01_desigualdades_teoria_ejercicios

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Números y desigualdades
Lo que debes saber
Distintas clases de números
Números naturales.Los númerosnaturales1,2,3,... . El conjunto de todos ellos se representa porN.
Números enteros.Los númerosenteros...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa porZ.
Números racionales.Los númerosracionalesque son cocientes de la formap=q dondep 2Z, q 2N,
cuyo conjunto representamos porQ.
Números irracionales.También conoces otros números como
p
2, �, o el número e que no son núme-
ros racionales y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada,números irracionales.
Números reales.El conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto
de losnúmeros realesy se representa porR.
Es claro queN � Z � Q � R.
Axiomas de los números reales
Axiomas algebraicos
Propiedades asociativas..x C y/ C z D x C .y C z/, .x y/z D x.y z/.
Propiedades conmutativa.s x C y D y C x, x y D yx.
Elementos neutros.El 0 y el 1 son tan importantes que enunciamos seguidamente sus propiedades:
0 C x D x, 1x D x para todox 2R.
Elementos opuesto e inverso.Para cadax 2 R hay un número real llamadoopuesto dex, que repre-
sentamos por�x, tal que x C .�x/ D 0. Para cada número realx ¤ 0 hay un número real llamado
inverso dex, que representamos porx�1, tal que xx�1 D 1.
Observación importante.�x no debe leerse “menosx” sino “opuesto dex”.
Propiedad distributiva. .x C y/z D xz C y z.
Algunas consecuencias de los axiomas algebraicos
� Cualquier número multiplicado por0 es igual a0: 0x D 0.
� El 0 no tiene inverso. No se puede dividir por0.
� Para todosx; y 2R se verifica que.�x/y D �xy.
� Para todosx; y 2R se verifica que.�x/.�y/ D xy.
Axiomas de orden
Los números suelen representarse como puntos de una recta enla que se fija un origen, el0, de forma
arbitraria. Los números que hay a la derecha de0, se llamanpositivosy el conjunto de todos ellos se
representa porRC. Se verifican las siguientes propiedades.
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Ejercicios de Análisis Matemático 2
� Ley de tricotomía. Para cada número realx se verifica una sola de las siguientes tres afirmaciones:
x D 0, x es positivo,�x es positivo.
� Estabilidad de RC. La suma y el producto de números positivos es también un número positivo.
Los elementos del conjuntoR�D f�x W x 2 RCg se llamannúmeros negativos.
Definición. Parax; y 2 R escribimosx < y (léasex es menor quey) o y > x (léasey es mayor
quex) para indicar quey � x 2 RC, y escribimosx 6 y o y > x para indicar quey � x 2 RC [ f0g.
Notación.En adelante usaremos las notaciones:RC
o D RC [ f0g, R�
o D R� [ f0g y R� D Rn f0g.
Reglas para trabajar con desigualdades
Se dice que dos igualdades o dos desigualdades sonequivalentescuando siempre que una de ellas es
cierta también lo es la otra. En lo que sigue se supone quea; b; c son números reales.
� Las desigualdadesa < b y a C c < b C c son equivalentes.
� Para todoc > 0 se verifica que las desigualdadesa < b y ac < bc son equivalentes.
� Para todoc < 0 se verifica que las desigualdadesa < b y ac > bc son equivalentes.
� Se verifica queab > 0 si, y sólo si,a e b son los dos positivos o los dos negativos. En particular, si
a ¤ 0 entonces se verifica quea2 > 0.
� Las desigualdadesa > 0 y
1
a
> 0 son equivalentes.
� Supuesto quea y b son los dos positivos o los dos negativos, se verifica que las desigualdades
a < b y
1
b
<
1
a
son equivalentes.
Definición. Se dice que un conjunto no vacío de números reales,A � R, tienemáximosi hay un
númeroM 2A que es el mayor de todos los elementos deA, es decir,x 6 M para todox 2 A. Cuando
esto ocurre, escribimosM DmKaxA. Se dice que un conjunto no vacío de números reales,A � R, tiene
mínimosi hay un númerom2A que es el menor de todos los elementos deA, es decir,m 6 x para todo
x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimosm D mKınA.
Valor absoluto. El valor absolutode un númerox 2R se define como el número:
jx j D
�
x si x > 0
�x si x 6 0
Para trabajar con valores absolutos es útil recordar la siguiente definición.
Definición. Para cada númeroz 2RC
o , representamos por
p
z al único númeromayor o igual que cero
cuyo cuadrado es igual az.
La utilidad de la raíz cuadrada para trabajar con valores absolutos procede de la siguiente estrategia
de procedimiento.
Estrategia
� Supuesto quea > 0 y b > 0, se verifica que las igualdadesa D b y a2 D b2 son equivalentes.
� Supuesto quea > 0 y b > 0, se verifica que las desigualdadesa < b y a2 < b2 son equivalentes.
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Ejercicios de Análisis Matemático 3
Geométricamente,jxj representa la distancia dex al origen,0, en la recta real. De manera más general:
jx � yj D distancia entrex ey
representa la longitud del segmento de extremosx e y.
Propiedades del valor absoluto.Parax; y 2 R se verifica que:
i) jxj 6 y es equivalente a�y 6 x 6 y.
ii) jx yj D jxjjyj.
iii) jx C yj 6 jxj C jyj. Además, se verifica quejx C yj D jxj C jyj si, y sólo si,xy > 0.
iv) jjxj � jyjj 6 jx � yj y la igualdad se da si, y sólo si,xy > 0.
El apartado iii) se conoce como(desigualdad triangular).
Te recuerdo que debes leer de forma correcta las propiedadesanteriores: no te fijes en las letras sino
en los conceptos. La propiedad ii) debes leerla“el valor absoluto de un producto es igual al producto
de los valores absolutos”. Por su parte, la desigualdad triangular dice dos cosas:
� El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de losvalores absolutos.
� El valor absoluto de una suma es igual a la suma de los valores absolutos si, y sólo si, todos los
sumandos son positivos o todos todos los sumandos son negativos.
La siguiente desigualdad es una de las más útiles del Análisis Matemático.
Desigualdad de las medias.Cualesquiera sean los números positivosa1; a2; � � � ; an se verifica que:
n
p
a1a2 � � � an 6
a1 C a2 C � � � C an
n
Y la igualdad se da si, y sólo si,a1 D a2 D � � � D an.
Intervalos
Usaremos las siguientes notaciones para los distintos tipos de intervalos.
Intervalos que tienen dos puntos extremosa y b (dondea 6 b son números reales):
Œa; b� D fx 2 R W a 6 x 6 bg (intervalo cerrado)
�a; bŒ D fx 2 R W a < x < bg (intervalo abierto)
Œa; bŒ D fx 2 R W a 6 x < bg (intervalo abierto a derecha y cerrado a izquierda)
�a; b� D fx 2 R W a < x 6 bg (intervalo abierto a izquierda y cerrado a derecha)
Intervalos que tienen un único punto extremoc 2 R llamadoorigendel intervalo:
� � ∞; cŒ D fx 2 R W x < cg (semirrecta abierta a la izquierda)
� � ∞; c� D fx 2 R W x 6 cg (semirrecta cerrada a la izquierda)
�c; C∞Œ D fx 2 R W x > cg (semirrecta abierta a la derecha)
Œc; C∞Œ D fx 2 R W x > cg (semirrecta cerrada a la derecha)
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Finalmente, la recta realR, es también un intervalo. Hay caprichosos a quienes les gusta escribir
RD� � 1; C1Œ.
Ejercicios típicos de desigualdades
Desigualdades entre polinomios.Supongamos quep.x/ es una función polinómica de una variable,
y queremos calcular para qué valores de la variablex se verifica quep.x/ > 0.
En este tipo de ejercicios hay que tener en cuenta el siguiente resultado.
Una función polinómica solamente puede cambiar de signo en los puntos donde se anula,
y por tanto entre cada par de raícesconsecutivasdicha función es siempre positiva o
siempre negativa.
Naturalmente, para poder usar este resultado debemos empezar por calcular las raíces reales de la
ecuaciónp.x/ D 0. Esto solamente puede hacerse en casos sencillos como, por ejemplo, calcular las
raíces enterasde un polinomio con coeficientes enteros y coeficiente del término de mayor grado igual
a 1, pues sabemos que dichas raíces deben ser divisores del término independiente.
Ejemplo. Calcula para qué valores dex se verifica que�6 � 19x C 28x2 C 2x3 � 6x4 C x5 > 0.
Solución.Por lo antes dicho, las raícesenterasdel polinomio
p.x/ D �6 � 19x C 28x2 C 2x3 � 6x4 C x5
solamente pueden ser�6; �3; �2; �1; 1; 2; 3; 6. Tenemos que:
p.�6/ < 0; p.�3/ D �480; p.�2/ D 0;p.�1/ D 32; p.1/ D 0; p.2/ D 20; p.3/ D 0; p.6/ > 0:
Por tanto,�2, 1 y 3 son las únicas raícesenterasde p.x/. Dividiendo por Rufini obtenemos que
p.x/ D .x C 2/.x � 1/.x � 3/.x2 � 4x � 1/. Calculamos ahora las raíces del trinomio de segundo
gradox2 � 4x � 1, que resultan ser̨ D 2 �
p
5 y ˇ D 2 C
p
5.
Ordenamos ahora todas las raíces de menor a mayor. Teniendo en cuenta que2 <
p
5 < 3, resulta
que�1 < ˛ < 0, 4 < ˇ. Por el resultado enunciado arriba, deducimos que en los intervalos
� � 1; �2Œ; � � 2; ˛Œ; �˛; 1Œ; �1; 3Œ; �3; ˇŒ; �ˇ; C1Œ
el polinomiop.x/ es siempre positivo o siempre negativo. Ahora solamente queda evaluar dicho poli-
nomio en un punto cualquiera de cada uno de esos intervalos. Tenemos que:
p.�3/ < 0 ÷ p.x/ < 0 para todox 2� � 1; �2Œ
p.�1/ > 0 ÷ p.x/ > 0 para todox 2� � 2; ˛Œ
p.0/ < 0 ÷ p.x/ < 0 para todox 2�˛; 1Œ
p.2/ > 0 ÷ p.x/ > 0 para todox 2�1; 3Œ
p.4/ < 0 ÷ p.x/ < 0 para todox 2�3; ˇŒ
p.5/ > 0 ÷ p.x/ > 0 para todox 2�ˇ; C1Œ
©
Si nos piden estudiar para qué valores de la variablex se verifica una desigualdad del tipo
p.x/ < q.x/, dondep.x/ y q.x/ son funciones polinómicas, basta observar que la desigualdades
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p.x/ < q.x/ y q.x/ � p.x/ > 0 son equivalentes y queq.x/ � p.x/ es una función polinómica por
lo que podemos seguir el mismo procedimiento anterior.
Observación importante. Podemos usar el hecho de que las desigualdadesab > 0 y b > 0 son equi-
valentes cuandoa > 0 para simplificar el estudio del signo de una función polinómica.
Por ejemplo, sea la función polinómicap.x/ D .x C 2/3.x C 1/2x.x � 1/5.x � 4/6.x2 C x C 1/.
Como.x C1/2
> 0, .x � 4/6
> 0 y x2 Cx C1 es un trinomio con raíces imaginarias y cuyo coeficiente
del términox2 es positivo, por lo que se verifica quex2 C x C 1 > 0 para todox 2 R (de hecho
x2 C x C 1 D .x C 1=2/2 C 3=4 > 0), deducimos que la desigualdadp.x/ > 0 es equivalente a
.x C 2/3x.x � 1/5
> 0.
Fíjate que lo que hemos hecho ha sidoprescindir de las raíces de orden par(la raíz�1 de orden2
y la raíz4 de orden6). También podemos prescindir de los trinomios con raíces complejas porque son
siempre positivos o siempre negativos.
Podemos simplificar más teniendo en cuenta que sik es un número impar entoncesak y a son los
dos positivos o los dos negativos. Por tanto la desigualdad.x C 2/3x.x � 1/5
> 0 es equivalente a
.x C 2/x.x � 1/ > 0. Esta última ya es muy fácil de estudiar y deducimos quep.x/ 6 0 parax < �2,
p.x/ > 0 para�2 < x < 0, p.x/ 6 0 para0 < x < 1 y p.x/ > 0 parax > 1. Teniendo ahora
en cuenta quep.x/ solamente se anula en los puntos�2; �1; 0; 1; 4, podemos precisar el resultado
obtenido como sigue:
p.x/ < 0 para todox 2� � 1; �2Œ
p.x/ > 0 para todox 2� � 2; �1Œ[� � 1; 0Œ
p.x/ < 0 para todox 2�0; 1Œ
p.x/ > 0 para todox 2�1; 4Œ[�4; C1Œ
Es fácil deducir de lo anterior el siguiente resultado.
Una función polinómica cambia de signo en las raíces reales de orden impar y no cambia
de signo en las raíces de orden par.
Desigualdades entre funciones racionales.Supongamos quep.x/ y q.x/ son funciones polinómicas
de una variable, y queremos calcular para qué valores de la variablex se verifica que
p.x/
q.x/
> 0. Se
supone que los polinomiosp.x/ y q.x/ no tienen factores comunes.
En este tipo de ejercicios hay que tener en cuenta el siguiente resultado.
Una función racional solamente puede cambiar de signo en lospuntos donde se anula el
numerador o el denominador, y por tanto entre cada par de dichos puntosconsecutivos
dicha función es siempre positiva o siempre negativa.
Naturalmente, para poder usar este resultado debemos empezar por calcular las raíces del numerador y
del denominador y valen las mismas observaciones anteriores.
Ejemplo. Calcula para qué valores dex se verifica queR.x/ D x2 � 6x C 5
x � 3
> 0.
Solución.Se trata de una función racional. Las raíces del numerador son 1 y 5. El denominador sola-
mente se anula en3. Las raíces del numerador y denominador ordenadas de menor amayor son1; 3; 5.
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Ejercicios de Análisis Matemático 6
Por tanto, en los intervalos� � 1; 1Œ, �1; 3Œ, �3; 5Œ y �5; C1Œ la función dada es siempre positiva o siem-
pre negativa. Ahora solamente queda evaluar dicha función en un punto cualquiera de cada uno de esos
intervalos. Tenemos que:
R.0/ < 0 ÷ R.x/ < 0 para todox 2� � 1; 1Œ
R.2/ > 0 ÷ R.x/ > 0 para todox 2�1; 3Œ
R.4/ < 0 ÷ R.x/ < 0 para todox 2�3; 5Œ
R.6/ > 0 ÷ R.x/ > 0 para todox 2�5; C1Œ
©
Si nos piden estudiar para qué valores de la variablex se verifica una desigualdad del tipo
R.x/ < Q.x/, dondeR.x/ y Q.x/ son funciones racionales, basta observar que la desigualdades
R.x/ < Q.x/ y Q.x/ � R.x/ > 0 son equivalentes y queQ.x/ � R.x/ es una función racional por
lo que podemos seguir el mismo procedimiento anterior.
Otra forma de resolver desigualdades entre funciones racionales consiste en observar que una de-
sigualdad del tipo
p.x/
q.x/
> 0 es equivalente a la desigualdadp.x/q.x/ > 0, la cual ya sabemos resolver
porquep.x/q.x/ es una función polinómica.
Igualdades o desigualdades en las que intervienen valores absolutos
� Igualdades del tipojf .x/ C g.x/j D jf .x/j C jg.x/j. Como consecuencia de la desigualdad trian-
gular, la igualdadjf .x/ C g.x/j D jf .x/j C jg.x/j es equivalente a la desigualdadf .x/g.x/ > 0.
� Una igualdad del tipojf .x/j D jg.x/j es equivalente a la igualdad.f .x//2 D .g.x//2; y también es
equivalente a que se verifique alguna de las igualdadesf .x/ D g.x/ o f .x/ D �g.x/.
� Una igualdad del tipojf .x/j D g.x/ es equivalente a que se verifique alguna de las igualdades
f .x/ D g.x/ o f .x/ D �g.x/, y además que se verifiqueg.x/ > 0.
� Una desigualdad del tipojf .x/j 6 jg.x/j es equivalente a la desigualdad.f .x//2
6 .g.x//2.
� Una desigualdad del tipojf .x/j 6 jg.x/j también puede estudiarse calculando los valores dex
para los que se da la igualdadjf .x/j D jg.x/j, es decir, los puntos en que se anula la función
h.x/ D jf .x/j � jg.x/j. Estos puntos determinan intervalos en los que la funciónh.x/ tiene signo
constante.
� Una desigualdad del tipojf .x/j 6 g.x/ es equivalente a que se verifiquen las dos desigualdades
�g.x/ 6 f .x/ 6 g.x/, y además que se verifiqueg.x/ > 0.
� Una desigualdad del tipojf .x/j > g.x/ se verifica para los valores dex tales queg.x/ < 0; y
para aquellos valores dex para los queg.x/ > 0 es equivalente a que se verifique alguna de las dos
desigualdadesf .x/ 6 �g.x/, f .x/ > g.x/.
Observación importante. Las reglas anteriores se aplican exactamente igual para igualdades o de-
sigualdades en las que intervienen más de una variable.
Por ejemplo, una igualdad del tipojf .x; y/ C h.z/j D jf .x; y/j C jh.z/j es equivalente a la de-
sigualdadf .x; y/h.z/>0. Es posible que esta última desigualdad no pueda simplificarse, en cuyo caso
debemos dejarla indicada tal como está.
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Ejercicios de Análisis Matemático 7
En general, para resolver igualdades o desigualdades en lasque intervienen valores absolutos se
deben considerar todos los casos posibles para quitar los valores absolutos que aparecen.
Ejemplo. Calcula para qué valores dex se verifica la igualdad
ˇ
ˇx2 � 6x C 8
ˇ
ˇ D x � 2.
Solución.La primera condición que debe cumplirse es quex � 2 > 0, esto es,x > 2. Parax < 2 la
igualdad del enunciado no puede darse nunca. Supuesto quex > 2, la igualdad del enunciado equivale
a que se verifique alguna de las igualdades:
a) x2 � 6x C 8 D x � 2; b) x2 � 6x C 8 D �x C 2
La igualdad a) esx2 � 7x C 10 D 0, cuyas soluciones son2 y 5. La igualdad b) esx2 � 5x C 6 D 0,
cuyas soluciones son2 y 3. Observa que todas las soluciones obtenidas son mayores o iguales que2.
Concluimos que la igualdad del enunciado es cierta parax D 2, x D 3 y x D 5. ©
Ejemplo. Calcula para qué valores dex se verifica la desigualdad
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
x � 2
x2 � 2x � 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
>
1
2
.
Solución.La desigualdad del enunciado equivale a que se verifique algunade las desigualdades:
a)
x � 2
x2 � 2x � 1
>
1
2
; b)
x � 2
x2 � 2x � 1
< �1
2
La desigualdad a) es equivalente a:
x � 2
x2 � 2x � 1
� 1
2
D �x2 C 4x � 3
2.x2 � 2x � 1/
> 0 ” .�x2 C 4x � 3/.x2 � 2x � 1/ > 0
Calculando las raíces de los dos trinomios obtenemos que son, ordenadas de menor a mayor,
n
1 �
p
2; 1; 1 C
p
2; 3
o
. Son todas ellasraíces imparesde orden1 (raícessimples), por lo que el poli-
nomiop.x/ D .�x2 C4x � 3/.x2 � 2x � 1/ cambia de signo en todas ellas. Fácilmente se ve que para
x < 1 �
p
2 se tiene quep.x/ < 0. Deducimos que:
p.x/ < 0 para todox 2� � 1; 1 �
p
2Œ
p.x/ > 0 para todox 2�1 �
p
2; 1Œ
p.x/ < 0 para todox 2�1; 1 C
p
2Œ
p.x/ > 0 para todox 2�1 C
p
2; 3Œ
p.x/ < 0 para todox 2�3; C1Œ
Concluimos que la desigualdad a) se verifica parax 2�1 �
p
2; 1Œ[�1 C
p
2; 3Œ.
Análogamente se obtiene que la desigualdad b) se verifica parax 2� �
p
5; 1 �
p
2Œ[�
p
5; 1 C
p
2Œ.
Finalmente, la desigualdad del enunciado se verifica para
x 2� �
p
5; 1 �
p
2Œ[�1 �
p
2; 1Œ[�
p
5; 1 C
p
2Œ[�1 C
p
2; 3Œ:
©
Ejemplo. Calcula para qué valores dex se verifica la igualdad
jx2 C 3x � 9j D jx2 C x � 6j C j2x � 3j :
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Ejercicios de Análisis Matemático 8
Solución.Poniendof .x/ D x2 C x � 6 y g.x/ D 2x � 3, la igualdad del enunciado se escribe como
jf .x/ C g.x/jDjf .x/jCjg.x/j, igualdad que equivale af .x/g.x/>0, es decir.x2Cx�6/.2x�3/>0.
Calculando las raíces del trinomio tenemos que
.x2 C x � 6/.2x � 3/ D 2.x C 3/.x � 2/.x � 3=2/:
Por tanto,f .x/g.x/ es un polinomio cuyas raíces,f�3; 3=2; 2g, son simples y, por tanto, cambia de
signo en todas ellas. Deducimos fácilmente que la desigualdadf .x/g.x/>0 se verifica si�36x63=2,
o si x > 2. ©
Ejemplo. Calcula para qué valores dex se verifica la desigualdadjx2 � 6x C 5j > jx2 C 2x � 5j.
Solución.Empezamos calculando los puntos en que se verifica quejx2 � 6x C 5j D jx2 C 2x � 5j.
Puesto que dos números tienen igual valor absoluto si son iguales o son opuestos, esta igualdad equivale
a que se verifique alguna de las dos igualdadesx2 �6xC5Dx2C2x�5, x2 �6xC5D�.x2C2x�5/.
La primera solamente se verifica parax D 5=4 y la segunda parax D 0 y x D 2. Deducimos que la
funciónh.x/Djx2 � 6x C 5j�jx2 C 2x � 5j tiene signo constante en los intervalos��1; 0Œ, �0; 5=4Œ,
�5=4; 2Œ y �2; C1Œ. Tenemos que:
h.�1/ D 6 ÷ h.x/ > 0 para todox 2� � 1; 0Œ
h.1/ D �2 ÷ h.x/ < 0 para todox 2�0; 5=4Œ
h.3=2/ D 3=2 ÷ h.x/ > 0 para todox 2�5=4; 2Œ
h.3/ D �6 ÷ h.x/ < 0 para todox 2�2; C1Œ
Por tanto, la desigualdad del enunciado se verifica parax < 0 o para5=4 < x < 2. ©
Ejemplo. Calcula para qué valores dex se verifica la desigualdadj�x C jx � 1jj < 2.
Solución.La desigualdad del enunciado es equivalente a las dos desigualdades�2 < �xCjx � 1j < 2,
que son equivalentes ax � 2 < jx � 1j < x C 2. La segunda de estas desigualdades solamente puede
darse six > �2. Supongamos que�2 < x 6 1. Entonces se tiene quejx � 1j D 1 � x, por lo que las
desigualdades anteriores son en este casox � 2 < 1 � x < x C 2, que equivalen a�3 < �2x < 1,
es decir,�1 < 2x < 3, o bien�1=2 < x < 3=2. No podemos olvidar que hemos usado quex 6 1,
por lo que la condición obtenida queda�1=2 < x 6 1. Parax > 1 se tiene quejx � 1j D x � 1, por
lo que las desigualdades anteriores son en este casox � 2 < x � 1 < x C 2, que se cumplen siempre.
Concluimos que la desigualdad del enunciado es cierta parax > �1=2. ©
Ejemplo. Calcula para qué valores dex se verifica la siguiente desigualdad.
jx C 1j C jx2 � 3x C 2j < 4:
Solución.Puesto quex2 � 3x C 2 D .x � 1/.x � 2/, tenemos que
jx C 1j C jx2 � 3x C 2j D jx C 1j C j.x � 1/.x � 2/j D jx C 1j C jx � 1jjx � 2j:
Para controlar los valores absolutos consideraremos por separado los casosx < �1, �1 < x < 1,
1 < x < 2 y x > 2.
� Parax < �1 tenemosjx C 1j C jx � 1jjx � 2j D�x � 1 C .1 � x/.2 � x/ Dx2 � 4x C1. Por tanto,
la desigualdad del enunciado esx2 � 4x C 1 < 4, es decir,x2 � 4x � 3 < 0. Es fácil comprobar que
parax < �1 se verifica quex2 � 4x � 3 > 0. Por tanto, parax < �1 la desigualdad del enunciado
es siempre falsa.
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Ejercicios de Análisis Matemático 9
� Para�1 < x < 1 tenemosjx C 1j C jx � 1jjx � 2j D x C 1 C .1 � x/.2 � x/ D x2 � 2x C 3. Por
tanto, la desigualdad del enunciado esx2 � 2x C 3 < 4, es decir,x2 � 2x � 1 < 0. Las raíces de
este trinomio son1 �
p
2 y 1 C
p
2. Es inmediato comprobar quex2 � 2x � 1 < 0 equivale a que
1 �
p
2 < x < 1 C
p
2. Como�1 < 1 �
p
2 < 1, concluimos que la desigualdad del enunciado es
válida para1 �
p
2 < x < 1.
� Para1 < x < 2 tenemosjx C 1j C jx � 1jjx � 2j D x C 1 C .x � 1/.2 � x/ D �x2 C 4x � 1.
Por tanto, la desigualdad del enunciado es�x2 C 4x � 1 < 4, es decir,x2 � 4x C 5 > 0. Este
trinomio no tiene raíces reales, por tanto se verifica quex2 � 4x C 5 > 0 para todox 2 R (observa
quex2 � 4x C 5 D .x � 2/2 C 1 > 0). Concluimos que la desigualdad del enunciado es válida para
1 < x < 2.
� Parax > 2 tenemosjx C 1j C jx � 1jjx � 2j D x C 1 C .x � 1/.x � 2/ D x2 � 2x C 3. Por tanto,
la desigualdad del enunciado esx2 � 2x C 3 < 4, es decir,x2 � 2x � 1 < 0. Las raíces de este
trinomio son1 �
p
2 y 1 C
p
2. Es inmediato comprobar quex2 � 2x � 1 < 0 equivale a que
1 �
p
2 < x < 1 C
p
2. Como2 < 1 C
p
2, concluimos que la desigualdad del enunciado es válida
para2 < x < 1 C
p
2.
Parax D�1 la desigualdad no se verifica. Parax D1 y x D2 la desigualdad se verifica. Concluimos
que la desigualdad se verifica para1 �
p
2 < x < 1 C
p
2. ©
Seguidamente vamos a ver dos bonitos ejemplos de aplicaciónde la desigualdad de las medias.
Ejemplo. Prueba que el cuadrado es el rectángulo de máxima área para unperímetro dado y de mínimo
perímetro para un área dada.
Solución.Seana y b las longitudes de los dos lados del rectángulo. El área vienedada porA D ab y
el perímetro porP D 2.a C b/. En virtud de la desigualdad de las medias para dos factores se verifica
que:
p
A D
p
ab 6
a C b
2
D P
4
Y la igualdad se da si, y sólo si,a D b. Para un valor dado,P , del perímetro, el área,A, del rectángulo
verifica la desigualdad
p
A 6 P=4. Por lo que el valor máximo que puede alcanzar el área será cuando
se tenga la igualdad
p
A D P=4, lo que ocurre solamente cuandoa D b, esto es, el rectángulo es un
cuadrado. Análogamente, para un valor dado,A, del área, el perímetro,P , del rectángulo verifica la
desigualdad
p
A 6 P=4. Por lo que el valor mínimo que puede alcanzar el perímetro será cuando se
tenga la igualdad
p
A D P=4, lo que ocurre solamente cuandoa D b, esto es, el rectángulo es un
cuadrado. ©
Ejemplo. Prueba que el triángulo equilátero es el triángulo que tienemáxima área para un perímetro
dado y de mínimo perímetro para un área dada.
Sugerencia. Si a; b; c son las longitudes de los lados ypD.aCbCc/=2 es el semiperímetro, entonces,
según la fórmula de Heron de Alejandría, el área,A, viene dada porA D
p
p.p � a/.p � b/.p � c/.
Solución. En virtud de la desigualdad de las medias para tres factores,y teniendo en cuenta que
.p � a/ C .p � b/ C .p � c/ D 3p � 2p D p, tenemos:
A2=3 D 3
p
p.p � a/.p � b/.p � c/ D 3
p
p 3
p
.p � a/.p � b/.p � c/ 6 3
p
p
p
3
D p4=3
3
Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada
Ejercicios de Análisis Matemático 10
Y la igualdad se da si, y sólo si,p � a D p � b D p � c, que equivale a quea D b D c. Para un valor
dado,P D 2p, del perímetro, el área,A, del triángulo verifica la desigualdadA2=3
6
1
3
p4=3. Por lo
que el valor máximo que puede alcanzar el área será cuando se tenga la igualdadA2=3 D 1
3
p4=3, lo que
ocurre solamente cuandoa D b D c, esto es, el triángulo es equilátero. Análogamente, para unvalor
dado,A, del área, el perímetro,P D 2p, del rectángulo verifica la desigualdadA2=3
6
1
3
p4=3. Por lo
que el valor mínimo que puede alcanzar el perímetro será cuando se tenga la igualdadA2=3 D 1
3
p4=3,
lo que ocurre solamente cuandoa D b D c, esto es, el triángulo es equilátero. ©
Observación importante. En Análisis Matemáticotrabajamos con precisión infinita ynunca usamos
decimales(excepto en problemas de cálculo de valores aproximados queya veremos en su momento).
Esto quiere decir que las raíces, los logaritmos, las exponenciales y otras funciones no se calculan, se
dejan expresados simbólicamente.En Análisis
p
2 no es igual a1 � 4142135623730950488; log2 no es
igual a0 � 6931471805599453. No uséis decimales en esta asignatura.
Ejercicios propuestos
1. Calcula para qué valores dex se verifica la desigualdad
1 � 2x
x2 � 4
>
1
2
.
2. Calcula para qué valores dex se verifica la desigualdadx3.xC2/.x�3/2.xC1/5.xC5/4 < 0.
3. Calcula para qué valores dex 2R se verifica la desigualdad
jx � 1j C 2
1 C jx2 � 5x C 6j <
1
3
.
4. Supuesto que0 < a < b, calcula para qué valores dex se verifica la desigualdad
1
x
C 1
a C b � x
<
1
a
C 1
b
:
5. Calcula para qué valores dex se verifican las siguientes desigualdades.
a) jx C 5j < jx � 1j; b) jx � 1j jx C 2j D 3; c) jx2 � xj > 1; d) jx � y C zjDjxj�jz � yj
6. Calcula para qué valores dex se verifican las siguientes desigualdades.
a) jx C 1j C jx � 1j < 1; b) j2x � j2x � 1jj D �2x; c) j2 C jx C 1jj < 3:
7. Prueba que cualesquiera sean los números reales positivosa > 0 y b > 0 se verifica que
a
2.a C b/
p
b
<
1p
b
� 1p
a C b
:
Lecturas aconsejadas.Debes consultar los ejercicios resueltos del primer capítulo de mi libroCálculo
diferencial e integral de funciones de una variable, que puedes descargar demi página Web:
http://www.ugr.es/local/fjperez.
También debes leer la Sección 1.1.1 del Capítulo 1, tituladaAxiomas, definiciones, teoremas, lemas,
corolarios.
Las notas históricas al final del Capítulo 1 te resultarán interesantes. En ellas se habla de la razón
áurea, de la relación entre números y medida de magnitudes y de cómo los pitagóricos hicieron un
descubrimiento de extraordinaria importancia en la cultura europea. Los detalles de esta apasionante
historia los encontrarás en la sección 5.2 del Capítulo 5 “Evolución del concepto de número”.
Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada
http://www.ugr.es/local/fjperez