Tarea #5 Solución Maestro (MF)

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Relaciones integrales para un volumen de control
Unidad III
Ing. Juan Andrés Rivera Santana, MSc.
Fecha de entrega: miércoles 21 de octubre a las 23:59 hrs. via Gradescope
Problema #1.
Para la instalación que se muestra y aplicando la ecuación de Bernoulli, determine:
a) El flujo volumétrico.
b) Las presiones en los puntos A, B, C, D, E. 
c) ¿Qué significan los valores negativos en b?
Solución: 
 m³/s
 Pa
Pa
 Pa
Pa
Problema #1. Inciso a)
Si se supone la aplicación de la EB, entonces la ecuación de continuidad correspondiente es:
El volumen de control involucra a todo el sistema.
Datos:
 (agua estancada)
CV
Incógnita: 
Estrategia: Se debe encontrar primero la velocidad, a través de la EB aplicada en el CV entre los puntos 1 y E.
Problema #1. Inciso a)
Aplicando la EB:
Presiones atmosféricas:
Agua estancada en (1):
Despejando y sustituyendo:
Problema #1. Inciso a)
Finalmente, aplicando la definición de flujo volumétrico:
Problema #1. Inciso b)
Como el fluido se encuentra en movimiento, se debe hallar primero la velocidad en A, a través de la ecuación de flujo volumétrico, el cual se conserva en todo el sistema gracias a las suposiciones:
CV
Datos:
Problema #1. Inciso b)
Ahora, se aplica la ecuación de Bernoulli:
Agua estancada en (1).
Altura zA =0.
Despejando la presión manométrica A.
Sustituyendo:
CV
Datos:
 (agua estancada)
Incógnita: 
Problema #1. Inciso c)
El punto B tiene el mismo diámetro que A, entonces .
Aplicando ecuación de Bernoulli entre 1 y B, sabiendo que el agua sigue estancada en 1.
 
z1 = zB (misma altura) 
Despejando y sustituyendo:
 
CV
Datos:
 (agua estancada)
Problema #1. Inciso d)
El punto C tiene el mismo diámetro que A, entonces .
Aplicando ecuación de Bernoulli entre 1 y C, sabiendo que el agua sigue estancada en 1.
 
Despejando y sustituyendo:
CV
Datos:
 (agua estancada)
Problema #1. Incisos e) y f)
El punto D tiene el mismo diámetro que A, entonces .
Aplicando ecuación de Bernoulli entre 1 y D, sabiendo que el agua sigue estancada en 1.
 
Despejando y sustituyendo:
El punto E está expuesto a la atmósfera, por lo tanto 
CV
Datos:
 (agua estancada)
Problema #2.
a) Para el esquema mostrado en la figura, determine el caudal y la presión en el punto A. 
b) Hasta cuánto puede aumentar el caudal bajando el punto de salida B, en una distancia x, si la presión en el punto A es cero absoluto. Para esta condición calcular el valor de x. Emplee la ecuación de Bernoulli. 
Solución: 
b) x = 2.33 m, 
Problema #2. Solución. Inciso a)
Para hallar el caudal se traza un volumen de control que abarque las dos salidas a la atmósfera.
Datos:
D = 10 cm = 0.1 m
(agua estancada)
Incógnitas:
CV
Ecuación de Bernoulli:
Dos presiones dan a la atmósfera
Agua estancada
Altura zB = 0
Flujo volumétrico:
Problema #2. Solución. Inciso a)
Para evaluar la presión en A, se recorre el CV.
Por las suposiciones de la EB, el flujo volumétrico se mantiene igual en todo el sistema.
Como el área también es la misma:
CV
Ecuación de Bernoulli:
Problema #2. Solución. Inciso a)
Despejando y sustituyendo:
Problema #2. Solución. Inciso b)
Ahora se incluye la distancia x para calcular el nuevo de velocidad de salida.
Dicha velocidad se sustituye en el análisis de 1 a A donde (o sea, ).
CV
CV
Por definición
Agua estancada
Problema #2. Solución. Inciso b)
Por continuidad y diámetro uniforme 
Sustituyendo y resolviendo:
Problema #2. Solución. Inciso b)
Por lo que la nueva velocidad es:
Y el caudal:
Por conversión:
Problema #3.
Se usa un codo reductor para desviar hacia arriba en un ángulo de respecto de su dirección original, un flujo de agua que viene por un tubo horizontal a razón de 30 kg/s, que acelera al mismo tiempo. 
El codo descarga agua hacia la atmósfera. El área de sección transversal del codo es de 150 cm² a la entrada y de 25 cm² a la salida. 
La diferencia de elevación entre los centros de la salida y la entrada es de 40 cm.
La masa del codo y el agua en él es de 50 kg. Determine la fuerza de anclaje necesaria para sostener el codo en su lugar. Tome el factor de corrección del flujo de la cantidad de movimiento como 1.03.
Solución: 
Problema #3.
Solución: 
CV
Datos:
 (descarga a la atmósfera)
m = 50 kg
Incógnitas:
(1)
(2)
Suposiciones:
Flujo estacionario.
Flujo sin fricción ni pérdidas.
No hay trabajo de bomba ni turbina.
Flujo incompresible.
Una entrada y una salida.
Flujo uniforme ().
Marco de referencia fijo.
Problema #3. Solución.
Dadas las suposiciones, la ecuación de continuidad viene definida por:
Encontrando respectivas velocidades:
CV
(1)
(2)
Problema #3. Solución.
Aplicando la EB para hallar la presión manométrica en (1).
CV
(1)
(2)
Cancelando la presión atmosférica
Despejando la Pman
Problema #3. Solución.
Aplicando la ecuación de momentum
CV
(1)
(2)
Marco de referencia fijo.
Flujo uniforme ().
Problema #3. Solución.
Análisis en x.
CV
(1)
(2)
Problema #3. Solución.
Análisis en y.
Fuerza resultante
CV
(1)
(2)
Problema #4. 
Se acelera agua por una boquilla hasta 20 m/s y choca contra la superficie posterior vertical de un carretón que se está moviendo horizontalmente a una velocidad constante de 5 m/s en la dirección del flujo. El flujo de masa del agua es de 30 kg/s. Después del choque, el chorro de agua se esparce en todas direcciones en el plano de la superficie posterior.
 a) Determine la fuerza que es necesaria aplicar sobre los frenos del carretón para impedir que se acelere. 
b) Si se usara esta fuerza para generar potencia, en vez de desperdiciarla en los frenos, determine la cantidad máxima de potencia que puede generarse.
Solución: 
Problema #4. Solución. Inciso a)
Datos:
Incógnitas:
F =?
Suposiciones:
Flujo uniforme ().
Marco de referencia móvil.
Una entrada y una salida.
Flujo incompresible.
Flujo estacionario.
Una entrada y una salida, estacionario, incompresible, una entrada y una salida:
Ecuación de momentum lineal:
Flujo uniforme 
Analizando componente en x:
(1)
(2)
Velocidad relativa: 
 
Se aplica el freno, la velocidad absoluta es entonces -5 m/s, lo que se refleja en el fluido regresado.
CV
Problema #4. Solución. Incisos a) y b)
Calculando el flujo másico correspondiente sabiendo que hay una relación proporcional entre y V.
Aplicando a la ecuación de momentum:
La potencia consumida por el carrito para frenar el chorro es:
Problema #5.
Una patinadora que pesa 60 kg está parada sobre el hielo con sus patines (fricción despreciable). Sostiene una manguera flexible (esencialmente sin peso) que dirige un chorro de agua de 2 cm de diámetro en sentido horizontal paralelo a sus patines.
La velocidad del agua a la salida de la manguera es de 10 m/s. Si inicialmente está en reposo, determine a) la velocidad de la patinadora y la distancia que recorre en 5 s.
Solución: 
Problema #5. Solución.
Datos:
m = 60 kg
V0 = 0
D = 2 cm = 0.02 m
t = 5 s
Incógnitas:
Vf = ?
s = ?
Suposiciones:
Flujo uniforme ().
Marco de referencia fijo.
Una entrada y una salida.
Flujo incompresible.
Flujo transitorio.
No interactúa fuerza externa en la dirección horizontal.
Masa de la patinadora permanece constante.
CV
No interactúa fuerza externa en la dirección horizontal.
Masa de la patinadora constante
Flujo uniforme ().
Flujo incompresible.
Una entrada y una salida.
Componente x.
Problema #5. Solución.
Sabiendo que solamente hay flujo de salida.
Sabiendo que la aceleración de la patinadora y que el flujo másico del agua 
Despejando para la aceleración y sustituyendo:
Problema #5. Solución.
El signo negativo indica que va en el sentido opuesto al supuesto,es decir va hacia la izquierda. 
Ahora, a partir de la definición de aceleración encontramos la velocidad final de la patinadora:
Esto es, la patinadora sale impulsada hacia la izquierda. Finalmente, la distancia recorrida:
Una vez más, este recorrido es hacia la izquierda.
Problema #6. 
Un chorro de alcohol golpea la placa vertical mostrada en la figura. Se requiere una fuerza F = 425 N para que la placa se quede en su lugar. 
Suponiendo que no hay pérdidas por fricción a través de la boquilla, determine usando la ecuación de Bernoulli, 
a) El flujo másico del alcohol.
b) La presión absoluta en la sección 1.
Solución: 
Problema #6. Solución. Primera parte. 
Datos:
F = 425 N
GE = 0.79
Incógnitas:
Suposiciones:
Las que sustentan la ecuación de Bernoulli.
Flujo uniforme ().
Marco de referencia fijo.
Una entrada y una salida.
CV
Marco de referencia fijo
Flujo uniforme con 
Una entrada y una salida
Analizando el movimiento en x:
(2)
(3)
No hay componente en x
Conservación de masa, 
Simplificando
Problema #6. Solución. Primera parte. 
Despejando la velocidad .
 
Sustituyendo:
Evaluando el flujo másico que se pide:
 
Problema #6. Solución. Segunda parte. 
Datos:
GE = 0.79
Incógnitas:
Suposiciones:
Las previstas por la EB.
CV
(1)
(2)
Ecuación de continuidad:
Despeje:
Despeje:
Problema #6. Solución. Segunda parte. 
Datos:
GE = 0.79
Incógnitas:
Suposiciones:
Las previstas por la EB.
CV
(1)
(2)
Aplicando la EB:
Flujo horizontal
Despejando para P1:
Problema #7.
Problema de puntos extra. Se otorgará hasta 20 puntos extra en la Tarea #5 a quien resuelva de manera correcta este problema, estructurándolo como ya se ha venido haciendo en clase.
Problema #7.
Un soldado salta de un avión y abre su paracaídas cuando su velocidad alcanza el valor terminal . El paracaídas lo desacelera hasta su velocidad de aterrizaje . 
Después de abrirse el paracaídas, la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad (es decir, F=kV²). 
El soldado, su paracaídas y su equipo tienen una masa total m. Demuestre que y desarrolle una relación para la velocidad del soldado después de abrir su paracaídas en el tiempo t = 0.
Solución: 
Problema #7. Solución.
Datos:
Velocidad terminal, .
Velocidad de aterrizaje, .
Masa, m.
Otros parámetros:
Gravedad, g.
Variable dependiente:
Velocidad, V.
Variable independiente:
Tiempo, t.
Problema #7. Solución
El objetivo de este problema es dejar la variable dependiente en términos de la variable independiente, de los datos y de los otros parámetros.
Por definición, durante el aterrizaje la velocidad se estabiliza (), por lo que la aceleración tiende a cero y el cuerpo es cuasiestático.
Ésta es la constante de resistencia del aire.
F
W
Problema #7. Solución
Una vez entrado en equilibrio, el paracaídas ayuda a desacelerar la caída del soldado, amortiguándolo. Aplicando el principio de cantidad de movimiento con las siguiente suposiciones:
La velocidad del aire es despreciable respecto a la del soldado, por lo que no hay flujo.
Marco de referencia fijo, no hay movimiento del marco de referencia respecto al movimiento general.
Masa del soldado permanece constante.
Se descarta efecto de Arquímedes.
Problema transitorio.
F
W
Problema #7. Solución
El principio de momentum dice:
­¡Es la 2ª. Ley de Newton! Analizándola en su componente vertical:
F
W
No hay flujo del aire
Masa del soldado + paracaídas constante
Sustituyendo peso y resist. aire 
Sustituyendo k
Problema #7. Solución
Resolviendo la EDO por separación de variables.
Cancelando masas
Factorizando gravedad
Separando variables
Integrando
Aplicando fracciones parciales
Donde si se multiplica todo por se tiene:
Entonces, por igualación de coeficientes:
Problema #7. Solución
Regresando al proceso general de integración:
C2 + C3 = C4
Propiedades de los logaritmos
C6 =C5 - C4
Propiedades de los exponentes y 
Despejando para V:
 
Problema #7. Solución
Problema de condición inicial, cuando t=0.
Por lo tanto, despejando para C:
Problema #7. Solución
Sustituyendo el valor de la constante de integración y simplificando.
Problema #7. Solución
Observación final: Después de un largo tiempo () tras abrir el paracaídas, la velocidad del soldado será:
Que es la velocidad de aterrizaje.