Armónicas Conjugadas - Singularidades - Teoría

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MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: Propiedades de Funciones Analíticas. Singularidades 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 47 
 
 
 
 
4 FUNCIONES ANALÍTICAS: PROPIEDADES 
SINGULARIDADES 
 
 
 
 
1. FUNCIONES ARMÓNICAS CONJUGADAS 
 
1.1. Funciones armónicas 
 
Una función real de las variables reales e es armónica en un dominio D del 
plano si para todo punto de ese conjunto tiene derivadas parciales continuas de primer y 
segundo orden y se satisface la ecuación: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Esta ecuación se conoce como Ecuación de LAPLACE o del Potencial. En términos de los 
operadores habituales del análisis vectorial, la ecuación de Laplace se escribe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 
Si una función ( ) ( ) ( ) es analítica en el dominio D y y tienen 
derivadas parciales segundas continuas en D; entonces y son armónicas en D. 
 
Demostración 
• es analítica en D  es derivable en D  se cumplen las ecuaciones de Cauchy-
Riemann para todo ( ) con en D . 
 
Derivando ambas ecuaciones respecto de y de , tenemos: 
 
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La continuidad de las derivadas parciales segundas de y de , asegura que: 
 y 
Entonces, resulta: 
 
  es armónica en D pues se cumple la ecuación de Laplace en D 
 
  es armónica en D pues se cumple la ecuación de Laplace en D 
 
Más adelante demostraremos que si es analítica en D, entonces tiene derivadas de 
todos los órdenes en D, es decir que y tienen derivadas parciales de todo orden en D 
y en consecuencia las derivadas de todo orden son continuas en D. Esto significa que en este 
teorema bastaría suponer que es analítica en D para que y sean armónicas y 
puede enunciarse: 
 
Si una función es analítica en un dominio, su parte real y su parte imaginaria son armónicas en 
ese dominio. 
 
Ejemplo 
 
• La función ( ) , es analítica en C, entonces si y 
 tienen derivadas parciales segundas continuas en C, y son armónicas en C. 
 
En efecto las derivadas parciales segundas de , 
 
 
 
 
son continuas en C y se verifica la ecuación de Laplace . Entonces es 
armónica en C 
 
Del mismo modo las derivadas parciales segundas de son continuas en C; 
 
 
 ⇒ ⇒ es armónica en C 
 
No todo par de funciones armónicas y constituyen una función analítica . Por 
ejemplo, dado el par de funciones armónicas y , estas no verifican las 
ecuaciones de Cauchy–Riemann para ningún complejo z; entonces, la función de variable 
compleja que se obtiene tomando a estas funciones y como parte real e imaginaria, no es 
analítica en ninguna región. 
 
1.2. Armónicas Conjugadas 
 
Definición: Dada la función armónica ( ), decimos que ( ) es la función 
armónica conjugada de en el dominio D sii ( ) ( ) ( ) es analítica en D 
 
En relación con este concepto podemos enunciar el siguiente teorema 
 
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Teorema 
Dada la función real ( ) armónica en un dominio simplemente conexo D, existe 
una función analítica en D cuya parte real es . También existe una función analítica en D 
cuya parte imaginaria es . 
 
Esto significa que dada una función armónica ( ) podríamos buscar la función 
armónica ( ) correspondiente tal que ( ) ( ) fuese analítica. O bien, dada 
 podríamos querer determinar la función ( ) tal que ( ) ( ) fuese analítica. 
En cualquiera de los dos casos, la función incógnita puede determinarse salvo una constante 
aditiva. Los siguientes ejemplos ilustran esta situación. 
 
Ejemplo 
 
1. Dada ( ) , obtendremos su armónica conjugada 
 
Dado que  es armónica en C, si  es su armónica conjugada en C, entonces 
 
 ( ) ( ) ( ) es analítica en C y se verifican las ecuaciones de CauchyRiemann: 
 
 y 
 
Entonces 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando respecto de la primera ecuación, se obtiene 
 
 ∫ ( ) 
 
Derivando esta expresión e igualando resulta 
 
 
 
 ( ) ⇒ ( ) ⇒ ( ) 
 
 ( ) es la armónica conjugada de la función dada 
 
Otra alternativa es integrar la ecuación 
 
 
 respecto de . Se obtiene 
 
 ∫ ( ) 
 
Igualando las dos expresiones obtenidas para  resulta que: ( ) ( ) , cR y 
 
( ) 
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Las funciones ( ) ( ) ( ) son analíticas en C 
 
2. Si la armónica conjugada de ( ) es ( ) , obtengamos . 
 
Dado que  es armónica en C, y es la armónica conjugada de en C, entonces 
 
 ( ) ( ) ( ) es analítica en C y se verifican las ecuaciones de CauchyRiemann: 
 
 
 
 y 
Entonces 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando respecto de se obtiene: 
 ∫ ( ). 
 
Derivando esta expresión e igualando resulta 
 
 
 
 ( ) ⇒ ( ) ⇒ ( ) 
 
 ( ) es la función cuya armónica conjugada es la función dada 
 
Las funciones ( ) ( ) ( ) son analíticas en C 
 
Si es la armónica conjugada de en D en general no es cierto que sea la armónica 
conjugada de en D. Se puede demostrar que si dos funciones y son armónicas 
conjugadas una de la otra ambas han de ser constantes. 
 
Si es la armónica conjugada de en D entonces es armónica conjugada de en D. 
Efectivamente, si es la armónica conjugada de en D entonces ( ) ( ) ( ) es 
analítica en D y ( ) ( ) es analítica en D por ser el producto de la función 
analítica en D con la constante . 
 
Entonces ( ) ( ) ( ) es analítica en D y es la armónica conjugada de 
 En los ejemplos desarrollados se observa este resultado. 
 
Ejemplo 
 
Sea obtener la armónica conjugada de ( ) ( ) . 
 
 ( ), y ( ) 
 
 y es armónica para todo ( ) 
 
Para obtener , la armónica conjugada de empleamos las ecuaciones de Cauchy- Riemann:MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: Propiedades de Funciones Analíticas. Singularidades 
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 y 
 
Entonces ( ) ⇒ ∫( ) 
 ( ) 
 
y como ( ) ⇒ ( ) 
 
 
Resultan ( ) las armónicas conjugadas de ( ) ( ) 
 
Las funciones ( ) ( ) son analíticas 
 
 
2. MÁS PROPIEDADES PARA LAS FUNCIONES ANALÍTICAS 
 
2.1. Teorema de ortogonalidad 
 
Si ( ) ( ) ( ) es una función analítica en la región R, las curvas de la familia 
 ( ) son trayectorias ortogonales a las curvas de la familia ( ) en R para 
y k reales, salvo quizá donde ( ) 
 
Demostración 
Sea la pendiente de la curva ( ) en ( ), punto de intersección con la curva 
 ( ) 
 
El diferencial total de la función es 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resulta y se obtiene, despejando de la ecuación , la 
pendiente de la recta tangente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea la pendiente de la familia de curvas ( ) en ( ) punto de intersección con 
la curva ( ) , entonces procediendo del mismo modo con obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como ( ) ( ) ( ) es una función analítica en R se cumplen las ecuaciones de 
Cauchy-Riemann y 
 
 
Reemplazando, se obtiene 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⇒ 
El producto de las pendientes de las familias es en consecuencia se trata de curvas 
ortogonales. 
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Obtener la armónica conjugada de , permite identificar una familia de curvas ( ) 
ortogonal a la familia dada ( ) . 
 
Ejemplo 
 
Para encontrar la familia de curvas ortogonal a , consideramos que si la función 
 ( ) es armónica, entonces su armónica conjugada ( ) determina una familia 
de curvas ( ) ortogonal a la familia . 
 
Dado que: obtenemos integrando 
 
 
 ( ) 
 
Como ( ) ( ) 
 
 
 
 
La función obtenida es 
 
 
 
 
 
 y la familia ortogonal a la dada es: 
 
La función ( ) ( ) es analítica en C pues es la armónica conjugada de 
en C. 
 
Las curvas , tienen como imagen la red cartesiana, y , 
en el plano a través de ( ). 
 
 
Para obtener / ( ) ( ) expresada en función de en lugar de ( ) , 
podemos recurrir al siguiente teorema 
 
Teorema 
Si en una función analítica ( ) ( ) ( ) se reemplazan las variables e por 
las expresiones 
 
( ̅)
 
 
( ̅)
 
 
obtenemos a como función de la variable . 
 
Ejemplos 
 
1. Si dada ( ) ( ) ( ) reemplazamos e por las expresiones 
 
( ̅)
 
 
( ̅)
 
 
Obtenemos ( ) . En este caso es entera. 
 
2. En el caso de ( ) ( ) ( ) si reemplazamos e por las expresiones 
dadas obtenemos 
 ( ̅) (
 
 
 ) ̅ (
 
 
 ) 
La función dada no es analítica en ninguna parte. 
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3. SINGULARIDADES 
 
3.1. Definición 
 
Sí , una función compleja, no es analítica en y para toda vecindad de hay puntos 
donde es analítica, entonces es un punto singular o singularidad de . 
 
3.2. Singularidad aislada 
 
Un punto singular es un punto singular aislado, si existe una vecindad de en la que 
es analítica. Esto es que en algún entorno de , es regular para todo z excepto . 
 
Si no es analítica en pero es analítica en los demás puntos de la región R, 
entonces existen vecindades o entornos reducidos de en los que es analítica. 
Estos puntos constituyen singularidades aisladas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 29: Singularidades aisladas en z
1
, z
2
 y z
3
 
3.3. Singularidad no aislada 
 
El punto singular es una singularidad no aislada de si en todo entorno reducido de 
hay algún punto singular. Una singularidad no aislada de es un punto de acumulación del 
conjunto de sus singularidades. 
 
Ejemplos 
 
1. Dada ( ) 
 
( )( )( )
 
 es analítica { } y estos puntos son singularidades aisladas de . 
 
2. Sea ( ) 
 
 ( )
 ( ) (
 
 
); 
• 
 
 
 no está definido para z  no está definida para 
 
• no está definida para 
 
 
 { } pues (
 
 
)  
 
 
 { } 
 
Entonces no es continua en y 
 
 
  no es derivable en y  
 
z2 
R
 
y 
z1 
z3 
x 
z1 
z2 
z3 
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 no es analítica en y . 
 
Dado que es analítica en { 
 
 ⁄ { }} , presenta el siguiente conjunto 
infinito de singularidades: 
{ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
} 
 
Se observa que es una singularidad no aislada de pues para todo entorno reducido 
de existe algún punto singular de . En cambio, los puntos 
 
 
 { }, son 
singularidades aisladas de pues para todo existe un entorno reducido de donde es 
analítica. 
 
3. Sea ( ) | | 
 
Veamos qué sucede en los puntos pertenecientes a la semirrecta que parte del origen y que 
forma un ángulo  con el eje x. Definamos una curva cualquiera cerrada simple que empieza 
y termina en , algún punto de la semirrecta dada, a la que recorremos en sentido antihorario 
y que rodea al punto de partida de la semirrecta.(Figura 30) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30: Una curva cerrada rodea al origen y se recorre desde z
0
 
Calculemos ahora 
 
 
 ( ) 
 
• Si nos acercamos a por el camino definido por los primeros puntos de la curva; 
 
 
 
 ( ) 
 
• Si nos acercamos a por el camino definido por los últimos puntos de la curva; 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Resulta no existe este límite y ( ) no es continua en , entonces no es derivable y en 
consecuencia no es analítica en . Concluimos que no es analítica en los puntos de la 
semirrecta A esta semirrecta se la llama corte de rama de la función. 
 
Los puntos del corte de rama son puntos singulares. Como para todo entorno reducido de los 
puntos de esa semirrecta hay puntos singulares, estos constituyen singularidades no aisladas. 
z0 
 x 
y 
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La función definida en este ejemplo es una rama de . El punto 
 , punto origen del corte de rama, se llama punto de ramificación. 
 
Ramas y puntos de ramificación: 
 
Un corte de rama es una porción de recta o de curva que se elige con el objeto de definir una 
rama de una función multivaluada. Esta rama resulta cualquier función 
 definida analítica para toda z y para la que ( ) es uno de los valores de la función 
multivaluada. 
 
Los puntos sobre el corte de rama son puntos singulares de . Cualquier punto que es común a 
todos los cortes de rama se llama punto de ramificación. Un punto de ramificación es aquel 
para el que si se describe un circuito que recorre una curva que lo encierra (pero no encierra 
otra singularidad) el valor asumido por la función al finalizar el circuito difiere del obtenido al 
iniciar el recorrido. 
 
En el caso de la función logaritmo, en general, se definen como ramas principales alguna de las 
siguientes: 
 
• -  < arg z < donde el corte de rama está dado por la semirrecta  =  
 
• 0 < arg z < 2  donde el corte de rama está dado por la semirrecta  = 0 
 
 
3.4. Clases de singularidades aisladas 
 
Las singularidades aisladas se clasifican en: evitables o removibles, polares y esenciales. 
 
Singularidad evitable o removible 
 
El punto , una singularidad aislada de es evitable si existe y es finito el ( ) 
 
En este caso no es analítica en porque no está definida en , o porque ( ) ( ) 
 
En ambos casos no es continua en y esta singularidad puede evitarse o removerse 
mediante la definición del valor apropiado de en . 
 
Ejemplo
 
 
Si ( ) 
 
 
, es el cociente de dos funciones analíticas en C y es por lo tanto analítica 
excepto para donde se anula el denominador. Este punto es una singularidad aislada 
de . 
 
Si calculamos el límite, existe y es finito: 
 
 
 ( ) 
 
( )( )
 
 
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 es una singularidad evitable. 
 
Singularidad polar 
 
Si el punto es una singularidad aislada de , es polar si 
 
 
 
 ( ) 
 
Ejemplo 
 
Si ( ) 
 
( ) 
, es analítica ⇒ es una singularidad aislada de . 
 
Como 
 
( ) 
 es una singularidad polar o un polo . 
 
 
Singularidad esencial 
 
Un punto singular aislado es una singularidad esencial si no existe el ( ) finito o 
infinito; o, si la singularidad aislada no es removible ni polar. 
 
Ejemplo 
 
Sea ( ) ⁄ , no es analítica en que es una singularidad aislada. 
 
Para clasificarla determinamos el límite para z tendiendo a cero 
 
• Si nos acercarnos a por el semieje x positivo. En este caso resulta: 
 
 
 
 ⁄ 
 
 ⁄ 
 
• Si nos acercarnos a por el semieje x negativo. En este caso resulta: 
 
 
 
 ⁄ 
 
 ⁄ 
 
Es decir, 
 
 ( ) ⇒ es una singularidad esencial 
 
 
3.4.1. Orden de los polos 
 
Por motivos que tienen que ver con las aplicaciones de las funciones analíticas estamos 
interesados en estudiar con algún detenimiento los polos de esas funciones. Por ello daremos 
una nueva definición de polo que incluye a la anterior y que al mismo tiempo permite 
clasificarlo por la velocidad con que la función tiende a infinito en el entorno del polo; ello se 
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logra estableciendo el orden del polo. Cuanto mayor es el orden del polo más rápidamente 
tiende a infinito. 
 
Definición: Sea analítica en un entorno reducido de , posee en un polo de 
orden p si, ( ) 
 ( )
( )
 , p natural, analítica en y ( ) para un entorno de 
 
Si el polo se llama simple, si el polo es múltiple de orden p . 
 
Resulta trivial que si es un polo de , cuando ( ) como se decía en la 
definición preliminar de polo. 
 
De la expresión con que definimos polo de orden p , podemos decir que 
 
 ( ) ( )( )
 
 
 
 Donde es analítica en  es continua en  
 
 
 
 ( ) 
 
 ( )( )
 ( ) 
 
Donde la existencia de este límite implica que 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( )( )
 
 
Por otra parte como ( ) entonces también debe verificarse 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( )( )
 
 
El orden del polo quedará determinado como aquel número natural p para el que: 
 
 
 
 ( )( )
 {
 
 
 
 
 
Ejemplos
 
 
1. Para ( ) 
 
( ) 
 , con una singularidad polar en , vamos a determinar el orden 
del polo 
 
Resulta: 
 
 
( ) 
( ) 
 
 
( ) {
 ⇒ ( ) 
 ⇒ ( ) 
 ⇒ ( ) 
 
 
Hemos obtenido que el polo es de orden p = 4. 
 
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2. Para ( ) (
 
 
), las singularidades aisladas son 
 
 
 { } . 
 
Como 
 
 (
 
 
) se trata de singularidades polares. Para obtener el orden de los 
polos calculamos 
 
 
 
 
( 
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
Como este límite resulta indeterminado, de la forma ( ⁄ ), empleamos la Regla de L’Hopital 
para el cálculo de límites indeterminados (que se extiende a funciones complejas) y derivamos 
las funciones en el numerador y denominador. Así se obtiene 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
Como para p > 1 este límite es cero, para p < 1 este límite es infinito y para p = 1 este 
límite es 
 
( ) 
 si es par y 
 
( ) 
 si es impar resulta que en 
 
 
 { } 
hay polos simples.