¿Podría un objeto acelerar hacia un agujero negro y usar la gravedad (curvatura del espacio-tiempo) para alcanzar la velocidad de la luz antes de...

A2A*. Gracias por la pregunta Diego, la respuesta es claramente no. Y todo depende de un cálculo razonablemente elemental que hasta ahora no había hecho nunca, pero que tu pregunta me obligó a considerar. El caso es que un campo gravitatorio nunca acelerará una partícula con masa por encima de la velocidad de la luz (nunca una geodésica de tipo temporal, pasará a ser de tipo lumínico o de tipo espacial, debido a la forma de la ecuación de las geodésicas).

I. Primero empezaremos con la relación entre energía y velocidad que en un espacio tiempo plano es simplemente:

E2=p2c2+m2c4(∗)E2=p2c2+m2c4(∗)

Donde E es la energía, p el momento lineal, m la masa y c la velocidad de la luz. Esta relación vale para partículas con o sin masa, si particularizamos en ella el momento para una partícula con masa p=mv/(√1−v2/c2)p=mv/(1−v2/c2) nos da:

E=mc21−v2/c2−−−−−−−−√v=c1−mc4E2−−−−−−−√<cE=mc21−v2/c2v=c1−mc4E2

II. En un campo gravitatorio debido a la curvatura la relación entre la energía, el momento y la velocidad es más complicada y la ecuación (*) ya no es válida. Por ejemplo, en los alrededores de un agujero negro ordinario de Schwarzschild (el tipo más simple) la relación de hecho es:

E2(1−ρ)=p2c21−ρ+m2c4E2(1−ρ)=p2c21−ρ+m2c4

Donde ρ=rs/rρ=rs/r es el cociente entre la distancia y el radio de Schwarzschild. Si ahora hacemos los mismos cambios que antes de hecho llegamos a una fórmula complicada como esta:

v=(E2(ρ−1)+m2c4)(E2(ρ−1)−m2c4)m2c4ρ(ρ−2)−E4(ρ−1)4−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√(ρ−1)v=(E2(ρ−1)+m2c4)(E2(ρ−1)−m2c4)m2c4ρ(ρ−2)−E4(ρ−1)4(ρ−1)

Esta fórmula predice siempre que v<cv. Por lo que en un agujero ordinario no puede acelerar una partícula con masa más allá de la velocidad de la luz, independientemente de que esta ya estuviera muy cerca de la velocidad de la luz. De hecho, pasa una cosa curiosa visto desde fuera cuando la partícula atraviesa el horizonte de sucesos ρ→1ρ→1 su velocidad vista desde un observador situado fuera del agujero negro es v→0v→0, esto es consistente con la observación de que los objetos que caen a un agujero negro vistos desde fuera parecen quedarse permanentemente congelados sobre el horizonte (es decir, aparentemente se mueven cada vez más despacio), por lo que desde fuera de un agujero no vemos nunca el momento en que un objeto traspasa el horizonte de sucesos.

III. No me resisto a dar la relación entre energía, momento y velocidad en un campo gravitatorio débil donde la relación sería:

E2(1+2ϕgc2)=p2c2+m2c4E2(1+2ϕgc2)=p2c2+m2c4

Donde ϕgϕg es el potencial gravitatorio newtoniano. Despejando EE y desarrollando esta expresión en serie de Taylor tenemos:

E=mc21+2ϕgc2−−−−−−−√1+p2m2c2−−−−−−−−√≈mc2(1−ϕgc2)(1+p22m2c2)E=mc21+2ϕgc21+p2m2c2≈mc2(1−ϕgc2)(1+p22m2c2)

E≈mc2+p22m−GMmrE≈mc2+p22m−GMmr

Los dos últimos términos de esta expresión son precisamente la energía de acuerdo a la teoría newtoniana (por lo que que la curvatura del espacio-tiempo es capaz de predecir adecuadamente la energía mecánica newtoniana).