Integrales Racionales

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1M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
Integración de funciones 
racionales
( )
( )
P x
dx
Q x
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
2
Caso 1: gr(P(x)) >= gr(Q(x))
 Se realiza la división de P(x) por Q(x) y 
obtenemos:
( ) ( )
( )
( ) ( )
P x R x
C x
Q x Q x
 
 Así:
( ) ( )
( )
( ) ( )
P x R x
dx C x dx dx
Q x Q x
   
2M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
3
Con la primera de las integrales inmediata 
(polinómica) y la segunda con
gr(R(x))<gr(Q(x))
es decir del caso 2 que veremos en la 
diapositiva 8.
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
4
Ejemplo 1
4 2
3 2
5 3 1
2 2
x x x
dx
x x x
  
  
Problema 5 a)
3M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
5
4 2 3 2
4 3 2
3 2
3 2
2
5 3 1 2 2
2 2 2
2 6 1
2 4 2 4
10 3 3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
     
    
   
  
 
Realizamos la división:
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
6
Obtenemos que:
4 2 2
3 2 3 2
5 3 1 10 3 3
2
2 2 2 2
x x x x x
x
x x x x x x
    
  
     
Y por tanto:
4 2 2
3 2 3 2
5 3 1 10 3 3
( 2)
2 2 2 2
x x x x x
dx x dx dx
x x x x x x
    
  
       
4M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
7
2
( 2) 2
2
x
x dx x C   
y la integral
2
3 2
10 3 3
2 2
x x
dx
x x x
 
  
del tipo que veremos en la diapositiva siguiente, que 
se descompone según las raíces del denominador.
Con
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
8
Caso 2: (P(x)) < gr(Q(x))
En este caso obtenemos las raíces del 
polinomio denominador Q(x) y 
descomponemos la función racional en 
fracciones simples, distinguiendo los siguientes 
casos:
5M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
9
Caso 2.1. Sólo aparecen raíces reales 
simples
Caso 2.2. Aparecen raíces reales 
múltiples
Caso 2.3. Aparecen raíces imaginarias 
simples
Caso 2.4. Aparecen raíces imaginarias 
múltiples
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
10
2.1. Sólo aparecen raíces reales 
simples
 Supongamos que las soluciones de la 
ecuación Q(x)=0 son x=a1 x=a2 x=a3 , es 
decir Q(x)=a0(x-a1)(x-a2)(x-a3)
 Entonces la función racional se puede 
expresar de la siguiente forma:
6M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
11
Dónde A, B y C son coeficientes indeterminados, 
que determinaremos sumando e igualando.
0 1 2 3
( ) 1
( )
P x A B C
Q x a x a x a x a
 
   
   
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
12
 
0 1 2 3
1 2 3
0
( ) 1
( )
1
ln ln ln
P x A B C
dx dx dx dx
Q x a x a x a x a
A x a B x a C x a K
a
 
    
   
      
   
Y por tanto:
7M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
13
Ejemplo 2.1 
2 4 3
dx
x x 
Problema 5 b)
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
14
Calculamos las raíces del denominador:
2 4 3 0; 1, 3x x x x    
Y la función racional admite la siguiente 
descomposición en fracciones simples:
   
2 2
3 11
4 3 1 3 4 3
A x B xA B
x x x x x x
  
  
     
8M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
15
Podemos determinar los coeficientes A y B de 
dos formas (o combinando ambas):
 Método 1. Utilizando las raíces reales:
   
   
 
2 2
3 11
3 1 1
4 3 4 3
13: 2 1
2
11: 2 1
2
A x B x
A x B x
x x x x
para x B B
para x A A
  
     
   
    
      
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
16
   
   
2 2
2
3 11
4 3 1 3 4 3
3
4 3
A x B xA B
x x x x x x
A B x A B
x x
  
   
     
   

 
 Método 2. Identificando coeficientes:
Identificando coeficientes en los numeradores 
de las fracciones inicial y final 1
0 2
3 1 1
2
A
A B
A B
B
 
 

   
coeficiente en x
término independiente
9M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
17
Así:
2
1 1
1 2 2
4 3 1 3x x x x

 
   
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
18
Y la integral queda:
2
1 1
2 2
1 1
4 3 2 1 2 3
1 1
ln 1 ln 3
2 2
ln 1 ln 3
3
ln
1
dx dx dx
x x x x
x x K
x x K
x
K
x
   
   
      
      

 

  
10M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
19
2.2. Aparecen raíces reales 
múltiples
 Supongamos que las soluciones de la 
ecuación Q(x)=0 son x=a1 simple y x=a2
triple, es decir Q(x)=a0(x-a1)(x-a2)3
 Entonces la función racional se puede 
expresar de la siguiente forma:
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
20
Dónde A, B, C y D son coeficientes 
indeterminados, que determinaremos sumando 
e igualando.
   
2 3
0 1 2 2 2
( ) 1
( )
P x A B C D
Q x a x a x a x a x a
 
    
     
11M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
21
   
   
2 3
0 1 2 2 2
1 2
2 2
1 2
0
( ) 1
( )
1
ln ln
1 2
P x A B C D
dx dx dx dx dx
Q x a x a x a x a x a
x a x a
A x a B x a C D K
a
 
 
     
     
  
       
  
 
    
Y por tanto:
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
22
Ejemplo 2.2
2
4 2
1x
dx
x x


Problema 5 c)
12M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
23
Calculamos las raíces del denominador:
 4 2 2 20; 1 0; 0 , 1x x x x x doble x simples      
Y la función racional admite la siguiente 
descomposición en fracciones simples:
         
       
   
2
4 2 2
2 2
4 2
3 2 3 2 3 2
4 2
3 2
4 2
1
1 1
1 1 1 1 1 1
1
x A B C D
x x x x x x
Ax x Bx x Cx x x D x x
x x
A x x B x x C x x D x
x x
A B C x A B D x Cx D
x x

    
  
        
 

      
 

      


Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
24
Identificando coeficientes en las fracciones 
inicial y final
0 1
1 1
0 0
1 1
A B C A
A B D B
C C
D D
   

    

  
   
Así:
2
4 2 2
1 1 1 1
1 1
x
x x x x x

  
  
   3 22
4 2 4 2
1 A B C x A B D x Cx Dx
x x x x
      

 
13M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
25
Y la integral queda:
2
4 2 2
1
1 1
1
ln 1 ln 1
1 1
ln
1
x dx dx dx
dx
x x x x x
x x K
x
x
K
x x

   
  
      

  

   
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
26
2.3. Aparecen raíces imaginarias 
simples
 Supongamos que las soluciones de la 
ecuación Q(x)=0 son x=a1 raíz real simple, 
x=a2 raíz real doble y la pareja x=a±bi de 
raíces imaginarias, es decir
Q(x)=a0(x-a1)(x-a2)2((x-a)2+b2)
polinomio 
de 2º grado 
que tiene 
por raíces la 
pareja a±bi Entonces la función racional se puede 
expresar de la siguiente forma:
14M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
27
Dónde A, B, C, M y N son coeficientes 
indeterminados, que determinaremos sumando 
e igualando.
   
2 2 2
0 1 2 2
( ) 1
( )
P x A B C Mx N
Q x a x a x a x a x a b
 
    
      
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
28
   
 
 
2 2 2
0 1 2 2
1
2
1 2 2 2
0
( ) 1
( )
1
ln ln
1
P x A B C Mx N
dx dx dx dx dx
Q x a x a x a x a x a b
x a Mx N
A x a B x a C dx K
a x a b

 
    
      
  
       
    
    

Y por tanto:
Con la integral:
 
2 2
Mx N
dx
x a b

 
del tipo logaritmo más arco tangente (explicado 
en Integrales previas a las racionales)
15M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
29
Ejemplo 2.3
4
4 1
x
dx
x 
Problema 5 d)
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
30
Como el grado del denominador es igual que 
el del denominador, tenemos que realizar la 
división entre los dos polinomios:
4 4
4
1
1 1
1
x x
x

 

Y la integral queda:
4
4 41 1
x dx
dx dx
x x
 
   
16M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
31
Para calcular la integral
4 1
dx
x 
Calculamos las raíces del denominador:
  4 2 21 0; 1 1 0; , 1x x x x i x        
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
32
Y la función racional admite la siguiente 
descomposición en fracciones simples:
         
       
       
4 2
2 2
4
3 2 3 2 3 2
4
3 2
4
1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1 1 1
1
1
A B Mx N
x x x x
A x x B x x Mx N x x
x
A x x x B x x x M x x N x
x
A B M x A B N x A B M x A B N
x

   
   
        
 

          
 

          


17M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
33
Identificando coeficientes en las fracciones 
inicial y final 1
40
1
0
4
0
0
1
1
2
A
A B M
A B N B
A B M
M
A B N
N

  

    

   
   
 
Así:
4 2
1 1 1
1 4 4 2
1 1 1 1x x x x
  
   
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
34
La integral queda:
4 2
4
1 1 1
1 4 1 4 1 2 1
1 1 1
ln 1 ln 1
4 4 2
1 1
ln
1 2
dx dx dx dx
x x x x
x x arctgx K
x
arctgx K
x
   
   
      

  

   
Y por tanto:
4
4
4
1 1
ln
1 1 2
x x
dx x arctgx K
x x

   
 
18M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
35
2.4. Aparecen raíces imaginarias 
múltiples (Método de Hermite)
 Supongamos que las soluciones de la ecuación 
Q(x)=0 son x=a1 simple, x=a2 doble, la pareja 
x=a±bi de raíces imaginarias simples y la 
pareja de imaginarias dobles x=c±di, es decir
Q(x)=a0(x-a1)(x-a2)2((x-a)2+b2) ((x-c)2+d2)2
 Entonces la función racional se puede expresar 
de la siguiente forma:
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
36
   
2 22 2
1 2
A B Mx N Sx T
x a x a x a b x c d
 
  
     
Son las fracciones que producirían en la 
descomposición las raíces tomadas todas 
como simples, es decir, aparecen tantas 
fracciones como factores tiene el 
polinomio Q(x), y cada denominador tiene 
uno de los factores con exponente 1. 
•Primer bloque:
19M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
37
    
2
2 2
2
d mx nx p
dx x a x c d
 
  
     
Es el término de Hermite y es la derivada de un cociente 
formado por:
 Denominador: producto de todos los factores que se 
obtienen al factorizar el polinomio del denominador elevados a 
su multiplicidad menos uno. En este ejemplo el grado es 3.
 Numerador: polinomio de coeficientes indeterminados de grado 
uno menos que el grado del denominador, obtenido en el 
apartado anterior. En este ejemplo el grado es 2.
• Segundo bloque:
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
38
Dónde A, B, M, N, S, T, m, n y p son 
coeficientes indeterminados, que 
determinaremos derivando, sumando e 
igualando.
   
    
2 22 2
1 2
2
0
2 2
2
( ) 1
( )
A B Mx N Sx T
x a x a x a b x c d
P x
Q x a d mx nx p
dx x a x c d
  
          
   
           
término de Hermite
descompuestas 
como raíces 
simples
Es decir:
20M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
39
 
      
  
      
2 2
1 2
2
0
2 22 2
2
1 2 2 2
2
0
2 22 2
2
( ) 1
( )
ln ln
1
A B Mx N
dx dx dx
x a x a x a b
P x
dx
Q x a Sx T d mx nx p
dx dx
dxx c d x a x c d
Mx N
A x a B x a dx
x a b
a Sx T mx nx p
dx
x c d x a x c d
 
       
   
      
         
 
     
  
  
   
 

    
 
  

 


K


Y por tanto:
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
40
Con las integrales:
   
2 22 2
Mx N Sx T
dx dx
x a b x c d
 
    
del tipo logaritmo más arco tangente (explicado 
en Integrales previas a las racionales)
21M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
41
Ejemplo 2.4
 
2
2
3 2
2
1
x
dx
x x



Problema 5 e)
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
42
Calculamos las raíces del denominador:
 
3
2
3 2
2
0 0
1 0;
1 0
x x triple
x x
x x i doble
  
   
   
Y la función racional admite la siguiente 
descomposición:
22M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
43
   
        
 
 
 
       
2 3 2
2 2 2 23 2
2 2 2 3 2 2 2
22 4 2
6 5 4 3 2
22 4 2
6 5 4 3
2
1 11
3 2 1 2 1 2
1 1
2 3 4 2
1 1
2 2 3 4
x A Mx N d mx nx px q
x x dx x xx x
mx nx p x x mx nx px q x x x xA Mx N
x x x x
mx nx m p x qx px qxA Mx N
x x x x
A M x N m x A M n x N m p x A
     
    
    
        
   
 
      
   
 
          

 
 
2
2
3 2
2
1
q x px q
x x
 

derivando
Simplificando 
y sumando
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
44
Identificando coeficientes en las fracciones 
inicial y final 5
0
5
0
0
2 2 0
0
3 0
5
4 1
2
0
0
2 2
1
A
A M
M
N m
N
A M n
m
N m p
A q n
p
p
q
q

 
 
  
 
  
 
  
   

 

   
Así:
   
2
2
2 2 2 23 2
5
1
2 5 5 2
1 11
x
x x d
x x dx x xx x
 
 
    
   
 
23M. J. Pujol, J. Escolano, V. Pérez
Cálculo de Primitivas Integración de funciones racionales
45
Y la integral queda:
   
 
 
2
2
2 2 2 23 2
2
2
2 2
5
1
2 5 5 2
1 11
5
1
5 25ln ln 1
2 1
x
x
dx dx dx
x x x xx x
x
x x K
x x


   
 

    

  
x