría

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Se recomienda comprobar los productos vistos realizando unos ejercicios. (Ver
algunos ejemplos en las actividades de autoevaluación)

CRITERIO DE EVALUACIÓN

• Realizar transformaciones en el plano.
• Resuelve problemas de homotecia
• Aplicar dichas transformaciones a otro tipo de problemas.

31
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. Obtener la figura transformada resultante de efectuar:
Una traslación según la magnitud M y la dirección en el sentido indicado, Figura1.
Un giro de 60º con respecto al punto O en sentido horario, Figura2.

2. Construye el triángulo homotético respecto del centro O, sabiendo que k= - 1´5.

3. Halla el centro de giro que ha permitido al triángulo 1 pasar a la posición 2

4. Traza los dos ejes de simetría que han sido necesarios para que la figura 1 pase a
la posición 2

32
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR

1. Construye:
Un polígono igual que el dado sabiendo que es simétrico del dado respecto del centro
O. Un polígono homotético del dado, siendo el centro O y K= - 5/3

2. Unir los puntos A y B, tocando a la recta r en otro P de manera que la distancia AP
+ PB sea mínima.
B.
A .
r

3. Hallar la figura transformada de la figura 1 después de efectuar: un giro de +60º y
una homotecia de razón 3/5
4. Dado el módulo de la figura 2: 1º efectuar 4 giros sucesivos de 90º cada uno, 2º
efectuar 8 giros sucesivos de 45º cada uno, con centro en B, 3º dibujar la simetría
axial cuyo eje es la recta que determinan los puntos Ay B.

SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
ra 1
Un giro de 60º con respecto al punto O en sentido horario. Figura 2

1. Obtener la figura transformada resultante de efectuar:
Una traslación según la magnitud M y la dirección en el sentido indicado. Figu

Figura1: por cada vértice trazamos rectas paralelas a la dirección en el sentido indicado.
Tomamos la magnitud con el compás y pinchando en A obtenemos A1. Repetimos la operación
cada punto y finalmente los unimos.
mos un arco para obtener A1. Repetimos la operacióncon cada punto y finalmente los
s.
2. Construye el triángulo homotético respecto del centro O, sabiendo que k= - 1,5
con

Figura 2: Unimos A con O y e introducimos el ángulo de 60º en el sentido indicado. Con radio
OA traza
unimo

A estará en la recta AO al otro lado d1
puntos y los uno para obtener la F1.
Observa: la figura transformada mantiene los valores angul
e O a la distancia AO + 1/2 de AO. Repito con todos los
ares y el paralelismo, sin embargo,
ntación al ser la razón de homotecia negativa. varía la orie

3. Halla el centro de giro que ha permitido al triángulo 1 pasar a la posición 2

Hallamos en centro de giro uniendo dos pares de puntos homólogos por medio de dos rectas y
trazamos la mediatriz en los dos segmentos. Estas se cortan en O, como vemos en la solución,
onde hemos trazado los arcos que unen los puntos homólogos.
ejes de simetría que han sido necesarios para que la figura 1 pase a
la posición 2

4. Traza los dos

La mediatriz trazada en la recta que une dos puntos homólogos, como B y B”, es el eje de
simetría e que nos permite trazar el triángulo A’B’C’ (posición intermedia) con un punto doble
B” ≡ B’ en el segundo eje de simetría e’. Este es la mediatriz de la recta que une C’ con C” u
tro par de puntos homólogos. o

UNIDAD 6: TANGENCIAS
RESENTACIÓN DE LA UNIDAD

P
rencias y entre

plicaciones y lo usaremos para aplicar con corrección los enlaces correspondientes.
e se trata conceptos
ndamentales del mismo como son la precisión y la exactitud.
ONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD

En esta unidad además de conocer las propiedades de las tangencias realizaremos
las construcciones básicas de tangencias entre rectas y circunfe
circunferencias, situando los correspondientes puntos de tangencias.
Analizaremos ordenando todos los casos de tangencias estudiados para posteriores
a

Es un tema muy importante dentro del dibujo técnico, ya qu
fu

C
PARTADO 1- PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS Y ENLACES

a, es el pie de la
cunferencias son tangentes, el punto de tangencia, está en la línea unión de
iguales, es decir, que la
ircunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz
del ángulo que formen.
ben ir acompañadas de un razonamiento
ota:

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Propiedades de las tangencias:
- Si una recta es tangente a una circunferencia el punto de tangenci
perpendicular trazada por el centro de la circunferencia a la tangente.
- Si dos cir
centros.
- Todo radio perpendicular a una cuerda, la divide en dos partes
mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
- El centro de cualquier c

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Las tangencias tienen por objetivo unir circunferencias y rectas mediante otras
circunferencias y rectas. Las construcciones de
para que no se olviden rápidamente.
N Debemos marcar siempre el punto de tangencia entre las líneas.

APARTADO 2 – TRAZADO DE RECTAS
- pasan por un punto:
b) El punto es exterior a la circunferencia
Re nferencias de distinto radio

b) Tangentes interiores

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Rectas tangentes a una circunferencia que
a) El punto pertenece a la circunferencia

- ctas tangentes a dos circu
a) Tangentes exteriores

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
- Rectas tangentes a una circunferencia por un punto dado
- Si el punto T pertenece a la circunferencia de centro O, se resuelve igual que
perpendicular a una semirrecta r= OT por su extremo siendo este el punto. (Ver unidad
corta a la dada en los puntos de tangencia T1T2. La
solución son las rectas PT1 y PT2.
2).
- Si el punto P es exterior a la circunferencia se une con el centro O y por el punto medio
M se dibuja la circunferencia que

- Rectas tangentes a dos circunferencias de distinto radio r1 Y r2,
- Tangentes exteriores, esta basado en el caso tangentes a una circunferencia desde un
punto P es exterior a ella, se reduce la circunferencia de radio menor r1 a un punto P y la
otra r2 – r1 = r3 a una circunferencia de radio r3. Las soluciones serán paralelas hacia a
ancia r2 a las rectas halladas.
(Ver ejemplos en las actividades de autoevaluación).
PARTADO 3 – TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIDO EL RADIO
fuera la distancia r2 a las rectas halladas.
- Si son tangentes interiores en lugar de restar radios se suman r2 + r1 = r3 y todo igual.
Las soluciones serán paralelas hacia el interior la dist

A
- n por un punto P y son tangentes a una recta r:
cta

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- A dibujar casos sencillos aplicando las propiedades de las tangencias.
Circunferencias que pasa
El punto esta en la re
37
El punto es exterior
- Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una circunferencia de
ircunferencia
entro O.
Circunferencias tangentes a dos circunferencias de centro O y O’.
APARTADO
centro O:
El punto esta en la c
El punto es exterior
- Circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan
- Circunferencias tangentes a una recta r y a una circunferencia de c
-

AYUDA AL ESTUDIO DEL
Llamemos al radio dado d
- Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una recta r:
- Si P está en la recta los centros solución estarán en la perpendicular por P y a la
una paralela a la recta a una distancia d
pasan por un punto P y son tangentes a una circunferencia de
distancia d.
- Si P es exterior los centros solución estarán en
y en una circunferencia con centro P y radio d.
- Circunferencias que
centro O y radio r:
- Si el P está en la circunferencia, los centros solución estarán en la recta PO y en la
solución
ión exteriores a la dada)
circunferencia con centro P y radio d.
- Si el punto P es exterior los centros solución estarán en una circunferencia de centro P
y radio d y en otras circunferencias de centro O y radio d - r (circunferencias
interiores a la dada) y radio d + r (circunferencias soluc
- Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan
- Los centros solución están en la intersección de las rectas paralelas a las dadas a la
distancia d. Tiene cuatro soluciones.
- Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia.
- Los centros solución están en las recta paralela a la dada a la distancia d y en las
circunferencias de centro O y radios radio d - r (circunferencias solución tangentes
interiores a la dada) y radio d + r (circunferencias solución tangentes exteriores a la
dada). Es el mismo método independientemente de que la recta dada sea exterior,
tangente o secante a la circunferencia dada. El ejercicio tendrá más o menos soluciones
ngentes a dos circunferencias de centros O y O’ y de radio r y s
dependiendo como estén colocados los datos.
- Circunferencias ta
respectivamente
- Los centros solución para las circunferencias exteriores estarán en la intersección de
circunferencias de centro O y O’ y radios d+r y d+s.
38
- Los centros solución para las circunferencias interiores estarán en la intersección de
rcicio tendrá más o menos soluciones
dependiendo como estén colocados los datos.
PARTADO 4 - ENLACES
circunferencias de centro O y O’ y radios d-r y d-s.
- Observa: es el mismo método, independientemente de que las circunferencias dadas
sean exteriores, tangentes o secantes. El eje

A
io de uno de los arcos.
rectas paralelas mediante dos arcos de igual radio, conociendo puntos de
mediante dos arcos, conociendo el radio de uno de
ellos y los puntos de tangencia.
os principios que
s tangencias, simplemente la solución va de punto a punto de tangencia.
RITERIO DE EVALUACIÓN

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Enlace entre puntos dados, conociendo el rad
- Enlazar rectas cualquiera con un radio dado.
- Enlazar dos
tangencia.
- Enlazar dos rectas cualesquiera

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
El enlace entrelíneas y arcos de circunferencia se fundamenta en los mism
la

C
mente el trazado de
acteres gráficos en los que intervengan rectas y circunferencias
tivos sencillos de uso cotidiano en los que intervengan casos de
tangencias
CTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

• Conoce las propiedades de tangencias y aplica correcta
tangencias y la determinación de los puntos de tangencias
• Diseña car
enlazadas
• Diseña obje

1. Trazar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias.
2. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el radio r.
39
3. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el punto T de
tangencia en una de ellas.
o exterior P.
T de ella y que pase por otro
P exterior.
ras dos.
4. Trazar las circunferencias tangentes de radio conocido r, a una rectas t y que pase
por un punt
5. Trazar la circunferencia tangentes a otra en un punto
6. Circunferencias exteriores de radio dado a ot

ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR

1. Trazar las tangentes a unas circunferencias desde un punto exterior a ella.
ntes entre si.

rencia.
de
tangencia.
7. Dibuja el gancho de la figura determinando los centros y puntos de tangencia.

2. Trazar tres circunferencias de igual radio, tangente interiores a un triángulo
equilátero y tangentes entre si.
3. Trazar cuatro circunferencias de igual radio, tangente interiores a otra
circunferencia y tange
4. Trazar cinco circunferencias de igual radio, tangente interiores a otra circunferencia
y tangentes entre si.
5. Traza las circunferencias de radio dado, que pasan por un punto y son tangentes a
otra circunfe
6. Dibuja la pieza mecánica de la figura determinando los centros y puntos

SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
. Trazar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias.

Tangentes exteriores: las circunferencias dadas, de centros O1 y O2 tienen de radios r1 y r2,
respectivamente. Con centro en O2 se traza una circunferencia de radio r2 – r1 y desde O1 se
trazan las tangentes a ella, rectas m y n. Las rectas tangentes soluciones son paralelas a ellas,
s puntos de tangencia F, G, D y E se obtienen trazando por O1 y O2 las perpendiculares a las
puntos de tangencia B y C al unirlos con O2
btenemos D y E y si trazamos radios paralelos por O1 sacamos F y G obteniendo nuestras
angentes interiores:
lo
tangentes auxiliares.

Observa que también una vez sacados los
o
tangentes solución sin haber dibujado m y n.

T se resuelve como el anterior, pero trazando con centro en O2 la

2. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el radio r.
circunferencia auxiliar de radio r1 + r2.
41

1º Se trazan paralelas a las rectas t y s a la distancia dada r por ambos lados, estas se cortan
en los puntos O1, O2, O3 y O4, centros de las circunferencias solución.
2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta dada, obtenemos los
puntos de tangencia de las circunferencias con dicha recta.

3. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el punto T de
tangencia en una de ellas.

1º Los centros solución O1y O2, estarán en la perpendicular a T por el punto de tangencia T y
en la bisectrices de los ángulos que forman las rectas dadas s y t con vértice V.
2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta s, obtenemos los
puntos de tangencia T1 Y T2 de las circunferencias con dicha recta.

4. Trazar las circunferencias tangentes de radio conocido r, a una rectas t y que pase
r un punto exterior P. po
42

1º Los centros solución O1 y O2, estarán en la paralela a t a una distancia r y en la
circunferencia de radio r y centro P.
2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta t, obtenemos los
puntos de tange 1 Y T2 de las circunferencias con dicha recta.
. Trazar la circunferencia tangentes a otra en un punto T de ella y que pase por otro
ncia T

5
P exterior.

El centros solución O’ estará en la mediatriz de los puntos PT y en la recta OT.
Circunferencias exteriores de radio dado a otras dos.

1º A r1 y r2, radios de las circunferencias dadas, le sumamos s
2º Pinchando con centros O1 y O2, trazamos arcos que se cortan
rencias solución.
O3 y O4, centros de las
º Al unir por medio de rectas los cuatro centros, obtenemos los puntos de tangencia de las
circunfe
3
circunferencias solución con las dadas.

UNIDAD 7: CURVAS TÉCNICAS

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

Las curvas técnicas son la respuesta del dibujo geométrico que da la trayectoria o
pués dibujarlas,
istinguiendo el origen y características de cada una de ellas.
ONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
comportamiento que algunos elementos tienen, en disciplinas tan dispares como la
mecánica o el diseño de carreteras. Las teorías surgen precisamente como
respuestas y solución a los problemas que se plantean en la práctica.

Estudiaremos las propiedades de las curvas técnicas para des
d

APARTADO 1- OVALOS

QUE TENEMOS QUE APRENDER
44
- Construcción de un óvalo conocido el eje mayor.
eje menor.
dado.
YUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
ía está formada por cuatro arcos de
ircunferencia iguales dos a dos. La aplicación práctica más importante en dibujo
erspectivas, pues suelen sustituirse, de forma
n de un óvalo inscrito

- Construcción de un óvalo conocido el
- Construcción de un óvalo conocido los dos ejes.
- Construcción de un óvalo inscrito en un rombo

A
Al ser una curva que tiene dos ejes de simetr
c
técnico está en el trazado de p
aproximada, las elipses por óvalos, sobre todo con la construcció
en un rombo dado. (Ver unidad 14, circunferencia en axonométrico).

APARTADO 2 - OVOIDES

QUE TENEMOS QUE APRENDER
u eje.
nocido su eje y su diámetro

onstrucción de un ovoide conocido su diámetro se realiza igual que la mitad de la
onstrucción de un óvalo conocido el eje menor.
- Construcción de un ovoide conocido s
- Construcción de un ovoide conocido su diámetro
- Construcción de un ovoide co

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
C
c
(Ver actividades de autoevaluación de la unidad).

APARTADO 3 – ESPIRALES Y HÉLICES

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Construcción de la espiral de Arquímedes conocido el paso.
cido el paso.
Construcción de la evolvente del círculo conocido el radio
cción de una hélice cónica conocido el diámetro y el paso
las
-
- Construcción de una voluta de varios centros cono
-
- Construcción de una hélice cilíndrica conocido el diámetro y el paso
- Constru

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Estás curvas son menos utilizadas que las anteriores por lo que se recomienda conocer
pero no dedicarlas tanto tiempo.
45

CRITERIO DE EVALUACIÓN

• Domina los procedimientos de construcción de las curvas estudiadas
• Reconoce las características y particularidades de cada una de ellas
Aplica las construcciones en ejercicios de mayor complejidad •

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. Construcción de un óvalo de cuatro centros, conociendo los ejes que miden 70 y
idas
que faltan, al saber que estas tienen que ser
tangentes a la cabeza en T y T’, respectivamente. (ver figura actividad 6 para
enviar al tutor)
3. En un tocadiscos en funcionamiento hay un disco que tarda 6 segundos en dar una
vuelta. En el centro del disco se coloca una bolita a la que empujamos de tal
forma que recorre1,5 cm. por segundo. Dibujar la trayectoria que describe la bolita
en 12 segundos
4. Construcción de una voluta de cuatro centros sabiendo que el paso son 20 mm.

CTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
55mm.
2. Una conducción de aguas fecales tiene sección recta de forma ovoidal. Conoc
las circunferencias de pie y de cabeza, se pide determinar el ovoide al trazarlas
dos circunferencias laterales

A
. Construcción de un óvalo conociendo su eje mayor AB = 70 mm.
. Inscribir un óvalo en un rombo conocido el lado 54 mm. y una diagonal 93 mm.
. Construcción de un ovoide conocido su eje mayor AB = 60 mm.
. Construcción de la espiral de Arquímedes de paso 60mm.
. Construcción de una voluta de tres centros sabiendo que el paso son 15 mm.
. Construcción de un ovoide dadas las circunferencias de cabeza y pie y el punto de
tangencia T en una de ellas.

1
2
3
4
5
6

DE AUTOEVALUACIÓN

SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES

1. Construcción de un óvalo de cuatro centros, conociendo los ejes que miden 70 y
55mm

1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O y uno AC
2º Pincho en O y con radio OA saco el punto E y pincho en C y con radio CE saco el punto F.
3º La mediatriz de AF corta al eje en los puntos G y H y saco sus simétricos I y J.
ia K, L, N y M.

. Una conducción de aguas fecales tiene sección recta de forma ovoidal. Conocidas
las circunferencias de pie y de cabeza, se pide determinar el ovoide al trazar las
4º Los centros solución son G, H. I y J, y marco los puntos de tangenc
2
47
dos circunferencias laterales que faltan, al saber que estas tienen que ser
tangentes a la cabeza en T y T’, respectivamente.

1º Se trazan los ejes DA y TT’, la semicircunferencia con centro en A es parte de la solución.
2º A partir de los puntos T y T’ trazo hacia adentro y con radio R los puntos E y F
3º Se trazan las mediatrices de los segmento B y FB, que cortan a la prolongación del
iámetro TT’ en los puntos G y H, que son centros de arcos solución.
. En un tocadiscos en funcionamiento hay un disco que tarda 6 segundos en dar una
forma que recorre1, 5 cm. por segundo. Dibujar la trayectoria que describe la bolita
en 12 segundos
s E
d
4º Si unimos G y H con B, obtenemos los puntos de tangencia S y S’

3
vuelta. En el centro del disco se coloca una bolita a la que empujamos de tal

Se trata de una espiral de Arquímedes en la que sobre el radio se han tomado distancias y
a bolita en 1 segundo a recorrido
,5 cm. en el tocadiscos ha girado 60º.
4. Construcción de una voluta de cuatro centros sabiendo que el paso son 20 mm.
sobre la circunferencia tiempos. De tal forma que mientras l
1

1º divido el paso en cuatro partes iguales para construir un cuadrado y prolongo sus lados.
º Pincho en M y con radio MQ saco el punto R. 2
3º Pincho en N y con radio NR saco el punto S.
4º Repito la operación para ir dando forma a nuestra voluta.

UNIDAD 8: CURVAS CÓNICAS

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

Una vez conocido el origen de estas curvas llamadas cónicas, veremos que son de
ran utilidad por las aplicaciones que las mismas tienen en la técnica. Se hace un
iferenciando las distintas formas de generarse y las
aracterísticas de cada una para una futura resolución de diferentes ejercicios.
CO TES DE LA UNIDAD
g
estudio pormenorizado d
c

Al contrario que las curvas técnicas, estas no se pueden dibujar por arcos de compás,
sino que se unen los puntos hallados a mano.

NCEPTOS IMPORTAN

Las cónicas son unas curvas que se obtienen al cortar un cono de revolución por un plano
de manera que si el p
- no perpendicular la sección que se genera es una
lano de corte lo hace:
Cortando a todas las generatrices y
elipse (si es perpendicular es una circunferencia).
- Si cortamos por un plano paralelo a una generatriz, la cónica que se origina es una
49
parábola.
- Cuando el plano es paralelo a dos generatrices se origina una hipérbola.

APARTADO 1 - ELIPSE

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Definición es una curva cerrada, plana y cuyos puntos constituyen un lugar geométrico
que tiene la propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntos a otros
e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor. dos fijos, llamados focos es constante
PF+ PF’ = 2a = AB = CTE.
- Elementos y propiedades.
La elipse es simétrica respecto de los dos ejes y por tanto de su centro, el punto O.
Eje mayor = AB = 2a
Circunferencia principal: centro en O y diámetro el eje mayor.
ro en F o FL y cuyo radio es el eje mayor.
Diámetros conjugados: son aquellos en que uno es el lugar geométrico de los puntos
al otro. Hay infinitas parejas de diámetros conjugados.
Eje menor = CD = 2b
Distancia focal = FF’ = 2c
Circunferencia focal: su cent
medios de las cuerdas paralelas
Excentricidad e = c/a, valores 0 < e< 1
- Construcción de la elipse por los diferentes métodos: por puntos (basada en la
definición, ver actividades), por afinidad y conociendo una pareja de diámetros
AYU
- Si nos dan conocidos los ejes
conjugados.

DA AL ESTUDIO DEL APARTADO
podemos sacar los focos pues la distancia
CF la mitad del eje mayor, AB
- Si n
=CF’=DF=DF’=a, siendo a,
os dan la distancia focal FF’ y uno de los ejes AB o CD podemos hallar el otro de la
- es muy sencillo si

AP
misma forma.
A partir de aquí sacar puntos de la curva para luego unirlos a mano
aplicamos la definición PF + PF’ = 2a y vamos tomando puntos entre los focos.
ARTADO 2 - HIPÉRBOLA

e los
puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos es constante e
QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Definición es una curva plana, abierta y con dos ramas. Es el lugar geométrico d
50
igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje real.
PF- PF’ = 2a = AB = CTE.
- Elementos y propiedades.
La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y por tanto de su centro, el punto O.
Eje real= AB = 2a
Eje imaginario = CD = 2b
Distancia focal = FF’ = 2c
Circunferencia principal: centro en O y diámetro el eje mayor.
Circunferencia focal: su centro en F o F´ y cuyo radio es el eje mayor.
Hipérbolas conjugadas: son aquellas en que el eje real de una es el eje imaginario de la
otra.
Hipérbola equilátera cuando el eje real = al eje imaginario.
s 1< e<∞
Las asíntotas
Excentricidad e = c/a, valore
- de una hipérbola son tangentes a la curva en el infinito.
puntos- Construcción de la hipérbola por (basada en la definición, ver actividades).

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
- Si nos dan conocidos los ejes que son perpendiculares y simétricos respecto al punto
podemos sacar los focos F y F’, construimos un rectángulo ⊥ por A y B al eje
je por los puntos C y D y la distancia focal es igual a las
-
medio O,
que se corta con las ⁄⁄ al e
diagonales de este rectángulo.
Si nos dan la distancia focal y uno de los ejes, ejemplo CD podemos hallar el otro, AB,
inscribiendo el rectángulo de lado CD en una circunferencia de diámetro FF’.
-
s diagonales de ese rectángulo y que nunca serán rebasadas por la

A partir de aquí sacar puntos de la curva para luego unirlos a mano, es muy sencillo si
aplicamos la definición PF - PF’ = 2a. Podemos también dibujar las asíntotas, que
coinciden con la
curva.
APARTADO 3 - PARÁBOLA

QUE TENEMOS QUE APRENDER
y de una sola rama. Es el lugar geométrico de los - Definición es una curva plana, abierta
puntos del plano que equidistan de un fijo F, llamado foco y de una recta d, llamada
directriz. Si llamamos a la distancia del punto a la directriz PM, se cumple:
PF= PM
- Elementos y propiedades.
La parábola es simétrica respecto del eje, que es perpendicular a la directriz.
51
El vértice como otros puntos equidista del foco y de la directriz, siendo también la mitad
del parámetro.
El parámetro es un dato suficiente para definir la curva, es la semicuerda perpendicular
el eje en el foco, es decir, igual a la distancia del foco y del punto intersección del eje
En la parábola será la tangente en el vértice la que haga de circunferencia principal y la
encia focal de radio ∞.
con la directriz.
directriz la que haga de circunfer
- Construcción de la parábola por puntos (basada en la definición,ver actividades de
autoevaluación de la unidad)

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
co y la directriz- Si nos dan conocidos el fo podemos hallar el vértice que está en el punto
medio del foco y del punto intersección del eje con la directriz, es decir, AV = VF.
- Si nos dan el parámetro entonces FN = FA, siendo A el punto intersección del eje con la
ego unirlos a mano es muy sencillo, solo
tenemos que aplicar la definición PF = PM, siendo M un punto intersección de la directriz
directriz y siendo N el punto que pertenece a la parábola. N es extremo de la
semicuerda junto con F.
- A partir de aquí sacar puntos de la curva para lu
con la paralela al eje desde P.

APARTADO 4 – TANGENTES A LAS CURVAS CÓNICAS

QUE TENEMOS QUE APRENDER
- Las tangentes en un punto de la curva se obtienen como bisectriz del ángulo formado
por los radios vectores del punto, FPM.
- La normal es la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia.
stá en la circunferencia focal del
en la parábola.
pse e hipérbola, de los focos sobre cualquier
tangente están en la circunferencia principal. En la parábola caerá sobre la tangente en
el vértice, tv.
YUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
az un dibujo para observar las propiedades explicadas.

Propiedades interesantes:
- El simétrico de un foco respecto de cualquier tangente e
otro foco (elipse e hipérbola) y en la directriz
- Las proyecciones ortogonales en eli

A
H
52
Otra forma para obtener las tangentes en las curvas: dibujamos una de las circunferencias
cales y unimos FP hasta cortar a la circunferencia focal de centro F en el punto M. La
la mediatriz de MF’.
fo
tangente solución es
Recuerda: en la parábola la directriz hace de circunferencia focal

CRITERIO DE EVALUACIÓN

• Reproduce las construcciones de las diferentes curvas
• Conoce sus propiedades, elementos y puntos notables
• Aplica su trazado en dibujos más complejos
• Crea diseños utilizando dichas curvas

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. Construir por puntos una elipse. Dibuja los diferentes elementos y da se definición
con un punto.
2. Construir la elipse empleando la circunferencia principal y la circunferencia de
3. Determinar un punto de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y
dibuja la tangente en ese punto.
4. Dibuja los diferentes elementos y da la definición con un punto P de una parábola,
dibuja por P la tangente y la normal a la curva.
5. Construir una parábola cuya distancia del foco al vértice es de 15mm.

ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
diámetro 2b. Datos: 2a=80mm y 2b=50mm

. Construir por puntos la elipse cuyos ejes miden 2a=80mm y 2b=50mm
. Construir la elipse de la que se conocen una pareja de diámetros conjugados de
80mm y 60m que forman entre si un ángulo de 60º.
Construir la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2c=80mm
1
2
3.
53
4. Determinar un punto de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y
dibuja la tangente y la normal en ese punto.
arábola conocido el eje, la tangente en el vértice y un punto de ella.
5. Construir una parábola conocido el parámetro=23 mm.
6. Construir una p

SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

1. Construir por puntos una elipse. Dibuja los diferentes elementos y da se definición
con un punto.

1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O. Pincho en C y con radio a, saco F y F’.
: Eje mayor AB 2a, eje menor CD 2b y distancia focal FF’ 2c
. Construir la elipse empleando la circunferencia principal y la circunferencia de
diámetro 2b. Datos: 2a=80mm y 2b=50mm
Saco los diferentes puntos. M pertenece a la curva porque se cumple que: MF+ MF’= 2a
2º Elementos = = =
3º Radios vectores r y r’, que cumplen r + r’ = 2a.

2
54

1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O Y dibujo las dos circunferencias
2º Trazo diámetros cualquiera de la circunferencia mayor, corta a las circunferencias en los
je mayor, se cortan en C, punto

3. Determinar un punto M de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y
dibuja la tangente en ese punto.
puntos A y B. Por B paralela al eje menor y por A paralela al e
de la elipse.
3º Repito la operación, es más fácil si los diámetros dividen a la circunferencia en partes
iguales.

1º M pertenece a la curva porque se cumple que: MF- MF’= 2a
trico de F’
al del otro foco.

. Dibuja los diferentes elementos y da la definición con un punto P de una parábola,
dibuja por P la tangente y la normal a la curva.
2º Circunferencia focal, pincho en F y con radio 2a
3º La tangente es la bisectriz del ángulo formado por FMF’, Observa que el simé
respecto a la tangente es el punto M’ y que está en la circunferencia foc
4
55

1º Trazo el eje perpendicular a la directriz. VF = a la distancia de V la directriz. M pertenece a
la curva porque se cumple que: MF= M’F
erva que el simétrico de F’
.
. Construir una parábola cuya distancia del foco al vértice es de 15mm.

a
2º La tangente es la bisectriz del ángulo formado por M’MF, Obs
respecto a la tangente es el punto M’ y que está en la directriz de la parábola
3º La normal es la perpendicular a la tangente en su punto de tangencia, M.

º Trazo el eje perpendicular a la directriz. VF = VA = 15 mm.
º Tomo puntos arbitrarios en el eje y por ellos paralelas a la directriz
º Tomamos la distancia de esos puntos a el punto A y pinchando en F corto a la paralela
orrespondiente.
º La curva se traza a mano, con ayuda de plantilla de curvas.
1
2
3
c
4

UNIDAD 9: SISTEMA DIÉDRICO: MÉTODOS.
RESENTACIÓN DE LA NIDAD

P U
ras dejar atrás la ge metría
descr ecir, n una ter
Estudiaremos los elementos geométricos fundame pun
las relaciones que hay entre ellos como la pe

Es necesario en principio entender la necesidad y la importancia los
de representación y conocer el fundamento teórico del sistema diédrico, resolviendo
roblemas del punto, la recta y el plano. Importancia de la utilidad de la tercera
cionarla con las pistas de perfil.
LA UNIDAD

T ometría plana, se com
se introduce una dimensión co
ienza con el estudio de la geo
iptiva, es d cera coordenada.
ntales como to, recta y plano y
rtenencia.
distintos sistemas
p
proyección empezando a rela

CONCEPTOS IMPORTANTES DE
presentar objetos reales de 3D en soporte plano de 2D y viceversa.

Finalidad: re
57
Fundamento: está basado en la Proyección.

Sistema Diédrico
Sist. Axonométrico
Ortogonal
ORTOGONAL
Rayos de proyección
perpendiculares al plano
de proyección.
Sistema acotado

CILÍNDRICAS
Rayos de proyección
pa

TIPOS DE ralelos entre sí.
Observador en el infinito OBLICUAS
Rayos oblicuos al plano.
Sist. Axon. Oblicuo
Perspectiva caballera
PROYECCIONES
CÓNICAS
Rayos forman haz cónico
ropio.
Sistema Cónico
Perspectiva cónica
desde un punto p

Características importantes:
- La proporcionalidad de segmentos se cumple en la proyección cilíndrica pero por lo
general no en las proyecciones cónicas.
- La disposición de los elementos, (observador - objeto - plano de proyección) y distancia
entre estos no influye en proyección cilíndrica pero si en las proyecciones cónicas.

APARTADO 1- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO Y POSICIONES

El sistema diédrico utiliza dos planos de proyección PV y PH perpendiculares entre si y se
l) Y F1
cortan en la LT, divide al espacio en cuatro cuadrantes o diedros. En la representación
diédrica se dibuja la LT y las dos proyecciones del objeto F2 (proyección vertica
(proyección horizontal).
Podemos hablar de los planos bisectores que pasan por la LT formando 45º con los planos
e proyección. El primer bisector atraviesa el primer y tercer cuadrante y es segundo

QUE TENEMOS QUE APRENDER
El punto queda representado por susdos proyecciones A1 y A2.
d
bisector el segundo y cuarto cuadrante.
58

• Cota es la distancia de un punto al PH (se ve reflejada en el PV). Cota positiva si el
l PH. punto esta por encima del PH, cota negativa si el punto esta por debajo de
• Alejamiento es la distancia de un punto al PV, (se ve reflejada en el PH). Alejamiento
positivo si está por delante del P V y alejamiento negativo si está por detrás del P V.
Representación de los diferentes tipos de puntos:

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
erencia que son
erpendiculares a la LT.
ntos situados:
Los puntos de ambas proyecciones se corresponden mediante líneas de ref
p
Si observas su representación los pu
- en el primer cuadrante tienen la proyección vertical por encima de la LT y la horizontal
por debajo.
- en el segundo cuadrante tienen las dos proyecciones por encima de la LT.
- en el tercer cuadrante tienen la proyección horizontal por encima de la LT y la vertical
por debajo, ( al revés que los situados en primer cuadrante).
- en el cuarto cuadrante tienen las proyecciones por debajo de la LT.
- en el PV tienen solo proyección vertical y la horizontal está sobre la LT.
- en el PH tienen solo proyección horizontal y la vertical está sobre la LT.
59

Representación de puntos por coordenadas

El punto queda definido por sus proyecciones diédricas P(X,Y,Z) cuyo significado es (distancia
l origen, alejamiento, cota) y cuyos sentidos positivos y negativos se representan en la figura.

APARTADO 2 – REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE RECTAS

Una recta se representa por sus dos proyecciones r1 y r2 o se puede definir por dos
puntos: A1-A2 y B1-B2
Las trazas son los puntos intersección con los planos de proyección: V y H.
enta
ontinua, la parte de la recta que pasa por primer
ectores, ángulos, etc.
ectas oblicuas, suelen atravesar tres cuadrantes.
Observa los siguientes ejemplos de cómo hallar trazas y cuadrantes por los que pasan las
rectas oblicuas.

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Hallar trazas y cuadrantes por los que pasa, dibujar partes vistas y ocultas (se repres
como visto y por tanto con línea c
cuadrante), intersecciones con los planos bis
R

Posiciones particulares de las rectas:
- Recta horizontal o ⁄⁄ al PH (r2 ⁄⁄ LT y r1 forma ángulo α en verdadera magnitud con LT)
- Recta frontal o ⁄⁄ al PV (r1 ⁄⁄ LT y r2 forma ángulo α en verdadera magnitud con LT)
- Recta vertical o ⊥ al PH (r2 ⊥ LT y r1 es un punto en el PH)
- Recta de punta o ⊥ al PV (r1 ⊥ LT y r2 es un punto en el PV)
60
- Recta ⁄⁄ a la LT(r2 ⊥ r1, quedan ⁄⁄ al a LT)
s de perfil y 3ª proyección)
ores
- Recta de perfil, (r2 y r1⊥ LT, ver plano
- Recta que pasan o se cortan con la LT ( V y H sobre la LT)
- Recta oblicua contenidas en los planos bisectores (r2 y r1 = α con respecto a la LT)
- Rectas paralelas a los bisectores
- Rectas perpendiculares a los bisect

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
contenidas en los planos de perfil, sus
royecciones quedan superpuestas y perpendiculares a la LT por lo que hay que observar
tes, trazas, partes vistas y ocultas, ángulo que forma
iones hay que dar dos
Las rectas de perfil son aquellas que están
p
tercera proyección para ver cuadran
con el PV y PH, distancia a la LT, etc.
Una recta de perfil no queda definida solo al conocer sus proyecc
puntos de ella.
61

APARTADO 3 - REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE PLANOS

Un plano se representa por sus trazas, que son la intersección con los planos de
proyecciones. El punto en el que se cortan con la LT se llama vértice de trazas.
Un plano se puede definir por:
- Tres puntos no alineados.
- Una recta y un punto exterior a ella.
- Dos rectas paralelas
- Dos rectas que se cortan (no que se crucen)

QUE TENEMOS QUE APRENDER
Hallar trazas y conocer la representación y características de los diferentes tipos de planos.
Si el plano es oblicuo, caso general atraviesa los cuatro cuadrantes
Tipo de planos:
- Plano horizontal o paralelo al PH (solo tiene α2 ⁄⁄ LT y la figura,F1 se en verdadera
magnitud en el PH)
- Plano frontal o paralelo al PV (solo tiene α1 ⁄⁄ LT y la figura F2 se en verdadera magnitud
en PV)
- Plano proyectante horizontal o perpendicular al PH (α2 ⊥ LT y α1 forma ángulo ϕ en
verdadera magnitud con LT)
- Plano proyectante verticales o perpendicular al PV (α1 ⊥ LT y α2 forma ángulo ϕ en
verdadera magnitud con LT)
LT, trazas confundidas, observar 3ª
ª
proyección)
- Plano de perfil o perpendicular al PH y PV(α2 y α1 ⊥
proyección)
- Plano paralelos a la LT (α2 y α1 ⁄⁄ LT, observar 3º proyección)
- Plano que pasa por la LT, se define con un punto, (α2 y α1 contenidas en LT, observar 3
62
- Planos oblicuos perpendiculares a los bisectores.

Representación del plano mediante coordenadas.
Como en el caso del punto, nos dan tres coordenadas α(X,Y,Z) cuyo significado es distinto,
(distancia al origen al vértice del plano, alejamiento de la traza horizontal α1 en el origen,
o dan definido por dos rectas r y s, se reduce a
a pues P1 y P2 se cortan en LT.(Ver pertenencias)
IÓN
cota de la traza vertical α2 en el origen) y cuyos sentidos positivos y negativos son iguales.

AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Para hallar trazas del plano cuando me l
sacar las trazas de las rectas y P2 pasará por Vr y Vs y P1 pasará por Hr y Hs. No es
necesario sacar todas las trazas de la rect

APARTADO 4- TERCERA PROYECC
MOS QUE APRENDER

QUE TENE
63
Además de PV y PH se necesita un tercer plano de proyección que es de perfil y se
abate sobre el PV o PH. Aprenderemos en tercera proyección:
Representación de un punto
Representación de una recta
Representación de un plano
YUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
tos se deben girar en el mismo sentido. Para recordar
razaremos paralela a la LT por la proyección

A
Para que sea efectivo todos los pun
como quedan, si abatimos sobre el PV, t
vertical y giraremos la horizontal:

- en el primer cuadrante se giran hacia arriba a la derecha hasta la LT Y perpendicular
hasta encontrar a la anterior paralela.
- en el segundo cuadrante se giran hacia abajo a la izquierda hasta la LT Y perpendicular
hasta encontrar a la anterior paralela.
- en el tercer cuadrante se giran hacia abajo a la izquierda hasta la LT Y perpendicular
hasta encontrar a la anterior paralela.
- en el cuarto cuadrante se giran hacia arriba a la derecha hasta la LT Y perpendicular
hasta encontrar a la anterior paralela.
Evidentemente si observamos la cruz del sistema cada uno de ellos caerá en su respectivo
cuadrante.
Una aplicación inmediata de la tercera proyección es la de hallar las trazas de las rectas de
erfil, así como ángulos, cuadrantes, etc. (Ver apartado 2 de la unidad)
aralelos a la LT y los que pasa por la LT
p
Los plano de perfil, p , normalmente para trabajar
mbién, en tercera proyección con ellos hay que hacerlo, ta

APARTADO 5 - PERTENENCIAS

QUE TENEMOS QUE APRENDER
64
Pertenencias, (observa la primera imagen):
- De un punto a una recta, un punto pertenece a una recta cuando sus proyecciones
están sobre las homónimas de la recta.(P2 sobre r2 y P1 sobre r1)
- De una recta a un plano, una recta pertenece a un plano cuando sus trazas están sobre
las homónimas del plano. (Vr sobre α2 y Hr sobre α1)
De un punto a un plano,- un punto pertenece a un plano cuando pertenece a una recta
de dicho plano.

Rec
Rectas horizontales
tas singulares:
, (r1 ⁄⁄ α1)
Rectas frontales, (r2 ⁄⁄ α2)
Rectas de máxima pendiente o ⊥ a las horizontales del plano ( r1 ⊥ α1)
Rectas de máxima inclinación o ⊥ a las frontales del plano (r2⊥ α2)
Rectas de perfil (Vr sobre α2 y Hr sobre α1)
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO)
Las rectas de máxima pendiente o de máxima inclinación definen un plano.
Por otro lado con horizontales o frontales podemos sacar fácilmente una de las
tra y si me dan las