Capítulo 3 - Conducción unidimensional de estado estable

Vista previa del material en texto

Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 1 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
FRANK P. INCROPERA – FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR – CUARTA 
EDICION – CAPITULO 3 – CONDUCCION UNIDIMENSIONAL DE ESTADO ESTABLE 
 
PROBLEMA 3.1 
 
Considere la pared plana de la figura 3.1, que separa los fluidos caliente y frio a temperaturas 𝑇∞,1 
y 𝑇∞,2, respectivamente. Con el uso de balances de energía como condiciones de frontera en 
𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝐿 (véase la ecuación 2.27), obtenga la distribución de temperatura dentro de la pared 
y el flujo de calor en términos de 𝑇∞,1, 𝑇∞,2, ℎ1, ℎ2, 𝑘 y 𝐿. 
 
SOLUCION 3.1 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) Propiedades constantes. 
Análisis: 
De la ecuación (2.17) 
𝑑
𝑑𝑥
�𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
� = 0 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 2 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Se obtiene: 
𝑇(𝑥) = 𝐶1(𝑥) + 𝐶2 
Para obtener 𝐶1 y 𝐶2, aplicamos las condiciones de frontera: (Ecu. 2.27) 
∗ −𝑘 𝜕𝑇
𝜕𝑥
� 
𝑥=0
= ℎ1�𝑇∞1 − 𝑇𝑥=0� 
→ −𝑘. 𝐶1 = ℎ1. 𝑇∞1 − ℎ1𝐶2 … … . . (1) → 𝐶2 = 𝑇∞1 + 𝑘1ℎ1 . 𝐶1 … … … . . (2) 
∗ −𝑘 𝜕𝑇
𝜕𝑥
� 
𝑥=𝐿
= ℎ2�𝑇𝑥=𝐿 − 𝑇∞2� 
→ −𝑘𝐶1 = ℎ2�𝐶1. 𝐿 + 𝐶2 − 𝑇∞2� … … … . (3) 
De (1) y (3): 
ℎ1. 𝑇∞1 − ℎ1𝐶2 = ℎ2�𝐶1. 𝐿 + 𝐶2 − 𝑇∞2� 
Reemplazando (2): 
ℎ1. 𝑇∞1 + ℎ2𝑇∞2 = ℎ2. 𝐶1. 𝐿 + �𝑇∞ + 𝑘1ℎ1 . 𝐶1� (ℎ1 + ℎ2) 
→ 𝐶1 = ℎ2�𝑇∞2 − 𝑇∞1�
ℎ2. 𝐿 + 𝑘1 �1 + ℎ2ℎ1� 
∴ 𝑇(𝑥) = ℎ2�𝑇∞2 − 𝑇∞1 �
ℎ2. 𝐿 + 𝑘1 �1 + ℎ2ℎ1� . �𝑘1ℎ1 + 𝑥� + 𝑇∞1 = 𝑇∞2 − 𝑇∞11ℎ1 + 1ℎ2 + 1𝑘1 . � 𝑥𝑘1 + 1ℎ1� + 𝑇∞1 
• Para hallar el calor: 
𝑞𝑥 = 𝑇∞,1 − 𝑇𝑠,11/ℎ1𝐴 = 𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2𝐿/𝑘. 𝐴 = 𝑇𝑠,2 − 𝑇∞,21/ℎ2𝐴 
𝑇∞,1 − 𝑇𝑠,1 = 𝑞𝑥ℎ1𝐴 
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 = 𝑞𝑥𝐿/𝑘. 𝐴 
𝑇𝑠,2 − 𝑇∞,2 = 𝑞𝑥ℎ2𝐴 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 3 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑇∞,1 − 𝑇∞,2 = 𝑞𝑥𝐴 = � 1ℎ1 + 𝐿𝑘 + 1ℎ2� 
→ 𝑞𝑥
″ = 𝑞𝑥
𝐴
= 𝑇∞,1 − 𝑇∞,2
�
1
ℎ1
+ 𝐿𝑘 + 1ℎ2� 
 
PROBLEMA 3.2 
 
La ventana posterior de un automóvil se desempeña mediante el paso de aire caliente sobre su 
superficie interna. 
(a) Si el aire caliente está a 𝑇∞,𝑖 = 40℃ y el coeficiente de convección correspondiente es 
ℎ𝑖 = 30 𝑊/m2. 𝐾, ¿cuáles son las temperaturas de las superficies interna y externa de la 
ventana de vidrio de 4 mm de espesor, si la temperatura del aire ambiente del exterior es 
𝑇∞,0 = −10℃ y el coeficiente de convección asociado es ℎ0 = 65 𝑊 m2. 𝐾⁄ ? 
(b) En la práctica, 𝑇∞,0 y ℎ0 varían de acuerdo con las condiciones del clima y la velocidad del 
automóvil. Para valores de ℎ0 = 2, 65 y 100 𝑊 m2. 𝐾⁄ , calcule y trace las temperaturas de 
las superficies interna y externa como función de 𝑇∞,0 para −30 ≤ 𝑇∞,0 ≤ 0℃. 
 
SOLUCION 3.2 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
Dónde: 
Vidrio: 𝑘 = 1.4 𝑊 m⁄ . 𝐾 
𝑇∞1 = 40℃ 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 4 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
ℎ1 = 30 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
𝐿 = 0.004 m 
𝑇∞0 = −10℃ 
ℎ0 = 65 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) Propiedades constantes. 
Análisis: 
(a) Según el problema anterior, se tiene: 
𝑇(𝑥) = ℎ0�𝑇∞0 − 𝑇∞1�
ℎ0. 𝐿 + 𝑘 �1 + ℎ0ℎ1� . �𝑘1ℎ1� + 𝑇∞1 … … . (1) 
Reemplazando: 
𝑇(𝑥) = 65(−10 − 40)65 × 0.004 + 1.4 �1 + 6530� . �1.430 + 𝑥� + 40 
Para 𝑥 = 0: 
→ 𝑇(𝑥=0) = 7.68℃ = 𝑇1 
Para 𝑥 = 0.004m 
→ 𝑇(𝑥=0.004m) = 4.9℃ = 𝑇0 
(b) Usamos la ecuación (1) 
• Para ℎ0 = 2 𝑊 m2⁄ . 𝐾: 
𝑇(𝑥) = 1.3321�𝑇∞0 − 40�. �1.430 + 𝑥� + 40 
𝑥 = 0 → 𝑇1(𝑇∞0) = 0.062166 �𝑇∞0 − 40� + 40 
𝑥 = 𝐿 → 𝑇0(𝑇∞0) = 0.067496 �𝑇∞0 − 40� + 40 
• Para ℎ0 = 65 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
𝑥 = 0 → 𝑇1(𝑇∞0) = 0.646307 �𝑇∞0 − 40� + 40 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 5 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑥 = 𝐿 → 𝑇0(𝑇∞0) = 0.701705 �𝑇∞0 − 40� + 40 
• Para ℎ0 = 100 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
𝑇(𝑥) = 15.4639�𝑇∞0 − 40�. �1.430 + 𝑥� + 40 
𝑥 = 0 → 𝑇1(𝑇∞0) = 0.721649 �𝑇∞0 − 40� + 40 
𝑥 = 𝐿 → 𝑇0(𝑇∞0) = 0.783505 �𝑇∞0 − 40� + 40 
 
PROBLEMA 3.3 
 
La ventana trasera de un automóvil se desempaña uniendo un elemento de calentamiento delga-
do de tipo película transparente a su superficie interior. Al calentar eléctricamente este elemento, 
se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna. 
(a) Para una ventana de vidrio de 4 mm, determine la potencia eléctrica que se requiere por 
unidad de área de la ventana para mantener una temperatura en la superficie interna de 
15℃ cuando la temperatura del aire interior y el coeficiente de convección son 𝑇∞,𝑖 =
25℃ y ℎ𝑖 = 10 𝑊 m2. 𝐾⁄ , mientras la temperatura del aire exterior (ambiente) y el coefi-
ciente de convección son 𝑇∞,0 = −10℃ y ℎ0 = 65 𝑊 m2. 𝐾⁄ . 
(b) En la práctica, 𝑇∞,0 y ℎ0 varían de acuerdo con las condiciones climáticas y la velocidad del 
automóvil. Para valores de ℎ0 = 2, 20, 65 y 100 𝑊 m2. 𝐾⁄ , determine y elabore una gráfica 
del requerimiento de potencia eléctrica como función de 𝑇∞,0 para −30 ≤ 𝑇∞,0 ≤ 0℃. De 
sus resultados, ¿qué concluye acerca de la necesidad de operar el calentador con valores 
bajos de ℎ0? ¿Cómo resulta afectada esta conclusión por el valor de 𝑇∞,0? Si ℎ ∝ 𝑉𝑛, don-
de 𝑉 es la velocidad del vehiculo y 𝑛 es un exponente positivo, ¿Cómo afecta la velocidad 
del auto a la necesidad de la operación del calentador? 
 
SOLUCION 3.3 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 6 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) No hay generación interna. 
Análisis: 
Como el material a usar es vidrio de tablas obtenemos que 𝑘v = 1.4 𝑊 m⁄ . 𝐾 
(a) 
• Del balance energético, superficie externa: 
𝑞2
″ = 𝑞𝐶𝑜𝑛𝑑″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 (∞,0)″ 
• Del balance general: 
𝑞1
″ + 𝑞pot″ = 𝑞2″ 
→ 𝑇∞,𝑖 − 𝑇𝑖(1/ℎ𝑖) + 𝑞pot″ = �𝑇𝑖 − 𝑇∞,0�� 1ℎ0 + 𝐿𝑘v� … … . . (1) 
→ (25 − 15)𝑘
�
11/10 𝑊
m2.𝐾�
+ 𝑞pot″ = (15 − (−10))𝑘
�
165 𝑊
m2.𝐾 + 0.004 m1.4 𝑊m.𝐾 � 
→ 𝑞pot
″ = 1370.5 𝑊 m2⁄ − 100 𝑊 m2⁄ = 1270.5 𝑊 m2⁄ 
(b) De la ecuación (1): 100 𝑊 m2⁄ + 𝑞pot″ = 15 − 𝑇∞,0
ℎ0
−1 + 2.857 × 10−3 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 7 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
→ 𝑞pot″ = 15 − 𝑇∞,0
ℎ0
−1 + 2.857 × 10−3 − 100 
• Para ℎ0 = 2 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
→ 𝑞pot″ = 1.988�15 − 𝑇∞,0� − 100 
• Para ℎ0 = 20 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
→ 𝑞pot
″ = 18.919�15 − 𝑇∞,0� − 100 
• Para ℎ0 = 65 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
→ 𝑞pot
″ = 54.819�15 − 𝑇∞,0� − 100 
• Para ℎ0 = 100 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
→ 𝑞pot
″ = 77.778�15 − 𝑇∞,0� − 100 
 
PROBLEMA 3.4 
 
En un proceso de fabricación se unirá una película transparente a un sustrato como se muestra en 
el diagrama. Para curar la unión a una temperatura 𝑇0, se utiliza una fuente radiante que propor-
ciona un flujo de calor 𝑞0″(𝑊 m2⁄ ), la totalidad del cual es absorbido en la superficie unida. La par-
te posterior del sustrato se mantiene a 𝑇1 mientras la superficie libre de lapelícula se expone al 
aire a 𝑇∞ y a un coeficiente de transferencia de calor por convección ℎ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 8 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
(a) Muestre el circuito térmico que represente la situación de transferencia de calor de estado 
estable. Asegúrese de etiquetar todos los elementos, nodos y flujos de calor. Déjelo en 
forma simbólica. 
(b) Suponga las siguientes condiciones: 𝑇∞ = 20℃, ℎ = 50 𝑊 m2. 𝐾⁄ y 𝑇1 = 30℃. Calcule el 
flujo de calor 𝑞0″ que se requiere para mantener la superficie unida a 𝑇0 = 60℃. 
(c) Calcule y trace el flujo de calor que se requiere como función del espesor de la película pa-
ra 0 ≤ 𝐿𝑓 ≤ 1 mm. 
(d) Si la película no es transparente y la totalidad del flujo de calor radiante se absorbe en su 
superficie superior, determine el flujo de calor que se requiere para lograr la unión. Elabore 
una gráfica de sus resultados como función de 𝐿𝑓 para 0 ≤ 𝐿𝑓 ≤ 1 mm. 
 
SOLUCION 3.4 
 
Esquema: 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Propiedades constantes. 
Análisis: 
(a) 
 
 
 
 
 
 
(b) Se sabe: 𝑇∞ = 20℃ , ℎ = 50 𝑊 m2⁄ . 𝐾 , 𝑇1 = 30℃ , 𝑇0 = 60℃ 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 9 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Por balance energético: 
𝑞1
″ + 𝑞2″ = 𝑞0″ 
→
𝑇0 − 𝑇∞
�
1
ℎ + 𝐿𝑓𝑘𝑓� + 𝑇0 − 𝑇1𝐿𝑠𝑘𝑠 = 𝑞0″ 
→ 𝑞0
″ = (60 − 30)𝑘0.001 m × 0.05 𝑊 m⁄ . 𝐾 + (60 − 20)𝑘��50 𝑊
m2𝐾
�
−1 + 0.00025m� 0.025 𝑊m.𝐾� 
𝑞0
″ = 2833.3 𝑊 m2⁄ 
(c) 𝑞0″�𝐿𝑓�: 
𝑞0
″ = 1500 + 400.02 + 40. 𝐿𝑓 
(d) Se tiene lo siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
Del balance de energía: 
𝑞0
″ = 𝑞1″ + 𝑞2″ 
Dónde: 
𝑞2
″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑓″ = 𝑞𝑠″ 
𝑞2
″ = 𝑘𝑠
𝐿𝑠
. (𝑇0 − 𝑇1) = 0.05 𝑊 m⁄ . 𝐾0.001 m × (60℃ − 30℃) = 1500 𝑊 m2⁄ 
→ 𝑞2
″ = 1500 𝑊
m2
= 𝑘𝑓
𝐿𝑓
(𝑇𝑠 − 𝑇0) = 0.025 𝑊 m⁄ . 𝐾0.00025 m (𝑇𝑠 − 𝑇0) 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 10 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑇𝑠 = 75℃ 
→ En general: 
𝑇𝑠 = 1500. 𝐿𝑓𝑘𝑓 + 𝑇0 = 60000. 𝐿𝑓 + 60 
Del balance: 
𝑞0
″ = 𝑞1″ + 𝑞2″ 
𝑞0
″ = ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞) + 1500 
𝑞0
″ = 50��60000. 𝐿𝑓 + 60� − 20℃� + 1500 
→ 𝑞0
″ = 3 × 106. 𝐿𝑓 + 3500 ; 𝐿𝑓 en (m) 𝑦 𝑞0″ en � 𝑊m2� 
 
PROBLEMA 3.5 
 
Se consideran cobre y acero inoxidable (AISI 304) como material para las paredes de tobera de un 
cohete enfriada por líquido. El exterior enfriado de la pared se mantiene a 150℃, mientras que los 
gases de combustión dentro de la tobera están a 2750℃. El coeficiente de transferencia de calor 
del lado del gas es ℎ𝑖 = 2 × 104 𝑊 m2. 𝐾⁄ y el radio de la tobera es mucho mayor que el espesor 
de la pared. Limitaciones técnicas indican que la temperatura del cobre y la del acero no exceden 
540℃ y 980℃, respectivamente. ¿Cuál es el espesor máximo de la pared que se podría emplear 
para cada uno de los dos materiales? Si la tobera se construye con el espesor máximo de pared, 
¿cuál material se preferiría? 
 
SOLUCION 3.5 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 11 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) No hay generación de energía. 
Análisis: 
Para el uso del cobre: 𝑘cobre = 401 𝑊 m⁄ . 𝐾 
Para el uso del SS (AISI 304) 𝑘AISI 304 = 14.9 𝑊 m⁄ . 𝐾 
• Se cumple: 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑″ 
- Para el cobre: 
𝑇𝑖𝑚𝑖𝑛 = 540℃ → 2 × 104 𝑊m2.𝐾 × (2750 − 540)K = 𝑘𝐿 (540 − 150) 2 × 104. (2750 − 540) = 401
𝐿𝑚𝑎𝑥
(540 − 150) 
𝐿𝑚𝑎𝑥 = 0.003538 m 
 
- Para el acero inoxidable (SS) AISI 304: 
𝑇𝑖𝑚𝑖𝑛 = 980℃ → 2 × 104(2750 − 980) = 14.9𝐿𝑚𝑎𝑥 (980 − 150) 
𝐿𝑚𝑎𝑥 = 0.000349 m 
Si se construye con el espesor máximo se usará el cobre. 
 
PROBLEMA 3.6 
 
Una técnica para medir coeficientes de transferencia de calor implica adherir una superficie de 
una hoja metálica delgada a un material aislante y exponer la otra superficie a las condiciones de 
corriente del fluido de interés. 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 12 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
 
Al hacer pasar una corriente eléctrica a través de la hoja, se disipa calor de manera uniforme den-
tro de la hoja y se infiere el flujo correspondiente, 𝑃eléc
″ , a partir de las mediciones de voltaje y co-
rriente relacionadas. Si se conocen el espesor 𝐿 del aislante y la conductividad térmica 𝑘, y se mi-
den las temperaturas del fluido, hoja y aislante (𝑇∞, 𝑇𝑠, 𝑇𝑏), es posible determinar el coeficiente de 
convección. Considere condiciones para las que 𝑇∞ = 𝑇𝑏 = 25℃, 𝑃eléc″ = 2000 𝑊 m2⁄ , 𝐿 =10 mm, y 𝑘 = 0.040 𝑊 m. 𝐾⁄ . 
(a) Con el flujo de agua sobre la superficie, la medición de la temperatura de la hoja da 
𝑇𝑠 = 27℃. Determine el coeficiente de convección. ¿Qué error se cometería al suponer 
que toda la potencia disipada se transmite al agua por convección? 
(b) Si, en su lugar, fluye aire sobre la superficie y la medición de temperatura da 𝑇𝑠 = 125℃, 
¿cuál es el coeficiente de convección? La hoja tiene una emisividad de 0.15 y se expone a 
alrededores a 25℃. ¿Qué error se cometería al suponer que toda la potencia que se disipa 
se transfiere al aire por convección? 
(c) Normalmente, los indicadores de flujo de calor se operan a temperatura fija (𝑇𝑠), en cuyo 
caso la disipación de potencia proporciona una medida directa del coeficiente de convec-
ción. Para 𝑇𝑠 = 27℃, grafique 𝑃eléc″ como función de ℎ0 para 10 ≤ ℎ0 ≤ 1000 𝑊 𝑚2. 𝐾⁄ . 
¿Qué efecto tiene ℎ0 sobre el error asociado con que no se tome en cuenta la conducción a 
través del aislante? 
 
SOLUCION 3.6 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 13 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) No hay generación de energía. 
Análisis: 
(a) Para 𝑇𝑠 = 27℃ 
𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑″ + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″ 2000 𝑊
m2
= 27 − 251/ℎ + 27 − 25𝐿/𝑘 
→ 2000 = 2ℎ + 20.01/0.04 → ℎ = 996 𝑊m2.𝐾 
• Si todo el 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″ 
→ 2000 = ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞) = (27 − 25) 
→ ℎ = 1000 𝑊 m2⁄ 
Por tanto el error sería: |996 − 1000|996 × 100% = 0.4% de error 
(b) Para 𝑇𝑠 = 125℃ ; Por balance energía: 
𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑″ + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″ + 𝑞𝑟𝑎𝑑″ 2000 𝑊
m2
= 𝑇𝑠 − 𝑇𝑏
𝐿/𝑘 + ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞) + 𝜀. 𝜎. �𝑇𝑠4 − 𝑇𝑎𝑖𝑟4 � 
2000 = (125 − 25)0.01/0.04 + ℎ(125 − 25) + 0.15 × 5.67 × 10−8(3984 − 2984) 
→ ℎ = 14.5 𝑊
m2.𝐾 
• Si todo el: 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″ 2000 𝑊 m2⁄ = ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞) = ℎ(125 − 25) 
→ ℎ = 20 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 14 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Por tanto el error será: 20 − 14.514.5 = 37.9% ó 0.379 
(c) Para 𝑇𝑠 = 27℃ 
* La energía perdida por radiación es casi insignificante comparada a la pérdida por conducción y 
convección. Por elbalance energético: 
𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″ + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑″ 
𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
″ = 𝑇𝑠 − 𝑇𝑏
𝐿/𝑘 + ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞) = (27 − 25)0.01/0.04 + ℎ(27 − 25) 
→ 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
″ = 2ℎ + 8 
Gráfico: función lineal. 
 
 
 
 
 
 
• Para el caso 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡″ = 1000 𝑊 m2⁄ → ℎ = 496 𝑊 m2⁄ . 𝐾 ∧ si se considera solo convec-
ción: ℎ = 500 𝑊 m2⁄ . 𝐾 el error será: 0.8% 
→ A medida que aumenta el valor de ℎ0 el error disminuye. 
 
PROBLEMA 3.7 
 
Lo helado de la brisa, que se experimenta en un día frio y con viento, se relaciona con el incremen-
to de la transferencia de calor de la piel humana expuesta a la atmósfera circundante. Considere 
una capa de tejido adiposo de 3 mm de espesor y cuya superficie interior se mantiene a una tem-
peratura de 36℃. En un día calmado el coeficiente de transferencia de calor por convección a la 
superficie externa es 25 𝑊 m2. 𝐾⁄ , pero con vientos de 30 km/h alcanza 65 𝑊 m2. 𝐾⁄ . En ambos 
casos, la temperatura del aire del ambiente es −15℃. 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 15 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
(a) ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de área de la piel que se produce de un día calmado 
a un día con viento? 
(b) ¿Cuál será la temperatura de la superficie externa de la piel en el día calmado? ¿Cuál en el 
día con viento? 
(c) ¿Qué temperatura debería tener el aire en el día calmado para producir la misma pérdida 
de calor que ocurre con una temperatura del aire de −15℃ en el día con viento? 
 
SOLUCION 3.7 
 
Esquema: 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) No hay generación de energía. 
Análisis: 
(a) Para la transferencia de calor de las ecuaciones 3.11 y 3.12 (libro) 
𝑞𝑥 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞𝐿
𝑘𝐴 + 1ℎ𝐴 → 𝑞𝑥𝐴 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞𝐿𝑘 + 1ℎ (por unidad de área) … … … … . . (1) 
• Para un día calmado (ℎ = 25 𝑊 m2⁄ . 𝐾): 
𝑞𝑥/𝐴 = 36 + 150.0030.2 + 125 = 927.27 𝑊 m2⁄ 
• Para un día con viento (ℎ = 65 𝑊 m2⁄ . 𝐾): 
𝑞𝑥/𝐴 = 36 + 150.0030.2 + 165 = 1678.48 𝑊 m2⁄ 
Hay una mayor pérdida de calor en un día con viento. 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 16 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞calmado
″
𝑞viento
″ = 0.553 
(b) Para el cálculo de 𝑇𝑠: 
• Día calmado (ℎ = 25 𝑊 m2⁄ . 𝐾): 
𝑞𝑥/𝐴 = ℎ[𝑇𝑠 − 𝑇∞] → 𝑇𝑠 = 𝑞𝑥/𝐴ℎ + 𝑇∞ 
𝑇𝑠 = 927.2725 − 15 = 22.09℃ 
• Día con viento (ℎ = 65 𝑊 m2⁄ . 𝐾) 
𝑇𝑠 = 𝑞𝑥/𝐴ℎ + 𝑇∞ = 1678.4865 − 15 = 10.82℃ 
(c) Para el día con viento: 
𝑞𝑥/𝐴 = 1678.48 𝑊 m2⁄ a 𝑇∞ = −15℃ 
Para el día calmado: 
𝑞𝑥/𝐴 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞𝐿
𝑘 + 1ℎ = 1678.48 𝑊 m2⁄ 36 − 𝑇∞0.0030.2 + 125 = 1678.48 
→ 𝑇∞ = −56.31℃ 
 
PROBLEMA 3.8 
 
Considere el transistor montado en superficie que se ilustra en el problema 1.51. Construya el cir-
cuito térmico, escriba una expresión para una temperatura de caja 𝑇𝑐 y evalúe 𝑇𝑐 para dos situa-
ciones, una en la que el hueco está lleno de aire estancado y otra en la que está lleno de una pasta 
conductora. 
 
SOLUCION 3.8 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 17 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Análisis: 
Por el balance energético en la caja del transistor; se realiza el análisis mediante uso de un circuito 
térmico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dónde: 
𝑡 = distancia del hueco 
𝑘𝑎 = 25 𝑊 m⁄ . 𝐾 (Para el alambre) 
𝑘ℎ = 0.0263 𝑊 m⁄ . 𝐾 (Aire en el hueco) 
𝑘𝑝 = 0.12 𝑊 m⁄ . 𝐾 (Pasta en el hueco) 
ℎ = 50 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
Del circuito: 
• Para; aire en el hueco: 
𝑞0 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 + 𝑞4 + 𝑞5 
→ 𝑞0 = 𝑇𝐶 − 𝑇∞1 ℎ. 𝐴1⁄ + 𝑇𝐶 − 𝑇𝑏𝐿 𝑘𝑎 . 𝐴2⁄ + 𝑇𝐶 − 𝑇𝑏𝐿 𝑘𝑎. 𝐴2⁄ + 𝑇𝐶 − 𝑇𝑏𝐿 𝑘𝑎. 𝐴2⁄ + 𝑇𝐶 − 𝑇𝑏𝑡 𝑘ℎ. 𝐴3⁄ … … . (1) 
𝑇𝐶 = ℎ. 𝐴1. 𝑇∞ + [𝑘ℎ . 𝐴3 𝑡⁄ + 3(𝑘𝑎 . 𝐴2 𝐿⁄ )]𝑇𝑏 + 𝑞0
ℎ. 𝐴1 + 𝑘ℎ . 𝐴3𝑡 + 3. 𝑘𝑎. 𝐴2𝐿 … … … (2) 
Dónde: 
𝐴1 = 𝐴3 = 32 × 10−6 m2 
𝐴2 = 25 × 10−8 m2 
𝐿 = 4 × 10−3 m 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 18 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑡 = 0.2 × 10−3 m 
𝑞0 = 150 × 10−3 𝑊 
𝑇∞ = 20℃ 
𝑇𝑏 = 35℃ 
→ 𝑇𝐶 = 47.04℃ 
• Para pasta en el hueco: Se obtendrá la misma ecuación de (1) y (2), selo existirá el cambio 
de 𝑘ℎ por 𝑘𝑝 (pasta). 
𝑇𝐶 = ℎ. 𝐴1. 𝑇∞ + [𝑘ℎ . 𝐴3 𝑡⁄ + 3 𝑘𝑎 . 𝐴2 𝐿⁄ ]𝑇𝑏 + 𝑞0
ℎ. 𝐴1 + 𝑘𝑝. 𝐴3𝑡 + 3. 𝑘𝑎 . 𝐴2𝐿 con 𝑘𝑝 = 0.12 𝑊m .𝐾 
𝑇𝐶 = 39.92℃ 
 
PROBLEMA 3.9 
Una placa de acero de 1 m de largo (𝑘 = 50 𝑊 m. 𝐾⁄ ) está bien aislada en sus lados, mientras que 
la superficie superior está a 100℃ y la superficie inferior se enfría por convección mediante un 
fluido a 20℃. En condiciones de estado estable sin generación, un termopar en el punto medio de 
la placa revela una temperatura de 85℃. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 19 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
¿Cuál es el valor del coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie inferior? 
 
SOLUCION 3.9 
 
Esquema: 
 
 
 
 
Suposición: 
a) Estado estable. 
b) No hay generación de energía interna. 
Análisis: 
Para la superficie de control en el punto medio: (𝑇 = 85℃), se tiene el siguiente balance: 
�̇�𝐼𝑁 = �̇�𝑂𝑈𝑇 
𝑞1
″ = 𝑞2″ 
→ 𝑇𝑖 − 𝑇
𝐿 2⁄
𝑘
= 𝑇 − 𝑇∞
𝐿 2⁄
𝑘 + 1ℎ 
→ ℎ = �𝐿 2⁄
𝑘
. �𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇
� −
𝐿 2⁄
𝑘
�
−1
 
ℎ = �0.550 � 85 − 20100 − 85� − 0.550 �−1 
ℎ = 30 𝑊
m2.𝐾 
 
PROBLEMA 3.10 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 20 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
Una ventana térmica de vidrio consiste en dos piezas de vidrio de 7 mm de espesor que encierran 
un espacio de aire de 7 mm de espesor. La ventana separa el aire del cuarto a 20℃ del aire am-
biente del exterior a −10℃. El coeficiente de convección asociado con la superficie interna (lado 
del cuarto) es 10 𝑊 m2. 𝐾⁄ . 
(a) Si el coeficiente de convección asociado con el aire exterior (ambiente) es ℎ0 =80 𝑊 m2. 𝐾⁄ , ¿cuál es la pérdida de calor a través de una ventana que tiene 0.8 m de largo 
por 0.5 m de ancho? No tome en cuenta la radiación, y suponga que el aire encerrado en-
tre las hojas de vidrio está estancado. 
(b) Calcule y trace el efecto de ℎ0 sobre la pérdida de calor para 10 ≤ ℎ0 ≤ 100 𝑊 m2. 𝐾⁄ . 
Repita este cálculo para una construcción de tres vidrios en la que se agrega un tercer vi-
drio y un segundo espacio de aire de espesor equivalente. 
 
SOLUCION 3.10 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) No hay generación de energía interna. 
Análisis: 
De las tablas A.3: 
𝑘v = 1.4 𝑊 m⁄ . 𝐾 (300K) 
𝑘𝑎 = 0.0243 (273K) 
(a) Pérdida de calor: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 21 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞𝑥 = 𝑇∞𝑖 − 𝑇∞0
�
1
ℎ𝑖
+ 𝐿𝑘v + 𝐿𝑘𝑎 + 𝐿𝑘v + 1ℎ0� 1𝐴 
Dónde: 
𝐿 = 0.007 m 
 
𝐴 = 0.8 × 0.5 = 0.4m2 
ℎ0 = 80 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
𝑞𝑥 = 20 − (−10)
�
110 + 2 × 0.0071.4 + 0.0070.0243 + 180� 10.4 = 29.22𝑊(b) Para: 𝑞𝑥 = 𝑓(ℎ0) 
• De la primera ecuación: (1er caso) 
𝑞𝑥 = [20 − (−10)]0.4
�
110 + 2 × 0.0071.4 + 0.0070.0243 + 1ℎ0� 
→ 𝑞𝑥 = 12. ℎ00.379807ℎ0 + 1 
• Para el segundo caso: (2do caso) 
𝑞𝑥 = [20 − (−10)]0.4
�
110 + 3 × 0.0071.4 + 2 × 0.0070.0243 + 1ℎ0� 
→ 𝑞𝑥 = 12. ℎ00.69113ℎ0 + 1 
 
PROBLEMA 3.11 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 22 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
La pared de un colector solar pasivo consiste en un material de cambio de fase (PCM) de espesor 𝐿 
encerrado entre dos superficies estructurales de soporte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponga una condición de estado estable para la que la absorción de radiación solar en una super-
ficie mantiene su temperatura (𝑇𝑠,1) por arriba de la temperatura de fusión del PCM. Las porcio-
nes líquida y sólida del PCM están divididas por una interfaz vertical estrecha. El líquido tiene tem-
peratura del núcleo de 𝑇m y se caracteriza por un flujo recirculante movido por la flotación que 
mantiene el mismo coeficiente de convección (ℎm) en sus interfaces con la superficie (𝑠, 1) y el 
sólido. Considere condiciones para que las que el flujo neto de radiación es 𝑞𝑟𝑎𝑑″ = 1000 𝑊 m2⁄ , 
las temperaturas ambientes y los coeficientes de convección son 𝑇∞,1 = 𝑇∞,2 = 20℃ y ℎ1 = ℎ2 =20 𝑊 m2. 𝐾⁄ , la temperatura y coeficiente de convección del líquido PCM son 𝑇𝑚 = 50℃ y ℎ𝑚 =10 𝑊 m2. 𝐾⁄ y la conductividad térmica del sólido PCM es 𝑘𝑠 = 0.5 𝑊 m. 𝐾⁄ . Evalúe la temperatu-
ra de la superficie, 𝑇𝑠,1. Si el espesor total de PCM es 𝐿 = 0.10 m, ¿cuál es el espesor de la capa 
líquida? Calcule la temperatura de la superficie 𝑇𝑠,2. 
 
SOLUCION 3.11 
 
Esquema: 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 23 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional. 
c) No hay generación de energía. 
Análisis: 
Para realización del problema, tenemos el circuito térmico: 
 
 
 
Donde, se hallan los flujos de calor 𝑞″(𝑊 m2⁄ ): 
𝑞1
″ = 𝑇𝑠,1 − 𝑇∞11/ℎ1 = 𝑇𝑠,1 − 201/20 = 20𝑇𝑠,1 − 400 … … . . (1) 
𝑞2
″ = 𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑚1/ℎ𝑚 = 𝑇𝑠,1 − 501/10 = 10𝑇𝑠,1 − 500 … … . . (2) 
También: 
𝑞2
″ = 𝑇𝑠,1 − 𝑇∞,21
ℎ𝑚
+ 1ℎ𝑚 + 𝐿𝑠𝑘𝑠 + 1ℎ2 = 𝑇𝑠,1 − 20110 + 110 + 𝐿𝑠0.5 + 120 = 𝑇𝑠,1 − 200.25 + 2𝐿𝑠 … … . (3) 
→ Del balance energético: 
𝐸𝐼𝑁 − 𝐸𝑂𝑈𝑇 = 0 → 𝐸𝐼𝑁 = 𝐸𝑂𝑈𝑇 
→ 𝑞rad
″ = 𝑞1″ + 𝑞2″ 
De (1) y (2) 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 24 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
→ 1000 = �20𝑇𝑠,1 − 400� + 10𝑇𝑠,1 − 500 
→ 𝑇𝑠,1 = 63.33℃ 
Reemplazando en (2): 
𝑞2
″ = 10(63.33) − 500 = 133.33 𝑊 m3⁄ 
En (3): 133.33 = (63.33) − 200.25 + 2𝐿𝑠 → 𝐿𝑠 = 0.0375 m 
• Para 𝑇𝑠,2: 
𝑞2
″ = 𝑇𝑠,2 − 𝑇∞21/ℎ2 = 𝑇𝑠,2 − 201/20 → 133.33 = 𝑇𝑠,2 − 201/20 
𝑇𝑠,2 = 26.67℃ 
 
PROBLEMA 3.12 
 
La pared de un edificio es un compuesto que consiste en una capa de 100 mm de ladrillo común, 
una capa de 100 mm de fibra de vidrio (forrada con papel, 28 kg/m3), una capa de 10 mm de re-
voque de yeso (vermiculita) y una capa de 6 mm de tabla de pino. Si el coeficiente de convección 
interior es 10 𝑊 m2. 𝐾⁄ y el coeficiente de convección exterior es 70 𝑊 m2. 𝐾⁄ , ¿cuál es la resis-
tencia total y el coeficiente global para la transferencia de calor? 
 
SOLUCION 3.12 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 25 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) No hay generación de energía interna. 
Análisis: 
Se tiene: De la tabla A.3 
1) Ladrillo común 𝐿1 = 0.1 m ; 𝑘1 = 0.72 𝑊 m⁄ . 𝐾 
2) Fibra de vidrio (𝜌 = 28 kg/m3) 𝐿2 = 0.1 m ; 𝑘2 = 0.038 𝑊 m⁄ . 𝐾 
3) Yeso 𝐿3 = 0.010 m ; 𝑘3 = 0.17 𝑊 m⁄ . 𝐾 
4) Tabla pino 𝐿4 = 0.006 m ; 𝑘4 = 0.12 𝑊 m⁄ . 𝐾 
• Para la resistencia total: 
𝑅tot = 1𝐴 � 1ℎ1 + 𝐿1𝑘1 + 𝐿2𝑘2 + 𝐿3𝑘3 + 𝐿4𝑘4 + 1ℎ0� 
𝑅tot = 1𝐴 � 110 + 0.10.72 + 0.10.038 + 0.010.17 + 0.0060.12 + 170� = 2.9935𝐴 
• De la ecu. 3.19: 
𝑅tot = 1U. 𝐴 
→ Coeficiente global de transferencia de calor: U = 1
𝑅tot. 𝐴 U = (2.9935)−1 = 0.334 𝑊
m2.𝐾 
 
PROBLEMA 3.13 
 
La pared compuesta de un horno consiste en tres materiales, dos de los cuales son de conductivi-
dad térmica conocida, 𝑘𝐴 = 20 𝑊 m. 𝐾⁄ y 𝑘𝐶 = 50 𝑊 m. 𝐾⁄ , y de espesor conocido, 𝐿𝐴 =0.30 m y 𝐿𝐶 = 0.15 m. El tercer material, B, que se intercala entre los materiales A y C, es de es-
pesor conocido, 𝐿𝐵 = 0.15 m, pero de conductividad térmica, 𝑘𝐵, desconocida. 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 26 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
En condiciones de operación de estado estable, las mediciones revelan una temperatura de la su-
perficie externa 𝑇𝑠,0 = 20℃, una temperatura de la superficie interna 𝑇𝑠,𝑖 = 600℃, una tempera-
tura del aire del horno 𝑇∞ = 800℃. Se sabe que el coeficiente de convección interior ℎ es 25 𝑊 m2. 𝐾⁄ . ¿Cuál es el valor de 𝑘𝐵? 
 
SOLUCION 3.13 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional. 
Análisis: 
De un balance de energía es 𝑇 = 𝑇𝑠,𝑖 
 �̇�𝐼𝑁 = �̇�𝑂𝑈𝑇 
 → 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑″ 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 27 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
→ 𝑇∞ − 𝑇𝑠,𝑖1
ℎ
= 𝑇𝑠,𝑖 − 𝑇𝑠,0𝐿𝐴
𝑘𝐴
+ 𝐿𝐵𝑘𝐵 + 𝐿𝐶𝑘𝐶 
𝐿𝐴 = 0.3m ; 𝑘𝐴 = 20 𝑊 m⁄ . 𝐾 
𝐿𝐵 = 0.15m ; 𝑘𝐵 =? 
𝐿𝐶 = 0.15m ; 𝑘𝐶 = 50 𝑊 m⁄ . 𝐾 
→ 800 − 600125 = 600 − 200.320 + 0.15𝑘𝐵 + 0.1550 
→ 𝑘𝐵 = 1.53 𝑊 m⁄ . 𝐾 
 
PROBLEMA 3.14 
 
Las paredes exteriores de un edificio son un compuesto que consiste en un tablero de yeso de 10 
mm de espesor, espuma de uretano de 50 mm de espesor y 10 mm de madera blanda. En un típi-
co día de invierno las temperaturas del aire exterior e interior son −15℃ y 20℃, respectivamen-
te, con coeficientes de convección externo e interno de 15 𝑊 m2. 𝐾⁄ y 5 𝑊 m2. 𝐾⁄ , respectiva-
mente. 
(a) ¿Cuál es la carga de calentamiento para una sección de 1 m2 de pared? 
(b) ¿Cuál es la carga de calentamiento si la pared compuesta se reemplaza por una ventana de 
vidrio de 3 mm de espesor? 
(c) ¿Cuál es la carga de calentamiento si la pared compuesta se reemplaza con una ventana de 
doble vidrio que consiste en dos placas de vidrio de 3 mm de espesor separadas por un 
hueco de aire estancado de 5 mm de espesor. 
 
SOLUCION 3.14 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 28 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional. 
c) Propiedades constantes. 
Análisis: 
Para el caso a: Se tiene: yeso-espuma de uretano-madera 
De tabal A.3: 
Tablero de yeso: 𝑘𝑦 = 0.17 𝑊 m⁄ . 𝐾 
Espuma uretano: 𝑘𝑢 = 0.026 𝑊 m⁄ . 𝐾 
Maderablanda: 𝑘𝑚 = 0.12 𝑊 m⁄ . 𝐾 
(a) 
• Para un 𝐴 = 1m2 
Carga de calentamiento: 
𝑞 = ∆𝑇
∑ 𝑅
 
→ 𝑞 = 𝑇∞𝑖 − 𝑇∞0
�
1
ℎ𝑖
+ 𝐿𝑦𝑘𝑦 + 𝐿𝑢𝑘𝑢 + 𝐿𝑚𝑘𝑚 + 1ℎ0� 1𝐴 
→ 𝑞 = 20 − (−15)
�
15 + 0.010.17 + 0.050.026 + 0.010.12 + 115� 11 = 352.33 = 15 𝑊 
(b) Para el caso b: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 29 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞 = 𝑇∞𝑖 − 𝑇∞0
�
1
ℎ𝑖
+ 𝐿v𝑘v + 1ℎ0� 1𝐴 
𝑘v = 1.4 𝑊 m⁄ . 𝐾 
→ 𝑞 = 20 − (−15)
�
15 + 0.0031.4 + 115� 11 = 350.269 = 130.2 𝑊 
(c) Para el caso c: 
𝑞 = 𝑇∞𝑖 − 𝑇∞0
�
1
ℎ𝑖
+ 𝐿v𝑘v + 𝐿𝑎𝑘𝑎 + 𝐿v𝑘v + 1ℎ0� 1𝐴 
Tabla A.4: 
𝑘𝑎 = 0.0263 𝑊m.𝐾 
→ 𝑞 = 20 − (−15)
�
15 + 0.0031.4 + 0.0050.0263 + 0.0031.4 + 115� 11 = 350.461 = 75.9 𝑊 
 
PROBLEMA 3.15 
 
Una casa tiene una pared compuesta de madera, aislante de fibra de vidrio y tablero de yeso, co-
mo se indica en el esquema. En un día frío de invierno los coeficientes de transferencia de calor 
por convección son ℎ0 = 60 𝑊 m2. 𝐾⁄ y ℎ𝑖 = 30 𝑊 m2. 𝐾⁄ . El área total de la superficie de la 
pared es 350 m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 30 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Determine una expresión simbólica para la resistencia térmica total de la pared, incluyendo 
los efectos de convección interior y exterior para las condiciones establecidas. 
(b) Determine la pérdida total de calor a través de la pared. 
(c) Si el viento soplara de manera violenta, elevando ℎ0 a 300 𝑊 m2. 𝐾⁄ , determine el porcen-
taje de aumento en la pérdida de calor. 
(d) ¿Cuál es la resistencia controladora que determina la cantidad de flujo de calor a través de 
la pared? 
 
SOLUCION 3.15 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional. 
b) Condición de estado estable. 
c) Resistencia de contacto insignificante. 
Análisis: 
De la tabla A.3: (300 K) 
• Tablero de yeso: 𝑘𝑝 = 0.17 𝑊 m⁄ . 𝐾 
• Fibra de vidrio (28 kg/m3): 𝑘𝑏 = 0.038 𝑊 m⁄ . 𝐾 
• Madera laminada: 𝑘𝑠 = 0.12 𝑊 m⁄ . 𝐾 
(a) La expresión de la resistencia térmica, según Ecu. 3.18: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 31 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑅tot = 1ℎ𝑖𝐴 + 𝐿𝑝𝑘𝑝𝐴 + 𝐿𝑏𝑘𝑏𝐴 + 𝐿𝑠𝑘𝑠𝐴 + 1ℎ0𝐴 … … … … . (1) 
(b) Pérdida total de calor: 
𝑞 = ∆𝑇
𝑅tot
= 𝑇∞𝑖 − 𝑇∞0
𝑅tot
… … … . . (2) 
Sustituyendo valores en (1): 
𝑅tot = � 130 + 0.010.17 + 0.100.038 + 0.020.12 + 160� 1350m2 = 831 × 10−5℃/𝑊 
En (2): 
𝑞 = 20 − (−15)831 × 10−5 = 4.211 × 103𝑊 
(c) Si ℎ0 cambia de 6 → 300 𝑊 m2⁄ . 𝐾, entonces 𝑅0 = 1/ℎ0𝐴 cambia de 4.76 × 10−5 a 0.95 × 10−5℃/𝑊 
𝑅tot
′ = 826 × 10−5℃
𝑊
 → 𝑞′ = 4.237 × 103𝑊 
→ % aumento = 4237 − 42114211 .100% = 0.6% 
(d) Del valor de 𝑅tot: (1) 
𝑅tot = 130 × 350 + 0.010.17 × 350 + 0.100.038 × 350 + 0.020.12 × 350 + 160 × 350= (9 × 52 + 16.8 + 752 + 47.6 + 4.76)10−5 
→ Se ve que la fibra de vidrio es la resistencia controladora: 𝐿𝑏 𝑘𝑏𝐴⁄ = 752 × 10−5℃/𝑊 
⇒ 752831 = 90.4% del total de resistencia 
 
PROBLEMA 3.16 
 
Considere la pared compuesta del problema 3.15 bajo condiciones para las que el aire interior aún 
se caracteriza por 𝑇∞,𝑖 = 20℃ y ℎ𝑖 = 30 𝑊 m2. 𝐾⁄ . Sin embargo, utilice las condiciones más rea-
listas en las que el aire exterior se caracteriza por una temperatura que varía con el día (tiempo), 
de la forma. 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 32 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑇∞,0(𝐾) = 273 + 5 sen �2𝜋24 𝑡� 0 ≤ 𝑡 ≤ 12 h 
𝑇∞,0(𝐾) = 273 + 11 sen �2𝜋24 𝑡� 0 ≤ 𝑡 ≤ 12 h 
Con ℎ0 = 60 𝑊 m2. 𝐾⁄ . Suponiendo condiciones casi estables para las que es posible no tomar en 
cuenta los cambios en el almacenamiento de energía dentro de la pared, estime la pérdida diaria 
de calor a través de ésta si el área total de la superficie es 200 m2. 
 
SOLUCION 3.16 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional. 
b) Condición de estado estable. 
c) Resistencia de contacto insignificante. 
Análisis: 
De las tablas (A.3): 
• Yeso: 𝑘𝑝 = 0.17 𝑊 m⁄ . 𝐾 , 𝐿𝑝 = 0.01 m 
• Fibra de vidrio: 𝑘𝑏 = 0.038 𝑊 m⁄ . 𝐾 , 𝐿𝑏 = 0.10 m 
• Madera: 𝑘𝑠 = 0.12 𝑊 m⁄ . 𝐾 , 𝐿𝑠 = 0.02 m 
La pérdida de calor será aproximada: 
𝑄 = � 𝑇∞𝑖 − 𝑇∞0
𝑅tot
𝑑𝑡
24 h
0
 
Dónde: 𝐴 = 200 m2 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 33 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑅tot = 1𝐴 . � 1ℎ𝑖 + 𝐿𝑝𝑘𝑝 + 𝐿𝑏𝑘𝑏 + 𝐿𝑠𝑘𝑠 + 1ℎ0� = 1200 � 130 + 0.010.17 + 0.100.038 + 0.020.12 + 160� 
𝑅tot = 0.01454 𝐾/𝑊 
→ 𝑄 = 1
𝑅tot
�� �293 − �273 + 5 sin 2𝜋𝑡24 �� 𝑑𝑡12 h0+ � �293 − �273 + 11 sin 2𝜋24 𝑡�� 𝑑𝑡24 h12 h � 
𝑄 = 10.01454 ��20𝑡 + 5 �22� cos 2𝜋𝑡24 �012 + �20𝑡 + 11 �22� cos 2𝜋𝑡24 �1224� 
𝑄 = 68.8 ��240 + 60
𝜋
(−1 − 1)� + �480 − 240 + 132
𝜋
(1 + 1)�� 
𝑄 = 68.8{480 − 38.2 + 84.03} 
→ 𝑄 = 36.18 𝐾𝑊. h = 1.302 × 108J 
 
PROBLEMA 3.17 
 
Considere una pared compuesta que incluye un tablado de madera dura de 8 mm de espesor, tra-
vesaños de 40 mm por 130 mm de madera dura sobre centros de 0.65 m con aislante de fibra de 
vidrio (recubierto con papel, 28 kg/m3) y una hoja de cartón de yeso (vermiculita) de 12 mm. 
 
 
 
 
 
¿Cuál es la resistencia térmica asociada con una pared que tiene 2.5 m de altura por 6.5 m de an-
cho (y 10 travesaños, cada uno de 2.5 m de altura)? 
 
SOLUCION 3.17 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 34 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) Propiedades constantes. 
c) Resistencia de contacto insignificante. 
Análisis: Propiedades (Tabla A.3): 
A. Madera 𝑘𝐴 = 0.094 𝑊 m⁄ . 𝐾 
B. Travesaño 𝑘𝐵 = 0.16 𝑊 m⁄ . 𝐾 
C. Aislante 𝑘𝐶 = 0.038 𝑊 m⁄ . 𝐾 
D. Cartón de yeso 𝑘𝐷 = 0.17 𝑊 m⁄ . 𝐾 
Representando mediante un circuito térmico: 
 
 
 
 
𝐿𝐴
𝑘𝐴. 𝐴𝐴 = 0.0080.094(0.65 × 2.5) = 0.0524 𝐾/𝑊 
𝐿𝐵
𝑘𝐵. 𝐴𝐵 = 0.130.16(0.04 × 2.5) = 8.125 𝐾/𝑊 
𝐿𝐶
𝑘𝐶 . 𝐴𝐶 = 0.130.038(0.61 × 2.5) = 2.243 𝐾/𝑊 
𝐿𝐷
𝑘𝐷. 𝐴𝐷 = 0.0120.17(0.65 × 2.5) = 0.0434 𝐾/𝑊 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 35 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
• Para resistencia equivalente entre (B) y (C): 1
𝑅𝑒𝑞
= 1
𝑅𝐵
+ 1
𝑅𝐶
 
→ 𝑅𝑒𝑞 = � 1𝑅𝐵 + 1𝑅𝐶�−1 ⇒ 𝑅𝑒𝑞 = (8.125−1 + 2.243−1)−1 = 1.758 𝐾/𝑊 
• Por la resistencia será: (unitaria) 
𝑅tot,1 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝑒𝑞 + 𝑅𝐷 = 0.0524 + 1.758 + 0.0434 = 1.854 𝐾/𝑊 
• Para 10 travesaños: se darán 10 veces pero en paralelo: 
Por tanto: 
𝑅tot = �10 × 1𝑅tot,1�−1 = 0.1854 𝐾/𝑊 
 
PROBLEMA 3.18 
 
Las características térmicas de un pequeño refrigerador doméstico se determinan realizando dos 
experimentos separados, cada uno con la puerta cerrada y el refrigerador colocado en aire am-
biente a 𝑇∞ =25℃. En un caso, un calentador eléctrico se suspende en la cavidad del refrigera-
dor, mientras el refrigerador está desconectado. Con el calentador disipado 20 W, se registra una 
temperatura de estado estable de 90℃ dentro de la cavidad. Sin el calentador y con el refrigera-
dor ahora en operación, el segundo experimento implica mantener una temperatura de la cavidad 
en estado estable de 5℃ para un intervalo de tiempo fijo y registrar la energía eléctrica que se 
requiere para operar el refrigerador. En este experimento, para el que la operación de estado es-
table se mantiene en un periodo de 12 horas, la energía eléctrica de entrada es 125,000 J. Deter-
mine el coeficiente de rendimiento del refrigerador (COP). 
 
SOLUCION 3.18 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 36 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) Radiación insignificante. 
Análisis: 
Para el primer caso (a) (desenchufado), se tiene el siguiente balance energético: 
�̇�𝑔 − �̇�𝑂𝑈𝑇 = 0 
→ 𝑞𝑒𝑙𝑒𝑐 − 𝑞𝑂𝑈𝑇 = 0 → 𝑞𝑂𝑈𝑇 = 𝑞𝑒𝑙𝑒𝑐 
Dónde: 
𝑞𝑂𝑈𝑇 = �𝑇∞,𝑖 − 𝑇∞,0�/𝑅𝑡 
→ 𝑅𝑡 = 𝑇∞,𝑖 − 𝑇∞,0𝑞𝑂𝑈𝑇 = 𝑇∞,𝑖 − 𝑇∞,0𝑞𝑒𝑙𝑒𝑐 = 90 − 2520 3.25 ℃/𝑊 
• Para el caso (b), el calor transferido del aire exterior hacia el comportamiento es balancea-
do con el calor que pierde el comportamiento al cederlo al refrigerante (𝑞𝐼𝑁 = 𝑞𝑂𝑈𝑇). Por 
tanto la energía térmica transferida del refrigerador en 12 horas es: 
𝑄𝑂𝑈𝑇 = 𝑞𝑂𝑈𝑇 . ∆𝑡 = �𝑇∞,𝑖 − 𝑇∞,0�𝑅𝑡 × ∆𝑡 
→ 𝑄𝑂𝑈𝑇 = (25 − 5)3.25 (12 hr × 3600 s/hr) = 266000 J 
→ El coeficiente de rendimiento del refrigerador: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 37 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝐶𝑂𝑃 = 𝑄𝑂𝑈𝑇
𝑊𝐼𝑁
= 266000125000 = 2.13 
 
PROBLEMA 3.19 
 
En el diseño de edificios, el requerimiento de conservación de la energía dicta que el área de la 
superficie exterior, 𝐴𝑠, se minimice. Este requerimiento implica que, para un espacio de piso 
deseado, hay valores óptimos asociados con el número de pisos y con las dimensiones horizonta-
les del edificio. Considere un diseño para el que se establecen el espacio de piso, 𝐴𝑓, y la distancia 
vertical entre pisos, 𝐻𝑓 . 
(a) Si el edificio tiene una sección transversal cuadrada de ancho W en un lado, obtenga una 
expresión para el valor de W que minimice la pérdida de calor a los alrededores. La pérdida 
de calor se supone que ocurre de las cuatro paredes verticales y de un techo plano. Expre-
se sus resultados en términos de 𝐴𝑓 y 𝐻𝑓 . 
(b) Si 𝐴𝑓 = 32,768 m2 y 𝐻𝑓 = 4 m, ¿para qué valores de W y 𝑁𝑓 (número de pisos) se minimi-
za la pérdida de calor? Si el coeficiente global de transferencia de calor promedio es 
𝑈 = 1 𝑊 m2. 𝐾⁄ y la diferencia entre las temperaturas del aire ambiente interior y exterior 
es 25℃, ¿cuál es la pérdida de calor correspondiente? ¿Cuál es el porcentaje de reducción 
en pérdida de calor comparado con un edificio de 𝑁𝑓 = 2? 
 
SOLUCION 3.19 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 38 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suposiciones: 
a) Pérdida de calor insignificante en la base. 
Análisis: 
(a) Para minimizar el calor perdido (𝑞), la superficie exterior (𝐴𝑠) debe ser minimizado. De la 
figura: 
𝐴𝑠 = 𝑤2 + 4𝑤𝐻 = 𝑤2 + 4𝑤. 𝑁𝑓 . 𝐻𝑓 
Dónde: 𝑁𝑓 = 𝐴𝑓/𝑤2 
Por tanto: 
𝐴𝑠 = 𝑤2 + 4𝑤 �𝐴𝑓𝑤2� 𝐻𝑓 = 𝑤2 + 4 𝐴𝑓. 𝐻𝑓𝑤 
• Donde el valor óptimo de 𝑤 será correspondiente según: 
𝑑𝐴𝑠
𝑑𝑤
= 2𝑤 − 4𝐴𝑓. 𝐻𝑓
𝑤2
= 0 
→ 𝑤𝑜𝑝𝑡 = �2𝐴𝑓. 𝐻𝑓�1/3 
(b) Para 𝐴𝑓 = 32.768 m2 ∧ 𝐻𝑓 = 4 m2 
→ 𝑤𝑜𝑝𝑡 = (2 × 32.768 × 4)1/3 = 6.4 m 
→ 𝑁𝑓 = 𝐴𝑓𝑤2 = 32.768(6.4)2 = 0.8 
Para la pérdida: 
𝑞 = U. 𝐴𝑠. ∆𝑇 = (1). �(6.4)2 4(32.768)(4)6.4 � (25) 
𝑞 = 3072 𝑤 
• Para 𝑁𝑓 = 2 
→ 𝑤 = �𝐴𝑓
𝑁𝑓
�
1/2 = �32.7682 �1/2 = 4.04 m 
La pérdida de calor será: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 39 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞 = (1) �(4.04)2 + 4(32.768)(4)4.04 � (25) 
𝑞 = 3647.77 𝑤 
→ Porcentaje de reducción en 𝑞: 3647.77 − 30723647.77 = 15.8% 
 
PROBLEMA 3.20 
 
Una pared compuesta separa gases de combustión a 2600℃ de un líquido refrigerante a 100℃, 
con coeficientes de convección del lado de gas y del líquido de 50 y 1000 𝑊 m2. 𝐾⁄ . La pared se 
compone de una capa de óxido de berilio de 10 mm de espesor en el lado del gas y una placa de 
acero inoxidable (AISI 304) de 20 mm de grosor en el lado del líquido. La resistencia de contacto 
entre el óxido y el acero es 0.05 m2. 𝐾/𝑊. ¿Cuál es la pérdida de calor por área unitaria de super-
ficie del compuesto? Dibuje la distribución de temperaturas del gas al líquido. 
 
SOLUCION 3.20 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 40 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Suposiciones: 
a) Transferencia de calor en una dirección. 
b) Condición de estado estable. 
c) Efectos de radiación insignificantes. 
d) Propiedades constantes. 
Análisis: 
Para las propiedades: 
• de tabla A.1: 
Acero inoxidable (AISI 304) a 𝑇� = 1000 K se tiene: 
𝑘𝐵 = 25.4 𝑊 m⁄ . 𝐾 
• de tabla A.2: 
Oxido de Berilio: (𝑇� = 1500 K) 
𝑘𝐴 = 21.5 𝑊 m⁄ . 𝐾 
(a) para la pérdida de calor por unidad de área (𝑞″) 
𝑞″ = 𝑇∞,1 − 𝑇∞,21
ℎ1
+ 𝐿𝐴𝑘𝐴 + 𝑅𝑡𝑐 + 𝐿𝐵𝑘𝐵 + 1ℎ2 = 2600 − 100150 + 0.0121.5 + 0.051 + 0.0225.4 + 11000 = 34600 𝑊m2 
(b) para la distribución de temperatura, calculamos las temperaturas de superficie en: 
• 𝑇𝑠,1: 
𝑞″ = ℎ1�𝑇∞,1 − 𝑇𝑠,1� → 𝑇𝑠,1 = 𝑇∞,1 − 𝑞″ℎ1 = 2600 − 3460050 = 1908℃ 
• 𝑇𝑐,1: 
𝑞″ = 𝑘𝐴 �𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑐,1𝐿𝐴 � → 𝑇𝑐,1 = 𝑇𝑠,1 − 𝐿𝐴. 𝑞″𝑘𝐴 = 1908 − (0.01)(34600)21.5 = 1892℃ 
• 𝑇𝑐,2: 
𝑞″ = �𝑇𝑐,1 − 𝑇𝑐,2
𝑅𝑡,𝑐 � → 𝑇𝑐,2 = 𝑇𝑐,1 − 𝑅𝑡,𝑐. 𝑞″ = 1892 − (0.05)(34600) = 162℃ 
• 𝑇𝑠,2: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 41 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞″ = 𝑘𝐵 �𝑇𝑐,2 − 𝑇𝑠,2𝐿𝐵 � → 𝑇𝑠,2 = 𝑇𝑐,2 − 𝐿𝐵. 𝑞″𝑘𝐵 = 162 − 0.02(34600)25.4 = 134.6℃ 
→ La distribución será: 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 3.21 
 
Dos placas de acero inoxidable de 10 mm de espesor están sujetas a una presión de contacto de 1 
bar bajo condiciones de vacío para las que hay una caída general de temperatura de 100℃ a lo 
largo de las placas. ¿Cuál es la caída de temperatura a través del plano de contacto? 
 
SOLUCION 3.21 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Transferencia de calor unidimensional. 
b) Condición de estado estable. 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 42 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
c) Propiedades constantes. 
Análisis: 
Para el acero inoxidable: (𝑇� ≈ 400 K) : 𝑘 = 16.6 𝑊 m⁄ . 𝐾 Tabla A.1 
• Para 1 bar, de la tabla 3.1, para acero inoxidable obtenemos: 
𝑅𝑡𝑐
″ = 15 × 10−4 m2. 𝐾/𝑊Además: 
𝐿
𝑘
= 0.0116.6 = 6.02 × 10−4m2. 𝐾/𝑊 
→ 𝑅tot″ = 2 �𝐿𝑘� + 𝑅𝑡𝑐″ = 27 × 10−4m2. 𝐾/𝑊 (Resistencia total de contacto) 
Para el flujo de calor (𝑞″) 
𝑞″ = ∆𝑇
𝑅tot
″ = 100℃27 × 10−4m2. 𝐾/𝑊 = 3.70 × 10−4 𝑊/m2 
• Del circuito térmico (figura superior) 
𝑅𝑡𝑐
″
𝑅tot
″ = ∆𝑇𝐶𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 = 15 × 10−4m2. 𝐾/𝑊27 × 10−4m2. 𝐾/𝑊 = 0.556 
→ Por tanto: 
∆𝑇𝐶 = 0.556�𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2� = 0.556(100℃) = 55.6℃ 
 
PROBLEMA 3.22 
 
Considere una pared plana compuesta integrada por dos materiales de conductividades térmicas 
𝑘𝐴 = 0.1 𝑊 m. 𝐾⁄ y 𝑘𝐵 = 0.04 𝑊 m. 𝐾⁄ y espesores 𝐿𝐴 = 10 mm y 𝐿𝐵 = 20 mm. Se sabe que la 
resistencia de contacto en la interfaz entre los dos materiales es 0.30 m2. 𝐾/𝑊. El material A está 
al lado de un fluido a 200℃ para el que ℎ = 10 𝑊 m2. 𝐾⁄ , y el material B a un fluido a 40℃ para el 
que ℎ = 20 𝑊 m2. 𝐾⁄ . 
(a) ¿Cuál es la transferencia de calor a través de una pared que tiene 2 m de altura por 2.5 m 
de ancho? 
(b) Dibuje la distribución de temperaturas. 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 43 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
SOLUCION 3.22 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable 
b) Transferencia de calor unidimensional 
c) Propiedades constantes. 
Análisis: 
(a) Según 𝐻 = 2 m ∧ 𝑤 = 2.5 m ⇒ A = 5 m2 
Para la resistencia total: 
𝑅tot = 1ℎ1𝐴 + 𝐿𝐴𝑘𝐴𝐴 + 𝑅𝑡𝑐″𝐴 + 𝐿𝐵𝑘𝐵𝐴 + 1ℎ2𝐴 
𝑅tot = � 110 × 5 + 0.010.1 × 5 + 0.35 + 0.020.04 × 5 + 120 × 5� 𝑘𝑤 = 0.21 𝐾/𝑊 
Transferencia de calor: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 44 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
→ 𝑞 = 𝑇∞,1 − 𝑇∞,2
𝑅tot
= 200 − 4000.21 = 762𝑤 
(b) Para la distribución de temperaturas: ( como el problema 3.20) 
∗ 𝑇𝑠,1 = 𝑇∞,1 − 𝑞ℎ1. 𝐴 = 200 − 76210 × 5 = 184.8℃ 
∗ 𝑇𝐴 = 𝑇𝑠,1 − 𝑞. 𝐿𝐴𝑘𝐴. 𝐴 = 184.8 − (762)(0.01)(0.1)(5) = 169.6℃ 
∗ 𝑇𝐵 = 𝑇𝐴 − 𝑞. 𝑅𝑡𝑐″𝐴 = 169.6℃ − (762). (0.3)5 = 123.8℃ 
∗ 𝑇𝑠,2 = 𝑇𝐵 − 𝑞. 𝐿𝐵𝑘𝐵. 𝐴 = 123.8 − (762)(0.02)(0.04)(5) = 47.6℃ 
Se obtiene: 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 3.23 
El rendimiento de los motores de turbinas de gas se mejora aumentando la tolerancia de las hojas 
de las turbinas a los gases calientes que salen del combustor. Un método para lograr altas tempe-
raturas de operación implica la aplicación de un revestimiento de barrera térmica (TBC) para la 
superficie externa de una hoja, mientras pasa aire de enfriamiento a través de la hoja. Por lo co-
mún, la hoja está fabricada de una superaleación de alta temperatura, como Inconel (𝑘 ≈25 𝑊 m. 𝐾⁄ ), mientras una cerámica, como circonia (𝑘 ≈ 1.3 𝑊 m. 𝐾⁄ ), se usa como revestimien-
to de barra térmica TBC. 
 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 45 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Considere condiciones para las que gases caliente a 𝑇∞,0 = 1700 K y aire de enfriamiento a 
𝑇∞,𝑖 = 400 K proporcionana coeficientes de convección de la superficie externa e interna de 
ℎ0 = 1000 𝑊 m2. 𝐾⁄ y ℎ𝑖 = 500 𝑊 m2. 𝐾⁄ , respectivamente. Si un TBC de circonio de 0.5 mm de 
espesor se une a la pares de una hoja de inconel de 5 mm de espesor por medio de un agente de 
unión metálico, que proporciona una resistencia térmica entre las interfaces de 𝑅𝑡,𝑐″ =10−4m2. 𝐾/𝑊, ¿es posible mantener el Inconel a una temperatura que esté por debajo de su va-
lor máximo permisible de 12500 K? Deje de lado los efectos de radiación, y aproxime la hoja de la 
turbina como una pared plana. Elabore una gráfica de la distribución de temperaturas con y sin el 
TBC. ¿Existe algún límite al espesor de TBC? 
 
SOLUCION 3.23 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) Transferencia de calor en una sola dirección. 
c) Radiación insignificante. 
Análisis: 
Calculamos la resistencia total por unidad de área: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 46 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑅tot
″ = 1
ℎ0
+ 𝐿𝑧𝑟
𝑘𝑧𝑟
+ 𝑅tc″ + 𝐿𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛 + 1ℎ𝑖 = 11000 + 0.5 × 10−31.3 + 10−4 + 5 × 10−325 + 1500= 3.69 × 10−3m2.𝐾
𝑊
 
→ Para el flujo de calor (𝑞″): 
𝑞″ = 𝑇∞,0 − 𝑇∞,𝑖
𝑅tot
″ = 13003.69 × 10−3 = 3.52 × 105𝑊/m2 
• Para las temperaturas de superficie interior y exterior del inconel: (𝑇𝐴 ∧ 𝑇𝐵) 
𝑇𝐵 = 𝑇∞,𝑖 + 𝑞″ℎ𝑖 = 400 + 3.52 × 105500 = 1104 K 
𝑇𝐴 = 𝑇∞,𝑖 + 𝑞″ � 1ℎ𝑖 + 𝐿𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛� = 400 + 3.52 × 105 � 1500 + 5 × 10−325 � = 1174 K 
• Sin el TBC; la resistencia por unidad de área, sería: 
𝑅tot
″ = 1
ℎ0
+ 𝐿𝑖𝑛
𝑘𝑖𝑛
+ 1
ℎ𝑖
= 3.2 × 10−3m2.𝐾
𝑊
 
(Flujo de calor 𝑞″): 
𝑞″ = 𝑇∞,0 − 𝑇∞,𝑖
𝑅tot
″ = 4.06 × 105 𝑊/m2 
Por tanto: 
𝑇𝐵 = 𝑇∞,𝑖 + 𝑞″ℎ𝑖 = 400 + 4.06 × 105500 = 1212 K 
𝑇𝐴 = 𝑇∞,𝑖 + 𝑞″ � 1ℎ𝑖 + 𝐿𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛� = 400 + 4.06 × 105 � 1500 + 5 × 10−325 � = 1293 K 
→ Distribución de temperaturas: 
 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 47 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Además con la ayuda de la unión del TBC de zirconio es posible mantener al inconel bajo su valor 
de temperatura máximo permisible de 1250 K 
 
PROBLEMA 3.24 
 
Un chip de silicio se encapsula de modo que, bajo condiciones de estado estable. La totalidad de la 
potencia que se disipa se transfiere por convección a una corriente de fluido para el que 
ℎ = 1000 𝑊 m2. 𝐾⁄ y 𝑇∞ = 25℃. El chip se separa del fluido mediante una cubierta de placa de 
aluminio de 2 mm de espesor, y la resistencia de contacto de la interfaz chip/aluminio es 0.5 × 10−4m2. 𝐾/𝑊. 
 
 
 
 
 
Si el área de la superficie del chip es 100 mm2 y la temperatura máxima permisible es 85℃, ¿cuál 
es la disipación de potencia máxima permisible en el chip? 
 
SOLUCION 3.24 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 48 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
b) Transferencia de calor en una dirección. 
c) Chip isotérmico. 
Análisis: 
• Para el aluminio: (𝑇 ≈ 325 K) → 𝑘Al = 238 𝑊 m⁄ . 𝐾 
• Para una superficie de control en el chip, la conservación de energía será: 
�̇�𝑔 − �̇�𝑂𝑈𝑇 = 0 
→ 𝑃𝑐 −
𝑇𝑐 − 𝑇∞
�
𝐿
𝑘Al
+ 𝑅𝑡𝑐″ + 1ℎ� 1𝐴 = 0 
→ 𝑃𝑐𝑚𝑎𝑥 = 𝑇𝑐𝑚𝑎𝑥 − 𝑇∞
�
𝐿
𝑘Al
+ 𝑅𝑡𝑐″ + 1ℎ� 1𝐴 = (85 − 25)�0.002238 + 0.5 × 10−4 + 11000� 110−4 
𝑃𝑐𝑚𝑎𝑥 = 5.67 𝑊 
La cual es la disipación de potencia máxima permisible en el chip. 
 
PROBLEMA 3.25 
 
Aproximadamente 106 componentes eléctricos discretos se colocan en un solo circuito integrado 
(chip), con disipación de calor eléctrico tan alta como 30,000 𝑊 m2⁄ . El chip, que es muy delgado, 
se expone a un líquido dieléctrico en la superficie externa, con ℎ0 = 1000 𝑊 m2⁄ . 𝐾 y 𝑇∞,0 =
20℃, y se une a una tarjeta de circuitos en la superficie interior. La resistencia térmica de contacto 
entre el chip y la tarjeta es 10−4m2. 𝐾/𝑊, y el espesor y conductividad térmica de la tarjeta son 
𝐿𝑏 = mm y 𝑘𝑏 = 1 𝑊 m⁄ . 𝐾, respectivamente. LA otrasuperficie de la tarjeta se expone al aire 
del ambiente para el que ℎ𝑖 = 40 𝑊 m2⁄ . 𝐾 y 𝑇∞,𝑖 = 20℃. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 49 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
(a) Dibuje le circuito térmico equivalente que corresponde a las condiciones de estado estable. 
En forma de variable etiquete las resistencias, temperaturas y flujos de calor apropiados. 
(b) En condiciones de estado estable para las que la disipación de calor del chip es 𝑞𝑐″ =30,000 𝑊 m2⁄ , ¿cuál es la temperatura del chip? 
(c) El flujo de calor permisible máximo, 𝑞𝑐″, se determina mediante la restricción de que la 
temperatura del chip no debe exceder 85℃. Determine 𝑞𝑐,𝑚″ para las condiciones preceden-
tes. Si se usa aire en lugar del líquido dieléctrico, el coeficiente de convección se reduce en 
aproximadamente un orden de magnitud. ¿Cuál es el valor de 𝑞𝑐,𝑚″ para 
ℎ0 = 100 𝑊 m2⁄ . 𝐾? Con enfriamiento de aire, ¿es posible obtener mejoras significativas 
con una tarjeta de circuitos de óxido de aluminio y/o mediante una pasta conductora en la 
interfaz chip/tarjeta para la que 𝑇𝑡,𝑐″ = 10−5m2. 𝐾/𝑊? 
 
SOLUCION 3.25 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional. 
c) Resistencia térmica insignificante por parte del chip. 
d) Propiedades constantes. 
Análisis: 
(a) Circuito térmico: 𝑞0″: Flujo de calor entrada 
 
 
 
(b) Aplicando la conservación de energía en la superficie de contacto sobre el chip: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 50 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
�̇�𝐼𝑁 − �̇�𝑂𝑈𝑇 = 0 
→ 𝑞𝑐″ − 𝑞𝑖″ − 𝑞0″ = 0 
→ 𝑞𝑐″ = 𝑇𝑐 − 𝑇∞,𝑖1
ℎ𝑖
+ 𝑅𝑡𝑐″ + 𝐿𝑏𝑘𝑏 + 𝑇𝑐 − 𝑇∞,0 1ℎ0 
Reemplazando valores: además: 
𝑞𝑐
″ = 3 × 104 𝑊 m2⁄ , ℎ0 = 1000 𝑊 m2⁄ . 𝐾 , 𝑘𝑏 = 1 𝑊 m⁄ . 𝐾 
𝑅𝑡𝑐
″ = 10−4 m2. 𝐾/𝑊2 
→ 3 × 104 = 𝑇𝑐 − 20
�
140 + 0.0051 + 10−4� + 𝑇𝑐 − 2011000 3 × 104 = (33.2𝑇𝑐 − 664 + 1000𝑇𝑐 − 20000) 
→ 𝑇𝑐 = 49.03℃ 
(c) Para hallar el flujo de calor permisible máximo (𝑞𝑐″) con la temperatura 𝑇𝑐 = 85℃ 
- Para las condiciones precedentes: 
𝑞𝑐,𝑚″ = 85 − 20140 + 0.0051 + 10−4 + 85 − 201000−1 
𝑞𝑐,𝑚″ = 67159.4 𝑊/m2 
• Para el cálculo de 𝑞𝑐,𝑚″ , para ℎ0 = 100 𝑊 m2. 𝐾⁄ (Enfriamiento con aire) ˄ 𝑇𝑐 = 85℃ 
De la ecuación: 
𝑞𝑐,𝑚″ = 𝑇𝑐 − 𝑇∞,𝑖1
ℎ𝑖 + 𝐿𝑏𝑘𝑏 + 𝑅𝑡𝑐″ + 𝑇𝑐 − 𝑇∞,0 ℎ0−1 
→ Para tarjeta normal: (𝑘𝑏 = 1 𝑊 m⁄ . 𝐾) 
𝑞𝑐,𝑚″ = 85 − 2040−1 + 0.0051 + 𝑅𝑡𝑐″ + 85 − 20100−1 = 650.03 + 𝑅𝑡𝑐″ + 6500 
→ Para tarjeta oxido de aluminio, de tabla A.3 
Oxido de aluminio (Policristalino) 𝑘𝑏 = 32.4 𝑊 m⁄ . 𝐾 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 51 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
→ 𝑞𝑐,𝑚″ = 85 − 2040−1 + 0.00532.4 + 𝑅𝑡𝑐″ + 6500 
• Para valores de 𝑅𝑡𝑐″ = 10−4˄ 10−5 
Se ve en la tabla: 
Tarjeta 𝑘𝑏( 𝑊m.K) 𝑅𝑡𝑐″ (m2. 𝐾 𝑊⁄ ) 𝑞𝑐″(𝑊 m2⁄ ) 
Tarjeta normal 1 
10−4 8659 10−5 8666 
Tarjeta oxido 
de Aluminio 
32.4 
10−4 9074 10−5 9083 
 
 
PROBLEMA 3.26 
 
El diagrama muestra una sección cónica construida de aluminio puro. Es de sección transversal 
circular con un diámetro 𝐷 = 𝑎𝑥1/2, donde 𝑎 = 0.5 m1/2. El extremo pequeño se localiza en 
𝑥1 = 25 mm y el grande en 𝑥2 = 125 mm. Las temperaturas de los extremos son 𝑇1 =600 K y 𝑇2 = 400 K, mientras que la superficie lateral está bien aislada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 52 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
(a) Derive una expresión para la distribución de temperaturas 𝑇(𝑥) en forma simbólica, supo-
niendo condiciones unidimensionales. Dibuje la distribución de temperaturas. 
(b) Calcule la transferencia de calor 𝑞𝑥. 
 
SOLUCION 3.26 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) Conducción unidimensional. 
c) No hay generación de energía interna. 
Análisis: 
(a) Para el flujo de calor: 
𝑞𝑥
″ = 𝑞𝑥
𝐴
= −𝑘. 𝑑𝑇
𝑑𝑥
 → 𝑞𝑥 = −𝑘. 𝐴 𝑑𝑇𝑑𝑥 = −𝑘
⎝
⎛
𝜋 �𝑎𝑥
1
2�
2
4
⎠
⎞ . 𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
→ 𝑞𝑥
″ = − 𝑘4 . 𝜋. 𝑎2𝑥 𝑑𝑇𝑑𝑥 … … … . . (1) 
→ 4. 𝑞𝑥
𝜋. 𝑎2 . 𝑘 . � 𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥1 = − � 𝑑𝑇𝑇𝑇1 
→ 𝑇(𝑥) = 𝑇1 − 4. 𝑞𝑥𝜋. 𝑎2. 𝑘 . ln � 𝑥𝑥1� … … … (2) 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 53 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Para: 
𝑇(𝑥2) = 𝑇2 = 𝑇1 − 4. 𝑞𝑥𝜋. 𝑎2. 𝑘 . ln �𝑥2𝑥1� → 𝑞𝑥 = − 𝜋4 𝑎2. 𝑘 (𝑇1 − 𝑇2)ln(𝑥1 𝑥2⁄ ) … … … … . (3) 
(3) en (1): 
𝑇(𝑥) = 𝑇1 + (𝑇1 − 𝑇2) ln(𝑥 𝑥1⁄ )ln(𝑥2 𝑥1⁄ ) 
Gráfica: 
 
 
 
 
 
 
(b) Para el cálculo de la transferencia de calor (𝑞𝑥): en (3) , Además: 𝐾𝐴𝑢 = 236 𝑊 m. K⁄ (Ta-
bla A-2) 
𝑞𝑥 = − 𝜋4 . 𝑎2. 𝑘 (𝑇1 − 𝑇2)ln(𝑥1 𝑥2⁄ ) = − 𝜋4 . (0.5)2. (236). (600 − 400)ln(25/125) 
→ 𝑞𝑥 = 5755 𝑊 
 
PROBLEMA 3.27 
 
Un cono truncado sólido tiene sección transversal circular, y su diámetro está relacionado con la 
coordenada axial mediante una expresión de la forma 𝐷 = 𝑎𝑥3/2, donde 𝑎 = 1.0 m−1/2. 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 54 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los lados están bien aislados, mientras la superficie superior del cono en 𝑥1 se mantiene a 𝑇1, y la 
superficie inferior en 𝑥2 se conserva a 𝑇2. 
(a) Obtenga una expresión para la distribución de temperaturas 𝑇(𝑥). 
(b) ¿Cuál es la transferencia de calor a través del cono si se construye de aluminio puro con 
𝑥1 = 0.075 m, 𝑇1 = 100℃, 𝑥2 = 0.225 m y 𝑇2 = 20℃? 
 
SOLUCION 3.27 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) Conducción unidimensional en 𝑥. 
c) Propiedades constantes. 
Análisis: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 55 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
(a) Según la ley de Fourier, donde 𝑞𝑥 es la transferencia de calor: 
𝑞𝑥
″ = 𝑞𝑥
𝐴
= −𝑘 𝑑𝑇
𝑑𝑥
 → 𝑞𝑥 = −𝑘. 𝐴. 𝑑𝑇𝑑𝑥 = −𝑘 �𝜋4 �𝑎𝑥3/2�2� . 𝑑𝑇𝑑𝑥 
→ 4𝑞𝑥
𝜋𝑎2
. 𝑑𝑥
𝑥3
= −𝑘. 𝑑𝑇 
→ 4𝑞𝑥
𝜋𝑎2
. � 𝑑𝑥
𝑥3
𝑥
𝑥1
= −𝑘. � 𝑑𝑇𝑇
𝑇1
 → 4𝑞𝑥
𝜋𝑎2
. �− 12𝑥2�𝑥1𝑥 = −𝑘(𝑇 − 𝑇1) 
Por tanto: 
𝑇(𝑥) = 𝑇1 + 2𝑞𝑥𝜋. 𝑎2. 𝑘 . � 1𝑥2 − 1𝑥12� 
Dónde 𝑞𝑥 (transferencia de calor) es independiente de 𝑥. 
(b) Para valores: 
𝑇(𝑥2) = 𝑇2 = 𝑇1 + 2𝑞𝑥𝜋. 𝑎2 . 𝑘 � 1𝑥22 − 1𝑥12� 
→ 𝑞𝑥 = 𝜋. 𝑎2. 𝑘2 . 𝑇2 − 𝑇1𝑥2−2 − 𝑥1−2 = 𝜋(1)2(238)2 . 20 − 100(0.225)−2 − (0.075)−2 
𝑞𝑥 = 189.2 𝑊 
Dónde 𝑘 = 238 𝑊 m⁄ . 𝐾, para Aluminio puro, Tabla A-1 (𝑇 = 333 K) 
 
PROBLEMA 3.28 
 
De la figura 2.5 es evidente que, en un amplio rango de temperaturas, la dependencia con respec-
to a la temperatura de la conductividad térmica de muchos sólidos se aproxima mediante una ex-
presión lineal de l forma 𝑘 = 𝑘0 + 𝑎𝑇, donde 𝑘0 es una constante positiva y 𝑎 es un coeficiente 
que puede ser positivo onegativo. Obtenga una expresión para el flujo de calor a través de una 
pared plana cuyas superficies interna y externa se mantienen a 𝑇0 y 𝑇1, respectivamente. Dibuje 
las formas de la distribución de temperaturas correspondientes a 𝑎 > 0, 𝑎 = 0 y 𝑎 < 0. 
 
SOLUCION 3.28 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 56 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Conducción unidimensional. 
b) Condición de estado estable. 
c) No hay generación de energía interna. 
Análisis: 
Según la ley de Fourier, para el flujo de calor (𝑞𝑥″): 
𝑞𝑥
″ = −𝑘 𝑑𝑇
𝑑𝑥
 → 𝑞𝑥″ = −(𝑘0 + 𝑎𝑇) 𝑑𝑇𝑑𝑥 … … … . (1) 
→ 𝑞𝑥″. 𝑑𝑥 = −𝑘𝑑𝑇 
𝑞𝑥
″. � 𝑑𝑥𝐿
0
= − � (𝑘0 + 𝑎𝑇)𝑑𝑇𝑇1
𝑇0
 → 𝑞𝑥″ = 1𝐿 �𝑘0(𝑇0 − 𝑇1) + 𝑎2 �𝑇02 − 𝑇12�� 
Cómo se tiene que 𝑞𝑥″ es constante entonces de (1) se obtiene que: (𝑘0 + 𝑎𝑇). 𝑑𝑇𝑑𝑥 = cte 
→ Disminuyendo 𝑇 con el aumento de 𝑥, implica que: 
• 𝑎 > 0: 
Disminuye (𝑘0 + 𝑎𝑇) y aumenta 𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ con un aumento de 𝑥. 
• 𝑎 = 0: 
𝑘 = 𝑘0 → 𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ = constante. 
• 𝑎 < 0: 
Aumenta (𝑘0 + 𝑎𝑇) y disminuye 𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ con un aumento de 𝑥. 
Para estos casos la distribución de temperaturas será: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 57 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 3.29 
 
Considere la pared de un tubo de radios interno y externo 𝑟𝑖 y 𝑟0, respectivamente. La conductivi-
dad térmica del cilindro depende de la temperatura y se representa mediante una expresión de la 
forma 𝑘 = 𝑘0(1 + 𝛼𝑇), donde 𝑘0 y 𝛼 son constantes. Obtenga una expresión para la transferencia 
de calor por unidad de longitud del tubo. ¿Cuál es la resistencia térmica de la pared del tubo? 
 
SOLUCION 3.29 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) Conducción unidimensional (dirección radial). 
c) No hay generación de energía. 
Análisis: 
La ley de Fourier, para dirección radial (Ecu. 3.24): 
𝑞𝑟 = −𝑘. 𝐴𝑟 . 𝑑𝑇𝑑𝑟 = −𝑘. (2𝜋𝑟𝐿) 𝑑𝑇𝑑𝑟 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 58 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor (𝑞𝑟 𝐿⁄ ) = −2𝜋𝑟. 𝑘 𝑑𝑇𝑑𝑟 
Dónde (𝑞𝑟 𝐿⁄ ): Transferencia de calor por unidad de longitud. (𝑞𝑟 𝐿⁄ ) = −2𝜋𝑟. 𝑘0(1 + 𝑎𝑇) 𝑑𝑇𝑑𝑟 
→ −(𝑞𝑟 𝐿⁄ )2𝜋 . 𝑑𝑟𝑟 = 𝑘0(1 + 𝑎𝑇)𝑑𝑇 
Para la integración: 
−
(𝑞𝑟 𝐿⁄ )2𝜋 � 𝑑𝑟𝑟𝑟0𝑟𝑖 = 𝑘0 � (1 + 𝑎𝑇)𝑑𝑇𝑇0𝑇𝑖 
−
(𝑞𝑟 𝐿⁄ )2𝜋 ln(𝑟0 𝑟𝑖⁄ ) = 𝑘0 �𝑇 + 𝑎𝑇22 �
𝑇𝑖
𝑇0 = 𝑘0 �(𝑇0 − 𝑇𝑖) + 𝑎2 �𝑇02 − 𝑇𝑖2�� 
→ (𝑞𝑟 𝐿⁄ ) = −2𝜋𝑘0 �1 + 𝑎2 (𝑇0 − 𝑇𝑖)� . 𝑇0 − 𝑇𝑖ln(𝑟0 𝑟𝑖⁄ ) 
Para la resistencia térmica de la pared: 
𝑅tot = ∆𝑇(𝑞𝑟 𝐿⁄ ). 𝐿 = (𝑇0 − 𝑇𝑖)2𝜋. 𝑘0. 𝐿 �1 + 𝑎2 (𝑇0 − 𝑇𝑖)� . 𝑇0 − 𝑇𝑖ln(𝑟0 𝑟𝑖⁄ ) 
𝑅t = ln(𝑟0 𝑟𝑖⁄ )2𝜋. 𝑘0. 𝐿. �1 + 𝑎2 (𝑇0 − 𝑇𝑖)� 
 
PROBLEMA 3.30 
 
Ciertas mediciones muestran que la conducción de estado estable a través de una pared plana sin 
generación de calor produjeron una distribución de temperaturas convexa tal que la temperatura 
del punto medio fue ∆𝑇0 más alta que la esperada para una distribución lineal de temperaturas. 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 59 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponiendo que la conductividad térmica tiene una dependencia lineal de la temperatura, 
𝑘 = 𝑘0(1 + 𝛼𝑇), donde 𝛼 es una constante, desarrolle una relación para evaluar 𝛼 en términos de 
∆𝑇0, 𝑇1 y 𝑇2. 
 
SOLUCION 3.30 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) Conducción unidimensional. 
c) No hay generación de energía interna. 
Análisis: 
Para cualquier ubicación en la pared; según la ley de Fourier: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 60 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞𝑥
″ = −𝑘0(1 + 𝛼𝑇) 𝑑𝑇𝑑𝑥 
Donde 𝑞𝑥″ (flujo de calor) es constante. 
⇒ 𝑞𝑥″. 𝑑𝑥 = −𝑘0(1 + 𝛼𝑇)𝑑𝑇 … … … … (1) 
𝑞𝑥
″ � 𝑑𝑥
𝐿
0
= −𝑘0 � (1 + 𝛼𝑇)𝑑𝑇𝑇2
𝑇1
… … … . (2) 
𝑞𝑥
″ = − 𝑘0
𝐿
��𝑇2 + 𝛼𝑇222 � − �𝑇1 + 𝛼𝑇122 �� … … . (3) 
• Realizando la misma integración, pero hasta 𝐿/2, se obtiene: 
𝑞𝑥
″ = −2𝑘0
𝐿
��𝑇𝐿/2 + 𝛼𝑇𝐿/222 � − �𝑇1 + 𝛼 𝑇122 �� … … … . (4) 
Dónde: 
𝑇𝐿/2 = 𝑇1 + 𝑇22 + ∆𝑇0 … … … (5) 
→ Igualando (3) ˄ (4): 
�𝑇2 + 𝛼𝑇222 � − �𝑇1 + 𝛼𝑇122 � = 2 �𝑇𝐿/2 + 𝛼𝑇𝐿/222 � − 2 �𝑇1 + 𝛼𝑇122 � 
→ 𝑇2 + 𝛼𝑇222 = 2𝑇𝐿/2 + 𝛼𝑇𝐿/22 − 𝑇1 − 𝛼𝑇122 
Reemplazando (5): 
𝑇2 + 𝛼𝑇222 = (𝑇1 + 𝑇2) + 2∆𝑇0 + 𝛼 �𝑇1 + 𝑇22 + ∆𝑇0�2 − 𝑇1 − 𝛼𝑇122 
→ 𝛼 = 2∆𝑇0
�𝑇2
2 − 𝑇1
2�2 − �𝑇1 + 𝑇22 + ∆𝑇0�2 
 
PROBLEMA 3.31 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 61 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Use el método de análisis de conducción alternativo para derivar la expresión de la resistencia 
térmica de un cilindro hueco de conductividad térmica 𝑘, radios interno y externo 𝑟1 y 𝑟0, respec-
tivamente, y longitud 𝐿. 
 
SOLUCION 3.31 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Condición de estado estable. 
b) Conducción unidimensional radial. 
c) No hay generación de energía interna. 
Análisis: 
Para el diferencial de volumen (volumen de control), la energía se conserva: 
𝑞𝑟 = 𝑞𝑟+𝑑𝑟 
Según la ley de Fourier: 
𝑞𝑟 = −𝑘. 𝐴. 𝑑𝑇𝑑𝑟 = −𝑘. (2𝜋𝑟. 𝐿) 𝑑𝑇𝑑𝑟 
Tomando a 𝑞𝑟 como constante: 
→ 𝑞𝑟2𝜋. 𝐿 � 𝑑𝑟𝑟𝑟0𝑟𝑖 = − � 𝑘(𝑇)𝑑𝑇𝑇0𝑇𝑖 
Como 𝑘(𝑇) = 𝑘 
→ 𝑞𝑟 = 2𝜋. 𝐿. 𝑘(𝑇𝑖 − 𝑇0)ln(𝑟0 𝑟𝑖⁄ ) 
Para la resistencia térmica: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 62 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑅t = ∆𝑇𝑞 
→ 𝑅t = (𝑇𝑖 − 𝑇0)2𝜋. 𝐿. 𝑘 . (𝑇𝑖 − 𝑇0)ln(𝑟0 𝑟𝑖⁄ ) = ln
(𝑟0 𝑟𝑖⁄ )2𝜋. 𝐿. 𝑘 
 
PROBLEMA 3.32 
 
Una tubería de vapor de 0.12 m de diámetro exterior se aísla con una capa de silicato de calcio. 
(a) Si el aislante tiene 20 mm de espesor y las superficies interna y externa se mantienen a 
𝑇𝑠,1 = 800 K y 𝑇𝑠,2 = 490 K, respectivamente, ¿cuál es la pérdida de calor por unidad de 
longitud (𝑞′) de la tubería? 
(b) Deseamos explorar el efecto del espesor de aislante sobre la pérdida de calor 𝑞′ y la tem-
peratura de la superficie interna fija a 𝑇𝑠,1 = 800 K. La superficie externa se expone a un 
flujo de aire (𝑇∞ = 25℃) que mantiene un coeficiente de convección de ℎ = 25 𝑊 m2⁄ . 𝐾 
y a grandes alrededores para los que 𝑇𝑎𝑖𝑟 = 𝑇∞ = 25℃. La emisividad de la superficie de 
silicato de calcio es aproximadamente 0.8. Calcule y dibuje la distribución de temperaturas 
en el aislante como función de la coordenada radial adimensional (𝑟 − 𝑟1)/(𝑟2 − 𝑟1), don-
de 𝑟1 = 0.06 m y 𝑟2 es una variable (0.06 < 𝑟2 ≤ 0.20 m). Calcule y dibuje la pérdida de 
calor como función del espesor del aislante para 0 ≤ (𝑟2 − 𝑟1) ≤ 0.14 m. 
 
SOLUCION 3.32 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
 
 
Web site: www.qukteach.come-mail: consultas@qukteach.com Pág. 63 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
a) Condición de estado estable. 
b) Conducción unidimensional radial. 
c) Propiedades constantes. 
Análisis: 
De tabla A-3: Silicato de calcio: 𝑘 = 0.089 𝑊 m⁄ . 𝐾 (𝑇 = 645 K) 
(a) De la ecuación 3.27: 
𝑞′ = 𝑞𝑟 = 2𝜋. 𝐿. 𝑘�𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2�ln(𝑟2/𝑟1) … … … . . (1) 
Pérdida de calor por unidad de longitud para: 𝑟2 = 0.08 m 𝑇𝑠,2 = 490 k 
→ 𝑞′ = 𝑞𝑟 𝐿⁄ = 2𝜋. 𝐿. 𝑘�𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2�ln(𝑟2/𝑟1) = 2. 𝜋. (0.089)(800 − 490)ln(0.08/0.06) 
→ 𝑞𝑟 𝐿⁄ = 602.2 𝑊 
(b) Para la superficie exterior (superficie de control) del balance energético se tiene: (por uni-
dad de longitud). 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑
′ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣′ + 𝑞𝑟𝑎𝑑′ 
→ 𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2ln(𝑟2/𝑟1)2𝜋. 𝑘 = 𝑇𝑠,2 − 𝑇∞12𝜋. 𝑟2ℎ + 𝑇𝑠,2 − 𝑇∞12𝜋. 𝑟2ℎ𝑟 
 
 
 
 
 
 
Dónde: ℎ𝑟 = 𝜀. 𝜎. �𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑎𝑖𝑟��𝑇𝑠,22 − 𝑇𝑎𝑖𝑟�, por tanto la pérdida de calor será: 
𝑞′ = 2𝜋𝑟2�ℎ�𝑇𝑠,2 − 𝑇∞� + ℎ𝑟�𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑎𝑖𝑟�� … … . (2) 
• Para distribución de 𝑇(𝑟), de la ecuación 3.26: 
𝑇(𝑟) = 𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2ln(𝑟1/𝑟2) ln � 𝑟𝑟2� + 𝑇𝑠,2 … … . (3) 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 64 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
r2 (m) r2-r1 (m) Ts2(K) q' (W/m)
0.06001 1E-05 796.59 11436.46
0.08 0.02 353.19 868.08
0.10 0.04 325.12 519.59
0.12 0.06 315.16 390.95
0.14 0.08 310.21 323.09
0.16 0.1 307.30 280.76
0.18 0.12 305.42 251.62
0.20 0.14 304.12 230.20
De (1): 
𝑇𝑠,2 = 𝑇𝑠,1 − 𝑞′ ln(𝑟2 𝑟1⁄ )2𝜋. 𝑘 … … (4) 
De (2) y (4): 
𝑇𝑠,2 = 𝑇𝑠,1 − �ln(𝑟2/𝑟1)2𝜋. 𝑘 .2𝜋𝑟2�ℎ�𝑇𝑠,2 − 𝑇∞� + ℎ𝑟�𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑎𝑖𝑟�� � 
Ecuación de donde se obtiene 𝑇𝑠,2 
�25 ∙ �𝑇𝐬,𝟐 − 298� + 0,8 ∙ 5,67 ∙ 10−8 ∙ �𝑇𝐬,𝟐 4 − 2984�� ∙ r2 + 0,089 ∙ �𝑇𝐬,𝟐 − 800�ln �r2 0,06� � = 0 
Cálculo del calor perdido en función del 𝑇𝑠,2: q′ = 2 ∙ π ∙ 0,089 ∙ �800 − 𝑇s,2�ln �𝑟2/0,06� 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 65 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
r (m) (r-r1)/(r2-r1) Tr (K)
0.06 0 800
0.064 0.1 740.002906
0.068 0.2 683.644299
0.072 0.3 630.507992
0.076 0.4 580.245356
0.08 0.5 532.561453
0.084 0.6 487.20454
0.088 0.7 443.958031
0.092 0.8 402.634237
0.096 0.9 363.069445
0.1 1 325.12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para la distribución de temperatura: 
𝑇(𝑟) = (800 − 𝑇𝑠2)ln (𝑟1𝑟2) ∙ 𝑙𝑛 � 𝑟𝑟2� + 𝑇𝑠,2 
Para: 𝑟2(m) = 0.1 , 𝑇𝑠,2(k) = 325.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para: 𝑟2(m) = 0.14 , 𝑇𝑠,2(k) = 310.21 
 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 66 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
r (m) (r-r1)/(r2-r1) Tr (K)
0.06 0 800
0.074 0.1 713.622453
0.088 0.2 642.25707
0.102 0.3 581.450265
0.116 0.4 528.476656
0.13 0.5 481.54646
0.144 0.6 439.420894
0.158 0.7 401.206903
0.172 0.8 366.239389
0.186 0.9 334.009674
0.2 1 304.12
r (m) (r-r1)/(r2-r1) Tr (K)
0.06 0 800
0.068 0.1 727.648046
0.076 0.2 663.352824
0.084 0.3 605.498462
0.092 0.4 552.911209
0.1 0.5 504.711538
0.108 0.6 460.223348
0.116 0.7 418.915695
0.124 0.8 380.364
0.132 0.9 344.223409
0.14 1 310.21
 
 
 
 
 
 
 
 
Para: 𝑟2(m) = 0.2 , 𝑇𝑠,2(k) = 304.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 67 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
 
PROBLEMA 3.33 
 
Considere el calentador de agua que se describe en el problema 1.29. Deseamos ahora determinar 
la energía necesaria para compensar las pérdidas de calor que ocurren mientras el agua está al-
macenada a la temperatura establecida de 55℃. El tanque cilíndrico de almacenamiento (con ex-
tremos planos) tiene una capacidad de 100 galones, y se usa uretano en espuma para aislar las 
paredes laterales y de los extremos del aire ambiental a una temperatura promedio anual de 20℃. 
La resistencia a la transferencia de calor está dominada por la conducción en el aislante y por la 
convección libre en el aire, para el que ℎ ≈ 2 𝑊 m2⁄ . 𝐾. Si se usa calentamiento por resistencia 
eléctrica para compensar las pérdidas y el costo de la potencia eléctrica es $0.08/kWh, para las 
que los costos anuales asociados con las pérdidas de calor son menores de $50. 
 
SOLUCION 3.33 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
Suposiciones: 
a) Estado estable. 
b) Conducción unidimensional a través de la pared. 
c) La resistencia a la conducción está dominado por el aislante. 
d) Propiedades constantes. 
Análisis: 
• Para la espuma de uretano (rígida) a 𝑇� = 300 K ; 𝑘 = 0.026 𝑊 m⁄ . 𝐾 (tabla A-3) 
Para el cálculo de 𝐿: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 68 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝐿 = 4𝑉
𝜋𝐷2
 ; 𝐴𝑠,𝑡 = 𝜋. 𝐷. 𝐿 + 2 �𝜋𝐷24 � = 4 𝑉𝐷 + 𝜋𝐷22 
• Para minimizar las pérdidas de calor, se debe minimizar el área total (𝐴𝑠,𝑡) y su valor míni-
mo será en: 
 
𝑑𝐴𝑠,𝑡
𝑑𝐷
= 0 → −4𝑉
𝐷2
+ 𝜋𝐷 = 0 
→ 𝐷 = �4𝑉
𝜋
�
1/3 → 𝐿 = �4𝑉
𝜋
�
1/3
 
• Además: 
𝑑2𝐴𝑠,𝑡
𝑑𝐷2
= 8𝑉
𝐷3
+ 𝜋 > 0 
Con esto se comprueba que el 𝐷 anterior hallado corresponde al valor mínimo. 
• Para: 
𝑉 = 100 gal × 0.00379 m3gal = 0.379 m3 
→ 𝐷 = 𝐿 = 0.784 m 
→ La pérdida total de calor a través del aislante y el medio exterior: 
𝑞 = 𝑇𝑠,1 − 𝑇∞ln(𝑟2 𝑟1⁄ )2𝜋𝑘. 𝐿 + 1ℎ. 2𝜋𝑟2. 𝐿 + 2�𝑇𝑠,1 − 𝑇∞�𝑑𝑘 �𝜋𝐷24 � + 1ℎ. �𝜋𝐷24 �
 
• Asumiendo valores: 
 𝑑 = 25mm , 𝑟1 = 𝐷 2⁄ = 0.392 m , 𝑟2 = 𝑟1 + 𝑑 = 0.417 m 
Se obtiene: 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 69 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
𝑞 = (55 − 20)ln(0.417 0.392⁄ )2𝜋(0.026)(0.784) + 1(2). 2𝜋(0.417)(0.784)+ 2(55 − 20)0.025(0.026) 𝜋4 (0.784)2 + 1(2). 𝜋4 (0.784)2 
𝑞 = 35(0.483 + 0.243) + 2(35)(1.992 + 1.036) 
𝑞 = 48.2 𝑊 + 23.1 𝑊 = 71.3 𝑊 
→ La pérdida de energía anual será: 
𝑄anual = (71.3 𝑊). (365 días)(24 h día⁄ ) = 625 𝑘𝑊h 
→ Costo anual por la pérdida de energía: 
𝐶 = 0.08 $ 𝑘𝑊h⁄ (625)𝑘𝑊h = $50 
∴ Por tanto las dimensiones especificadas cumplen con la condición del costo 
𝑟1 = 392 mm 
𝑟2 = 417 mm 
𝑑 = 25 mm 
 
PROBLEMA 3.34 
 
Un calentador eléctrico delgado envuelve la superficie externa de un tubo cilíndrico largo cuya 
superficie interna se mantiene a una temperatura de 5℃. La pared del tubo tiene radios interno y 
externo de 28 y 75 mm, respectivamente, y una conductividad térmica de 10 𝑊 m⁄ . 𝐾. La resis-
tencia térmica de contacto entre el calentador y la superficie externa del tubo (por unidad de lon-
gitud de tubo) es 𝑅𝑡,𝑐″ = 0.01 m. 𝐾/𝑊. La superficie externa del calentador se expone a un fluido 
con 𝑇∞ = −10℃ y un coeficiente de convección ℎ = 100 𝑊 m2⁄ . 𝐾. Determine la potencia de 
calentamiento por unidad de tubo que se requiere para mantener el calentador a 𝑇0 = 25℃. 
 
SOLUCION 3.34 
 
 
 
Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 70 
 
Fundamentos de Transferencia de Calor 
Esquema: