Tarea #4 Solución Maestro (MF)

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Relaciones integrales para un volumen de control
Unidad III
Ing. Juan Andrés Rivera Santana, MSc.
Fecha de entrega: miércoles 12 de octubre a las 23:59 hrs. via Gradescope
Problema #1.
Aceite con gravedad específica de 0.89 entra en la sección 1 con un flujo en peso (¡OJO!) de 250 N/h para lubricar un cojinete de empuje. 
El flujo estable de aceite sale radialmente a través del espacio existente entre las dos placas de empuje. Calcule el flujo volumétrico de salida en mL/s así como la velocidad de salida promedio en cm/s.
Solución: 
7.8 mL/s
Problema #1. Solución.
Datos:
GE = 0.89
D = 10 cm = 0.1 m
D1 = 3 mm = 0.003 m
h = 2 mm
Incógnitas:
Suposiciones:
Flujo estable (estacionario).
Flujo incompresible (aceite, líquido).
Flujo en una sola vía.
Diagrama 3D
CV
1
2
h = 2 mm
Problema #1. Solución.
Reducción de la ecuación de continuidad de masa.
Entradas y salidas bien definidas
Flujo estable (estacionario)
Una entrada y una salida
Flujo incompresible
Problema #1. Solución.
Dado que el flujo volumétrico es el mismo para la entrada que la salida  flujo másico también.
Convirtiendo a mililitros:
Finalmente, 
1
Visualización de los flujos
Dado que el flujo de salida es radial:
h = 2 mm
2
El flujo de entrada es axial:
Problema #2.
La tobera convergente-divergente mostrada en la Figura expande y acelera aire seco a velocidades supersónicas a su salida, donde y . A la altura de la garganta, y . Para flujo estacionario compresible de un gas ideal, estime 
El flujo másico en kg/s.
La velocidad 
El número de Mach, 
Solución: = 0.06 kg/s
Problema #2. Solución
Datos:
 
 
 (aire)
Incógnitas:
=?
?
CV
Suposiciones:
Flujo estable (estacionario).
Flujo compresible de gas ideal.
Flujo en una sola vía.
 
 
Problema #2. Solución
Reducción de la ecuación de continuidad de masa.
Dado que el flujo másico es igual en 1 y 2:
Aplicación de gases ideales:
Para finalmente tener, 
Entradas y salidas bien definidas
Flujo estable (estacionario)
Una entrada y una salida
Problema #2. Solución.
Lo mismo se hace para la densidad a la salida (2).
La velocidad 2 se obtiene directamente de la conservación de masa:
Despejando y sustituyendo,
Problema #2. Solución.
El número de Mach es un parámetro adimensional obtenido a partir de la velocidad del sonido.
De la gráfica de la derecha, aire @ 240 K  .
Velocidad del sonido.
 
Por lo tanto, el número de Mach
Problema #3. 
El flujo de la tubería mostrada en la figura alimenta un tanque cilíndrico como se muestra. En el tiempo t = 0, el nivel del agua del tanque es de 30 cm. Calcule el tiempo necesario para llenarlo completamente.
Solución: t = 46 s
Problema #3. Solución.
Datos:
t0 = 0
D = 75 cm = 0.75 m
d = 12 cm=0.12 m
Incógnita:
CV
Suposiciones:
Flujo transitorio.
Flujo incompresible (agua).
Flujo en una sola vía.
Problema #3. Solución.
Reducción de la ecuación de continuidad de masa.
Entradas y salidas bien definidas
Una entrada y una salida
Flujo incompresible
Problema #3. Solución.
Analizando el cambio de altura en el tanque:
Analizando los flujos de entrada y salida con .
Sustituyendo en el balance de masa:
D = 75 cm 
dh
Problema #3. Solución.
Simplificando (multiplicando por ):
Aplicando separación de variables:
 
Integración definida:
Problema #3. Solución.
Despejando y sustituyendo numéricamente:
Problema #4.
Calcular la altura H que produce un caudal de 100 L/s y una potencia de 10 hp. Despreciar todas las pérdidas de energía. 
Solución: H = 15.77 m
Problema #4. Solución.
Datos:
Incógnitas:
H = ?
Suposiciones:
Flujo estacionario.
Flujo incompresible (agua).
Flujo en una sola vía.
Flujo sin fricción y sin pérdidas.
Trabajo de turbina pero no de bomba
Extremos 1 y 2 expuestos a la atmósfera.
Velocidad en punto 1 prácticamente estancado.
Problema #4. Solución.
Simplificación de ecuación de energía (flujo en una sola línea y estacionario).
Flujo incompresible (agua).
CV
No CV
Problema #4. Solución.
Flujo sin fricción ni pérdidas.
Trabajo de turbina pero no de bomba.
Extremos 1 y 2 expuestos a la atmósfera.
Velocidad en punto 1 prácticamente estancada.
Problema #4. Solución.
Si tomamos el punto dos como la altura de referencia con z1 = H:
Quedando la ecuación de energía con H y V2 como incógnitas.
Problema #4. Solución.
Analizando la conservación de masa
Entradas y salidas bien definidas
Flujo estable (estacionario)
Una entrada y una salida
Flujo incompresible
Problema #4. Solución.
Despejando para la velocidad 2.
Calculando el flujo másico:
Finalmente, despejando para H de la conservación de energía.
Problema #5. 
Se va generar potencia eléctrica a través de la instalación de un turbogenerador hidráulico, en un sitio que está 70 m por debajo de la superficie libre de un depósito grande de agua que puede suministrar ésta a razón de 1500 kg/s, de manera uniforme.
Si la salida de potencia mecánica de la turbina es de 800 kW y la generación de potencia eléctrica es de 750 kW, determine la eficiencia de la turbina y la eficiencia combinada del turbogenerador de esta planta. Desprecie las pérdidas en los tubos.
Solución: 
Problema #5. Solución.
Datos:
z1 = 70 m
z2 = 0
 
Incógnitas:
?
Agua
70 m
(1)
T
Gen
(2)
CV
Problema #5. Solución.
Suposiciones:
La generación de energía es primordialmente por el cambio de altura, por lo tanto se elimina el términos de energía cinética.
La presión es atmosférica a ambos extremos del flujo.
Flujo estacionario.
Flujo incompresible.
Flujo en una vía.
Las pérdidas por fricción se ignoran.
No hay trabajo de bomba.
Agua
70 m
(1)
T
Gen
(2)
CV
Problema #5. Solución.
Reducción de la ecuación de continuidad de masa.
Entradas y salidas bien definidas
Flujo estable (estacionario)
Una entrada y una salida
Flujo incompresible
Problema #5. Solución.
Reducción de la ecuación de energía (Flujo estacionario y en una sola vía).
Flujo incompresible.
No hay trabajo de bomba.
Problema #5. Solución.
Las pérdidas por fricción se ignoran.
La presión es atmosférica a ambos extremos del flujo.
La generación de energía es primordialmente por el cambio de altura, por lo tanto se elimina el términos de energía cinética.
Problema #5. Solución.
Tomando el punto bajo como referencia (z2 =0).
Quedando la ecuación de energía como:
Al ser flujo estacionario, el flujo másico de todo el sistema es igual, entonces . Sustituyendo:
Problema #5. Solución.
Ahora, tenemos toda la información suficiente para obtener las eficiencias solicitadas.
Problema #6. 
Una bomba de 15 hp se usa para levantar agua a una elevación 45 m más alta. Si la eficiencia mecánica de la bomba es 82 por ciento, determine el flujo volumétrico máximo del agua.
Solución: 
Problema #6. Solución.
Datos:
Incógnitas:
B
Problema #6. Solución.
Suposiciones:
La generación de energía es primordialmente por el cambio de altura, por lo tanto se elimina el términos de energía cinética.
La presión es atmosférica a ambos extremos del flujo.
Flujo estacionario.
Flujo incompresible.
Flujo en una vía.
Las pérdidas por fricción se ignoran.
No hay trabajo de turbina.
B
(1)
(2)
CV
No CV
Problema #6. Solución.
Reducción de la ecuación de continuidad de masa.
Entradas y salidas bien definidas
Flujo estable (estacionario)
Una entrada y una salida
Flujo incompresible
Problema #6. Solución.
Reducción de la ecuación de energía (Flujo estacionario y en una sola vía).
Flujo incompresible.
No hay trabajo de turbina.
Problema #6. Solución.
Las pérdidas por fricción se ignoran.
La presión es atmosférica a ambos extremos del flujo.
Lageneración de energía debe vencer la altura cuesta arriba, por lo tanto la velocidad influye poco en el proceso.
Problema #6. Solución.
Tomando el punto bajo como referencia (z1 =0).
Quedando la ecuación de energía como:
Al ser flujo estacionario, el flujo másico de todo el sistema es igual, entonces , el cual debe despejarse.
La potencia de bombeo útil es la que entra en la ecuación de energía.
Problema #6.
Calculando la potencia de bombeo útil a partir de la ecuación de eficiencia de bomba.
Regresando a la ecuación de energía:
Despejando para 
.
Finalmente, aplicando densidad
Ejercicio #7.
Suele darse una aproximación del perfil de velocidad para el flujo turbulento en un tubo circular como donde n =7. Determine el factor de corrección de la energía cinética para este flujo.
Use una tabla de integrales para apoyarse en el procedimiento.
Resultados: 
Ejercicio #7. Solución.
Por definición el factor de corrección,
Primero, se expresa el diferencia de área en término de coordenadas radiales.
r
dr
dA
A
R
Ejercicio #7. Solución.
Para calcular la velocidad promedio, se usa el teorema de valor medio.
Sustitución:
Ejercicio #7. Solución.
Finalmente, sustituyendo todo en la fórmula de definición.
Sustitución:
Problema #8.
Una bomba de aceite consume 35 kW de electricidad cuando bombea aceite con 860 kg/m³, a razón de 0.1 m³/s. Los diámetros de entrada y salida del tubo son 8 cm y 12 cm, respectivamente.
Si se mide que el aumento de presión del aceite en la bomba es de 400 kPa y la eficiencia del motor es del 90 por ciento, determine la eficiencia mecánica de la bomba. Tome el factor de corrección de la energía cinética como 1.05.
Solución: 
Problema #8. Solución.
Datos:
 860 kg/m³
D1 = 8 cm = 0.08 m
D2 = 12 cm = 0.12 m
Incónitas:
?
CV
Suposiciones:
Flujo estacionario.
Flujo incompresible.
Flujo en una vía.
Las pérdidas por fricción se ignoran.
No hay trabajo de turbina.
No hay cambio sustancial de altura
Problema #8. Solución.
Reducción de la ecuación de energía (Flujo estacionario y en una sola vía, ).
Flujo incompresible.
No hay trabajo de turbina.
Problema #8. Solución.
Se ignoran las pérdidas por fricción.
No hay cambio sustancial de altura.
Problema #8. Solución.
Reducción de la ecuación de continuidad de masa.
Entradas y salidas bien definidas
Flujo estable (estacionario)
Una entrada y una salida
Flujo incompresible
Problema #8. Solución.
El flujo volumétrico es entonces igual a la entrada y a la salida.
Obteniendo las velocidades correspondientes:
Problema #8. Solución.
Regresando a la ecuación de energía, y despejando para la potencia de bombeo útil.
Calculando el flujo másico:
Problema #8. Solución.
Sustituyendo toda la información:
Calculando eficiencias (motor-bomba y luego bomba):
Problema #9.
El oxígeno fluye sin ganancias ni pérdidas de calor por una tubería horizontal de sección transversal constante. En la sección 1 la presión es 170 psia, la velocidad 75 ft/s y la temperatura 50 °F; en la sección 2 la presión es de 125 psia, la velocidad 98 ft/s y la temperatura 30 °F.
Halle la pérdida de energía mecánica en Btu/slug y el cambio de entalpía entre las secciones 1 y 2. Suponga que el oxígeno es un gas perfecto.
Solución:
Problema #9. Solución.
Datos:
Oxígeno (O2), 
Incógnitas:
?
(1)
(2)
Oxígeno (O2)
Suposiciones:
Flujo estacionario.
Flujo sin ganancias ni pérdidas de calor (pero sí con pérdida mecánica).
No hay trabajo de flecha.
Flujo compresible.
Flujo a lo largo de una línea de corriente.
Flujo horizontal.
Problema #9. Solución.
Reducción de la ecuación de energía (Flujo estacionario, en una sola vía y compresible).
No hay trabajo de flecha.
Flujo sin ganancias ni pérdidas de calor (pero sí con pérdida mecánica).
Problema #9. Solución.
Flujo horizontal.
Al ser flujo estacionario, es el mismo a la entrada que a la salida, por lo tanto se puede cancelar.
Despejando para el cambio de entalpía:
Problema #9. Solución.
Finalmente, sustituyendo:
Para hallar la pérdida de energía mecánica, será necesario aplicar el principio homónimo:
Flujo horizontal.
Decremento
Problema #9. Solución.
Se nos pide la energía específica:
Reagrupando,
Obteniendo la constante del gas oxígeno,
Sustitución final,
Problema #9. Solución.
Respuesta final,
Convirtiendo a Btu: