DESCRIPTIVA

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Estadı́stica Descriptiva
Estad́ıstica Descriptiva
Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas Universidad de Concepción 1
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1 Introducción
2 Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
3 Descripción gráfica de los datos
4 Medidas descriptivas numéricas
5 Graficos de caja
Estad́ıstica Descriptiva
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Introducción
Introducción
El tomar observaciones es común en el marco de la investigación. Estas
observaciones surgen como resultado de un proceso de observación bajo
condiciones dadas o de un proceso experimental.
Por ejemplo, se registran las temperaturas ḿınimas diarias ocurridas en la
década del 80, suponiendo un total de 3650 d́ıas. Situaciones como ésta
conducen a los conocidos estudios observacionales.
En otras circunstancias, las observaciones son el resultado de la
provocación de un fenómeno, o experimento, bajo condiciones controladas.
A modo de ejemplo, se podŕıa considerar la aplicación de distintos
insecticidas en bandejas con 100 insectos, en cada una de las cuales se
registra el número de insectos muertos. Situaciones como éstas son
conocidas como estudios experimentales.
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Introducción
Generalmente la información registrada en un proceso de observación es
tratada, en un primer momento, con el objetivo de describir y resumir sus
caracteŕısticas más sobresalientes. Esto se conoce como estad́ıstica
descriptiva y generalmente se basa en el uso de tablas y gráficos, y en la
obtención de medidas resumen.
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Introducción
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Población: Es un conjunto de elementos acotados en un tiempo y en
un espacio determinados, con alguna caracteŕıstica común observable
o medible.
Población finita: cuando el número de elementos que la forman es
finito, por ejemplo el número de alumnos de un colegio,
o de un curso.
Población infinita: cuando el número de elementos que la forman es
infinito, o tan grande que pudiesen considerarse
infinitos. Como por ejemplo si se realizase un estudio
sobre los productos que hay en el mercado
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Población: Es un conjunto de elementos acotados en un tiempo y en
un espacio determinados, con alguna caracteŕıstica común observable
o medible.
Población finita: cuando el número de elementos que la forman es
finito, por ejemplo el número de alumnos de un colegio,
o de un curso.
Población infinita: cuando el número de elementos que la forman es
infinito, o tan grande que pudiesen considerarse
infinitos. Como por ejemplo si se realizase un estudio
sobre los productos que hay en el mercado
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Población: Es un conjunto de elementos acotados en un tiempo y en
un espacio determinados, con alguna caracteŕıstica común observable
o medible.
Población finita: cuando el número de elementos que la forman es
finito, por ejemplo el número de alumnos de un colegio,
o de un curso.
Población infinita: cuando el número de elementos que la forman es
infinito, o tan grande que pudiesen considerarse
infinitos. Como por ejemplo si se realizase un estudio
sobre los productos que hay en el mercado
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Si la población es finita, diremos que el tamaño poblacional es el número
de elementos de la misma y lo denotaremos con N .
Una muestra es una parte de la población que es realmente usada
para obtener la información. Seleccionada de acuerdo con una regla o
plan.
Una unidad muestral es un elemento o entidad de la muestra.
Tamaño muestral: es el número de elementos de la población que
conforman la muestra y se denota con n.
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Variables.
Las observaciones o mediciones sobre los elementos de una población
constituyen la materia prima con la cual se trabaja en Estad́ıstica. Para
que dichas observaciones puedan ser tratadas estad́ısticamente deben estar
expresadas o poder ser reexpresadas en términos numéricos.
Aquellas caracteŕısticas que van cambiando en su estado o expresión entre
los elementos de la población se denominan variables, mientras que
aquellas que no cumplen esta condición son llamadas constantes.
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Una variable es una caracteŕıstica, propiedad o atributo, con respecto a la
cual los elementos de una población difieren de alguna forma. Para
denotar a una cierta variable se utilizan letras mayúsculas, y con la misma
letra en minúscula se hace referencia a un valor en particular observable en
un elemento de la población, y al que se suele llamar dato.
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Escala de Medición.
Se entenderá por medición al proceso de asignar el valor a un elemento de
la variable en observación. Este proceso utiliza diversas escalas: nominal,
ordinal, de intervalo y de razón.
Escala de
Medición
zzvvv
vv
vv
vv
�� $$I
II
II
II
II
**TTT
TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
TT
Escala
Nominal
Escala
Ordinal
Escala de
Intervalo
Escala de
Razón
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Escala de Medición.
Se entenderá por medición al proceso de asignar el valor a un elemento de
la variable en observación. Este proceso utiliza diversas escalas: nominal,
ordinal, de intervalo y de razón.
Escala de
Medición
zzvvv
vv
vv
vv
�� $$I
II
II
II
II
**TTT
TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
TT
Escala
Nominal
Escala
Ordinal
Escala de
Intervalo
Escala de
Razón
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Nominal: Hace referencia a datos que sólo pueden clasificarse en
categoŕıas; existen sólo conteos; no existe orden particular
para los grupos. Ejemplo: color de ojos.
Ordinal: Corresponde a aquellos datos que se pueden agrupar en
categoŕıas y ordenarlas según algún tipo de gradación.
(Ejemplo; nivel de dolor, nivel de preferencia.)
De Intervalo: Incluye todas las caracteŕısticas de la escala ordinal, pero
además la distancia entre valores es constante pues los
valores que toma este tipo de variables corresponde al orden
de los números naturales. (Ejemplo: temperatura máxima
diaria durante el mes de agosto, número de hijos.)
De Razón: Tiene las caracteŕısticas de la escala de intervalo, pero se
agrega un punto cero absoluto tal que significa ausencia del
atributo y la razón o cociente de dos números es significativo
pudiéndose aplicarles todo tipo de instrumental matemático.
(Ejemplo: ingreso familiar, número de hijos)
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Nominal: Hace referencia a datos que sólo pueden clasificarse en
categoŕıas; existen sólo conteos; no existe orden particular
para los grupos. Ejemplo: color de ojos.
Ordinal: Corresponde a aquellos datos que se pueden agrupar en
categoŕıas y ordenarlas según algún tipo de gradación.
(Ejemplo; nivel de dolor, nivel de preferencia.)
De Intervalo: Incluye todas las caracteŕısticas de la escala ordinal, pero
además la distancia entre valores es constante pues los
valores que toma este tipo de variables corresponde al orden
de los números naturales. (Ejemplo: temperatura máxima
diaria durante el mes de agosto, número de hijos.)
De Razón: Tiene las caracteŕısticas de la escala de intervalo, pero se
agrega un punto cero absoluto tal que significa ausencia del
atributo y la razón o cociente de dos números es significativo
pudiéndose aplicarles todo tipo de instrumental matemático.
(Ejemplo: ingreso familiar, número de hijos)
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Nominal: Hace referencia a datos que sólo pueden clasificarse en
categoŕıas; existen sólo conteos; no existe orden particular
para los grupos. Ejemplo: color de ojos.
Ordinal: Corresponde a aquellos datos que se pueden agrupar en
categoŕıas y ordenarlas según algún tipo de gradación.
(Ejemplo; nivel de dolor, nivel de preferencia.)
De Intervalo: Incluye todas las caracteŕısticas de la escala ordinal, pero
además la distancia entre valores es constante pues los
valores que toma este tipo de variables corresponde al orden
de los números naturales. (Ejemplo: temperatura máxima
diaria durante el mes de agosto, número de hijos.)
De Razón: Tiene las caracteŕısticas de la escala de intervalo, pero se
agrega un punto cero absoluto tal que significa ausencia del
atributo y la razón o cociente de dos números es significativo
pudiéndose aplicarles todo tipo de instrumental matemático.
(Ejemplo: ingreso familiar, número de hijos)
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
Nominal: Hace referencia a datos que sólo pueden clasificarse en
categoŕıas; existen sólo conteos; no existe orden particular
para los grupos. Ejemplo: color de ojos.
Ordinal: Corresponde a aquellos datos que se pueden agrupar en
categoŕıas y ordenarlas según algún tipo de gradación.
(Ejemplo; nivel de dolor, nivel de preferencia.)
De Intervalo: Incluye todas las caracteŕısticas de la escala ordinal, pero
además la distancia entre valores es constante pues los
valores que toma este tipo de variables corresponde al orden
de los números naturales. (Ejemplo: temperatura máxima
diaria durante el mes de agosto, número de hijos.)
De Razón: Tiene las caracteŕısticas de la escala de intervalo, pero se
agrega un punto cero absoluto tal que significa ausencia del
atributo y la razón o cociente de dos números es significativo
pudiéndose aplicarles todo tipo de instrumental matemático.
(Ejemplo: ingreso familiar, número de hijos)
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Terminoloǵıa de la Estad́ıstica Descriptiva
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Descripción gráfica de los datos
Descripción gráfica de los datos
Gráfico de tallo y hojas.
Es una técnica Estad́ıstica para representar un conjunto de datos. Cada
valor numérico se divide en dos partes, el o los digitos principales forman el
tallo y los digitos secundarios las hojas. Los tallos están colocados a lo
largo del eje vertical y las hojas de cada observación a lo largo del eje
horizontal.
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Descripción gráfica de los datos
EJEMPLO 1.- Las notas obtenidas en una prueba de matemáticas son:
4.5 3.3 4.8 4.2 4.0 5.1 6.8 5.9 2.9 6.4
5.5 3.9 5.2 5.8 3.6 5.3 2.3 5.8 3.0 5.0
Construya un gráfico de tallo y hoja
2 3 9
3 3 9 6 0
4 5 8 2 0
5 1 9 5 2 8 3 8 0
6 8 4
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Descripción gráfica de los datos
EJEMPLO 1.- Las notas obtenidas en una prueba de matemáticas son:
4.5 3.3 4.8 4.2 4.0 5.1 6.8 5.9 2.9 6.4
5.5 3.9 5.2 5.8 3.6 5.3 2.3 5.8 3.0 5.0
Construya un gráfico de tallo y hoja
2 3 9
3 3 9 6 0
4 5 8 2 0
5 1 9 5 2 8 3 8 0
6 8 4
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Descripción gráfica de los datos
EJEMPLO 1.- Las notas obtenidas en una prueba de matemáticas son:
4.5 3.3 4.8 4.2 4.0 5.1 6.8 5.9 2.9 6.4
5.5 3.9 5.2 5.8 3.6 5.3 2.3 5.8 3.0 5.0
Construya un gráfico de tallo y hoja
2 3 9
3 0 3 6 9
4 0 2 5 8
5 0 1 2 3 5 8 8 9
6 4 8
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Descripción gráfica de los datos
Distribución de frecuencias
Si tenemos un gran conjunto de valores observados, en este caso
necesitamos un sistema alternativo para agrupar los datos de manera que
podamos determinar la forma de ellos.
La forma mas simple de resumir la información de un conjunto de datos es
la tabla de distribución de fracuencias, que consiste en presentar para cada
categoŕıa de una variable el número de casos (frecuencias) que lo
comparten.
Ejemplo
Distribución de frecuencias de la variable sexo:
SEXO
Frecuencia Porcentaje
Hombre 3 75%
Mujer 1 25%
Total 4 100%
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Descripción gráfica de los datos
Tablas estad́ısticas
Las tablas estad́ısticas según el número de observaciones y según el
recorrido de la variable estad́ıstica, tenemos los siguientes tipos de tablas
estad́ısticas:
Tablas tipo I: Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la
variable son pequeños.
Ejemplo: Edad de los 5 miembros de una familia:
5, 8, 16, 38, 45
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Descripción gráfica de los datos
Tablas Tipo II: Cuando el tamaño de la muestra es grande y el
recorrido de la variable es pequeño, por lo que hay valores de la
variable que se repiten.
Ejemplo: Si preguntamos el número de personas que trabajan en 50
familias obtenemos la siguiente tabla:
Personas que trabajan en 50 familias
2 1 2 2 1 2 0 2 1 1
2 3 0 1 1 1 3 0 2 2
2 2 1 2 1 1 1 3 2 2
3 2 3 1 2 4 2 1 4 1
1 0 4 3 2 2 2 1 3 3
Resuma estos datos en una tabla de frecuencias
personas
que trabajan:
0 1 2 3 4
observaciones 4 16 19 8 3
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Descripción gráfica de los datos
Tablas Tipo II: Cuando el tamaño de la muestra es grande y el
recorrido de la variable es pequeño, por lo que hay valores de la
variable que se repiten.
Ejemplo: Si preguntamos el número de personas que trabajan en 50
familias obtenemos la siguiente tabla:
Personas que trabajan en 50 familias
2 1 2 2 1 2 0 2 1 1
2 3 0 1 1 1 3 0 2 2
2 2 1 2 1 1 1 3 2 2
3 2 3 1 2 4 2 1 4 1
1 0 4 3 2 2 2 1 3 3
Resuma estos datos en una tabla de frecuencias
personas
que trabajan:
0 1 2 3 4
observaciones 4 16 19 8 3
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Descripción gráfica de los datos
Tablas tipo III: Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la
variable son grandes, por lo que será necesario agrupar en intervalos
los valores de la variable.
Ejemplo: Si a un grupo de 30 alumnos les preguntamos el dinero que en
ese momento llevan en sus bolsillos, nos encontramoscon los siguientes
datos:
450 1152 250 300 175 80 25 2680 605
785 1595 2300 5000 1200 100 5 180 200
675 500 375 1500 205 985 185 125 315
425 560 1100
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Descripción gráfica de los datos
Algunas regla para agrupar los datos en intervalos o categoŕıas.
Número de intervalos o categoŕıas o clases:{
k ≈
√
n, si n no es muy grande;
k ≈ 1 + 3, 22 log(n), en otro caso.
Localizar el máximo y el ḿınimo
Determinar el recorrido o rango
r = xmax − xmin
Determinar la amplitud
a =
xmax − xmin
k
Determinar la marca de clases
xi =
li + li−1
2
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Descripción gráfica de los datos
Algunas regla para agrupar los datos en intervalos o categoŕıas.
Número de intervalos o categoŕıas o clases:{
k ≈
√
n, si n no es muy grande;
k ≈ 1 + 3, 22 log(n), en otro caso.
Localizar el máximo y el ḿınimo
Determinar el recorrido o rango
r = xmax − xmin
Determinar la amplitud
a =
xmax − xmin
k
Determinar la marca de clases
xi =
li + li−1
2
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Descripción gráfica de los datos
Algunas regla para agrupar los datos en intervalos o categoŕıas.
Número de intervalos o categoŕıas o clases:{
k ≈
√
n, si n no es muy grande;
k ≈ 1 + 3, 22 log(n), en otro caso.
Localizar el máximo y el ḿınimo
Determinar el recorrido o rango
r = xmax − xmin
Determinar la amplitud
a =
xmax − xmin
k
Determinar la marca de clases
xi =
li + li−1
2
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Descripción gráfica de los datos
Algunas regla para agrupar los datos en intervalos o categoŕıas.
Número de intervalos o categoŕıas o clases:{
k ≈
√
n, si n no es muy grande;
k ≈ 1 + 3, 22 log(n), en otro caso.
Localizar el máximo y el ḿınimo
Determinar el recorrido o rango
r = xmax − xmin
Determinar la amplitud
a =
xmax − xmin
k
Determinar la marca de clases
xi =
li + li−1
2
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Descripción gráfica de los datos
Algunas regla para agrupar los datos en intervalos o categoŕıas.
Número de intervalos o categoŕıas o clases:{
k ≈
√
n, si n no es muy grande;
k ≈ 1 + 3, 22 log(n), en otro caso.
Localizar el máximo y el ḿınimo
Determinar el recorrido o rango
r = xmax − xmin
Determinar la amplitud
a =
xmax − xmin
k
Determinar la marca de clases
xi =
li + li−1
2
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Descripción gráfica de los datos
Algunas regla para agrupar los datos en intervalos o categoŕıas.
Número de intervalos o categoŕıas o clases:{
k ≈
√
n, si n no es muy grande;
k ≈ 1 + 3, 22 log(n), en otro caso.
Localizar el máximo y el ḿınimo
Determinar el recorrido o rango
r = xmax − xmin
Determinar la amplitud
a =
xmax − xmin
k
Determinar la marca de clases
xi =
li + li−1
2
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Descripción gráfica de los datos
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Descripción gráfica de los datos
Mod.
o clases
Intervalos
de clases
Frec.
abs.
Frec. Rel.
Porcentual
Frec. Abs.
Acumulada
Marca
de
clases
ci ni hi Ni xi
c1 l0 − l1 n1 h1 = n1n 100 N1 = n1 x1
c2 l1 − l2 n2 h2 = n2n 100 N2 = n1 + n2 x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
cj lj−1 − lj nj hj = njn 100 Nj =
∑
p≤j np xj
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ck lk−1 − lk nk hk = nkn 100 Nk = n xk
n 100%
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Descripción gráfica de los datos
Ejercicio:
Si a un grupo de 30 alumnos les preguntamos el dinero que en ese
momento llevan en sus bolsillos, nos encontramos con los siguientes datos:
450 1152 250 300 175 80 25 2680 605
785 1595 2300 5000 1200 100 5 180 200
675 500 375 1500 205 985 185 125 315
425 560 1100
Resuma estos datos en una tabla de fracuencias.
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Descripción gráfica de los datos
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Descripción gráfica de los datos
Representación gráfica
Variables cualitativas
CIRCULAR: La frecuencia absoluta se representa por medio de
sectores circulares.
Otros nombres : Sectorial, de torta, pie-chart.
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Descripción gráfica de los datos
DE BARRA: La frecuencia se representa por medio de barras
verticales.
Las categoŕıas de la variable se ubican en el eje
horizontal.
Las barras deben: tener el mismo ancho, estar
separadas, estar espaciadas uniformemente.
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Descripción gráfica de los datos
Representación gráfica
Variables cuantitativas
HISTOGRAMA: Es la representación gráfica más frecuente para
datos agrupados.
Es un conjunto de rectángulos unidos, cada uno de los
cuales representa un intervalo de clase.
Sus bases son iguales a la amplitud del intervalo.
Las alturas representan la frecuencia absoluta.
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Descripción gráfica de los datos
POLIGONO DE FRECUENCIAS: Gráfico de ĺıneas.
Se puede obtener uniendo los puntos medios superiores
de las barras del histograma (marcas de clase).
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Descripción gráfica de los datos
OJIVA: Gráfico de ĺıneas.
Representa las frecuencias acumuladas.
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Medidas descriptivas numéricas
Medidas descriptivas numéricas
Estad́ıstica Descriptiva
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Medidas descriptivas numéricas
Media aritmética
Media
vvnnn
nnn
nnn
nnn
((PP
PPP
PPP
PPP
P
Datos sin agrupar
��
Datos agrupados
��
x = 1n
∑n
i=1 xi x =
1
n
∑n
i=1 nixi
Estad́ıstica Descriptiva
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Medidas descriptivas numéricas
Media aritmética
Media
vvnnn
nnn
nnn
nnn
((PP
PPP
PPP
PPP
P
Datos sin agrupar
��
Datos agrupados
��
x = 1n
∑n
i=1 xi x =
1
n
∑n
i=1 nixi
Estad́ıstica Descriptiva
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Medidas descriptivas numéricas
Propiedades de la media
1) La suma de las diferencia de la variable con respecto a la media es
nula, es decir.
n∑
i=1
(xi − x) = 0
2) La media aritmética del producto de una constante por una variable X
es igual al producto de esta constante por la media aritmética
cx = cx
3) La media aritmética entre una constante y la variable X es la suma (o
diferencia) de la constante y la media aritmética de la variable
x + c = x + c
Estad́ıstica Descriptiva
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Medidas descriptivas numéricas
4) Si X e Y representan dos variables con el mismo número de
observaciones, entonces la media aritmética de la suma de estas
variables es igual a la suma de las medias respectivas
x + y = x + y
Estad́ıstica Descriptiva
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Medidas descriptivas numéricas
Ejemplo
Obtener la media y las desviaciones con respecto a la media enla siguiente
distribución y comprobar que su suma es cero.
li−1 − li ni
0-10 1
10-20 2
20-30 4
30-40 3
Suponga que a cada uno de estos datos se le suma 5 unidades y se
multiplica por 3 determinar la nueva media
Estad́ıstica Descriptiva
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Medidas descriptivas numéricas
Media aritmética ponderada
Dados los pesos w1, . . . , wn y las observaciones x1, . . . , xn se calcula la
media aritmetica ponderada como:
xp =
∑n
i=1 wixi∑n
i=1 xi
Ejemplo
Un alumno de estad́ıstica obtiene en el semestre las siguientes
calificaciones certamen 1 70 puntos certamen 2 65 puntos promedio de
tareas 80 puntos y en el examen 64 puntos. De acuerdo a la importancia
de la evaluación cada certamen se le asigna un peso 25% y a las tareas un
10% y al examen un 40%.Calcular el promedio final del alumno.
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Medidas descriptivas numéricas
Media geométrica
La media geométrica de n valores no negativos está dada por:
G = n
√
x1ẋ2 . . . xn
Si algunos valores son muy grandes p muy pequeños la med. Geo.
Proporciona una mejor representación del promedio.
Ejemplo
Suponga que La ventas de un determinado producto se incrementan en un
110% el 1o año y en 150% el 2o año. Determine la media de este
incremento.
R = 129, 12%
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Medidas descriptivas numéricas
Media geométrica
La media geométrica de n valores no negativos está dada por:
G = n
√
x1ẋ2 . . . xn
Si algunos valores son muy grandes p muy pequeños la med. Geo.
Proporciona una mejor representación del promedio.
Ejemplo
Suponga que La ventas de un determinado producto se incrementan en un
110% el 1o año y en 150% el 2o año. Determine la media de este
incremento.
R = 129, 12%
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Medidas descriptivas numéricas
Media armónica
Es útil para variables expresadas en proporciones de unidades de tiempo,
tales como kilómetros por hora, No de unidades de producción por d́ıa, etc.
H =
n∑n
i=1
1
xi
Ejemplo
Suponga que 4 máquinas son utilizadas para producir la misma pieza, pero
cada una de las máquinas se demoran en fabricar la pieza 2.5, 2, 1.4 y 6
minutos en realizar dicha pieza. ¿Cuál es el tiempo promedio de
producción?
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Medidas descriptivas numéricas
La Mediana La observación central de los valores una vez que éstos
han sido ordenados desde el más pequeño hasta el mas grande.
La Moda: El valor de las observaciones que aparece con más
fracuencia.
Cuartiles deciles y percentiles:
Percentiles: El k-ésimo percentil es un valor de los datos de modo
que el 100k% de los datos sean menores que éste,
mientras que el 100(1− k)% quede sobre este valor y se
denota por: Pk, k = 1, 2, . . . , 100.
Cuartiles: Los Cuartiles Qi, i = 1, 2, 3, 4 se definen como:
Q1 = P25, Q2 = P50,Q3 = P75,Q4 = P100
Deciles: Los Deciles Di, i = 1, 2, . . . , 10 se definen como:
D1 = P10, D2 = P20, . . . , D10 = P100
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Medidas descriptivas numéricas
La Mediana
uujjjj
jjjj
jjjj
jjj
**UUU
UUUU
UUUU
UUUU
UU
Datos sin agrupar
�� ((QQ
QQQ
QQQ
QQQ
QQ
Datos agrupados
��
M = xN+1
2
si N es impar
M = xN/2+1+xN/22
si N es par
M = li−1 +
n/2−Ni−1
ni−ni−1 ai
Donde:
li−1: ĺımite inferior de la clase de la mediana;
n: número de observaciones;
Ni−1: frecuencia absoluta de la clase de la mediana;
ni : frecuencia absoluta del intervalo mediano;
ai : amplitud del intervalo de la clase de la mediana;
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Medidas descriptivas numéricas
Moda
vvnnn
nnn
nnn
nnn
**UUU
UUUU
UUUU
UUUU
UUU
Datos sin agrupar
��
Datos agrupados
��
Dato que más
se repite
Mod = li−1 +
ni−ni−1
(ni−ni−1)+(ni−ni+1)
ai
Donde:
li−1: ĺımite inferior de la clase a la que pertenece la moda;
ni−1 : frecuencia absoluta del intervalo anterior al que pertenece la
moda;
ni : frecuencia absoluta del intervalo modal;
ai : amplitud del intervalo de la clase modal.
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Medidas descriptivas numéricas
Estad́ısticos de posición
Percentiles
uullll
llll
llll
ll
))TTT
TTTT
TTTT
TTTT
Datos sin agrupar
��
Datos agrupados
��
DATO nk100 -ESIMO Pk = li−1 +
nk
100
−Ni−1
ni
ai
Donde:
li−1: ĺımite inferior de la clase del percentil;
n: número de observaciones;
Ni−1: frecuencia absoluta de la clase del percentil;
ni : frecuencia absoluta del intervalo al que pertenece el percentil;
ai : amplitud del intervalo de la clase del percentil.
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Medidas descriptivas numéricas
Medidas de variabilidad o dispersión
Rango
��
Desv́ıacion Media
��
r = xmax − xmin
DM =
∑n
i=1 |xi−x|
n
DM =
∑n
i=1 |xi−x|ni
n
Varianza
��
Desviación Estandar
��
V (X) = s2 =
∑n
i=1(xi−x)2
n
V (X) = s2 =
∑n
i=1(xi−x)2ni
n
s =
√
V (X)
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Medidas descriptivas numéricas
Proposición
Si Y = aX + b entonces, S2Y = a
2S2X .
Si los resultados de una medida son trasladados una cantidad b, la
dispersión de los mismos no aumenta. Si estos mismo datos se
multiplican por una cantidad a < 1, el resultado tenderá a
concentrarse alrededor de su media (menor varianza). Si por el
contrario a > 1 habrá mayor dispersión.
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Medidas descriptivas numéricas
Además se tiene que
La desviación media y la varianza son sensibles a la variación de cada
una de las puntuaciones
Si se calculan a través de los datos agrupados en una tabla, dependen
de los intervalos elegidos. Es decir, cometemos cierto error en el
cálculo de la varianza cuando los datos han sido resumidos en una
tabla estad́ıstica mediante intervalos. Este error no será importante si
la elección del número de intervalos, amplitud y ĺımites de los mismos
ha sido adecuada.
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Medidas descriptivas numéricas
Asimetŕıa y apuntamiento: En primer lugar, nos vamos a plantear el
saber si los datos se distribuyen de forma simétrica con respecto a un valor
central, o si bien la gráfica que representa la distribución de frecuencias es
de una forma diferente del lado derecho que del lado izquierdo.
Estad́ısticos de asimetŕıa: Para saber si una distribución de frecuencias
es simétrica, hay que precisar con respecto a qué. Un buen candidato es la
mediana, ya que para variables continuas, divide al histograma de
frecuencias en dos partes de igual área.
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Medidas descriptivas numéricas
Podemos basarnos en ella para, de forma natural, decir que una
distribución de frecuencias es simétrica si el lado derecho de la gráfica (a
partir de la mediana) es la imagen por un espejo del lado izquierdo.
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Medidas descriptivas numéricas
Indice basado en los tres cuartiles (Yule-Bowley)
Una distribución es simétrica si:
Q3 −Q2 = Q2 −Q1
Es asimétrica Positiva si:
Q3 −Q2 > Q2 −Q1
si es asimétrica negativa, se tendrá
Q3 −Q2 < Q2 −Q1
Para quitar la dimensionalidad al problema, utilizamoscomo ı́ndice de
asimetŕıa la cantidad:
AS =
(Q3 −Q2)− (Q2 −Q1)
Q3 −Q1
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Medidas descriptivas numéricas
Estad́ısticos de apuntamiento.
Se define el coeficiente de aplastamiento de Fisher o coeficiente de curtosis
como:
K =
m4
m22
− 3,
donde
mk =
∑n
i=1(xi − x)k
n
.
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Leptocúrtica: cuando, K > 0, o sea, si la distribución de frecuencias
es más apuntada que la normal;
Mesocúrtica: cuando K = 0, es decir, cuando la distribución de
frecuencias es tan apuntada como lo normal;
Platicúrtica: cuando K < 0, o sea, si la distirbución de frecuencias
es menos apuntada que la normal.
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Graficos de caja
Graficos de caja
Un gráfico de caja o box plot muestra las posiciones relativas de los
cuartiles, porción central y valores extremos de una distribución de
frecuencias
Paso 1: Calcular los 3 cuartiles (Q1, Q2, y Q3).
Paso 2: Calcular el recorrido intercuart́ılico (IQ = Q3 −Q1).
Paso 3: Calcular las barreras internas BI1 y BI2 en la forma:
BI1 = Q1 − 1, 5IQ, BI2 = Q3 + 1, 5IQ
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Graficos de caja
Paso 4: Calcular las barreras externas BE1 y BE2 en la forma:
BE1 = Q1 − 3IQ, BE2 = Q3 + 3IQ
Paso 5: Identifique los puntos adyacentes. Se llaman puntos
adyacentes al ḿınimo y máximo dato que se encuentran dentro de las
barreras internas. Desde los extremos de la caja se trazan ĺıneas hasta
los respectivos valores adyacentes. A estas ĺıneas se les llama antenas
o bigotes.
Paso 6: Identificar los puntos at́ıpicos y extremos: Se llaman puntos
at́ıpicos o outliers a aquellos datos que se encuentran fuera de las
barreras internas y dentro de las barreras externas. Se llaman puntos
extremos a aquellos puntos ubicados fuera de las barreras externas.
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Graficos de caja
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Graficos de caja
A través de un gráfico caja podemos identificar el tipo de asimetŕıa de una
distribución de frecuencias unimodal de la siguiente manera:
i) Si la posición de la mediana se encuentra en la mitad de la caja y las
antenas tiene la misma longitud, la distribución es simétrica.
ii) Si la posición de la mediana se encuentra ubicada más cerca del
primer cuartil y la antena superior es de mayor longitud que la antena
inferior, la distribución presenta sesgo positivo.
iii) Si la posición de la mediana se encuentra ubicada más cerca del
tercer cuartil y la antena superior es de menor longitud que la antena
inferior, la distribución presenta sesgo negativo.
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Graficos de caja
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	Introducción
	Terminología de la Estadística Descriptiva
	Descripción gráfica de los datos
	Medidas descriptivas numéricas
	Graficos de caja