Guía 04 Funciones Analíticas y Armónicas

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Docente: Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
Unidad I: Funciones Complejas 
 
FUNCIONES ANALÍTICAS 
 
DEFINICIÓN 1: Diremos que la función  f :D 
es Analítica en el punto 0z D, si f está definida y 
es derivable en alguna vecindad de 0z . 
 
Es decir f es Analítica en 0z , si  p 0V (z ) tal que 
f está definida en p 0V (z ) y  0f '(z ), 
  p 0z V (z ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINICIÓN 2: Diremos que la función  f :D 
es Analítica en D, si " f " es derivable  z D. 
 
Observación 1: A la función analítica también se le 
llama función Regular u Holomorfa. 
 
Observación 2: La derivada de una función analítica u 
Holomorfa también es analítica, de aquí es que una 
función analítica tiene derivadas de todos los órdenes. 
 
DEFINICIÓN 3: Si la función  f :D es 
Analítica en todo , se llama Función Entera. 
 
DEFINICIÓN 4: Toda función  f (z) u(x;y) iv(x;y) 
en donde las funciones u y v tienen primeras 
derivadas parciales continuas y satisfacen las 
Ecuaciones de Cauchy – Riemann en algún dominio D 
entonces f es Analítica en D. 
 
Ejemplo 1: Analizar si la función: 
 
    
 
2 2 xf(z) ln( x y ) iarctan
y
 Es Analítica 
Solución: Diremos que f (z) es analítica si satisface 
las ecuaciones de Cauchy – Riemman. 
Como: 
 
    
 
2 21 xf(z) ln(x y ) iarctan
2 y
 
Entonces: 
 
     
 
2 21 xu(x;y) ln(x y ) ; v (x;y) arctan
2 y
Derivando:
   
 
x y x y2 2 2 2
x x
u ; v u v
x y x y
 
     
 
y x y x2 2 2 2
y y
u ; v u v
x y x y
 
Como satisface las ecuaciones de Cauchy – Riemman 
 
Por tanto: f (z) es Analítica en (0;0)C  
 
FUNCIONES ARMÓNICAS 
 
Si la función  f (z) u(x;y) iv(x;y) es Analítica en 
D entonces: 
 
     
du(x;y) dv(x;y) du(x;y) dv(x;y)
; (x;y) D
dx dy dy dx
 
   
2 2 2 2
2 2
d u(x;y) d v (x;y) d u(x;y) d v (x;y)
dy dx dy dxdx dy
 
 
Como:   
2 2d v(x;y) d v (x;y)
, (x;y) D
dydx dydx
 puesto 
que sus derivadas parciales son continuas, entonces: 
 
    
2 2
2 2
d u(x;y) d u(x;y)
0, (x;y) D
dx dy
 
 
Asimismo: 
 

 
 
 
      
2 2
2
2 2
2
d v (x;y) d u(x;y)dv (x;y) du(x;y)
dy dxdy dx dy
du(x;y) du(x;y) d v (x;y) d u(x;y)
dx dy dx dydx
 
Sumando términos:: 
 
    
2 2
2 2
d v(x;y) d v (x;y)
0, (x;y) D
dx dy
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE 
INGENIERÍA 
 
Facultad de Ingeniería Mecánica 
Asignatura: Var. Compleja y AF 
Lista de Ejercicios: 03 
p 0V (z ) 
p 
Z0 
Por tanto las partes real e imaginaria de una función 
compleja  f (z) u(x;y) iv(x;y) analítica son 
soluciones de la Ecuación de Laplace, donde: 
 
   
2 2
2
2 2
d u d u
u 0 :
dx dy
Ecuación de Laplace de u 
 
   
2 2
2
2 2
d v d v
v 0:
dx dy
Ecuación de Laplace de v 
 
Diremos que u y v son funciones armónicas, además 
u y v son un par de conjugadas armónicas una con 
respecto a la otra. 
 
DEFINICIÓN 5: Si la función  f (z) u(x;y) iv(x;y) 
es analítica en D, entonces es Función Armónica si 
cumple las ecuaciones de Laplace: 
 
   2 xx yyu u 0 : Ecuación de Laplace de u 
   2 xx yyv v 0 : Ecuación de Laplace de v 
 
DEFINICIÓN 6: Toda función  F(z) u(x;y) iv(x;y) 
que satisface las ecuaciones de Laplace se llaman 
“Funciones Armónicas” y  F(z) u(x;y) iv(x;y) es 
analítica, entonces u y v se llaman “Conjugadas 
Armónicas” 
 
Ejemplo 2: Analizar si la siguiente función: 

 
   x x 2x y 2 2
f (z) u(x;y) iv (x;y)
xe sen(y) ye cos(y) ie sen(x y )
Es Armónica 
Solución: De la función dada se observa: 
 

  

 
x x
2x y 2 2
u(x;y) x e sen(y) y e cos(y)
v (x;y) e sen(x y )
 
 
i) Determinamos la ecuación de Laplace de u. 
 
  x x xxu (e xe )sen(y) ye cos(y) 
  x x xxxu (2e xe )sen(y) ye cos(y) 
 
   x xyu xe cos(y) e cos(y) ysen(y) 
        
x x
yyu xe sen(y) e sen(y) sen(y) ycos(y) 
    x x x(2e xe )sen(y) e ycos(y) 
 
Sumando término a término: 
 
  
   
                       
 
x x x
x x
x x x
y y
x x y y
u (2e x e )sen(y) e ycos(y)
u (2e x e )sen(y) e ycos(y)
u u 0
 
 
Por tanto: f (z) es armónica para "u" 
 
ii) Determinamos la ecuación de Laplace de v. 
 
  2xy 2 2v(x;y) e sen(x y ) 
 
     2xy 2 2 2xy 2 2xv 2ye sen(x y ) 2xe cos(x y ) 
   2xy 2 2 2 2xxv 4e (x y )sen(x y ) 
     2xy 2 2 2xy 2 28xye cos(x y ) 2e cos(x y ) 
 
     2xy 2 2 2xy 2 2yv 2xe sen(x y ) 2ye cos(x y ) 
  2xy 2 2 2 2yyv 4e (x y ) sen(x y ) 
     2xy 2 2 2xy 2 28xye cos(x y ) 2e cos(x y ) 
 
Sumando término a término: 
 

 

 
   
   
  
   
                       
 
2x y 2 2 2 2
x x
2x y 2 2 2x y 2 2
2x y 2 2 2 2
y y
2x y 2 2 2x y 2 2
x x y y
v 4e (x y )sen(x y )
8xye cos(x y ) 2e cos(x y )
v 4e (x y ) sen(x y )
8xye cos(x y ) 2e cos(x y )
v v 0
 
Por tanto: f (z) es armónica para " v " 
 
MISCELÁNEA 
01. Analizar si las siguientes funciones son Analíticas 
a) 



1 z
f (z)
1 z
 b) 



1 z
f (z)
1 z
 
c)  f (z) u(x;y) iv(x;y) 
 


 
xe cos(y) x
x y 2 2
e cos(e sen(y))
ie cos(x y )
 
d) 
 
    
 
2 2 xf(z) ln( x y ) iarccotg
y
 
e) 
   
           
2 2 2 2
x y
f(z) sen cosh
x y x y
 
 
   
           
2 2 2 2
x y
icos senh
x y x y
 
02. Analizar si la siguiente función es Analítica 

 
 
 
x x
2x y 2 2
f (z) u(x;y) iv (x;y)
x e sen(y) y e cos(y)
ie sen(x y )
 
03. Analizar si la siguiente función es Armónica 

 
 
 
x x
2x y 2 2
f (z) u(x;y) iv (x;y)
x e sen(y) y e cos(y)
ie sen(x y )
 
 
06. Analizar si la siguiente función es Armónica 

 
 
      
4x y 2 2
2 2
f (z) u(x;y) iv (x;y)
x y
e sen(y x ) i
x y
 
 
08. Pruebe que las funciones dadas son enteras: 
a)   xf (z) e cos(y) isen(y) 
 
b)    3 2 2 2f (z) (x 3xy ) i(3x y y ) 
 
c)  2 2f (z) sen(x y )cosh(2xy) 
  2 2icos(x y )senh(2xy) 
 
d)   2 x iyf (z) (z 2)e