Tarea #6 Solución Maestro (MF)

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Relaciones integrales para un volumen de control
Unidad III
Ing. Juan Andrés Rivera Santana, MSc.
Fecha de entrega: miércoles 28 de octubre a las 23:59 hrs. via Gradescope
Problema #1.
Para medir la distribución de presión en el flujo del aire sobre un modelo de avión se emplea un túnel de viento (ver figura). La velocidad del aire en el túnel de viento es lo suficientemente baja como para que los efectos compresibles sean despreciables. 
La aproximación de la ecuación de Bernoulli es válida en tal situación en todas las partes de flujo, excepto muy cerca de la superficie de avión o las superficies de las paredes del túnel de viento y en la región de estela detrás del modelo.
Problema #1 (cont.)
Lejos del modelo, el aire fluye a velocidad y presión , y la densidad del aire es aproximadamente constante. 
Por lo general, los efectos gravitacionales son despreciables en flujos de aire, así que la ecuación de Bernoulli se escribe como:
Problema #1 (fin)
Elimine las dimensiones de la ecuación y genere una expresión para el coeficiente de presión en cualquier punto en el flujo donde la ecuación de Bernoulli sea válida. 
 se define como:
Respuesta: 
Problema #1. Solución.
Objetivo: Quitar las dimensiones a la ecuación de Bernoulli para generar el coeficiente de presión.
Para ello se divide toda la ecuación de Bernoulli dada entre el término de presión Dicha ecuación de Bernoulli supone flujo horizontal.
Problema #1. Solución.
Reacomodando términos:
Nos damos cuenta que ambos términos son iguales al coeficiente de presión, .
Problema #2. 
Algunos estudiantes quieren visualizar el flujo sobre una pelota de béisbol que gira. Su laboratorio de fluidos tiene un bonito túnel de agua en el que se pueden inyectar líneas de corrientes con tintes multicolores, de modo que deciden probar una pelota de béisbol que gira en el túnel de agua.
Problema #2 (cont.). 
La similitud exige que igualen tanto el número de Reynolds como el número de Strouhal entre su modelo de prueba y la pelota verdadera que se desplaza por el aire a 80 mi/h y gira a 300 rpm. Tanto el aire como el agua están a 20 °C.
¿A qué velocidad deben correr el agua y a qué rpm debe girar su pelota de béisbol?
Respuesta: V = 5.3 mph, 
Problema #2. Solución.
Datos:
T = 20 °C
 = 80 mi/h
Incógnitas:
Suposiciones:
En ambos casos el flujo es incompresible.
Se usa la misma pelota de béisbol en ambos casos, .
Estrategia: Para lograr la similitud, ambos parámetros adimensionales deben ser iguales. Trabajando primero con Reynolds, Re.
Problema #2. Solución.
Datos:
T = 20 °C
 = 80 mi/h
Incógnitas:
Suposiciones:
En ambos casos el flujo es incompresible.
Se usa la misma pelota de béisbol en ambos casos, .
Estrategia: Para lograr la similitud, ambos parámetros adimensionales deben ser iguales. Continuando con Strouhal, St.
Problema #3.
Use análisis dimensional para mostrar que, en un problema que incluye olas acuáticas a las bajas profundidades (ver figura), tanto el número de Froude como el número de Reynolds son parámetros adimensionales relevantes. 
La velocidad de ola c de las ondas sobre la superficie de un líquido es función de la profundidad h, la aceleración gravitacional g, la densidad del fluido r y la viscosidad del fluido m. 
Manipule sus para obtener los parámetros de la manera siguiente:
Respuesta: Fr = f (Re)
Problema #3. Solución.
Paso 1.
Variable dependiente: c 
Variables independientes: h, g, , 
Por lo tanto, n = 5.
Paso 2. Se tienen tres dimensiones fundamentales: {L}, {T}, {M}, entonces j = 3.
c = {L}/{T}
h = {L}
g = {L}/{T}²
Paso 3. Se empieza por formar k = n – j = 2 valores de .
Paso 4. Seleccionando los tres parámetros repetitivos: h, , g.
 
Problema #3. Solución.
Paso 5a. Obteniendo el primer parámetro adimensional.
Tres ecuaciones:
: 
Solución: a1 = -1/2, b1 = 0, c1 = -1/2
Por lo tanto sustituyendo: 
	
Problema #3. Solución.
Paso 5b. Obteniendo el segundo parámetro adimensional.
Tres ecuaciones:
: 
Solución: a2 = -3/2, b2 = -1, c2 = -1/2
Por lo tanto sustituyendo: 
Manipulando el parámetro: 
	
Problema #3. Solución.
Paso 6. Dejando en notación funcional.
Problema #4.
Un fluido incompresible de densidad y viscosidad fluye a una velocidad promedio V a través de un largo tramo horizontal de tubería redonda de longitud L, diámetro interior D y rugosidad de superficie interior (ver figura). 
La tubería es lo suficientemente larga como para que el flujo esté totalmente desarrollado, lo que significa que el perfil de velocidad no cambia a lo largo de la tubería. 
La presión disminuye (linealmente) a lo largo de la tubería con la finalidad de “empujar” el fluido a través de la tubería para superar la fricción. 
Con el método de repetición de variables, desarrolle una relación adimensional entre caída de presión y los otros parámetros en el problema.
Problema #4 (continuado).
Asegúrese de modificar sus grupos según sea necesario para lograr parámetros adimensionales establecidos y nómbrelos. 
Sugerencia: Por consistencia, elija D en lugar de L o como uno de sus parámetros repetitivos.
Respuesta: Eu = f (Re, ε/D, L/D)
Problema #4. Solución.
Paso 1.
Variable dependiente: 
Variables independientes: V, , , L, D, 
Por lo tanto, n = 7.
Paso 2. Se tienen tres dimensiones fundamentales: {L}, {T}, {M}, entonces j = 3.
V = {L}/{T}
L = {L}
 = {L}
 = {L}
 = {M}/({L}{T}²)
Paso 3. Se empieza por formar k = 7 – 3 = 4 valores de .
Paso 4. Seleccionando los tres parámetros repetitivos: , , V.
Problema #4. Solución.
Paso 5a. Obteniendo el segundo parámetro adimensional.
Tres ecuaciones:
: 
Solución: a1 = 0, b1 = -1, c1 = -2
Por lo tanto sustituyendo: 
	
Problema #4. Solución.
Paso 5b. Obteniendo el primer parámetro adimensional.
Tres ecuaciones:
: 
Solución: a2 = -1, b2 = -1, c2 = -1
Por lo tanto sustituyendo: 
Manipulando, 
	
Problema #4. Solución.
Paso 5c. Obteniendo el tercer parámetro adimensional.
Tres ecuaciones:
: 
Solución: a3 = -1, b3 = 0, c3 = 0
Por lo tanto sustituyendo: 
	
Problema #4. Solución.
Paso 5d. Obteniendo el cuarto parámetro adimensional.
Tres ecuaciones:
: 
Solución: a4 = -1, b4 = 0, c4 = 0
Por lo tanto sustituyendo: 
	
Problema #4. Solución.
Paso 6. Dejando en notación funcional.