MICROECONOMIA 2 EJERCICIOS

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Visión Panorámica
Preferencias y Elecciones
La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Microeconoḿıa:
Primera sesión: Teoŕıa del Consumidor I
Renzo Álvarez Carcheri
ralvarez@sunass.gob.pe
12 de Febrero, 2020
Renzo Álvarez Carcheri Microeconoḿıa
Visión Panorámica
Preferencias y Elecciones
La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Teoŕıa del consumidor: Parte 1
1 Visión Panorámica
Las categorias básicas
Análisis complementario
2 Preferencias y Elecciones
El conjunto de consumo
Relaciones básicas de preferencias
Continuidad, Convexidad y Monotonia
3 La función de utilidad
4 Enfoque primal: Maximización de utilidad
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
5 Enfoque dual: Minimización del gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
Renzo Álvarez Carcheri Microeconoḿıa
Visión Panorámica
Preferencias y Elecciones
La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Las categorias básicas
Análisis complementario
Actores, conducta e instituciones
La teoŕıa microeconómica se ocupa de la conducta de los
actores económicos individuales y de la agregación de sus
acciones en contextos institucionales diversos. (Kreps, 1994)
Actores: Consumidor invididual y la empresa.
Conducta: Consumidor maximiza la utilidad y empresa
maximiza beneficios.
Marco Institucional: Entorno que presenta a los actores las
opciones disponibles y resultados para cada individuo.
Renzo Álvarez Carcheri Microeconoḿıa
Visión Panorámica
Preferencias y Elecciones
La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Las categorias básicas
Análisis complementario
Actores, conducta e instituciones
La teoŕıa microeconómica se ocupa de la conducta de los
actores económicos individuales y de la agregación de sus
acciones en contextos institucionales diversos. (Kreps, 1994)
Actores: Consumidor invididual y la empresa.
Conducta: Consumidor maximiza la utilidad y empresa
maximiza beneficios.
Marco Institucional: Entorno que presenta a los actores las
opciones disponibles y resultados para cada individuo.
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La función de utilidad
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Enfoque dual: Minimización del gasto
Las categorias básicas
Análisis complementario
Actores, conducta e instituciones
La teoŕıa microeconómica se ocupa de la conducta de los
actores económicos individuales y de la agregación de sus
acciones en contextos institucionales diversos. (Kreps, 1994)
Actores: Consumidor invididual y la empresa.
Conducta: Consumidor maximiza la utilidad y empresa
maximiza beneficios.
Marco Institucional: Entorno que presenta a los actores las
opciones disponibles y resultados para cada individuo.
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Preferencias y Elecciones
La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Las categorias básicas
Análisis complementario
Actores, conducta e instituciones
La teoŕıa microeconómica se ocupa de la conducta de los
actores económicos individuales y de la agregación de sus
acciones en contextos institucionales diversos. (Kreps, 1994)
Actores: Consumidor invididual y la empresa.
Conducta: Consumidor maximiza la utilidad y empresa
maximiza beneficios.
Marco Institucional: Entorno que presenta a los actores las
opciones disponibles y resultados para cada individuo.
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Visión Panorámica
Preferencias y Elecciones
La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Las categorias básicas
Análisis complementario
Equilibrio y objetivo
Situación en la que cada agente individual actúa de la mejor
forma posible para śı mismo, dado el conjunto de acciones
escogidas por los demás y dado el marco institucional que
define las opciones de los individuos y que vincula sus
acciones.
Colección de acciones individuales en las que el proceso de
retroalimentación no da lugar a un cambio subsiguiente de la
conducta.
Objetivo: Comprender el mercado para hacerlo funcionar
mejor a nuestro favor y estudiar las eficiencias e ineficiencias
de los diversos marcos institucionales con una perspectiva de
poĺıtica económica.
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Las categorias básicas
Análisis complementario
Equilibrio y objetivo
Situación en la que cada agente individual actúa de la mejor
forma posible para śı mismo, dado el conjunto de acciones
escogidas por los demás y dado el marco institucional que
define las opciones de los individuos y que vincula sus
acciones.
Colección de acciones individuales en las que el proceso de
retroalimentación no da lugar a un cambio subsiguiente de la
conducta.
Objetivo: Comprender el mercado para hacerlo funcionar
mejor a nuestro favor y estudiar las eficiencias e ineficiencias
de los diversos marcos institucionales con una perspectiva de
poĺıtica económica.
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La función de utilidad
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Enfoque dual: Minimización del gasto
Las categorias básicas
Análisis complementario
Equilibrio y objetivo
Situación en la que cada agente individual actúa de la mejor
forma posible para śı mismo, dado el conjunto de acciones
escogidas por los demás y dado el marco institucional que
define las opciones de los individuos y que vincula sus
acciones.
Colección de acciones individuales en las que el proceso de
retroalimentación no da lugar a un cambio subsiguiente de la
conducta.
Objetivo: Comprender el mercado para hacerlo funcionar
mejor a nuestro favor y estudiar las eficiencias e ineficiencias
de los diversos marcos institucionales con una perspectiva de
poĺıtica económica.
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Enfoque dual: Minimización del gasto
El conjunto de consumo
Relaciones básicas de preferencias
Continuidad, Convexidad y Monotonia
Conjunto y plan de consumo
Contexto de l bienes (bienes y servicios) en la econoḿıa
Conjunto de consumo X:
X ⊆ IRl+
Plan de consumo x
x ∈ X
El conjunto de consumo satisface las siguientes propiedades:
X es un subconjunto no vaćıo y cerrado de IRl+
X tiene una cota inferior para ≤
X es un conjunto convexo
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El conjunto de consumo
Relaciones básicas de preferencias
Continuidad, Convexidad y Monotonia
Conjunto y plan de consumo
Contexto de l bienes (bienes y servicios) en la econoḿıa
Conjunto de consumo X:
X ⊆ IRl+
Plan de consumo x
x ∈ X
El conjunto de consumo satisface las siguientes propiedades:
X es un subconjunto no vaćıo y cerrado de IRl+
X tiene una cota inferior para ≤
X es un conjunto convexo
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El conjunto de consumo
Relaciones básicas de preferencias
Continuidad, Convexidad y Monotonia
Conjunto y plan de consumo
Contexto de l bienes (bienes y servicios) en la econoḿıa
Conjunto de consumo X:
X ⊆ IRl+
Plan de consumo x
x ∈ X
El conjunto de consumo satisface las siguientes propiedades:
X es un subconjunto no vaćıoy cerrado de IRl+
X tiene una cota inferior para ≤
X es un conjunto convexo
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El conjunto de consumo
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Conjunto y plan de consumo
Contexto de l bienes (bienes y servicios) en la econoḿıa
Conjunto de consumo X:
X ⊆ IRl+
Plan de consumo x
x ∈ X
El conjunto de consumo satisface las siguientes propiedades:
X es un subconjunto no vaćıo y cerrado de IRl+
X tiene una cota inferior para ≤
X es un conjunto convexo
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Conjunto y plan de consumo
Contexto de l bienes (bienes y servicios) en la econoḿıa
Conjunto de consumo X:
X ⊆ IRl+
Plan de consumo x
x ∈ X
El conjunto de consumo satisface las siguientes propiedades:
X es un subconjunto no vaćıo y cerrado de IRl+
X tiene una cota inferior para ≤
X es un conjunto convexo
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El conjunto de consumo
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Conjunto y plan de consumo
Contexto de l bienes (bienes y servicios) en la econoḿıa
Conjunto de consumo X:
X ⊆ IRl+
Plan de consumo x
x ∈ X
El conjunto de consumo satisface las siguientes propiedades:
X es un subconjunto no vaćıo y cerrado de IRl+
X tiene una cota inferior para ≤
X es un conjunto convexo
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Conjunto y plan de consumo
Contexto de l bienes (bienes y servicios) en la econoḿıa
Conjunto de consumo X:
X ⊆ IRl+
Plan de consumo x
x ∈ X
El conjunto de consumo satisface las siguientes propiedades:
X es un subconjunto no vaćıo y cerrado de IRl+
X tiene una cota inferior para ≤
X es un conjunto convexo
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Propiedades fundamentales de las preferencias
Alternativas posibles para el consumidor dados dos pares de
canastas x1 y x2 :
x1 es mejor que x2, pero no lo contrario
x2 es mejor que x1, pero no lo contrario
Ni x2 y ni x1 le parece mejor
x1 es mejor que x2 y x2 es mejor que x1
Supuesto 1: Asimetŕıa
∀(x1, x2) ∈ X no ocurre que, si x1 �i x2, entonces x2 � x1.
Supuesto 2: Transitividad negativa
∀(x1, x2, x3) ∈ X , si x1 � x2 y para x3, o bien x1 � x3, o bien x3 �
x2, o ambas a la vez.
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Propiedades fundamentales de las preferencias
Alternativas posibles para el consumidor dados dos pares de
canastas x1 y x2 :
x1 es mejor que x2, pero no lo contrario
x2 es mejor que x1, pero no lo contrario
Ni x2 y ni x1 le parece mejor
x1 es mejor que x2 y x2 es mejor que x1
Supuesto 1: Asimetŕıa
∀(x1, x2) ∈ X no ocurre que, si x1 �i x2, entonces x2 � x1.
Supuesto 2: Transitividad negativa
∀(x1, x2, x3) ∈ X , si x1 � x2 y para x3, o bien x1 � x3, o bien x3 �
x2, o ambas a la vez.
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Propiedades fundamentales de las preferencias
Alternativas posibles para el consumidor dados dos pares de
canastas x1 y x2 :
x1 es mejor que x2, pero no lo contrario
x2 es mejor que x1, pero no lo contrario
Ni x2 y ni x1 le parece mejor
x1 es mejor que x2 y x2 es mejor que x1
Supuesto 1: Asimetŕıa
∀(x1, x2) ∈ X no ocurre que, si x1 �i x2, entonces x2 � x1.
Supuesto 2: Transitividad negativa
∀(x1, x2, x3) ∈ X , si x1 � x2 y para x3, o bien x1 � x3, o bien x3 �
x2, o ambas a la vez.
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Enfoque dual: Minimización del gasto
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Propiedades fundamentales de las preferencias
Alternativas posibles para el consumidor dados dos pares de
canastas x1 y x2 :
x1 es mejor que x2, pero no lo contrario
x2 es mejor que x1, pero no lo contrario
Ni x2 y ni x1 le parece mejor
x1 es mejor que x2 y x2 es mejor que x1
Supuesto 1: Asimetŕıa
∀(x1, x2) ∈ X no ocurre que, si x1 �i x2, entonces x2 � x1.
Supuesto 2: Transitividad negativa
∀(x1, x2, x3) ∈ X , si x1 � x2 y para x3, o bien x1 � x3, o bien x3 �
x2, o ambas a la vez.
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Propiedades fundamentales de las preferencias
Proposicion 1
Si � es asimétrica y negativamente transitiva, entonces � es
irreflexiva, transitiva y aćıclica.
Irreflexividad: ∀x ∈ X , @ algún x en donde x � x
Transitividad: ∀(x1, x2, x3) ∈ X , si x1 � x2 y x2 � x3,
entonces x1 � x3
Aciclicidad: Si, para un entero finito dado n,
x1 � x2, x2 � x3, ..., xn−1 � xn, entonces xn 6= x1
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Propiedades fundamentales de las preferencias
Proposicion 1
Si � es asimétrica y negativamente transitiva, entonces � es
irreflexiva, transitiva y aćıclica.
Irreflexividad: ∀x ∈ X , @ algún x en donde x � x
Transitividad: ∀(x1, x2, x3) ∈ X , si x1 � x2 y x2 � x3,
entonces x1 � x3
Aciclicidad: Si, para un entero finito dado n,
x1 � x2, x2 � x3, ..., xn−1 � xn, entonces xn 6= x1
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Propiedades fundamentales de las preferencias
Proposicion 1
Si � es asimétrica y negativamente transitiva, entonces � es
irreflexiva, transitiva y aćıclica.
Irreflexividad: ∀x ∈ X , @ algún x en donde x � x
Transitividad: ∀(x1, x2, x3) ∈ X , si x1 � x2 y x2 � x3,
entonces x1 � x3
Aciclicidad: Si, para un entero finito dado n,
x1 � x2, x2 � x3, ..., xn−1 � xn, entonces xn 6= x1
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El conjunto de consumo
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Preferencia débil e indiferencia
Proposición 2
Si � cumplelos supuestos 1 y 2, y la preferencia débil (%) y la
indiferencia (∼) se definen a partir de la � entonces se cumple:
% es completa: ∀ (x1, x2), o bien x1 % x2, o bien, x2 % x1, o
ambas a la vez.
% es transitiva: ∀ (x1, x2, x3). Si x1 % x2 y x2 % x3, entonces
x1 % x3
∼ es reflexiva: ∀ xsecumplequex ∼ x . Es simétrica, pues
x1 ∼ x2, implica x2 ∼ x1,y finalmente, es transitiva, x1 ∼ x2 y
x2 ∼ x3, entonces x1 ∼ x3
Si x4 ∼ x1 y x1 � x2 y x2 ∼ x3, entonces x4 � x2 y x1 � x3
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Preferencia débil e indiferencia
Proposición 2
Si � cumple los supuestos 1 y 2, y la preferencia débil (%) y la
indiferencia (∼) se definen a partir de la � entonces se cumple:
% es completa: ∀ (x1, x2), o bien x1 % x2, o bien, x2 % x1, o
ambas a la vez.
% es transitiva: ∀ (x1, x2, x3). Si x1 % x2 y x2 % x3, entonces
x1 % x3
∼ es reflexiva: ∀ xsecumplequex ∼ x . Es simétrica, pues
x1 ∼ x2, implica x2 ∼ x1,y finalmente, es transitiva, x1 ∼ x2 y
x2 ∼ x3, entonces x1 ∼ x3
Si x4 ∼ x1 y x1 � x2 y x2 ∼ x3, entonces x4 � x2 y x1 � x3
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Preferencia débil e indiferencia
Proposición 2
Si � cumple los supuestos 1 y 2, y la preferencia débil (%) y la
indiferencia (∼) se definen a partir de la � entonces se cumple:
% es completa: ∀ (x1, x2), o bien x1 % x2, o bien, x2 % x1, o
ambas a la vez.
% es transitiva: ∀ (x1, x2, x3). Si x1 % x2 y x2 % x3, entonces
x1 % x3
∼ es reflexiva: ∀ xsecumplequex ∼ x . Es simétrica, pues
x1 ∼ x2, implica x2 ∼ x1,y finalmente, es transitiva, x1 ∼ x2 y
x2 ∼ x3, entonces x1 ∼ x3
Si x4 ∼ x1 y x1 � x2 y x2 ∼ x3, entonces x4 � x2 y x1 � x3
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Preferencia débil e indiferencia
Proposición 2
Si � cumple los supuestos 1 y 2, y la preferencia débil (%) y la
indiferencia (∼) se definen a partir de la � entonces se cumple:
% es completa: ∀ (x1, x2), o bien x1 % x2, o bien, x2 % x1, o
ambas a la vez.
% es transitiva: ∀ (x1, x2, x3). Si x1 % x2 y x2 % x3, entonces
x1 % x3
∼ es reflexiva: ∀ xsecumplequex ∼ x . Es simétrica, pues
x1 ∼ x2, implica x2 ∼ x1,y finalmente, es transitiva, x1 ∼ x2 y
x2 ∼ x3, entonces x1 ∼ x3
Si x4 ∼ x1 y x1 � x2 y x2 ∼ x3, entonces x4 � x2 y x1 � x3
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El conjunto de consumo
Relaciones básicas de preferencias
Continuidad, Convexidad y Monotonia
Continuidad
Continuidad
∀x0 ∈ X los siguientes conjuntos son abiertos:
M(x0) ≡ {x ∈ X / x � x0}
P(x0) ≡ {x ∈ X / x0 � x}
Se pueden definir los siguientes conjuntos como cerrados:
MI (x0) ≡ x ∈ X/x % x0
PI (x0) ≡ x ∈ X/x0 % x
I (x0) ≡ x ∈ X/x0 ∼ xi
Con axiomas introducidos se tiene que:
MI (x0) ∩ PI (x0) = I (x0)
MI (x0) ∪ PI (x0) = X
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El conjunto de consumo
Relaciones básicas de preferencias
Continuidad, Convexidad y Monotonia
Continuidad
Continuidad
∀x0 ∈ X los siguientes conjuntos son abiertos:
M(x0) ≡ {x ∈ X / x � x0}
P(x0) ≡ {x ∈ X / x0 � x}
Se pueden definir los siguientes conjuntos como cerrados:
MI (x0) ≡ x ∈ X/x % x0
PI (x0) ≡ x ∈ X/x0 % x
I (x0) ≡ x ∈ X/x0 ∼ xi
Con axiomas introducidos se tiene que:
MI (x0) ∩ PI (x0) = I (x0)
MI (x0) ∪ PI (x0) = X
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Continuidad
Figure: Teorema 1 y 2 Figure: Teorema 1,2,y 3
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Monotonia
Figure: Teorema 1,2,3 y 4’
No-saciabilidad local
∀x1 ∈ X y un � cualquiera
tal que � > 0. Existe algun
x2 ∈ B�(x1) tal que,
x2 � x1
Monotinicidad Estricta
∀(x1, x2) ∈ X . Si x1 > x2
entonces x1 � x2
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Convexidad
Convexidad estricta
∀(x1, x2) ∈ X y ∀λ ∈ [0, 1]
x1 % x2, x1 6= x2 → [λx1 + (1− λ)x2] � x2
Figure: Teorema 1,2,3 y 4
Figure: Teorema 1,2,3,4 y 5
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Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
El conjunto de consumo
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Continuidad, Convexidad y Monotonia
Discusiones preliminares de curva de indiferencia
Figure: Teorema 1,2,3,4 y 5
Pendiente negativa
Tasa Marginal de
sustitución (TMSx1,x2)
∆x2
∆x1
= −∂x2∂x1
∃ un mapa de curvas de
indiferencia
Existe un punto de
saciedad
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La función de utilidad
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Enfoque dual: Minimización del gasto
El conjunto de consumo
Relaciones básicas de preferencias
Continuidad, Convexidad y Monotonia
Discusiones preliminares de curva de indiferencia
Figure: Teorema 1,2,3,4 y 5
Pendiente negativa
Tasa Marginal de
sustitución (TMSx1,x2)
∆x2
∆x1
= −∂x2∂x1
∃ un mapa de curvas de
indiferencia
Existe un punto de
saciedad
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La función de utilidad
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Enfoque dual: Minimización del gasto
El conjunto de consumo
Relaciones básicas de preferencias
Continuidad, Convexidad y Monotonia
Discusiones preliminares de curva de indiferencia
Figure: Teorema 1,2,3,4 y 5
Pendiente negativa
Tasa Marginal de
sustitución (TMSx1,x2)
∆x2
∆x1
= −∂x2∂x1
∃ un mapa de curvas de
indiferencia
Existe un punto de
saciedad
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
El conjunto de consumo
Relaciones básicas de preferencias
Continuidad, Convexidad y Monotonia
Discusiones preliminares de curva de indiferencia
Figure: Teorema 1,2,3,4 y 5
Pendiente negativa
Tasa Marginal de
sustitución (TMSx1,x2)
∆x2
∆x1
= −∂x2∂x1
∃ un mapa de curvas de
indiferencia
Existe un punto de
saciedad
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La función de Utilidad
Definición
Una función u : X → R representa la relación de preferencia % si y
solo si ∀(x , x ′) ∈ X se verifica:
u(x) ≥ u(x ′)⇐⇒ x % x ′
Proposición 4.1
Si la relación de preferencias % definidasobre X ⊂ Rl es reflexiva,
transitiva, completa, continua y satisface la monotońıa fuerte.
Entonces, existe una función de utilidad continua u : Rl −→ R que
representa esas preferencias.
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La función de utilidad
Proposición 4.2
Cualquier función de la forma v(xi ) = f (u(xi )), donde f es una
función estrictamente creciente, también es una función de utilidad
que representa la misma relación de preferencias.
Figure: Existencia de una u(x)
Propiedades
u(x) es estrictamente
creciente si y solo si % es
estrictamente monotona.
u(x) es cuasiconcava si y
solo si % es convexa.
u(x) es estrictamente
cuasiconcava si y solo si %
es estrictamente convexa.
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La función de utilidad
Proposición 4.2
Cualquier función de la forma v(xi ) = f (u(xi )), donde f es una
función estrictamente creciente, también es una función de utilidad
que representa la misma relación de preferencias.
Figure: Existencia de una u(x)
Propiedades
u(x) es estrictamente
creciente si y solo si % es
estrictamente monotona.
u(x) es cuasiconcava si y
solo si % es convexa.
u(x) es estrictamente
cuasiconcava si y solo si %
es estrictamente convexa.
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La función de utilidad
Proposición 4.2
Cualquier función de la forma v(xi ) = f (u(xi )), donde f es una
función estrictamente creciente, también es una función de utilidad
que representa la misma relación de preferencias.
Figure: Existencia de una u(x)
Propiedades
u(x) es estrictamente
creciente si y solo si % es
estrictamente monotona.
u(x) es cuasiconcava si y
solo si % es convexa.
u(x) es estrictamente
cuasiconcava si y solo si %
es estrictamente convexa.
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La función de utilidad
Proposición 4.2
Cualquier función de la forma v(xi ) = f (u(xi )), donde f es una
función estrictamente creciente, también es una función de utilidad
que representa la misma relación de preferencias.
Figure: Existencia de una u(x)
Propiedades
u(x) es estrictamente
creciente si y solo si % es
estrictamente monotona.
u(x) es cuasiconcava si y
solo si % es convexa.
u(x) es estrictamente
cuasiconcava si y solo si %
es estrictamente convexa.
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La función de utilidad y la curva de indiferencia
Se sabe que para una CI:
u(x1, x2) = constante
Además, la utilidad marginal se escribe como:
Umgx1 =
∂u(x1,x2)
∂x1
y Umgx2 =
∂u(x1,x2)
∂x2
Aplicando la derivada total a u(x) e igualando a cero, se tiene:
∂u(x1, x2) =
∂u(x1,x2)
x1
∂x1 +
u(x1,x2)
x2
∂x2 = 0
Finalmente, se obtiene la Tasa Marginal de Sustitución:
TMSx1,x2 = −
Umg1
Umg2
= −∂x2∂x1
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La función de utilidad y la curva de indiferencia
Se sabe que para una CI:
u(x1, x2) = constante
Además, la utilidad marginal se escribe como:
Umgx1 =
∂u(x1,x2)
∂x1
y Umgx2 =
∂u(x1,x2)
∂x2
Aplicando la derivada total a u(x) e igualando a cero, se tiene:
∂u(x1, x2) =
∂u(x1,x2)
x1
∂x1 +
u(x1,x2)
x2
∂x2 = 0
Finalmente, se obtiene la Tasa Marginal de Sustitución:
TMSx1,x2 = −
Umg1
Umg2
= −∂x2∂x1
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La función de utilidad y la curva de indiferencia
Se sabe que para una CI:
u(x1, x2) = constante
Además, la utilidad marginal se escribe como:
Umgx1 =
∂u(x1,x2)
∂x1
y Umgx2 =
∂u(x1,x2)
∂x2
Aplicando la derivada total a u(x) e igualando a cero, se tiene:
∂u(x1, x2) =
∂u(x1,x2)
x1
∂x1 +
u(x1,x2)
x2
∂x2 = 0
Finalmente, se obtiene la Tasa Marginal de Sustitución:
TMSx1,x2 = −
Umg1
Umg2
= −∂x2∂x1
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La función de utilidad y la curva de indiferencia
Se sabe que para una CI:
u(x1, x2) = constante
Además, la utilidad marginal se escribe como:
Umgx1 =
∂u(x1,x2)
∂x1
y Umgx2 =
∂u(x1,x2)
∂x2
Aplicando la derivada total a u(x) e igualando a cero, se tiene:
∂u(x1, x2) =
∂u(x1,x2)
x1
∂x1 +
u(x1,x2)
x2
∂x2 = 0
Finalmente, se obtiene la Tasa Marginal de Sustitución:
TMSx1,x2 = −
Umg1
Umg2
= −∂x2∂x1
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
El sistema de precios
Un sistema de precios es un vector p ∈ Rl , donde
p ≡ (p1, p2, ..., pl), pk ≥ 0, k = 1, 2, ..., l . El gasto del
consumidor i para consumir el vector
x ∈ X , x ≡ (x1, x2, ..., xl) es:
p.x =
∑l
k=1 pkxk
Aśı mismo, se supone tambien que el consumidor esta dotado
de ciertos ingresos y ∈ R.
Conjunto factible para el consumidor B ⊂ Xi :
B = {x ∈ X :
∑l
k=1 pkxk ≤ y} ó B = {x ∈ X : p.x ≤ y}
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
El sistema de precios
Un sistema de precios es un vector p ∈ Rl , donde
p ≡ (p1, p2, ..., pl), pk ≥ 0, k = 1, 2, ..., l . El gasto del
consumidor i para consumir el vector
x ∈ X , x ≡ (x1, x2, ..., xl) es:
p.x =
∑l
k=1 pkxk
Aśı mismo, se supone tambien que el consumidor esta dotado
de ciertos ingresos y ∈ R.
Conjunto factible para el consumidor B ⊂ Xi :
B = {x ∈ X :
∑l
k=1 pkxk ≤ y} ó B = {x ∈ X : p.x ≤ y}
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
El sistema de precios
Un sistema de precios es un vector p ∈ Rl , donde
p ≡ (p1, p2, ..., pl), pk ≥ 0, k = 1, 2, ..., l . El gasto del
consumidor i para consumir el vector
x ∈ X , x ≡ (x1, x2, ..., xl) es:
p.x =
∑l
k=1 pkxk
Aśı mismo, se supone tambien que el consumidor esta dotado
de ciertos ingresos y ∈ R.
Conjunto factible para el consumidor B ⊂ Xi :
B = {x ∈ X :
∑l
k=1 pkxk ≤ y} ó B = {x ∈ X : p.x ≤ y}
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
El conjunto factible
Figure: Cojunto factible o conjunto de presupuesto
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Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restriccionesdel consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
El problema de decisión del consumidor
El problema de la maximización de la utilidad para el
consumidor se escribe:
maxx∈X u(x) sujeto a p.x ≤ y
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Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
Derivación de la demanda marshalliana
Lema 5.1
Si las preferencias son convexas, el conjunto de soluciones es
convexo. Si las preferencias son estrictamente convexas, la
solución será única.
Lema 5.2
Si las preferencias (además de ser un preorden completo y
continuas) son no saciables localmente, y si x∗ es una solución del
problema del consumidor para (p, y), entonces p.x = y
El resultado de la decisión de maximizar la utilidad es:
x∗i = xi (p, y)
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
El problema de decisión del consumidor
Resolviendo para el caso de 2 bienes:
−
Umgj
Umgk
= −
pj
pk
Example (1)
Resolver el problema de la maximización de utilidad para la función
CES: u(x1, x2) = (x
ρ
1 + x
ρ
2 )
1
ρ donde ρ 6= 0 y ρ < 1
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
Función de utilidad indirecta
Definición
Representa la maxima utilidad que puede alcanzar que puede
alcanzar el consumidor dado los precios y sus ingresos
v(p, y) = max
x∈X
u(x) sjt.a p.x ≤ y
v(p, y) = u(x(p, y))
Propiedades:
Continua en p e y y cuasi-convexa en (p, y)
Homogenea de grado cero (p, y)
Estrictamente creciente en y y no decreciente en p
Se cumple la Identidad de Roy
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
Función de utilidad indirecta
Definición
Representa la maxima utilidad que puede alcanzar que puede
alcanzar el consumidor dado los precios y sus ingresos
v(p, y) = max
x∈X
u(x) sjt.a p.x ≤ y
v(p, y) = u(x(p, y))
Propiedades:
Continua en p e y y cuasi-convexa en (p, y)
Homogenea de grado cero (p, y)
Estrictamente creciente en y y no decreciente en p
Se cumple la Identidad de Roy
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
Función de utilidad indirecta
Definición
Representa la maxima utilidad que puede alcanzar que puede
alcanzar el consumidor dado los precios y sus ingresos
v(p, y) = max
x∈X
u(x) sjt.a p.x ≤ y
v(p, y) = u(x(p, y))
Propiedades:
Continua en p e y y cuasi-convexa en (p, y)
Homogenea de grado cero (p, y)
Estrictamente creciente en y y no decreciente en p
Se cumple la Identidad de Roy
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Enfoque primal: Maximización de utilidad
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Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
Función de utilidad indirecta
Definición
Representa la maxima utilidad que puede alcanzar que puede
alcanzar el consumidor dado los precios y sus ingresos
v(p, y) = max
x∈X
u(x) sjt.a p.x ≤ y
v(p, y) = u(x(p, y))
Propiedades:
Continua en p e y y cuasi-convexa en (p, y)
Homogenea de grado cero (p, y)
Estrictamente creciente en y y no decreciente en p
Se cumple la Identidad de Roy
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Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
Función de utilidad indirecta
Definición
Representa la maxima utilidad que puede alcanzar que puede
alcanzar el consumidor dado los precios y sus ingresos
v(p, y) = max
x∈X
u(x) sjt.a p.x ≤ y
v(p, y) = u(x(p, y))
Propiedades:
Continua en p e y y cuasi-convexa en (p, y)
Homogenea de grado cero (p, y)
Estrictamente creciente en y y no decreciente en p
Se cumple la Identidad de Roy
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
Los precios y las restricciones del consumidor
La demanda marshalliana
Función de utilidad indirecta
Función de utilidad indirecta
Identidad de Roy
Si v(p, y) es diferenciable en (p0, y0) y ∂v(p0, y0) entonces:
xi (p, y) = −
∂v(p0, y)/∂pi
∂v(p0, y)/∂y
Example (2)
Del ejemplo 1, obtener la FIU y verificar si se cumple las
propiedades señaladas en la lámina anterior.
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
Alternativamente, el consumidor se enfrenta al problema:
mı́nx∈X p.x sjt. a u(x) ≥ u
El resultado de minimizar el gasto es:
xh(p, u)
Finalmente:
e(p, u) = p.xh(p, u)
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
Alternativamente, el consumidor se enfrenta al problema:
mı́nx∈X p.x sjt. a u(x) ≥ u
El resultado de minimizar el gasto es:
xh(p, u)
Finalmente:
e(p, u) = p.xh(p, u)
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
Alternativamente, el consumidor se enfrenta al problema:
mı́nx∈X p.x sjt. a u(x) ≥ u
El resultado de minimizar el gasto es:
xh(p, u)
Finalmente:
e(p, u) = p.xh(p, u)
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Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
Propiedades
Homogenea de grado uno en p
No decreciente en p y estrictamente creciente en u
Concava en p
Se cumple el lema de Shepard
Lema de Shepard
Si e(p, u) es diferenciable en (p0, u0) y p > 0 entonces:
xhi (p
0, u0) =
∂e(p0, u0)
∂pi
Example (3)
Del ejemplo 1, obtener la función gasto y verificar sus propiedades.
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
Propiedades
Homogenea de grado uno en p
No decreciente en p y estrictamente creciente en u
Concava en p
Se cumple el lema de Shepard
Lema de Shepard
Si e(p, u) es diferenciable en (p0, u0) y p > 0 entonces:
xhi (p
0, u0) =
∂e(p0, u0)
∂piExample (3)
Del ejemplo 1, obtener la función gasto y verificar sus propiedades.
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Preferencias y Elecciones
La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
Propiedades
Homogenea de grado uno en p
No decreciente en p y estrictamente creciente en u
Concava en p
Se cumple el lema de Shepard
Lema de Shepard
Si e(p, u) es diferenciable en (p0, u0) y p > 0 entonces:
xhi (p
0, u0) =
∂e(p0, u0)
∂pi
Example (3)
Del ejemplo 1, obtener la función gasto y verificar sus propiedades.
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La función de utilidad
Enfoque primal: Maximización de utilidad
Enfoque dual: Minimización del gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
Propiedades
Homogenea de grado uno en p
No decreciente en p y estrictamente creciente en u
Concava en p
Se cumple el lema de Shepard
Lema de Shepard
Si e(p, u) es diferenciable en (p0, u0) y p > 0 entonces:
xhi (p
0, u0) =
∂e(p0, u0)
∂pi
Example (3)
Del ejemplo 1, obtener la función gasto y verificar sus propiedades.
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La función de utilidad
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La demanda hicksiana y la función gasto
La demanda hicksiana y la función gasto
Propiedades
Homogenea de grado uno en p
No decreciente en p y estrictamente creciente en u
Concava en p
Se cumple el lema de Shepard
Lema de Shepard
Si e(p, u) es diferenciable en (p0, u0) y p > 0 entonces:
xhi (p
0, u0) =
∂e(p0, u0)
∂pi
Example (3)
Del ejemplo 1, obtener la función gasto y verificar sus propiedades.
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La demanda hicksiana y la función gasto
The End
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Microeconoḿıa:
Segunda sesión: Teoŕıa del Consumidor II
Renzo Álvarez Carcheri INFOX
ralvarez@sunass.gob.pe
19 de Enero, 2020
Renzo Álvarez Carcheri INFOX Microeconoḿıa
Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Teoŕıa del consumidor: Parte 2
1 Estática comparativa
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
2 Enfoque primal y dual: Ampliación
Teoremas de la dualidad
Propiedades de la demanda del consumidor
3 Enfoque de elección
4 Análisis del bienestar
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Casos especiales
Sustitutos perfectos
u(x1, x2) = αx1 + βx2:
x∗1

0 ; p1p2 >
α
β
∈ [0, yp1 ] ;
p1
p2
= αβ
y
p1
; p1p2 <
α
β
(1)
Complementarios perfectos
u(x1, x2) = min(
x1
α ,
x2
β ):
x∗1 =
αy
αp1+βp2
x∗2 =
βy
αp1+βp2
Neutrales
El consumidor gasta todo su
dinero en el bien que le gusta y
no compra nada del bien neutral.
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Casos especiales
Sustitutos perfectos
u(x1, x2) = αx1 + βx2:
x∗1

0 ; p1p2 >
α
β
∈ [0, yp1 ] ;
p1
p2
= αβ
y
p1
; p1p2 <
α
β
(1)
Complementarios perfectos
u(x1, x2) = min(
x1
α ,
x2
β ):
x∗1 =
αy
αp1+βp2
x∗2 =
βy
αp1+βp2
Neutrales
El consumidor gasta todo su
dinero en el bien que le gusta y
no compra nada del bien neutral.
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Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Casos especiales
Sustitutos perfectos
u(x1, x2) = αx1 + βx2:
x∗1

0 ; p1p2 >
α
β
∈ [0, yp1 ] ;
p1
p2
= αβ
y
p1
; p1p2 <
α
β
(1)
Complementarios perfectos
u(x1, x2) = min(
x1
α ,
x2
β ):
x∗1 =
αy
αp1+βp2
x∗2 =
βy
αp1+βp2
Neutrales
El consumidor gasta todo su
dinero en el bien que le gusta y
no compra nada del bien neutral.
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Preferencias y cambios en el ingreso
Preferencias homotéticas
Sustitutos perfectos: u(x1, x2) = αx1 + βx2
Complementarios perfectos: u(x1, x2) = min(
x1
α ,
x2
β )
Cobb-Douglas: u(x1, x2) = x
α
1 x
β
2
Preferencias no homotéticas
Preferencias cuasilineales: u(x1, x2) = v(x1) + x2
La curva de Engel
Muestra como vaŕıa la demanda cuando vaŕıa el ingreso,
manteniendo todos los precios constantes.
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Preferencias y cambios en el ingreso
Preferencias homotéticas
Sustitutos perfectos: u(x1, x2) = αx1 + βx2
Complementarios perfectos: u(x1, x2) = min(
x1
α ,
x2
β )
Cobb-Douglas: u(x1, x2) = x
α
1 x
β
2
Preferencias no homotéticas
Preferencias cuasilineales: u(x1, x2) = v(x1) + x2
La curva de Engel
Muestra como vaŕıa la demanda cuando vaŕıa el ingreso,
manteniendo todos los precios constantes.
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Preferencias y cambios en el ingreso
Preferencias homotéticas
Sustitutos perfectos: u(x1, x2) = αx1 + βx2
Complementarios perfectos: u(x1, x2) = min(
x1
α ,
x2
β )
Cobb-Douglas: u(x1, x2) = x
α
1 x
β
2
Preferencias no homotéticas
Preferencias cuasilineales: u(x1, x2) = v(x1) + x2
La curva de Engel
Muestra como vaŕıa la demanda cuando vaŕıa el ingreso,
manteniendo todos los precios constantes.
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Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Cambios en el ingreso
La elasticidad-ingreso de la demanda
εiy =
∂xi (p, y)
∂y
y
xi (p, y)
εiy > 1 → Bien superior
εiy = 1 → Bien limite superior
0 < εiy < 1 → Bien normal
εiy = 0 → Bien limite normal
εiy < 0 → Bien inferior
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Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Cambios en los precios
Elasticidad-precio
εii =
∂xi (p, y)
∂pi
pi
xi (p, y)
|εii | > 1 → elástica
|εii | = 1 → unitaria
|εii | < 1 → inelástica
Elasticidad cruzada
εij =
∂xi (p, y)
∂pj
pj
xi (p, y)
εij > 0 → sustitutos
εij = 0 → independientes
εij < 0 → complementarios
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Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Relación entre elasticidades
Condición de Euler
Por la homogeneidad de gradocero de x1(p, y) y el Teorema de
Euler se tiene que:
∂x1
∂p1
p1 +
∂x1
∂p2
p2 +
∂x1
∂y
y = 0
ε11 + ε12 + ε1y = 0
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Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Relación entre elasticidades
Relación gasto-precio
Tomando en cuenta: g1 = p1x1
∂g1
∂p1
= x1(1− |ε11|)
Condición de Engel
Tomando en cuenta: y = p1x1 + p2x2
g1ε1y + g2ε2y = 1 0 < gi < 1, g1 + g2 = 1
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Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Relación entre elasticidades
Relación gasto-precio
Tomando en cuenta: g1 = p1x1
∂g1
∂p1
= x1(1− |ε11|)
Condición de Engel
Tomando en cuenta: y = p1x1 + p2x2
g1ε1y + g2ε2y = 1 0 < gi < 1, g1 + g2 = 1
Renzo Álvarez Carcheri INFOX Microeconoḿıa
Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Relación entre elasticidades
Condición de agregación de Cournot
Tomando en cuenta: y = p1x1 + p2x2
g1(1− |ε1p|) + g2ε21 = 0
|ε11| > 1→ ε21 > 0 (sustitutos)
|ε11| = 1→ ε21 = 0 (independientes)
|ε11| < 1→ ε21 < 0 (complementarios)
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Relación entre elasticidades
Condición de Euler
Por la homogeneidad de grado cero de xh1 (p, u) y el Teorema de
Euler se tiene que:
∂xh1
∂p1
p1 +
∂xh1
∂p2
p2 = 0
εh11 + ε
h
12 = 0
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Elección óptima: casos especiales
Demanda marshalliana u ordinaria
Demanda hicksiana o compensada
Relación entre elasticidades
Condición de Engel
Teniendo en cuenta que: u(x1, x2):
g1ε
h
11 + g2ε
h
12 = 0 0 < gi < 1, g1 + g2 = 1
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Teoremas de la dualidad
Propiedades de la demanda del consumidor
Teoremas de la dualidad
Relación entre función de utilidad indirecta y gasto
Para p > 0, y ≥ 0 y i = 1, 2, ..., n
v(p, e(p, u)) = u
e(p, v(p, y)) = y
Relación entre la demanda marshalliana y hicksiana
Para p > 0, y ≥ 0 y i = 1, 2, ..., n
xi (p, y) = x
h
i (p, v(p, y))
xhi (p, u) = xi (p, e(p, u))
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Teoremas de la dualidad
Propiedades de la demanda del consumidor
Teoremas de la dualidad
Relación entre función de utilidad indirecta y gasto
Para p > 0, y ≥ 0 y i = 1, 2, ..., n
v(p, e(p, u)) = u
e(p, v(p, y)) = y
Relación entre la demanda marshalliana y hicksiana
Para p > 0, y ≥ 0 y i = 1, 2, ..., n
xi (p, y) = x
h
i (p, v(p, y))
xhi (p, u) = xi (p, e(p, u))
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Teoremas de la dualidad
Propiedades de la demanda del consumidor
Propiedades de la demanda del consumidor
Efecto sustitución (ES): Variación de la demanda provocada
por una variación de la relación de intercambio entre los dos
bienes.
Efecto ingreso (EI): Variación de la demanda provocada por
un aumento del poder adquisitivo.
Ecuación de Slutsky
Derivando la última relación respecto al precio del bien k(pk)
obtenemos:
∂xhi (p, u)
∂pk︸ ︷︷ ︸
ET
=
∂xi (p, y)
∂pk︸ ︷︷ ︸
ES
+ xk(p, y)
∂xi (p, y)
∂y︸ ︷︷ ︸
EI
∀i , j = 1, 2, ..., n
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Teoremas de la dualidad
Propiedades de la demanda del consumidor
Propiedades de la demanda del consumidor
Efecto sustitución (ES): Variación de la demanda provocada
por una variación de la relación de intercambio entre los dos
bienes.
Efecto ingreso (EI): Variación de la demanda provocada por
un aumento del poder adquisitivo.
Ecuación de Slutsky
Derivando la última relación respecto al precio del bien k(pk)
obtenemos:
∂xhi (p, u)
∂pk︸ ︷︷ ︸
ET
=
∂xi (p, y)
∂pk︸ ︷︷ ︸
ES
+ xk(p, y)
∂xi (p, y)
∂y︸ ︷︷ ︸
EI
∀i , j = 1, 2, ..., n
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Teoremas de la dualidad
Propiedades de la demanda del consumidor
Propiedades de la demanda del consumidor
Efecto sustitución (ES): Variación de la demanda provocada
por una variación de la relación de intercambio entre los dos
bienes.
Efecto ingreso (EI): Variación de la demanda provocada por
un aumento del poder adquisitivo.
Ecuación de Slutsky
Derivando la última relación respecto al precio del bien k(pk)
obtenemos:
∂xhi (p, u)
∂pk︸ ︷︷ ︸
ET
=
∂xi (p, y)
∂pk︸ ︷︷ ︸
ES
+ xk(p, y)
∂xi (p, y)
∂y︸ ︷︷ ︸
EI
∀i , j = 1, 2, ..., n
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
La preferencia revelada
¿Como podemos aprovechar la información para establecer un
orden de preferencia entre las distintas canastas de bienes?
Paul Samuelson (1938) y S.H. Houthakker (1950) responden
estas interrogantes a traves de la teoŕıa de las preferencias
reveladas.
Si un consumidor demanda x1 a precios p1. Además, si la
canasta x1 es al menos tan costosa como la otra canasta
distinta x2 para el vector de precios p
a, es decir, p1x1 ≥ p1x2,
entonces, x1 ≥R x2.
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
La preferencia revelada
¿Como podemos aprovechar la información para establecer un
orden de preferencia entre las distintas canastas de bienes?
Paul Samuelson (1938) y S.H. Houthakker (1950) responden
estas interrogantes a traves de la teoŕıa de las preferencias
reveladas.
Si un consumidor demanda x1 a precios p1. Además, si la
canasta x1 es al menos tan costosa como la otra canasta
distinta x2 para el vector de precios p
a, es decir, p1x1 ≥ p1x2,
entonces, x1 ≥R x2.
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
La preferencia revelada
¿Como podemos aprovechar la información para establecer un
orden de preferencia entre las distintas canastas de bienes?
Paul Samuelson (1938) y S.H. Houthakker (1950) responden
estas interrogantes a traves de la teoŕıa de las preferencias
reveladas.
Si un consumidor demanda x1 a precios p1. Además, si la
canasta x1 es al menos tan costosa como la otra canasta
distinta x2 para el vector de precios p
a, es decir, p1x1 ≥ p1x2,
entonces, x1 ≥R x2.
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
La preferencia revelada
Axioma débil de las preferencias reveladas (ADRP)
Si x1 ≥R x2, y x1 6= x2. No ocurre que x2 ≥R x1
Es decir:
Si p1x1 ≥ p2x2. No ocurre que p2x2 ≥ p2x1.
Axioma fuerte de las preferencias reveladas (AFRP)
Si x1 ≥R x2, x2 ≥R x3, ..., xq−1 ≥R xq. No ocurre que xq ≥R x1
Es decir:
Si p1x1 ≥ pqxq. No ocurre que pqx2 ≥ pqx1.
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elecciónAnálisis del bienestar
La preferencia revelada
Axioma débil de las preferencias reveladas (ADRP)
Si x1 ≥R x2, y x1 6= x2. No ocurre que x2 ≥R x1
Es decir:
Si p1x1 ≥ p2x2. No ocurre que p2x2 ≥ p2x1.
Axioma fuerte de las preferencias reveladas (AFRP)
Si x1 ≥R x2, x2 ≥R x3, ..., xq−1 ≥R xq. No ocurre que xq ≥R x1
Es decir:
Si p1x1 ≥ pqxq. No ocurre que pqx2 ≥ pqx1.
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Números indices
De cantidades
Laspeyres:
P0X1
P0X0
< 1
Paasche:
P1X1
P1X0
> 1
Fisher: √
P0X0
P0X1
P1X1
P1X0
De precios
Laspeyres:
P1X0
P0X0
< 1
Paasche:
P1X1
P0X1
> 1
Fisher: √
P1X0
P0X0
P1X1
P0X1
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Números indices
De cantidades
Laspeyres:
P0X1
P0X0
< 1
Paasche:
P1X1
P1X0
> 1
Fisher: √
P0X0
P0X1
P1X1
P1X0
De precios
Laspeyres:
P1X0
P0X0
< 1
Paasche:
P1X1
P0X1
> 1
Fisher: √
P1X0
P0X0
P1X1
P0X1
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Análisis del Bienestar
Variación Equivalente
Utiliza como base los precios iniciales y, mide el monto ḿınimo que
el consumidor estaŕıa dispuesto a aceptar en lugar de un cambio en
el precio.
Análisis ex-ante
(p0, u1)
La magnitud depende del sentido que se muevan los precios
Para un aumento de precio en x1:
VE = e(p0, u0)− e(p0, u1)
VE = e(p1, u1)− e(p1, u0)
VE = I − e(p0, u1)∫ p1
p0
xh(p, u1)∂p
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Análisis del Bienestar
Variación Compensatoria
Utiliza como base los precios finales y mide el monto con el que
hab́ıa que compensar al consumidor, después del cambio en los
precios para que regrese a su nivel de utilidad inicial.
Análisis ex-post
(p1, u0)
La magnitud depende del sentido que se muevan los precios
Para un aumento de precio en x1:
VC = e(p1, u0)− e(p1, u1)
VC = e(p1, u0)− e(p0, u0)
VC = e(p1, u0)− I∫ p1
p0
xh(p, u0)∂p
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Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Análisis del Bienestar
Excedente del consumidor
Mide la diferencia entre el máximo gasto que una persona estaŕıa
dispuesta a realizar para adquirir una determinada cantidad del
bien, en una propuesta de todo o nada, y el gasto que este
realizando efectivamente, pagando el precio de mercado.
EC =
∫ p0
p1
x1(p, y)∂p
Relación con otras medidas del bienestar:
VC ≤ EC ≤ VE
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
Bibliograf́ıa
Mas-Colell Andreu, Whinston Michael, Green Jerry (1995)
Microeconomic Theory. Oxford University Press. Oxford, England.
Jehle, Geoffrey y Reny, Philip (2011). Advanced Microeconomic
Theory (3th edition). Financial Times / Prentice Hall. New York,
USA.
Martinez, Xavier (2008). Microeconoḿıa Avanzada. Universitat
Autonoma de Barcelona. Barcelona, España.
Maté, Jorge y Pérez, Carlos (2007) Microeconoḿıa Avanzada:
Cuestiones y ejercicios resueltos.Pearson Educación. Madrid, España.
Varian, Hal (2011). Microeconoḿıa Intermedia (8va edición). Antoni
Bosch Editor S.A. Barcelona, España.
Férnandez-Baca, Jorge (2010). Microeconoḿıa: Teoŕıa y
Aplicaciones (Tomo I). Universidad del Paćıfico. Lima, Perú.
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Estática comparativa
Enfoque primal y dual: Ampliación
Enfoque de elección
Análisis del bienestar
The End
Renzo Álvarez Carcheri INFOX Microeconoḿıa
Loteŕıas e incertidumbre
Microeconoḿıa:
Tercera sesión: Elección Intertemporal e
Incertidumbre
Renzo Álvarez Carcheri INFOX
ralvarez@sunass.gob.pe
19 de Enero, 2020
Renzo Álvarez Carcheri INFOX Microeconoḿıa
Loteŕıas e incertidumbre
Elección Intertemporal e Incertidumbre
1 Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Renzo Álvarez Carcheri INFOX Microeconoḿıa
Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Datos preliminares
El principal enfoque anaĺıtico de la incertidumbre está basado
en el trabajo de Von Neumann y Morgenstern (1944).
Se mantienen las nociones tradicionales de las relaciones de
preferencias pero, en lugar de planes de consumo, el individuo
tendrá una relación de preferencias sobre loteŕıas (apuestas).
Sea A = (a1, a2, ..., an) un conjunto de resultados. Cada i
resultado (ai ) será un plan de consumo, cantidades de dinero,
entre otros.
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Datos preliminares
El principal enfoque anaĺıtico de la incertidumbre está basado
en el trabajo de Von Neumann y Morgenstern (1944).
Se mantienen las nociones tradicionales de las relaciones de
preferencias pero, en lugar de planes de consumo, el individuo
tendrá una relación de preferencias sobre loteŕıas (apuestas).
Sea A = (a1, a2, ..., an) un conjunto de resultados. Cada i
resultado (ai ) será un plan de consumo, cantidades de dinero,
entre otros.
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Datos preliminares
El principal enfoque anaĺıtico de la incertidumbre está basado
en el trabajo de Von Neumann y Morgenstern (1944).
Se mantienen las nociones tradicionales de las relaciones de
preferencias pero, en lugar de planes de consumo, el individuo
tendrá una relación de preferencias sobre loteŕıas (apuestas).
Sea A = (a1, a2, ..., an) un conjunto de resultados. Cada i
resultado (ai ) será un plan de consumo, cantidades de dinero,
entre otros.
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Loteŕıas
Loteŕıa simple
Sea Gs el conjunto de loteŕıas (en A):
Gs = {(p1 ◦ a1, p2 ◦ a2, ...., pn ◦ an} | pi ≥ 0,
∑n
i=1 pi = 1}
Loteŕıa compuesta
Son las loteŕıas cuyos premios o resultados son en śı mismas
loteŕıas.
Conjunto de todas las loteŕıas
Sea G , que denota el conjunto de todas las loteŕıas simples y
compuestas. Si g ∈ G , entonces g = (p1 ◦ g1, p2 ◦ g2, ..., pn ◦ gn),
para k ≥ 1 y las loteŕıas g i ∈ G , donde los g i pueden ser loteŕıas
compuestas, simples o resultados.
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Loteŕıas
Loteŕıa simple
Sea Gs el conjunto de loteŕıas (en A):
Gs = {(p1 ◦ a1, p2 ◦ a2, ...., pn ◦ an} | pi ≥ 0,
∑n
i=1 pi = 1}
Loteŕıa compuesta
Son las loteŕıas cuyos premios o resultados son en śı mismas
loteŕıas.
Conjunto de todas las loteŕıas
Sea G , que denota el conjunto de todas las loteŕıas simples y
compuestas. Si g ∈ G , entonces g = (p1 ◦ g1, p2 ◦ g2, ..., pn ◦ gn),
para k ≥ 1 y las loteŕıas g i ∈ G , donde los g i pueden ser loteŕıas
compuestas, simples o resultados.
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Loteŕıas
Loteŕıa simple
Sea Gs el conjunto de loteŕıas (en A):
Gs = {(p1 ◦ a1, p2 ◦ a2, ...., pn ◦ an} | pi ≥ 0,
∑n
i=1 pi = 1}
Loteŕıa compuesta
Son las loteŕıas cuyos premios o resultados son en śı mismas
loteŕıas.
Conjunto de todas las loteŕıas
Sea G , que denota el conjunto de todas las loteŕıas simples y
compuestas. Si g ∈ G , entonces g = (p1 ◦ g1, p2 ◦ g2, ..., pn ◦ gn),
para k ≥ 1 y las loteŕıas g i ∈ G , donde los g i pueden ser loteŕıas
compuestas, simples o resultados.
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminaresValor Esperado
Utilidad Esperada
Conceptualización
Valor esperado
El valor esperado de un juego de azar no es más que la esperanza
matemática del mismo, esto es, el resultado de sumar los premios
que ofrece dicho juego multiplicados por sus probabilidades
respectivas.
Juego justo
Un juego es justo cuando su valor esperado es igual al precio que
ha de pagarse por participar en el mismo.
Si VE > p → Juego favorable
Si VE < p → Juego desfavorable
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Conceptualización
Valor esperado
El valor esperado de un juego de azar no es más que la esperanza
matemática del mismo, esto es, el resultado de sumar los premios
que ofrece dicho juego multiplicados por sus probabilidades
respectivas.
Juego justo
Un juego es justo cuando su valor esperado es igual al precio que
ha de pagarse por participar en el mismo.
Si VE > p → Juego favorable
Si VE < p → Juego desfavorable
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
La Paradoja de San Petersburgo
La paradoja de San Petersburgo consiste en un juego de apuestos
con las siguientes reglas:
Se lanza una moneda no trucada, si cae cara, se continúa
lanzando, si cae sello, se paga el premio y el juego concluye.
Si el sello cae en la primera jugada se paga 21 unidades
monetarias, si sale en la segunda, 22 soles, en la tercera 23
soles y asi sucesivamente.
El valor esperado de este juego es infinito. En esa situación,
un enfoque basado únicamente en el valor esperado sugeriŕıa
aceptar jugar al precio que sea, acción que ninguna personal
racional haŕıa.
La solución esta en incorporar las preferencias individuales
como determinante de la elección personal a traves de una
función de utilidad.
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
La Paradoja de San Petersburgo
La paradoja de San Petersburgo consiste en un juego de apuestos
con las siguientes reglas:
Se lanza una moneda no trucada, si cae cara, se continúa
lanzando, si cae sello, se paga el premio y el juego concluye.
Si el sello cae en la primera jugada se paga 21 unidades
monetarias, si sale en la segunda, 22 soles, en la tercera 23
soles y asi sucesivamente.
El valor esperado de este juego es infinito. En esa situación,
un enfoque basado únicamente en el valor esperado sugeriŕıa
aceptar jugar al precio que sea, acción que ninguna personal
racional haŕıa.
La solución esta en incorporar las preferencias individuales
como determinante de la elección personal a traves de una
función de utilidad.
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
La Paradoja de San Petersburgo
La paradoja de San Petersburgo consiste en un juego de apuestos
con las siguientes reglas:
Se lanza una moneda no trucada, si cae cara, se continúa
lanzando, si cae sello, se paga el premio y el juego concluye.
Si el sello cae en la primera jugada se paga 21 unidades
monetarias, si sale en la segunda, 22 soles, en la tercera 23
soles y asi sucesivamente.
El valor esperado de este juego es infinito. En esa situación,
un enfoque basado únicamente en el valor esperado sugeriŕıa
aceptar jugar al precio que sea, acción que ninguna personal
racional haŕıa.
La solución esta en incorporar las preferencias individuales
como determinante de la elección personal a traves de una
función de utilidad.
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
La Paradoja de San Petersburgo
La paradoja de San Petersburgo consiste en un juego de apuestos
con las siguientes reglas:
Se lanza una moneda no trucada, si cae cara, se continúa
lanzando, si cae sello, se paga el premio y el juego concluye.
Si el sello cae en la primera jugada se paga 21 unidades
monetarias, si sale en la segunda, 22 soles, en la tercera 23
soles y asi sucesivamente.
El valor esperado de este juego es infinito. En esa situación,
un enfoque basado únicamente en el valor esperado sugeriŕıa
aceptar jugar al precio que sea, acción que ninguna personal
racional haŕıa.
La solución esta en incorporar las preferencias individuales
como determinante de la elección personal a traves de una
función de utilidad.
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Axiomas de elección bajo incertidumbre
1. Axiomas de racionalidad
Axioma 1.1: Completitud
∀ (g1,g2) ∈ G entonces, (g1 % g2) ∨ (g2 % g1) ∨ (g1 ∼ g2)
Axioma 1.2: Transitividad
∀ (g1, g2, g3) ∈ G . Si (g1 % g2) ∧ (g2 % g3), entonces (g1 % g3)
2. Axiomas de conveniencia
Axioma 2.1:. Continuidad
{p | pc1 ◦ (1− p)c2 % L} ∧ {q | qc1 ◦ (1− q)c2 - L}
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Axiomas de elección bajo incertidumbre
1. Axiomas de racionalidad
Axioma 1.1: Completitud
∀ (g1,g2) ∈ G entonces, (g1 % g2) ∨ (g2 % g1) ∨ (g1 ∼ g2)
Axioma 1.2: Transitividad
∀ (g1, g2, g3) ∈ G . Si (g1 % g2) ∧ (g2 % g3), entonces (g1 % g3)
2. Axiomas de conveniencia
Axioma 2.1:. Continuidad
{p | pc1 ◦ (1− p)c2 % L} ∧ {q | qc1 ◦ (1− q)c2 - L}
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Axiomas de elección bajo incertidumbre
1. Axiomas de racionalidad
Axioma 1.1: Completitud
∀ (g1,g2) ∈ G entonces, (g1 % g2) ∨ (g2 % g1) ∨ (g1 ∼ g2)
Axioma 1.2: Transitividad
∀ (g1, g2, g3) ∈ G . Si (g1 % g2) ∧ (g2 % g3), entonces (g1 % g3)
2. Axiomas de conveniencia
Axioma 2.1:. Continuidad
{p | pc1 ◦ (1− p)c2 % L} ∧ {q | qc1 ◦ (1− q)c2 - L}
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Axiomas de elección bajo incertidumbre
Lo anterior garantiza la existencia de una función de utilidad
definida sobre las loteŕıas y llamada función de utilidad esperada.
Axioma 2.2: Pago ḿınimo y máximo
c1 > c2 > ... > ci > ...ci+n
Axioma 2.3: Monotonicidad
∀ p, q ∈ [0, 1]:
(p ◦ c1, (1− p) ◦ c2) % (q ◦ c1, (1− q) ◦ c2)→ p ≥ q
Axioma 2.4: Independencia
∀(g1, g2) ∈ G | (p ◦ g1, (1− p) ◦ g2) % (q ◦ g1, (1− q) ◦ g2).
Entonces (p ◦ g1, (1− p) ◦ g3) % (q ◦ g1, (1− q) ◦ g3)
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Axiomas de elección bajo incertidumbre
Lo anterior garantiza la existencia de una función de utilidad
definida sobre las loteŕıas y llamada función de utilidad esperada.
Axioma 2.2: Pago ḿınimo y máximo
c1 > c2 > ... > ci > ...ci+n
Axioma 2.3: Monotonicidad
∀ p, q ∈ [0, 1]:
(p ◦ c1, (1− p) ◦ c2) % (q ◦ c1, (1− q) ◦ c2)→ p ≥ q
Axioma 2.4: Independencia
∀(g1, g2) ∈ G | (p ◦ g1, (1− p) ◦ g2) % (q ◦ g1, (1− q) ◦ g2).
Entonces (p ◦ g1, (1− p) ◦ g3) % (q ◦ g1, (1− q) ◦ g3)
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Axiomas de elección bajo incertidumbre
Lo anterior garantiza la existencia de una función de utilidad
definida sobre las loteŕıas y llamada función de utilidad esperada.
Axioma 2.2: Pago ḿınimo y máximo
c1 > c2 > ... > ci > ...ci+n
Axioma 2.3: Monotonicidad
∀ p, q ∈ [0, 1]:
(p ◦ c1, (1− p) ◦ c2) % (q ◦ c1, (1− q) ◦ c2)→ p ≥ q
Axioma 2.4: Independencia
∀(g1, g2) ∈ G | (p ◦ g1, (1− p) ◦ g2) % (q ◦ g1, (1− q) ◦ g2).
Entonces (p ◦ g1, (1− p) ◦ g3) % (q ◦ g1, (1− q) ◦ g3)
Renzo Álvarez Carcheri INFOX Microeconoḿıa
Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Utilidad de Von-Neumann-Morgenstern
Estos últimos axiomas sirven para obtener una función de
utilidad que sea lineal en la probabilidad efectivade los
resultados (es decir, que cumpla con la propiedad de utilidad
esperada).
u : G → R función de utilidad que representa % en G .
Propiedad de la utilidad esperada
La función de utilidad u : G → R tiene esta propiedad si:
u(g) =
n∑
i=1
piu(ai ) ∀g ∈ G
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Utilidad de Von-Neumann-Morgenstern
Estos últimos axiomas sirven para obtener una función de
utilidad que sea lineal en la probabilidad efectiva de los
resultados (es decir, que cumpla con la propiedad de utilidad
esperada).
u : G → R función de utilidad que representa % en G .
Propiedad de la utilidad esperada
La función de utilidad u : G → R tiene esta propiedad si:
u(g) =
n∑
i=1
piu(ai ) ∀g ∈ G
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Utilidad de Von-Neumann-Morgenstern
Estos últimos axiomas sirven para obtener una función de
utilidad que sea lineal en la probabilidad efectiva de los
resultados (es decir, que cumpla con la propiedad de utilidad
esperada).
u : G → R función de utilidad que representa % en G .
Propiedad de la utilidad esperada
La función de utilidad u : G → R tiene esta propiedad si:
u(g) =
n∑
i=1
piu(ai ) ∀g ∈ G
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Actitud frente al riesgo
Definición
Sea u(.) la función de utilidad de VNM para loteŕıas sobre niveles
de riqueza wi no negativos. Entonces, para la loteŕıa simple
g = (p1 ◦ w1, ..., pn ◦ wn) se dice que el individuo es:
Adverso al riesgo en g si: u(E (g)) > E (u(g))
Neutral al riesgo en g si: u(E (g)) = E (u(g))
Amante al riesgo en g si: u(E (g)) < E (u(g))
Coeficiente de Arrow-Patt
Ra(w) = −
u′′(w)
u′(w)
∧ Rr (w) = −w
u′′(w)
u′(w)
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Actitud frente al riesgo
Definición
Sea u(.) la función de utilidad de VNM para loteŕıas sobre niveles
de riqueza wi no negativos. Entonces, para la loteŕıa simple
g = (p1 ◦ w1, ..., pn ◦ wn) se dice que el individuo es:
Adverso al riesgo en g si: u(E (g)) > E (u(g))
Neutral al riesgo en g si: u(E (g)) = E (u(g))
Amante al riesgo en g si: u(E (g)) < E (u(g))
Coeficiente de Arrow-Patt
Ra(w) = −
u′′(w)
u′(w)
∧ Rr (w) = −w
u′′(w)
u′(w)
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Datos preliminares
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Utilidad Esperada
Actitud frente al riesgo
Definición
Sea u(.) la función de utilidad de VNM para loteŕıas sobre niveles
de riqueza wi no negativos. Entonces, para la loteŕıa simple
g = (p1 ◦ w1, ..., pn ◦ wn) se dice que el individuo es:
Adverso al riesgo en g si: u(E (g)) > E (u(g))
Neutral al riesgo en g si: u(E (g)) = E (u(g))
Amante al riesgo en g si: u(E (g)) < E (u(g))
Coeficiente de Arrow-Patt
Ra(w) = −
u′′(w)
u′(w)
∧ Rr (w) = −w
u′′(w)
u′(w)
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Definición
Sea u(.) la función de utilidad de VNM para loteŕıas sobre niveles
de riqueza wi no negativos. Entonces, para la loteŕıa simple
g = (p1 ◦ w1, ..., pn ◦ wn) se dice que el individuo es:
Adverso al riesgo en g si: u(E (g)) > E (u(g))
Neutral al riesgo en g si: u(E (g)) = E (u(g))
Amante al riesgo en g si: u(E (g)) < E (u(g))
Coeficiente de Arrow-Patt
Ra(w) = −
u′′(w)
u′(w)
∧ Rr (w) = −w
u′′(w)
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Valor Esperado
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Actitud frente al riesgo
Definición
Sea u(.) la función de utilidad de VNM para loteŕıas sobre niveles
de riqueza wi no negativos. Entonces, para la loteŕıa simple
g = (p1 ◦ w1, ..., pn ◦ wn) se dice que el individuo es:
Adverso al riesgo en g si: u(E (g)) > E (u(g))
Neutral al riesgo en g si: u(E (g)) = E (u(g))
Amante al riesgo en g si: u(E (g)) < E (u(g))
Coeficiente de Arrow-Patt
Ra(w) = −
u′′(w)
u′(w)
∧ Rr (w) = −w
u′′(w)
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Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
Bibliograf́ıa
Mas-Colell Andreu, Whinston Michael, Green Jerry (1995)
Microeconomic Theory. Oxford University Press. Oxford, England.
Jehle, Geoffrey y Reny, Philip (2011). Advanced Microeconomic
Theory (3th edition). Financial Times / Prentice Hall. New York,
USA.
Maté, Jorge y Pérez, Carlos (2007) Microeconoḿıa Avanzada:
Cuestiones y ejercicios resueltos.Pearson Educación. Madrid, España.
Varian, Hal (2011). Microeconoḿıa Intermedia (8va edición). Antoni
Bosch Editor S.A. Barcelona, España.
Férnandez-Baca, Jorge (2010). Microeconoḿıa: Teoŕıa y
Aplicaciones (Tomo I). Universidad del Paćıfico. Lima, Perú.
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Loteŕıas e incertidumbre
Datos preliminares
Valor Esperado
Utilidad Esperada
The End
Renzo Álvarez Carcheri INFOX Microeconoḿıa
Teoŕıa de la producción
Costos
Máximización de beneficios
Microeconoḿıa:
Cuarta sesión: Teoŕıa de la producción y costos
Renzo Álvarez Carcheri INFOX
ralvarez@sunass.gob.pe
09 de Febrero, 2020
Renzo Álvarez Carcheri INFOX Microeconoḿıa
Teoŕıa de la producción
Costos
Máximización de beneficios
Elección Intertemporal e Incertidumbre
1 Teoŕıa de la producción
Eficiencia técnica y económica
Producción de corto plazo
Producción de largo plazo
2 Costos
Costos de corto plazo
Costos de largo plazo
3 Máximización de beneficios
Renzo Álvarez Carcheri INFOX Microeconoḿıa
Teoŕıa de la producción
Costos
Máximización de beneficios
Eficiencia técnica y económica
Producción de corto plazo
Producción de largo plazo
Conceptos preliminares
Actividad productiva: Combinación adecuada de los inputs
(factores) para la obtención de los outputs (producto).
Proceso productivo: Cada forma concreta en que es posible
combinar los inputs para la obtención de outputs.
Tecnoloǵıa: Conjunto de todos los proceso productivos
viables para una empresa en un momento determinado.
Eficiencia técnica: Un proceso es técnicamente eficiente si
no existe otro capaz de producir igual o mayor cantidad de
outputs, utilizando igual o menor cantidad de inputs.
Eficiencia económica: Un proceso es económicamente
eficiente si entre los eficientes es el más barato.
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Teoŕıa de la producción
Costos
Máximización de beneficios
Eficiencia técnica y económica
Producción de corto plazo
Producción de largo plazo
Conceptos preliminares
Actividad productiva: Combinación adecuada de los inputs
(factores) para la obtención de los outputs (producto).
Proceso productivo: Cada forma concreta en que es posible
combinar los inputs para la obtención de outputs.
Tecnoloǵıa: Conjunto de todos los proceso productivos
viables para una empresa en un momento determinado.
Eficiencia técnica: Un proceso es técnicamente eficiente si
no existe otro capaz de producir igual o mayor cantidad de
outputs, utilizando igual o menor cantidad de inputs.
Eficiencia económica: Un proceso es económicamente
eficiente si entre los eficientes es el más barato.
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Costos
Máximización de beneficios
Eficiencia técnica y económica
Producción de corto plazo
Producción de largo plazo
Conceptos preliminares
Actividad productiva: Combinación adecuada de los inputs
(factores) para la obtención de los outputs (producto).
Proceso productivo: Cada forma concreta en que es posible
combinar los inputs para la obtención de outputs.
Tecnoloǵıa: Conjunto de todos los proceso productivos
viables para una empresa en un momento determinado.
Eficiencia técnica: Un proceso es técnicamente eficiente si