1 Composición de funciones

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Composición de funciones
Dadas las funciones
f: A → B y g: C →D
bajo ciertas condiciones es posible obtener una función h que se
denomina función compuesta de de g con f que se define por:
h: A → D/ h(x) = (g f)(x) = g(f(x)
(gf se lee “g compuesta con f”)
Definición
La fórmula que define a la función compuesta h significa que debemos
aplicar la función g a las imágenes de f o sea a f(x).
Observamos que para que h sea función debe verificarse que la imagen de
f esté incluida o sea igual al dominio de g (Im(f) Dom(g)).
Ejemplo 1.
Consideremos las funciones f: /f(x) = 2x y g: /g(x) = x2 y
calculemos (gf)(1)
Como es (gf)(1) = g(f(1) debemos primero calcular f(1).
f(1) = 2.1 = 2
Entonces (gf)(1) = g(f(1)) = g(2) = 22 = 4
Para cualquier otro x, será:
(gf)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)2 = 4x2
También puede definirse
h: C → B/ h(x) = (fg)(x) = f(g(x))
En este caso debe estar la imagen de g incluida en el dominio de f.
Ejemplo 2.
Para las funciones del ejemplo 1, calculemos (fg)(3).
Al ser (fg)(x) = f(g(x)), debemos aplicar f a las imágenes de g.
Como las imágenes de g son de la forma g(x) = x2, podemos
escribir: (fg)(3) = f(32)) = 2.32 = 18
Para cualquier otro x, será:
(fg)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 2x2
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Los ejemplos anteriores muestran que la composición de funciones no es
conmutativa. Esto es:
(gf)(x)  (fg)(x)
Ejemplo 3.
Consideremos ahora las funciones
f: [0; +)  /f(x) = x y g:/g(x) = -2x
y calculemos (fg)(1).
Como es (fg)(1) = f(g(1)), buscamos primero g(1).
g(1) = -2. 1 = -2
Entonces,
(fg)(1) = f(g(1))
= f(-2)
= 2
Pero nos encontramos con un cálculo que no podemos
efectuar ya que x = -2 no pertenece al dominio de f.
Nos olvidamos que para que la composición fg sea
posible debe estar la imagen de g incluida en el dominio
de f.
¿Entonces? Si primero escribimos la fórmula de la función
compuesta, aplicando primero g y luego f tenemos una
manera de ver cuál es la restricción para que esté definida
fg.
(fg)(x) = f(g(x)) = f(-2x) = x2
Vemos que es necesario que el radicando -2x sea mayor o
igual que cero para poder calcular la raíz, es decir:
-2x 0
Dividiendo por -2 ambos miembros de la desigualdad:
x0
Con lo que el dominio de fg es
Dom(fg) = (-; 0]
Por ello no fue posible hallar (fg)(1) ya que 1 no
pertenece al dominio de la función compuesta.
Ejemplo 4.
Sean f(x) =x + 3 y g(x) =
x
1
a) Hallar el dominio y la fórmula de las funciones compuestas gf
y fg.
b) Calcular (fg)(1) y (gf)(-3)
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Solución
a) Comencemos por hallar la fórmula y el dominio de gf.
(gf)(x) = g(f(x)) = g(x+3)
=
3x
1

Para que la función gf esté definida se debe cumplir que el
denominador de la expresión sea distinto de -3 ya que este
valor anula el denominador.
Luego es Dom(gf) =  - {-3}
Del mismo modo, trabajamos para hallar la expresión y el
dominio de fg.
(fg)(x) = f(g(x))
3
x
1
x
1
f






Con lo que para que fg esté definida se debe cumplir que el
denominador de la expresión sea distinto de 0 ya que este valor
anula el denominador.
Por lo tanto es:
Dom(fg) =  - {0}
b) Ahora podemos decidir si existen (fg)(1) y (gf)(-3) y en el
caso en que sea así, calcularlos.
Podemos hallar (fg)(1) ya que 1 pertenece al dominio de
fg.
Luego es:
(fg)(1) = 431
1
1
f 






Pero no podemos calcular (gf)(-3) ya que -3 no pertenece
al dominio de gf.
Ejemplo 5
Dadas las funciones f y g tales que f(x)=3x - 7 y g(x)=2x + k,
determinar el número real k para que (gf)(x) = (fg)(x).
Solución
Para solucionar el problema debemos buscar las expresiones de
gf y fg.
Observamos para hallar ambas funciones compuestas, no tenemos
que hacer restricciones ya que f y g son funciones lineales y por lo
tanto tienen por dominio e imagen al conjunto de los números
reales. Lo mismo sucede en el caso de gf y fg.
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Buscamos la expresión de gf
(gf)(x) = g(f(x)) = g(3x-7)
= 2(3x-7) + k
= 6x – 14 + k
Buscamos la expresión de fg
(fg)(x) = f(g(x)) = f(2x+k)
= 3(2x + k) – 7
= 6x + 3k – 7
Como debe ser (gf)(x) = (fg)(x) igualamos las fórmulas que
encontramos:
6x – 14 + k = 6x + 3k – 7
De donde es:
6x – 6x -14 + 7 = 3k – k
Y operando:
-14 + 7 = 2k
-7 = 2k
Dividiendo por 2 ambos miembros,
k
2
7

Hallamos el valor de k. Para asegurarnos que se verifica que para
este valor hallado es (gf)(x) = (fg)(x) sustituimos en las fórmulas
respectivas.
(gf)(x) = 6x – 14 + k
Reemplazando por k
2
7

(gf)(x) = 6x – 14 + 






2
7
= 6x – 14
2
7

= 6x
2
35

Del mismo modo, reemplazando en
(fg)(x) = 6x + 3k – 7
Es
(fg)(x) = 6x + 3. 





2
7 – 7
= 6x
2
21 – 7
= 6x
2
35
Como para k =
2
7
 se verifica (gf)(x) = (fg)(x), afirmamos que
k =
2
7
 es el número real buscado.
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Ejemplo 6
Una piedra se arroja a un liquido y se forman círculos cuyo radio se
incrementa en función del tiempo t (en segundos) según la fórmula
r(t) = 4t. Sabiendo que el área de cada círculo es A(r) = r2:
a) Hallar una función que exprese el área de cada círculo conocido el
tiempo.
b) Calcular el área de un círculo transcurridos 5 segundos de ser
arrojada la piedra.
Solución
Comencemos resolviendo el punto b).
Para calcular el área del círculo debemos usar la fórmula:
A(r) = r2.
Y para usarla, es necesario conocer el radio del círculo
transcurridos 5 segundos, lo que podemos hacer sabiendo
que el radio es una función del tiempo t, ya que es r(t) = 4t
De este modo a los 5 segundos de ser arrojada la piedra, el
círculo que forma tendrá un radio dada por:
r(5) = 4. 5 = 20
Ahora podemos remplazar en A(r) = r2.
A(20) = (20)2
= 400 
Entonces a los 5 segundos de ser arrojada al agua, el área
del círculo que describe es 400 .
Vamos ahora al ítem a)
Según lo que acabamos de hacer, para calcular el área del
círculo conocido el tiempo transcurrido después de ser
arrojada la piedra, debimos:
 primero calcular el radio del círculo usando la
función r(t) = 4t
 luego el área, reemplazando el valor hallado
en A(r) = r2
En términos de composición de funciones, esto se puede
expresar en la forma:
(Ar)(t) = A(r(t))
lo que nos indica que primero debemos calcular el radio del
círculo y luego el área. De este modo es:
(Ar)(t) = A(r(t))
= A(4t) = (4t)2
= 16t2 = 16t2
Por lo que la función que expresa el área de cada círculo
conocido el tiempo es
A(r(t)) = 16t2
cuyo dominio es Dom(A) = [0; +)
Podemos preguntarnos ahora si usando esta expresión podemos
responder al item b)
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La respuesta es afirmativa.
Evaluemos la función compuesta en t = 5
A(r(t5) = 16(5)2
= 16. 25. 
= 400. 