Ejercicios Teorema de Bayes

Vista previa del material en texto

Universidad Internacional del Ecuador 
Tarea #2 
 
Nombre: María Fernanda Maldonado B. Fecha de entrega: 10-mar-2021 
Curso: Cuarto Parcial: Primero 
Tema: Teorema de Bayes Materia: Endomorfismo II 
 
1. ¿Desde que tazón es la galleta? 
Para ilustrar, supongamos que hay dos copas llenas de galletas. El tazón # 1 tiene 10 chips de chocolate y 
30 galletas de llanura, mientras el tazón # 2 tiene 20 de cada uno. Nuestro amigo Fred recoge un recipiente 
al azar, y luego toma una galleta al azar. La galleta resulta ser una llanura. ¿Cuál es la probabilidad de que 
Fred la haya recogido del tazón #1? 
La respuesta precisa es dada por el teorema de Bayes. Dejar H1 corresponden a los bolos # 1, y H2 al 
recipiente # 2. Se establece que las copas son idénticas desde el punto de vista de Fred, así P(H1)=P(H2), 
por lo que ambos son igual a 0,5. El evento E es la observación de una galleta llana. A partir de los 
contenidos de los cuencos, sabemos que P(E|H1)=30/40=0.75 y P(E|H2)=20/40=0.5 
 
P(E)=Probabilidad de sacar una galleta llana =P(H1)*P(E|H1)+P(H2)*P(E|H2) =0.625 
 
 
 
𝑃(𝐻1|𝐸) =
𝑃(𝐻1) ∗ 𝑃(𝐸|𝐻1)
𝑃(𝐸)
=
0.5 ∗ 0.75
0.625
= 0.6 
 
 
 
Por lo tanto, la probabilidad de que Fred haya cogido del 
tazón #1 es del 60% 
 
2. Los falsos positivos en una prueba médica 
Los falsos positivos se producen cuando una prueba falsa o incorrecta reporta un resultado positivo. Por 
ejemplo, un examen médico para una enfermedad puede devolver un resultado positivo que indica que el 
paciente tiene una enfermedad, incluso si el paciente no tiene la enfermedad. 
Podemos utilizar el teorema de Bayes para determinar la probabilidad de que un resultado positivo es, de 
hecho, un falso positivo. 
Supongamos que una prueba para una enfermedad genera los siguientes resultados: 
-Si un paciente probado tiene la enfermedad, la prueba devuelve un resultado positivo 99% del tiempo, o 
con probabilidad 0,99. 
-Si un paciente probado no tiene la enfermedad, la prueba devuelve un resultado positivo 5% del tiempo, o 
con probabilidad de 0,05. 
Supongamos que sólo 0,1% de la población tiene esa enfermedad, de modo que un paciente seleccionado 
al azar tiene un 0,001 probabilidad previa de tener la enfermedad. 
 
P(E)= Probabilidad de tener la enfermedad= 0.001 
P(S)= Probabilidad de estar sano= 0.999 
P(P|E)= Probabilidad de un resultado positivo si está enfermo= 0.99 
P(P|S)= Probabilidad de un resultado positivo si está sano= 0.05 
P(P)= Probabilidad resultado positivo= P(E)*P(P|E)+P(S)*P(P|S)= 0.05094 
 
𝑃(𝑆|𝑃) =
𝑃(𝑆) ∗ 𝑃(𝑃|𝑆)
𝑃(𝑃)
=
0.999 ∗ 0.05
0.05094
= 0.9806 
Hay una probabilidad del 98,06% de que haya un falso positivo. 
 
3. En la sala del tribunal 
La inferencia bayesiana se puede utilizar en un entorno judicial para que el jurado acumule la evidencia a 
favor y en contra de la culpabilidad del acusado, y para ver si, en su totalidad, se encuentra que su umbral 
personal va "más allá de una duda razonable". 
• E denota el evento en el que el ADN del acusado coincide con el ADN encontrado en la escena del 
crimen. 
• P(E|G) denota la probabilidad del evento E si el acusado es culpable en realidad (por lo general, 
esto se toma como unidad, es decir P=1). 
• P(G|E) denota la probabilidad de que el acusado es culpable si se encontró su ADN (evento E). 
• P(G) denota la estimación personal del miembro del jurado sobre la probabilidad de que el acusado 
sea culpable, en base a la evidencia que no tenga que ver con el ADN. Esto podría basarse en sus 
respuestas bajo cuestionamiento, o la evidencia presentada anteriormente. 
Inferencia bayesiana nos dice que podemos asignar una probabilidad P(G) a la culpabilidad del acusado antes 
de tomar las pruebas de ADN en cuenta, entonces podemos revisar esta probabilidad a la probabilidad 
condicional P(G|E): 
Supongamos que, sobre la base de otras pruebas, un jurado 
decide que hay un 30% de probabilidad de que el acusado sea 
culpable. Supongamos también que el testimonio forense fue 
que la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga 
un ADN que esté en la escena del crimen es de 1 en un millón, 
o 10^(-6). 
P(G)= Probabilidad de ser culpable= 0.3 
P(GN)= Probabilidad de ser inocente= 0.7 
P(E|G)= Probabilidad de que el ADN se encuentre en la escena siendo culpable= 1 
P(E|GN)= Probabilidad de que el ADN se encuentre en la escena siendo inocente= 1x10^(-6) 
P(E)= Probabilidad de que se encuentre el ADN= P(G)*P(E|G)+P(GN)*P(E|GN)= 0.3000007 
 
𝑃(𝐺|𝐸) =
𝑃(𝐺) ∗ 𝑃(𝐸|𝐺)
𝑃(𝐸)
=
0.3 ∗ 1
0.3000007
= 0.9999 
Por lo tanto, hay una probabilidad del 99.99% de que sea culpable si su ADN se encontró en la escena del 
crimen. 
 
4. Se hizo una encuesta a personas en las que se les preguntaba el género y si hacían ejercicio, los resultados 
fueron: el 40% eran hombres y 60% mujeres, y el 80% de los hombres y el 50% de las mujeres dijeron que 
practicaban algún deporte o hacían ejercicio. Conociendo estos datos, si se selecciona una persona al azar 
de las que respondió que hacía ejercicio ¿Cuál es la probabilidad que esta persona sea un hombre? 
P(H)= Probabilidad de que sea hombre= 0.4 
P(M)= Probabilidad de que sea mujer= 0.6 
P(D|H)= Probabilidad de que haga deporte siendo hombre= 0.8 
P(D|M)= Probabilidad de que haga deporte siendo mujer= 0.5 
P(D)= Probabilidad haga deporte= P(H)*P(D|H)+P(M)*P(D|M)= 0.62 
 
𝑃(𝐻|𝐷) =
𝑃(𝐻) ∗ 𝑃(𝐷|𝐻)
𝑃(𝐷)
=
0.4 ∗ 0.8
0.62
= 0.5161 
Por lo tanto, la probabilidad de que sea hombre sabiendo que hace 
deporte es del 51.61% 
 
5. En una fábrica de latas se producen latas de dos tamaños, de 25 ml y de 40 ml, si se sabe que hacen la 
misma cantidad de ambas latas y que un 1% de las latas de 25ml y un 4% de las latas de 40ml salen 
defectuosas ¿Cuál es la probabilidad que al seleccionar una lata de las defectuosas al azar, esta sea de 
40ml? Ya que se hacen la misma cantidad de latas: 
P(25)= Probabilidad de escoger una lata de 25ml= 0.5 
P(40)= Probabilidad de escoger una lata de 40ml= 0.5 
P(D|25)= Probabilidad de que una lata de 25ml salga defectuosa= 0.01 
P(D|40)= Probabilidad de que una lata de 40ml salga defectuosa= 0.04 
P(D)= Probabilidad de que cualquier lata salga defectuosa= P(25)*P(D|25)+P(40)*P(D|40)= 0.025 
 
 
𝑃(40|𝐷) =
𝑃(40) ∗ 𝑃(𝐷|40)
𝑃(𝐷)
=
0.5 ∗ 0.04
0.025
= 0.8 
 
 
Por lo tanto, hay una probabilidad del 80% de que la lata 
defectuosa sea de 40ml. 
 
 
6. En las elecciones de un país hay 2 candidatos a la presidencia, el candidato A y el candidato B. En los 
resultados de las elecciones de este país se sabe que un 75% de la población es de clase media o baja y un 
25% es de clase alta, si por el candidato A votó un 90% de la clase alta y un 5% de la clase media y baja, y se 
elige una persona al azar de los que votaron por el candidato A ¿Cuál es la probabilidad que este sea de la 
clase media o baja? 
P(R)= Probabilidad de escoger a alguien de clase alta= 0.25 
P(M)= Probabilidad de escoger a alguien de clase media y baja= 0.75 
P(A|R)= Probabilidad de votar por A si es de clase alta= 0.9 
P(A|M)= Probabilidad de votar por A si es de clase medio y baja= 0.05 
P(A)= Probabilidad de votar por A= P(R)*P(A|R)+P(M)*P(A|M)= 0.2625 
 
𝑃(𝑀|𝐴) =
𝑃(𝑀) ∗ 𝑃(𝐴|𝑀)
𝑃(𝐴)
=
0.75 ∗ 0.05
0.2625
= 0.1428 
 
Por lo tanto, la probabilidad de que sea de clase media o baja es 
del 14.28% 
 
 
 
 
7. En un consultorio, el 40% de los pacientes fingen tener una enfermedad. Además, el 10% de los pacientes 
del consultorio son hombres. La probabilidad de que un paciente finja un enfermedad dado que es 
hombre, es del 50%. Calcular la probabilidad de que un paciente sea hombre, dado que finge una 
enfermedad. 
P(H)= Probabilidad de ser hombre= 0.1 
P(M)= Probabilidad de ser mujer= 0.9 
P(F|H)= Probabilidad que finja siendo hombre= 0.5 
P(F)= Probabilidad que finja= 0.4 
 
𝑃(𝐻|𝐹) =
𝑃(𝐻) ∗ 𝑃(𝐹|𝐻)
𝑃(𝐹)
=
0.1 ∗ 0.5
0.4
= 0.125 
Por lo tanto, la probabilidadde que sea hombre es del 12.5% 
 
8. En un acuario se tiene dos especies de peces. El 40% son azules y el 60% son rojos. De la especie azul, el 
30% son machos; mientras que de la especie roja, el 40% son hembras. Si se selecciona un pez hembra, 
¿Cúal es la probabilidad que sea azul? 
P(A)= Probabilidad que sea azul= 0.4 
P(R)= Probabilidad que sea rojo= 0.6 
P(H|R)= Probailidad que sea hembra dado que es rojo= 0.4 
P(H|A)= Probabilidad que sea hembra dado que es azul= 0.7 
P(H)= Probabilidad que sea hembra= P(A)*P(H|A)+P(R)*P(H|R)= 0.52 
 
𝑃(𝐴|𝐻) =
𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐻|𝐴)
𝑃(𝐻)
=
0.4 ∗ 0.7
0.52
= 0.5385 
Entonces, la probabilidad que sea azul es del 53.85% 
 
9. Una fábrica de celulares dispone de dos máquinas A y B que elaboran y el 60% y el 40% de la producción. El 
porcentaje de celulares defectuosos que produce cada máquina es del 5% y del 10% respectivamente. 
¿Cúal es la probabilidad que el celular haya sido fabricado por la máquina A, sabiendo que es defectuoso? 
P(A)= Probabilidad de A= 0.6 
P(B)= Probabilidad de B= 0.4 
P(D|A)= Probabilidad de que sea defectuoso si lo fabricó A= 0.05 
P(D|B)= Probabilidad que sea defectuoso si lo fabricó B= 0.1 
 
 
P(D)= Probailidad que sea defectuoso= P(A)*P(D|A)+P(B)*P(D|B)=0.07 
 
𝑃(𝐴|𝐷) =
𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐷|𝐴)
𝑃(𝐷)
=
0.6 ∗ 0.05
0.07
= 0.4286 
Por lo tanto, la probabilidad de que sea de la máquina A es del 42.86% 
 
10. El total de piezas producidas en una fábrica lo hacen tres máquinas A,B y C que producen, respectivamente 
el 40%, 35% y 25% de las piezas. Las piezas defectuosas que producen las máquinas A, B y C son, 
respectivamente, el 1%, 2% y 3%. Elegida una pieza defectuosa al azar, ¿Cúal es la probabilidad que la haya 
fabricado la máquina C? 
P(A)= Probabilidad de que la fabrique A= 0.4 
P(B)= Probabilidad de que la fabrique B= 0.35 
P(C)= Probabilidad de que la fabrique C= 0.25 
P(D|A)= Probabilidad que sea defectuosa siendo de A= 0.01 
P(D|B)= Probabilidad que sea defectuosa siendo de B= 0.02 
P(D|C)= Probabilidad que sea defectuosa siendo de C= 0.03 
P(D)= Probabilidad que sea defectuosa= P(A)*(D|A)+ P(B)*(D|B)+ P(C)*(D|C)= 0.0185 
 
 
𝑃(𝐶|𝐷) =
𝑃(𝐶) ∗ 𝑃(𝐷|𝐶)
𝑃(𝐷)
=
0.25 ∗ 0.03
0.0185
= 0.4054 
 
Hay una probabilidad del 40.54% de que la haya fabricado la máquina C.