¿Qué es el número cuántico l?

Cuando resuelves la ecuación diferencial para el átomo de Hidrógeno (la cual se puede aproximar a la ecuación de una partícula cargada en un campo eléctrico), obtienes una solución muy simple y exacta.

Esa solución sólo tiene solución analítica en el caso del átomo de Hidrógeno o átomos llamados “Hidrogenoides”, los cuales no son más que un único electrón orbitando alrededor de un núcleo (el cual puede tener un número de protones arbitrario).

En el momento que metes 2 electrones, no puedes obtener una solución analítica de la ecuación de Schrödinger y por tanto tienes que resolverla usando métodos numéricos.

Centrándonos en la ecuación de Schrödinger para un átomo de Hidrógeno, obtienes una solución analítica con 4 números cuánticos los cuales se llaman (n, l, m). En caso de aplicar efectos relativistas, la ecuación de Schrödinger no puede aplicarse y tienes que hacerlo con la ecuación de Dirac (que no es más que la de Schrödinger pero añadiendo los efectos relativistas). En ese caso sale un cuarto número cuántico s llamado de espín.

Básicamente una ecuación diferencial te da múltiples posibles soluciones y con esos números vamos recorriendo cada una de esas soluciones. Como ves dichos número cuánticos no tienen nada de misteriosos.

n es el llamado “número cuántico principal” e indica el radio de la órbita del electrón. Se llama número cuántico principal debido a que los otros números cuánticos (l y m) dependen de él puesto que l sólo puede tomar valores n-1 y m sólo puede tomar valores entre -l y +l. De ahí el nombre de “principal” puesto que el resto de los números dependen de él.

El número l es el número cuántico llamado secundario (básicamente porque los valores del tercer número cuántico m dependen de él) y te indica el momento angular.

Cuando l tiene valor 0, los orbitales no tienen momento angular y son esféricos. Cuando tiene el valor 1, los orbitales se llaman p. Cuando tiene el valor 2, los orbitales se llaman d.

Veamos qué pasa cuando n vale 1, 2 ó 3 y l vale 0.

En el eje x representamos la distancia al núcleo y en el eje y, la probabilidad de encontrar al electrón en esa distancia. Como ves según n valga 1 (1s), 2 (2s) ó 3(3s), la probabilidad de encontrar al electrón es máxima a una mayor distancia. Por tanto el radio del orbital va creciendo y los orbitales se hacen más grandes. De ahí la clásica imagen que los orbitales s son esferas cada vez más grandes según aumentemos n

Curiosamente el orbital 2s tiene a un radio determinado una probabilidad nula de encontrar el electrón a esa distancia. El orbital 3s tiene 2 puntos (que representan la distancia del núcleo) a los cuales es imposible encontrar el electrón.

Fíjate en una cosa. Dado que l es 0 en estos 3 casos, estas probabilidades tienen una simetría radial. Es decir, imagínatelas en una esfera. De ahí tenemos estas figuras:

Aquí las zonas oscuras son las zonas donde la probabilidad de encontrar al electrón es máxima y las claras donde es pequeña. Como ves el 2s tiene un único nodo donde es imposible encontrar al electrón a esa distancia y el 3s tiene 3 nodos. Tal y como te dije, no son más que la representación en 3D de la figura que te comenté antes la cual te dije que te la imaginases con una simetría radial.

Cuando el número l tiene un valor 1, tenemos que la simetría radial desaparece y aparecen los orbitales llamados p, los cuales tienen esta forma:

Como ves hay 3 orbitales p básicamente porque el tercer número cuántico m puede tomar 3 valores de -l a +l. Como l=1, entonces m puede valor 1, 0 ó -1 y de ahí que tengamos 3 formas de orientar a los orbitales p.

Pero ¿qué narices significa eso? ¿Significa que el electrón está girando de esa forma tn especial? Ni mucho menos, en realidad es la probabilidad de encontrarnos al electrón si miramos en esa dirección. Fijémonos en el orbinal 2pz. Si mirásemos hacia arriba (eje z), la probabilidad de encontrar al electrón es máxima. Imagina que de tus ojos sale un rayo láser (al igual que con Supermán) que va a chocar contra la pared del orbital. La longitud del rayo láser entre tú (que estás justo en el centro) y la pared te indica la probabilidad de encontrar al electrón en esa dirección.

Como te decía, si miras hacia arriba la probabilidad es máxima. Conforme bajas la vista vas disminuyendo la probabilidad de encontrarlo hasta que si miras hacia el horizonte (es decir, miras en la dirección del exe y) la probabilidad de que lo veas pasar al electrón en esa dirección es completamente nula.

Como ves, esa visión del orbital no es una representación artística del movimiento del electrón, sino una representación gráfica de la probabilidad de ver pasar a un electrón si miras hacia esa dirección.

Ahora que tienes la visión 3D, te pongo otra vez la probabilidad de encontrar a un electrón según la distancia al núcleo para cada orbital

Tenemos esa probabilidad pero en el caso de los orbitales s (número cuántico l=0) tenemos una simetría radial y en caso de los orbitales p (número cuántico l=1) no tenemos una simetría radial y tenemos que tener en cuenta que se distribuyen conforme la probabilidad de los lóbulos que te he puesto anteriormente indican.

Cuando n=2, tenemos que l puede tomar 3 valores: l=0, l=1 y l=2. Es decir que para n=3 tenenemos 1 orbital tipo s (l=0), 3 orbitales tipo p (l=1 y m=-1, 0, +1) y 5 orbitales tipo d (l=2 y m=-2, -1, 0, 1, 2).

Los orbitales tipo d tienen esta distribución radial, la cual creo que ya puedes lograr entender qué significa.