Ejercicio 5
Podemos escribir h de la siguiente forma equivalente en donde se puede ver más claramente que es composición de funciones, en particular es composición de funciones en C pues todas las fi y g están en C. Como C es una clase PRC resulta que h P C.
hpx1, . . . , xnq “
řk
i“1 fipx1, . . . , xnq ¨ pipx1, . . . , xnq ` gpx1, . . . , xnq ¨ p
řk
i“1 pipx1, . . . , xnqq
También podemos analizarlo por casos:
Caso 1: D!i : N, 1 ď i ď k tal que pipx1, . . . , xnq es verdadero.
Observemos que si existe i, tiene que ser único pues todos los predicados p1, . . . , pk son disjuntos. Luego, vale que hpx1, . . . , xnq “ fipx1, . . . , xnq por definición (el predicado pipx1, . . . , xnq es verdadero y por lo tanto “selecciona” el caso de fi dentro de la definición de h). Como todas las fi P C por hipótesis ñ h P C.
Caso 2: @i : N, 1 ď i ď k ñ pipx1, . . . , xnq es falso.
Como no existe predicado pi que resulte verdadero, por definición h “selecciona” el último caso “si no” y luego resulta hpx1, . . . , xnq “ gpx1, . . . , xnq. Como g P C por hipótesis ñ h P C.